考生注意：
1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．
2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．
3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米，黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．
4．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊，必修第二冊，選擇性必修第一冊第一章、選擇性必修第二冊．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知全集，集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用對數(shù)函數(shù)的定義域求解集合B，再利用補集運算和交集運算求解即可.
【詳解】因為，所以，
又，所以.
故選：C
2. 已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】先利用復(fù)數(shù)模的運算及除法運算化簡計算復(fù)數(shù)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.
【詳解】因為，
所以，
所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第二象限.
故選：B
3. 已知圓臺上、下底面的半徑分別為1，3，其表面積為，則該圓臺的體積為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用圓臺的表面積公式求得母線長，進而求得圓臺的高，從而利用圓臺的體積公式即可得解.
【詳解】設(shè)圓臺的母線長為．高為．
所以，解得，
所以．
所以該圓臺的體積．
故選：D．
4. 已知是兩個單位向量，若在上的投影向量為，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用投影向量公式，結(jié)合數(shù)量積公式，即可求解.
【詳解】因為在上的投影向量為，所以，所以，所以．
故選：A．
5. 已知直線是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，則下列命題為真命題的是（）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)面面平行、垂直的判定與性質(zhì)對選項一一驗證即可
【詳解】對于A：若．則或，故A錯誤；
對于B：由，則設(shè)，當(dāng)時，也是符合條件的，故B錯誤；
對于C：在長方體中，如圖所示：
滿足，此時與相交，故C錯誤；
對于D：若，則，故D正確．
故選：D．
6. 在數(shù)列中，，且，則數(shù)列的前15項和為（）
A. 84B. 102C. 120D. 138
【答案】C
【解析】
【分析】先利用等差中項判斷數(shù)列為等差數(shù)列，然后利用通項公式基本量的運算求出通項，利用求和公式求出和，然后分組求和即可求解.
【詳解】因為，所以是等差數(shù)列，
又，所以等差數(shù)列的公差，
所以，所以單調(diào)遞減，且，
所以的前項和，
所以數(shù)列的前15項和為
.
故選：C
7. 17世紀(jì)，在研究天文學(xué)的過程中，為了簡化大數(shù)運算，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對數(shù)，對數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法運算，數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱贊“對數(shù)的發(fā)明在實效上等于把天文學(xué)家的壽命延長了許多倍”．已知，設(shè)，則所在的區(qū)間為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可.
【詳解】因為．所以
，
所以．
故選：D．
8. 在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得，再利用余弦定理可得，繼而利用輔助角公式化簡，可得答案.
【詳解】因為，由正弦定理得，
所以，即，
所以．由正弦定理得．
由余弦定理得．
所以．其中，
所以的最大值為，此時，即，
故選：C．
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用正、余弦定理并結(jié)合輔助角公式得，最后求得其最值.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 已知事件滿足，則下列說法正確的是（）
A. 若，則
B. 若與互斥，則
C. 若，則與相互獨立
D. 若與相互獨立，則
【答案】BC
【解析】
【分析】由互斥事件、對立事件以及相互獨立事件的概率公式逐項判斷即可.
【詳解】因為．所以．故A錯誤；
若與互斥．則，故B正確；
因為．所以與相互獨立．故C正確：
因為與相互獨立．所以．
所以，故D錯誤．
故選：BC．
10. 已知，則下列說法正確的是（）
A. 的最大值為B. 的最小值為
C. 的最小值為20D. 的最小值為
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)已知結(jié)合二次函數(shù)的最值與基本不等式對選項一一驗證即可.
【詳解】因為，
所以，則，
所以．
又因為所以．故A錯誤；
．
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故B正確；
，
當(dāng)且僅當(dāng)．即時等號成立．
所以的最小值為16．故C錯誤；
，
當(dāng)且僅當(dāng)．即時等號成立．故的最小值為，故D正確．
故選：BD．
11. 如圖，在棱長為1的正方體中，是的中點，點是側(cè)面上的一點，則下列說法正確的是（）
A. 若點是線段的中點，則
B. 的周長的最小值為
C. 若，則點到平面的距離為
D. 若平面，則線段長度的取值范圍是
【答案】ABD
【解析】
【分析】A選項由空間向量的線性運算可得；記點關(guān)于平面的對稱點為，所以的周長最小值為，則B選項可求；建立空間直角坐標(biāo)系，利用點到面的距離公式可求C；設(shè)是的中點，是的中點，確定點的軌跡為線段，則可求D.
