一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解不等式可得，再由交集運(yùn)算即可求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意由可得，
又，即可得.
故選：D
2．從6名男醫(yī)生，5名女醫(yī)生中選出3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，且至少有一名女醫(yī)生，則不同的選法共有（ ）
A．130種B．140種C．145種D．155種
【答案】C
【分析】由題意知醫(yī)療小組中有女醫(yī)生的情況有名三種情況，分別求出對應(yīng)的選法數(shù)，并加總即可.
【詳解】1、小組有1名女醫(yī)生的選法：種；
2、小組有2名女醫(yī)生的選法：種；
3、小組有2名女醫(yī)生的選法：種；
∴共有種選法.
故選：C
3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則=
A．B．1C．2D．
【答案】A
【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可求的值.
【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以成等差數(shù)列，
設(shè)，則，故，所以，
所以，故，故選A.
【點(diǎn)睛】一般地，如果為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：
（1）若，則；
（2） 且 ；
（3）且為等差數(shù)列；
（4） 為等差數(shù)列.
4．△ABC中，D為AB上一點(diǎn)且滿足，若P為線段CD上一點(diǎn)，且滿足（，為正實(shí)數(shù)），則的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)題意結(jié)合三點(diǎn)共線的結(jié)論可得，再根據(jù)基本不等式運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)镻為線段CD上一點(diǎn)，則，且，
又因?yàn)?，可得，即?br>所以，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以的最小值為4.
故選：B.
5．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知求出，再利用余弦函數(shù)的二倍角公式求解即可.
【詳解】
，
則，
故選：D.
6．已知，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可判斷出，在比較的大小，即比較與的大小，即比較與的大小，由于，即比較小于，把與同時五次方即可比較出大小.
【詳解】，，，，故.
故選：B.
7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與另一漸近線交于點(diǎn)，若是的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的角度關(guān)系求解即可；
【詳解】
如圖所示，由題意可知，，
又因?yàn)槿羰堑闹悬c(diǎn)，,
所以,
所以
根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，雙曲線的漸近線方程為：
，，
所以
因?yàn)椋?br>所以
故選：B.
8．已知：定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱的充要條件是導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.任給實(shí)數(shù)，滿足，，則
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】設(shè)函數(shù)，由關(guān)于對稱，可知的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱.結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及，可知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱．
【詳解】設(shè)函數(shù)，則，其圖像關(guān)于對稱，故原函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，且，故對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．
又由已知可得，，則，
又當(dāng)時，知在上恒單調(diào)遞增．
故點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱．所以即．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題通過新定義的形式考查了函數(shù)的對稱性，即若導(dǎo)函數(shù)為軸對稱圖形，則原函數(shù)為中心對稱圖形，且對稱軸和對稱中心的橫坐標(biāo)相同.結(jié)合已經(jīng)熟悉的結(jié)論：對于中心對稱的函數(shù)，若對稱中心為，那么當(dāng)函數(shù)單調(diào)時，與是等價(jià)的.本題在得出，以及的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱后，即可得出結(jié)果.
二、多選題
9．關(guān)于函數(shù)，，下列命題正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．函數(shù)的表達(dá)式可改寫為
D．函數(shù)圖像可先將圖像向左平移，再把各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫?br>【答案】AC
【分析】對選項(xiàng)A，根據(jù)即可判斷A正確；對選項(xiàng)B，根據(jù)在區(qū)間先增后減即可判斷B錯誤；對選項(xiàng)C，根據(jù)即可判斷C正確；對選項(xiàng)D，利用三角函數(shù)平移變換的性質(zhì)即可判斷D錯誤.
【詳解】對選項(xiàng)A，，，故A正確.
對選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以?br>所以在區(qū)間先增后減，故B錯誤.
對選項(xiàng)C，，
故C正確.
對選項(xiàng)D，圖像向左平移得到，
再把各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫?，故D錯誤.
故選：AC
10．已知斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．為中點(diǎn)
【答案】BCD
【分析】作出圖形，利用拋物線的定義、相似三角形等知識來判斷各選項(xiàng)命題的正誤.
【詳解】如下圖所示：
分別過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、.
拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，則，
由于直線的斜率為，其傾斜角為，
軸，，由拋物線的定義可知，，
則為等邊三角形，
，則，
設(shè)，，由，則，可得 ，
所以 ，
,解得
所以,所以B正確.
，得，
A選項(xiàng)錯誤；
所以,滿足,所以C正確.
而,所以D正確.
故選：BCD
11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且為非常數(shù)函數(shù)，，為奇函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)得出的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，且，判斷A，對求導(dǎo)，得出的對稱性，從而判斷B，由對稱性得出周期性判斷C，結(jié)合周期性求值判斷D．
【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，即，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，且，故A正確；
由，兩邊求導(dǎo)，得，即.
由的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，得，因此，故B正確；
因?yàn)闉楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，即，
所以，即，
所以的圖象關(guān)于直線對稱，
所以.又，
所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，
，
，
