一、選擇題
1．命題"，"的否定是( )
A.，B.，
C.，D.，
2．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
3．已知平面，直線l，m，且，，則""是""的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則( )
A.B.C.或D.或
5．已知向量，且向量a與b的夾角為，則的最小值為( )
A.1B.C.2D.4
6．已知兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，且，則( )
A.B.C.D.
7．如圖，在扇形中，半徑，弧長為，點(diǎn)P是弧上的動點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是半徑，上的動點(diǎn)，則周長的最小值是( )
A.B.4C.D.
8．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足:，，且當(dāng)時(shí)，，若，，，則( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．某超市隨機(jī)抽取了當(dāng)天100名顧客的消費(fèi)金額作為樣本，并分組如下:，，，…，(單位:元)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是( )
A.若該超市當(dāng)天總共有600名顧客，則消費(fèi)金額在(單位:元)內(nèi)的顧客約有180人
B.若每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值為代表，則樣本中消費(fèi)金額的平均數(shù)是145元
C.若用樣本估計(jì)總體，則該超市當(dāng)天消費(fèi)金額的中位數(shù)是100.8元
D.現(xiàn)從樣本的第1，2組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，則抽到的2人的消費(fèi)金額都不少于50元的概率是
10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則( )
A.
B.
C.函數(shù)的圖象與直線的相鄰兩交點(diǎn)間的距離為
D.
11．某興趣小組制作了一個(gè)直三棱柱容器(容器壁厚度忽略不計(jì))，其中，，，則下列說法正確的是( )
A.若四棱錐的體積為，則
B.若三棱柱的外接球的表面積為，則三棱柱的側(cè)面積為30
C.若，棱長為a的正方體能被整體放入此容器且可自由轉(zhuǎn)動，則a的最大值為
D.若，點(diǎn)P在四邊形內(nèi)(含邊界)，且，則點(diǎn)P的軌跡長度為
三、填空題
12．已知，則________.
13．已知隨機(jī)變量，且正數(shù)a，b滿足，則的最小值為________.
14．已知實(shí)軸長為4的雙曲線的漸近線為，，分別為C的上、下焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與C的上、下兩支分別交于點(diǎn)M，N，且，則直線l的斜率為________.
四、解答題
15．如圖1，在矩形中，，，將沿著翻折到的位置，得到三棱錐，且平面，如圖2所示.
(1)求證:平面平面
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
16．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量，，.
(1)求A的大??；
(2)D是邊上一點(diǎn)且平分，若，的面積是，求的周長.
17．已知函數(shù)與分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且.
(1)求函數(shù)與的解析式
(2)若對于，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
18．已知數(shù)列滿足，且，.
(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，證明:數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.
19．法國著名數(shù)學(xué)家拉格朗日給出一個(gè)結(jié)論:若函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，在開區(qū)間上都有導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)t，使得，這就是拉格朗日中值定理，其中t稱為在區(qū)間上的"拉格朗日中值".已知函數(shù)，，.
(1)利用拉格朗日中值定理求函數(shù)在上的"拉格朗日中值"；
(2)利用拉格朗日中值定理證明：函數(shù)上任意兩點(diǎn)連線的斜率不小于；
(3)針對函數(shù)，請證明拉格朗日中值定理成立.
參考答案
1．答案：D
解析：命題"，"的否定是"，".故選D.
2．答案：A
解析：集合，集合，所以.故選A.
3．答案：A
解析：由題意知，，若，則，所以充分性成立；若，則m與l可能平行，也可能異面，所以必要性不成立.所以""是""的充分不必要條件.故選A.
4．答案：C
解析：由三角函數(shù)的定義，得，所以，
所以或.
故選C.
5．答案：C
解析：方法一:，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值4，所以的最小值為2.故選C.
方法二:設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí).故選C.
6．答案：B
解析：因?yàn)?，，都是等差?shù)列，
所以可設(shè)，，其中0，
所以
，
所以，，所以.故選B.
7．答案：D
解析：如圖，連接，作點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，
連接交于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N，連接，，
則，，，
此時(shí)的周長取得最小值，其最小值為線段的長度，
因?yàn)樯刃蔚幕￠L為，半徑，所以，
根據(jù)對稱的性質(zhì)，可得，在中，由余弦定理，
得
，所以，
即周長的最小值是.故選D.
