考生注意：
1.滿分150分，芳試時間120分鐘.
2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.
3.本卷命題范圍：高考范圍.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.若，則（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，若，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
4.若，則（ ）
A. B. C. D.
5.已知圓柱和圓錐的底面半徑均為2，且它們的表面積相等，圓柱和圓錐的體積之比為，則圓錐的高為（ ）
A.2 B. C.4 D.
6.已知函數(shù)，在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
7.已知函數(shù)，當時，把的圖象與直線的所有交點的橫坐標依次記為，記它們的和為，則（ ）
A. B. C.20 D.
8.已知的定義域為，且，則（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.為了解某品牌純凈水實際生產(chǎn)容量（單位：）情況，某中學研究小組抽取樣本，得到該品牌純凈水的實際容量的樣本均值為，樣本方差，假設該品牌純凈水的實際容量服從正態(tài)分布，則（ ）
（若隨機變量服從正態(tài)分布，則）
A.
B.
C.
D.
10.“”可以看作數(shù)學上的無窮符號，也可以用來表示數(shù)學上特殊的曲線.如圖所示的曲線過坐標原點上的點到兩定點的距離之積為定值.則下列說法正確的是（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A.若，則的方程為
B.若上的點到兩定點的距離之積為16，則點在上
C.若，點在上，則
D.當時，上第一象限內(nèi)的點滿足的面積為，則
11.設函數(shù)，則（ ）
A.若有三個不同的零點，則
B.存在，使得為曲線的對稱軸
C.存在，使得點為函數(shù)的對稱中心
D.若曲線上有且僅有四點能構成一個正方形，則
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.某中學舉行數(shù)學解題比賽，其中7人的比賽成績分別為：，則這7人成績的上四分位數(shù)與極差之和是__________.
13.若曲線在點處的切線與曲線在處相切，則__________.
14.設雙曲線的左?右焦點分別是.過右焦點作軸的垂線，過雙曲線左支上一點作的垂線，垂足為，若存在點使得，則雙曲線的離心率的取值范圍為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.
（1）若，求的值；
（2）在（1）的條件下，求的面積.
16.（本小題滿分15分）
已知橢圓上有兩點和.
（1）求橢圓的焦距；
（2）試探究是否存在過點，且與橢圓交于不同的兩點，并滿足的直線？若不存在，說明理由；若存在，求出直線的方程.
17.（本小題滿分15分）
如圖，四棱錐中，底面，底面為菱形，分別為的中點.
（1）證明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
18.（本小題滿分17分）
已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若且有2個不同的極值點，求證：.
19.（本小題滿分17分）
拿破侖排兵布陣是十分厲害的，有一次他讓士兵站成一排，解散以后馬上再重新站成一排，并要求這些士兵不能站在自己原來的位置上.
（1）如果只有3個士兵，那么重新站成一排有多少種站法？4個呢？
（2）假設原來有個士兵，解散以后不能站在自己原來位置上的站法為種，寫出和之間的遞推關系，并證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（3）假設讓站好的一排個士兵解散后立即隨機站成一排，記這些士兵都沒有站到原位的概率為，證明：當無窮大時，趨近于.（參考公式：….）.
2024~2025學年安徽省縣中聯(lián)盟高三9月聯(lián)考·數(shù)學
參考答案?提示及評分細則
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
1.C ，所以，故選C.
2.D 設復數(shù)，則.因為，所以，整理得，所以，故選D.
3.A 因為，所以.又因為，所以，故在上的投影向量為-，故選A.
4.A 由得，所以，所以，所以，故選A.
5.D 設圓柱高為，圓錐高為，母線長為，底面半徑均為2，則，.因為，所以①；又因為，所以②.由①②得，故選D.
6.C 當時，單調(diào)遞減，因為在上單調(diào)遞減，分情況討論：當時，，此時，符合題意；當時，需滿足，解得.綜上，，故選C.
7.A ，則或，解得或，所以，故選A.
8.B 令，得，所以.
令，得，所以，所以是偶函數(shù).
令，得①，故②，由①②知，所以，所以，所以的一個周期是6.
由②得，所以，同理，所以，
又由周期性和偶函數(shù)可得：所以，
所以.故選B.
9.AD 因為，所以，
因為，故，故A正確，B錯誤；
，又因為，所以，所以，故C錯誤；
，所以，故D正確.故選AD.