【詳解】若點是線段的中點．則，故A正確；
記點關(guān)于平面的對稱點為，所以的周長，故B正確；
以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．如圖所示．所以，．所以，，所以．設(shè)平面的一個法向量為．所以令．解得，所以平面的一個法向量．所以點到平面的距離，故C錯誤；
取的中點為．取的中點為．取的中點為．
如圖所示．
因為是的中點，是的中點，所以．
因為平面平面．所以平面，
同理可得平面．
又平面，所以平面平面．
又平面．所以點的軌跡為線段．
由，得，，，，
所以．即為直角．
所以線段長度的取值范圍是．故D正確．
故選：ABD．
12. 已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（）
A. 函數(shù)的極值點為1
B.
C. 若分別是曲線和上的動點.則的最小值為
D. 若對任意的恒成立，則的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出極值點；對于B，設(shè)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可求解；對于C，利用曲線與曲線互為反函數(shù)，可先求點到的最小距離，然后再求的最小值；對于D，利用同構(gòu)把恒成立問題轉(zhuǎn)化為，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值即可.
【詳解】．所以，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的極值點為1，故A正確；
設(shè)，則，
由單調(diào)性的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增．
又，則存在．使得，
即，，所以當(dāng)時．，當(dāng)時．．
所以在上單調(diào)遞減．在上單調(diào)遞增.
所以，又，則，
所以，故B錯誤；
因為函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于對稱，
設(shè)點到的最小距離為，設(shè)函數(shù)上斜率為的切線為，
，由得，所以切點坐標(biāo)為，即，所以，
所以的最小值為，故C正確；
若對任意的恒成立，
則對任意的恒成立，
令，則．所以在上單調(diào)遞增，則，
即，令，所以，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，
所以，所以，即的最小值為，故D正確.
故選：ACD
【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.
三、填空題：本題共4小題、每小題5分，共20分．
13. 一組數(shù)據(jù)24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位數(shù)是____________．
【答案】50
【解析】
【分析】由百分位數(shù)的概念求解即可.
【詳解】先按照從小到大排序：15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78．
共12個數(shù)據(jù)，，第9，10個數(shù)據(jù)分別為47，53，則第75百分位數(shù)為．
故答案為：50
14. 已知空間向量，若共面，則____________．
【答案】6
【解析】
【分析】根據(jù)向量共面列方程，化簡求得的值.
【詳解】若共面，則存在實數(shù)，使得，
即．
所以，解得．所以．
故答案為：
15. 已知函數(shù)，則不等式的解集為____________．
【答案】
【解析】
【分析】令，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出的單調(diào)性.進而判斷的奇偶性.將不等式變形可得，即.結(jié)合的性質(zhì)即可得出不等式，求解不等式，即可得出答案.
【詳解】令，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且恒成立，
所以在上單調(diào)遞減.
又，
所以是奇函數(shù)．
由，可得，
所以.
又在上單調(diào)遞減，
所以．
整理可得，，解得，
所以不等式的解集為．
故答案為：.
16. 在三棱錐中，，且三棱錐的外接球的表面積為，記的面積分別為，則的最大值為____________．
【答案】32
【解析】
【分析】根據(jù)球表面積公式得出外接球的半徑，設(shè)，由已知結(jié)合外接球的長方體模型可得外接球，即可得出，在結(jié)合三角形面積公式與基本不等式得出，即可代入值得出答案.
【詳解】設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，
所以，解得．
設(shè)，
因為,
所以由長方體模型可知，即．
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
所以的最大值為32．
故答案為：32.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）首先化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的的性質(zhì)，代入公式，即可求解；
（2）由（1）的結(jié)果可得，再根據(jù)角的變換，利用兩角和的正弦公式，即可求解.
