一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先解一元二次不等式求集合A，再利用交集的概念計(jì)算即可.
【詳解】由即，，所以．
故選：D
2．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知：．
故選：B
3．已知單位向量滿(mǎn)足，則（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)關(guān)系計(jì)算即可.
【詳解】易知，．
故選：C
4．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到與的線性回歸方程為，則表中的值為（ ）
A．B．20C．D．25
【答案】B
【分析】先求出樣本中心點(diǎn)，然后代入回歸方程計(jì)算即可.
【詳解】由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算可得，，
因?yàn)榛貧w直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，
所以有，
解得．
故選：B.
5．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系結(jié)合二倍角公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>可得，
所以．
故選：D
6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，且到的距離與到的對(duì)稱(chēng)軸的距離之差為2，則（ ）
A．B．1C．2或4D．4或36
【答案】D
【分析】利用拋物線定義結(jié)合已知計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)槭巧弦稽c(diǎn)，
所以，所以，
由拋物線的定義可得到的距離為，
點(diǎn)到的對(duì)稱(chēng)軸的距離為，
則，解得或.
故選：D.
7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若恒成立，則的最小值是（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】B
【分析】錯(cuò)位相減法求出，然后得出，即可得出答案.
【詳解】，，
兩式相減可得
，
所以，
因?yàn)椋?，即恒成立，?
故選：B.
8．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾，簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿(mǎn)足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，那么我們稱(chēng)該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)函數(shù)，.若在區(qū)間上存在不動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由題意可得，在上有解，即有解，然后換元構(gòu)造函數(shù)即可.
【詳解】由題意可得，在上有解，
即有解，
令，，則，
令函數(shù)，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
，所以為偶函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞減.
，，
故，，
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為有解問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求出其值域，則得到關(guān)于的不等式，解出即可.
二、多選題
9．根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速如圖所示，則（ ）
A．我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速最高為
B．我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的中位數(shù)為
C．我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總?同比增速的分位數(shù)為
D．我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的平均值為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)圖形中給定數(shù)據(jù)從小到大排列，結(jié)合中位數(shù)，百分位數(shù)，平均數(shù)的定義計(jì)算即可.
【詳解】我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速?gòu)男〉酱笠来螢?br>2.5%，3.1%，4.6%，5.5%，7.6%，10.6%，12.7%，18.4%.
我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速最高為18.4%，A正確.
我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的中位數(shù)為，B正確.
，我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的分位數(shù)為，C錯(cuò)誤.
我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的平均值為，D正確.
故選：ABD
10．已知圓，圓，則（ ）
A．直線與直線垂直
B．與沒(méi)有公共點(diǎn)
C．與的位置關(guān)系為外離
D．若分別為圓與圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為
【答案】BD
【分析】求出兩圓的圓心及半徑，求出即可判斷A；求出圓心距即可判斷BC；根據(jù)的最大值為即可判斷D.
【詳解】由題意可知圓，則圓心，半徑，
圓，則圓心，半徑，
則，與直線不垂直，故A不正確；
因?yàn)椋?br>所以與的位置關(guān)系為內(nèi)含，故B正確，C不正確；
對(duì)于D，的最大值為，故D正確.
故選：BD.
11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（ ）
A．B．
C．為奇函數(shù)D．沒(méi)有極值點(diǎn)
【答案】AC
【分析】選項(xiàng)A：賦值法求解判斷；選項(xiàng)B: 的值不確定；選項(xiàng)C：通過(guò)賦值解得，然后賦值，判斷函數(shù)奇偶性；選項(xiàng)D：根據(jù)抽象函數(shù)結(jié)構(gòu)利用對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)驗(yàn)證極值點(diǎn)；
【詳解】令，得，A正確；
令，得，
故的值不確定，B錯(cuò)誤；
令，得，
令，得，則為奇函數(shù)，C正確；
由，可得，
根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)舉例，當(dāng)時(shí)，可設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)有極值點(diǎn)，D錯(cuò)誤；
故選：AC.
12．如圖，在一個(gè)有蓋的圓錐容器內(nèi)放入兩個(gè)球體，已知該圓錐容器的底面圓直徑和母線長(zhǎng)都是，則（ ）
A．這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為
B．這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為
C．這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為
D．這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為
【答案】BC
【分析】根據(jù)題意作出截面圖，通過(guò)幾何關(guān)系結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 從而研究?jī)蓚€(gè)球體的半徑的最值，然后將兩個(gè)球體的表面積之和表示成，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求得最大值；
【詳解】當(dāng)這兩個(gè)球體的表面積之和取最大值時(shí)，有一個(gè)球體和圓錐的底面相切，過(guò)底面圓的直徑作截面，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
過(guò)點(diǎn)作，垂足為.
設(shè)圓的半徑為，圓的半徑為r，的最大值為，且取最大值時(shí)，，
所以，，，，.