10.ACD 已知原點在上，則，設為上任意一點，則有，整理得.若，則的方程為，故A正確；若，則，將代入方程得，顯然點（不在此曲線上，故B錯誤；若，點在上，有，整理得，所以，故C正確；因為的面積，則，所以點是曲線和以為直徑的圓在第一象限內(nèi)的交點，聯(lián)立方程組解得，所以，故D正確.故選ACD.
11.ACD 因為有三個不同的零點，所以，所以，所以，所以A正確；
對于B，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數(shù)不相等，原等式不可能成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，B錯誤；
對于C，，由得，即是的對稱中心，故時，是的對稱中心，故C正確；
對于D，由，得，
當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以曲線上不存在4個點能構成正方形，所以，因為的圖象關于點對稱，所以此正方形的中心為，
不妨設正方形的4個頂點分別為，其中一條對角線的方程為，則，解得，
所以，同理可得，
由，得，
化簡得
根據(jù)題意可知方程只有一個正解，因為時上式不
成立，所以，
所以，
因為，所以，得，
設，則，令，由題意可知，只需要直線與函數(shù)的圖象只有唯一的公共點即可，結合對勾函數(shù)圖象可知-，得，所以D正確.故選ACD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.125 將7個數(shù)據(jù)從小到大排列為，因為，所以這7人成績的上四分位數(shù)是97.極差為，故上四分位數(shù)與極差之和是.
13. 由題得，所以，所以切線，即.因為，所以，所以.
14. 設，則，設，由題意得，，則，
兩邊平方得，整理得，
又，所以，變形得到
，
即上式在上有解，其中，
令，則，
要想使得在上有解，只需要的圖象開口向上，即，即，所以，解得，故離心率的取值范圍是.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.
15.解：（1）由正弦定理可得，
又，則.
又因為，所以，
由余弦定理得，
解得.
（2）由及，得.
因為，所以，
所以.
16.解：（1）由題意得，解得，
所以，所以橢圓的焦距為6.
（2）假設存在該直線，分情況討論：
當直線的斜率不存在時，顯然不成立；
當直線的斜率存在時，設直線聯(lián)立得
令，得.
所以，
取的中點，則，
若，則，即，
所以，解得的值不存在.
綜上，不存在滿足題意的直線.
17.（1）證明：連接交于點，
因為平面，而平面，所以.
因為底面為菱形，所以.
因為平面，所以平面.
因為分別為的中點，所以，所以平面.
（2）解：取的中點，連接，由題得，所以平面，以為
坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系.
因為底面為菱形，，所以
，則.
所以.
設平面的法向量，則，令
，得，則.
設平面的法向量，則，令，
得，則.
設二面角的大小為，所以.
所以，即二面角的正弦值為.
18.解：（1）的定義域為，
由題可得，
設，則在上單調(diào)遞增，且，
若，則時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；
若，則時，單調(diào)遞減，或時，單調(diào)遞增；
若，則在上單調(diào)遞增；
若，則時，單調(diào)遞減，或時，單調(diào)遞增.
綜上，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由（1）知時，恒有2個極值點，令，則，
所以，
設，則
設，則
在上單調(diào)遞減，，
所以在上單調(diào)遞減，
又，
所以存在，使得，即，
當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，
所以
，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
所以.
19.（1）解：當有3個士兵時，重新站成一排有2種站法；
當有4個士兵時，假設先安排甲，有3種站法，比如甲站到乙的位置，那就再安排乙，也有3種站法，剩下的兩個人都只有1種站法，由乘法原理可得有種站法.
（2）解：易知.
如果有個人，解散后都不站原來的位置可以分兩個步驟：
第一步：先讓其中一個士兵甲去選位置，有種選法；
第二步：重排其余個人，根據(jù)第一步，可以分為兩類：
第一類：若甲站到乙的位置上，但乙沒有站到甲的位置，這樣的站法有種；
第二類：若甲站到乙的位置上，乙同時站到甲的位置，這樣的站法有種.
所以，又，
所以.
所以數(shù)列是首項為1，公比為-1的等比數(shù)列.
（3）證明：由題意可知，
由（2）可得：.
所以
以上各式相加，可得：
所以.
所以，
當無窮大時，.題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
A
D
C
A
B
題號
9
10
11
答案
AD
ACD
ACD

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