【小問1詳解】
由題意知
．
故函數(shù)的最小正周期．
令．解得．
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，
【小問2詳解】
因為．
又．所以，
所以，
所以
．
18. 如圖，在直三棱柱中，分別為線段，的中點．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點，證明四邊形為平行四邊形，即得，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.
【小問1詳解】
證明：取中點，連接，如圖所示．
在中，為中點,為中點，所以且，
在直三棱柱中，且．
因為為中點，所以且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面平而，所以平面．
【小問2詳解】
在直三棱柱中，平而，
又平面，所以,且,
以為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示,不妨設(shè)，所以，
所以,設(shè)平面一個法向量為．
所以,
令,解得,所以平面的一個法向量．
又平面的一個法向量可取為，
設(shè)平面與平面的夾角為,
所以，
即平面與平面夾角的余弦值為．
19. 在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．
（1）求角的大??；
（2）若，點是線段上的一點，，求的周長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理與余弦定理求解即可；
（2）由三角形的面積公式與余弦定理求解可得答案.
【小問1詳解】
因為．由正弦定理得．即．
由余弦定理得．
又．所以．
【小問2詳解】
因為．所以，又，
所以，即．
在中，由余弦定理得，
所以．
解得或（舍）．
所以的周長．
20. 已知數(shù)列滿足.
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列通項公式，注意驗證首項是否成立；
（2）先利用裂項相消法求，再利用數(shù)列的單調(diào)性證明即可.
【小問1詳解】
因為數(shù)列滿足．
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，所以,所以.
當(dāng)時，，上式也成立.所以.
【小問2詳解】
由（1）知，
所以
.
令，
所以
，
又，所以.
所以是遞增數(shù)列，所以，
所以.
21. 如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，二面角的大小為，點是棱上的一點．
（1）求證：平面平面；
（2）若直線與平面所成角正弦值為，求的值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)，由線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；
（2）以為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為軸，軸，過點且垂直于平面的直線為軸．建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，設(shè)，可得，利用線面角的向量求法求出得可得答案.
【小問1詳解】
設(shè)，連接，
在菱形中，為中點，且，因為，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
【小問2詳解】
以為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為軸，軸，
過點且垂直于平面的直線為軸．建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
因為，所以為二面角的平面角．所以．
因為四邊形是菱形，，所以，
所以，
所以，
設(shè)平面的一個法向量為，所以，
令，解得，
所以平面的一個法向量，
設(shè)，
所以，
設(shè)直線與平面所成角的大小為，
所以，
解得或（舍）．
所以，所以．
22. 已知函數(shù)，
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)與的圖象恰有一個交點，求的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）直接求導(dǎo)，討論和，求出對應(yīng)單調(diào)區(qū)間即可；
（2）將題設(shè)轉(zhuǎn)化為有一個零點，由知函數(shù)除0之外無其他零點，分，，和依次討論函數(shù)的零點情況，即可求解.
【小問1詳解】
易得的定義域為，
令，
若，即時，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
若，即時，
當(dāng)，即時，，
所以，所以在上單調(diào)遂增；
當(dāng)，即時，令，解得或，
所以當(dāng)或時，，即；
當(dāng)時，，即，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
令，
函數(shù)與的圖象恰有一個交點，等價于恰有一個零點，
又，即函數(shù)除0之外無其他零點，，
令，所以，
當(dāng)時，，則，
所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，
若，當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，則，
所以恰有一個零點，符合題意；
若，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞城，即在上單調(diào)遞減，
又，
則存在，使得，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
令，
所以，
所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，
所以，
所以，
所以在上至少存在1個零點，不合題意；
若，當(dāng)時，由上知在上單調(diào)遞減，
所以，
則在單調(diào)遞增，即，
當(dāng)時，令，則，
即在上單調(diào)遞減，所以，即，
令，則，
即在上單調(diào)遞減，，即，
則，即恰有一個零點，符合題意；
若，當(dāng)時，由上知在上單調(diào)遞減，
又，，
則存在，使得，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時，，
所以當(dāng)且時，，
所以在存在1個零點，不合題意，
綜上，的取值范圍是，
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第2小題的解決關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)有一個零點，，所以可得函數(shù)除0之外無其他零點，從而得解.

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