因?yàn)椋?br>所以①，
整理得，解得.
令函數(shù)，，.令函數(shù)，，所以是增函數(shù).
又因?yàn)椋?，所以，?br>所以，，，，
即，，，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，所以，即這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為.
由①可得，
這兩個(gè)球體的表面積之和為.
令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為.
故選：BC.
三、填空題
13．若雙曲線的一條漸近線的斜率大于1，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】求出漸近線方程，得到不等式，求出答案.
【詳解】由題意得，漸近線方程為，故，解得.
故答案為：
14．如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為 .
【答案】
【分析】取的中點(diǎn)，連接，，.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，此時(shí)異面直線與所成角即為直線與所成角，根據(jù)余弦定理即可求出答案.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.
又，，三棱柱為直三棱柱，所以，，，
，
故異面直線與所成角的余弦值為.
故答案為：.
15．已知函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且在上單調(diào)，則的最大值為 .
【答案】
【分析】先根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可求出的一個(gè)范圍，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)，可得，再求出的一個(gè)范圍，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
所以，，解得，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，
即，解得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
故的最大值為.
故答案為：.
16．已知函數(shù)，若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，且其4個(gè)零點(diǎn)，，，成等差數(shù)列，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意得出，判斷其為偶函數(shù)，作出圖像，得出，，，的關(guān)系，即可求解.
【詳解】，
因?yàn)椋?br>所以是偶函數(shù)，如圖，
所以，，
又成等差數(shù)列，所以，則，
因?yàn)椋?，所以?
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)奇偶性得，，再利用等差數(shù)列性質(zhì)得到，最后代入計(jì)算即可.
四、解答題
17．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求解.
（2）由第一問(wèn)知，再運(yùn)用正弦定理求得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?
因?yàn)?，所以，解?
（2）由（1）可得.因?yàn)椋?，解?
18．已知數(shù)列滿(mǎn)足，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）累加法計(jì)算通項(xiàng)公式即可；
（2）利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，，，，
累加得，
因?yàn)?，所以，故?br>（2），
．
19．已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求在上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值為，最小值為
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后求出切線的斜率，即可求解；
（2）利用（1）中求出的導(dǎo)數(shù)，分別討論函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，從而求出最值.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
則，，
故曲線在點(diǎn)處的切線方程為
（2）因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以當(dāng)，為在區(qū)間的極大值且為最大值，
又，，，
所以在上的最大值為，最小值為.
20．如圖，在五面體中，四邊形為矩形，平面平面，且，正三角形的邊長(zhǎng)為2.
(1)證明：平面.
(2)若，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2).
【分析】（1）先通過(guò)線面平行的判定定理證明平面，然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證明，再結(jié)合線面平行的判定定理完成證明；
（2）建立合適空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦值求解出的值.
【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦危裕?br>又平面平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，所以?br>又平面平面，
所以平面.
（2）分別取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槠矫嫫矫鏋檎切危?br>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則，
設(shè)平面的法向量為，
則由得，
令，得，
因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，
所以，
解得或（舍去），
故.
21．圓稱(chēng)為橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓：的離心率為，的蒙日?qǐng)A方程為.
(1)求的方程；
(2)若為的左焦點(diǎn)，過(guò)上的一點(diǎn)作的切線，與的蒙日?qǐng)A交于，兩點(diǎn)，過(guò)作直線與交于，兩點(diǎn)，且，證明：是定值.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）依題意，利用待定系數(shù)法即可得解；
（2）分類(lèi)討論，的斜率取值情況，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式求得，從而得證.
【詳解】（1）依題意，得，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）當(dāng)，的斜率等于0時(shí)，，，
所以；
當(dāng)，的斜率不等于0時(shí)，設(shè)：，則：，
由，得，
令，得.
設(shè)到的距離為，則，
得，
由，得，
易知，設(shè)，，則，
則，
故.
綜上，是定值.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
22．（1）證明：當(dāng)時(shí)，．
（2）已知函數(shù)，試討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析
【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)及二次方程的根確定函數(shù)的單調(diào)性，再含參討論函數(shù)的最值，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理及第一問(wèn)的結(jié)論確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
【詳解】（1）證明：令函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
所以，即．
令函數(shù)，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，即．
綜上，當(dāng)時(shí)，．
（2）解：的定義域?yàn)椋遥?br>令函數(shù)，解得，．
所以，即．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
．
令函數(shù)，．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值．
①因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)．
②因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)，即時(shí)，．
．
令函數(shù)，，．
根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得，，，，，
即，，，，
所以當(dāng)，即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)．
綜上，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題難點(diǎn)在于第二問(wèn)，首先利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而得出，
構(gòu)造函數(shù)確定函數(shù)的最小值范圍，再含參討論函數(shù)的最值，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理及第一問(wèn)的結(jié)論確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
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