所以是周期函數(shù)，4為它的一個周期，所以，故錯誤；
由，得.又，
所以3，所以，
所以，故D正確.
故選：ABD.
12．如圖，是正方體的棱的中點(diǎn)，是棱上的動點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．在平面內(nèi)總存在與平面平行的直線
B．存在點(diǎn)使得直線與直線垂直
C．四面體的體積為定值
D．平面截該正方體所得截面可能為三角形、四邊形、五邊形
【答案】ABC
【分析】利用線面平行的判定定理可判斷A選項(xiàng)；利用線面垂直的性質(zhì)定理可判斷B選項(xiàng)；利用錐體的體積公式可判斷C選項(xiàng)；作出截面圖形，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A選項(xiàng)，連接、，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，
則、、、四點(diǎn)共面，
若平面且，平面，平面，
所以，平面，A對；
對于B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接、，設(shè)，
因?yàn)榍遥?、分別為、的中點(diǎn)，則且，
所以，四邊形為平行四邊形，，
平面，平面，
平面，，
當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時，，，，
所以，，，
所以，，故，即，
，、平面，平面，
平面，，
故當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時，，B對；
對于C選項(xiàng)，設(shè)正方體的棱長為，
由B選項(xiàng)可知平面，且，，
，C對；
對于D選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，截面截正方體為四邊形；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，
此時，截面截正方體的截面為四邊形；
當(dāng)點(diǎn)在線段（不包括端點(diǎn)）上運(yùn)動時，
延長、交于點(diǎn)，設(shè)直線分別交直線、于點(diǎn)、，
連接交于點(diǎn)，連接、，
此時，截面截正方體所得截面為五邊形.
綜上所述，平面截該正方體所得截面可能為四邊形、五邊形，D錯.
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用平面的性質(zhì)確定截面形狀的依據(jù)如下．
（1）平面的四個公理及推論；（2）直線和平面平行的判定和性質(zhì)；（3）兩個平面平行的性質(zhì)．
三、填空題
13．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為 .
【答案】
【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，可得到原點(diǎn)的距離為.
【詳解】易知，
可得在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)，所以到原點(diǎn)的距離.
故答案為：
14．黃金比又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比．其中，較大部分與整體之比的比值稱為黃金分割數(shù)，黃金分割數(shù)被公認(rèn)為最具有審美意義的比例數(shù)字．若數(shù)列是以黃金分割數(shù)為公比的等比數(shù)列，且，則 ．
【答案】2023
【分析】先根據(jù)題意列方程求出黃金分割數(shù)，則可得等比數(shù)列的公比，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和黃金分割數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由題意，設(shè)整體為1，較大部分為，則較小部分為，則，
即，解得（舍去），故黃金分割數(shù)為．
令，則，即，
所以，故．
故答案為：2023
四、雙空題（新）
15．在長方體中，已知，E、F分別為、的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球半徑為 ，平面被三棱錐外接球截得的截面圓面積為 ．
【答案】 /
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)，可以證明，取為中點(diǎn)，有，因此點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，則，球心到平面的距離為，勾股定理可得截面圓的半徑為，即得解
【詳解】解：以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
依題意得：，，，
則，，
所以，則即；
設(shè)為中點(diǎn)，因?yàn)?，，則，
所以點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，則三棱錐外接球的半徑為，
設(shè)球心到平面的距離為，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，
所以點(diǎn)到平面的距離為，
由于，所以，
故截面圓的半徑為，所以截面圓面積為，
故答案為：；
五、填空題
16．設(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若存在實(shí)數(shù)使得恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由題意可得，令，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個在直線上方，一個在直線下方，等價(jià)于一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值，即可得出答案．
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由，得，所以，
令，
由題意知，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個在直線上方，一個在直下方，等價(jià)于一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值，
由，得，
所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
所以，沒有最小值，
由，得，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
所以有最大值，無最小值，不合題意，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
所以，
所以即，
所以，即的取值范圍為．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，其中涉及到利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，難度較大.構(gòu)造函數(shù)是求解導(dǎo)數(shù)問題的常用方法.
六、問答題
17．已知圓心為的圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心在直線上．
(1)求圓的方程；
(2)過點(diǎn)的動直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)時，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)條件列出方程組，解方程組從而得到方程；
（2）根據(jù)直線的斜率是否存在分類討論，再結(jié)合求出直線方程.
【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，
由已知可得方程組 ，
解得 ，
∴圓的方程為．
（2）當(dāng)直線與軸垂直時，易知直線的方程為，
此時，符合題意；
當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，
則圓心到直線的距離為，
又，
∴，解得，
則直線的方程為，即，
綜上可知直線的方程為或．
18．在中，角所對的邊分別為，若且.
(1)求的值；
(2)若平分，且交于點(diǎn)，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化簡，可得，利用余弦定理化簡，并把代入即可求得的值；
（2）設(shè),利用，結(jié)合三角形面積公式可求得繼而可求得的值，并進(jìn)一步計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理得：，則，
又，由余弦定理得：
化簡為，
把代入上式，并化簡可得：；
（2）設(shè),
因?yàn)槠椒郑医挥邳c(diǎn)，

則，
即，
又，，
化簡為，
又，所以
則
所以的面積
七、證明題
19．已知四邊形為矩形，，，且平面，點(diǎn)為上的點(diǎn)，且平面，點(diǎn)為中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求與平面所成線面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理及等腰三角形的三線合一定理，再利用三角形的中位線定理及平行的傳遞性，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及線面平行的判定定理；
（2）根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合直線的方向向量和平面的法向量，再利用向量的夾角公式即可求解.
【詳解】（1）取中的，連接、，
因?yàn)槠矫?平面,所以,
因?yàn)?，，所以為中點(diǎn)，
為中點(diǎn),所以,
又因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，四邊形為矩形，所以,
所以四邊形為平行四邊形，
所以,平面,平面，
所以平面.
（2）因?yàn)槠矫?平面,所以,
由（1）知，為中點(diǎn),
因?yàn)槠矫?平面，所以,又因?yàn)?br>所以平面，平面,所以.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示
由題意可知，,
,
設(shè)平面的法向量為，則
,即，令，則，所以，
設(shè)與平面所成線面角為，則
,
所以與平面所成線面角的正弦值為.
20．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知
(1)求，并證明：是等比數(shù)列；
(2)求滿足的所有正整數(shù).
【答案】(1)，證明見解析
(2)1，2
【分析】（1）利用代入計(jì)算即可求得，由等比數(shù)列定義可求得，即可得出證明；
（2）利用數(shù)列分組求和可得出，再利用二次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）由可得，
所以，
可得；
由已知得，
所以，
其中，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以
，
由二次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時，單調(diào)遞減，
其中，
所以滿足的所有正整數(shù)為1，2.
八、問答題
21．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積；
(2)若沒有零點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，進(jìn)而得到切線方程，再分別求出在，軸上的截距, 最后利用直角三角形面積公式求得結(jié)果;
（2）對分和兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)探究出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)最值分析可得答案.
【詳解】（1）當(dāng)時，．
，
故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即．
因?yàn)樵撉芯€在，軸上的截距分別為和，
所以該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的直角三角形的面積．
（2）①當(dāng)時，，則，
由圖象可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故為最小值，且．
所以此時存在零點(diǎn)，不符合題意．
②當(dāng)時，因?yàn)椋?br>所以，
令，則，
因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞增，
又，由零點(diǎn)存在定理得，
在上有唯一的零點(diǎn)，即，因此有．
當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故為最小值．
由，得，，
所以，
因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以?br>所以，此時沒有零點(diǎn)．
綜上，的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求解零點(diǎn)問題的常用方法：
（1）分離參數(shù)法：一般給出零點(diǎn)個數(shù)，求解參數(shù)范圍，通常把參數(shù)分離出來，利用導(dǎo)數(shù)求解新函數(shù)的單調(diào)性，最值；結(jié)合零點(diǎn)個數(shù)，列出不等關(guān)系.
（2）分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性和最值，有時需要二次求導(dǎo).
九、證明題
22．已知橢圓：的長軸長為，且其離心率小于，為橢圓上一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，的面積的最大值為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)為橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線為過點(diǎn)且與平行的直線，設(shè)與直線的交點(diǎn)為.證明：直線過定點(diǎn).
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，將長軸長為，的面積的最大值為，
轉(zhuǎn)化為，可得；
（2）先設(shè)：，聯(lián)立橢圓，得，根據(jù)，可得直線的方程，
進(jìn)而根據(jù)對稱性可得過定點(diǎn).
【詳解】（1）由題意可知：，
因?yàn)?，所以，，?br>故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）
設(shè)，，：.
聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：，
則，所以，
因?yàn)椋瑒t：，
令，解得， 所以，
故直線的方程為：，
根據(jù)對稱性，直線所過的定點(diǎn)在軸上，不妨令，
則
將，代入得
所以，
代入，得，
，
故直線過定點(diǎn).

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福建省廈門外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次階段聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷＋答案：

這是一份福建省廈門外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次階段聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷＋答案，共12頁。

福建省廈門外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次階段聯(lián)考（12月）數(shù)學(xué)試卷（含答案）：

這是一份福建省廈門外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次階段聯(lián)考（12月）數(shù)學(xué)試卷（含答案），共12頁。

福建省廈門市廈門外國語學(xué)校2024屆高三上學(xué)期第二次階段聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（原卷版+含解析）：

這是一份福建省廈門市廈門外國語學(xué)校2024屆高三上學(xué)期第二次階段聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（原卷版+含解析），共29頁。

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