8．答案：B
解析：任取且，則，
因?yàn)椋?，即?br>所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即，
所以，故.
令，則，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，即在上單調(diào)遞增，
所以，即，所以，
故，所以.
因?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，所以.故選B.
9．答案：BD
解析：由題意，得，解得.對于A，若該超市當(dāng)天總共有600名顧客，則消費(fèi)金額在（單位：元）
內(nèi)的顧客約有（人），故A錯(cuò)誤；
對于B，每組數(shù)據(jù)的頻率依次為0.1，0.2，0.25，0.2，0.15，0.1，若每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值為代表，則樣本中消費(fèi)金額的平均數(shù)是
(元)，故B正確；
因?yàn)?，，所以中位?shù)在第3組，設(shè)該超市當(dāng)天消費(fèi)金額的中位數(shù)是x元，則，解得(元)，故C錯(cuò)誤；
現(xiàn)從樣本的第1，2組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取6人，則第1，2組分別抽取(人)，(人)，再從
這6人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，所以抽到的2人的消費(fèi)金額都不少于50元的概率是，故D正確.故選BD.
10．答案：ABD
解析：由圖可知，最小正周期，即，又，所以，函數(shù)圖象過點(diǎn)，將點(diǎn)代人中，得，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，故A正確；
，令，得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，故B正確；
令，得，所以或，
所以或，所以函數(shù)的圖象與直線的相鄰兩交點(diǎn)間的距離為或，故C錯(cuò)誤；
令，得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，故D正確.
故選ABD.
11．答案：ABD
解析：由余弦定理，得，因?yàn)?，所?
對于A，設(shè)三棱柱的體積為V，則三棱錐的體積為，四棱錐的體積為，解得，又，由直三棱柱知平面，所以，解得，故A正確；
對于B，設(shè)外接圓的直徑為d，則，設(shè)三棱柱的外接球的半徑為R，因?yàn)楸砻娣e為，所以，即，因?yàn)?，所以，解得，所以三棱柱的?cè)面積為，故B正確；
對于C，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則，所以，又，則三棱柱內(nèi)可容納的最大球的半徑為，若棱長為a的正方體能被整體放入此容器且可自由轉(zhuǎn)動，則棱長最大的正方體恰好是直徑為的球的內(nèi)接正方體，所以，解得，所以a的最大值為1，故C錯(cuò)誤；
在平面內(nèi)，過A作，垂足為H，由，得H在的延長線上，且，，由直三棱柱知平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因此，因?yàn)?，所以點(diǎn)P的軌跡是以H為圓心，3為半徑的圓在四邊形內(nèi)(含邊界)的圓弧如圖所示，在中，，所以，弧的長度為，即點(diǎn)P的軌跡長度為，故D正確.
故選ABD.
12．答案：1
解析：因?yàn)椋?br>所以，所以.
13．答案：9
解析：因?yàn)殡S機(jī)變量，且正數(shù)a，b滿足，
所以，即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.
14．答案：或
解析：方法一:因?yàn)閷?shí)軸長為4的雙曲線的漸近線為，所以，，解得，，，
因此，，設(shè)，，的中點(diǎn)為，
由，得，且直線l不與y軸重合，即，
因此，即，
所以①，
因?yàn)辄c(diǎn)M，N在雙曲線C上，所以，
兩式相減，得，即，
又，所以，即②，
聯(lián)立①②消去，得，解得(舍)或，
所以，由，得，
所以直線l的斜率為或.
方法二:因?yàn)閷?shí)軸長為4的雙曲線的漸近線為，所以，，解得，，，
設(shè)，由M，N分別在雙曲線C的上、下兩支上，
得，，
，，
由，得，
解得，所以，，
又直線l的傾斜角為，所以或，
即直線l的斜率為或.
15．答案：(1)證明見解析；
(2)
解析：(1)證明:因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又，，平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以平面平?
(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為x軸，y軸，過點(diǎn)A且垂直于平面的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由(1)知軸在平面內(nèi).
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又，，所以，所以，
又，，，
所以，，.
設(shè)平面的法向量是，則即
令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
即直線與平面所成角的正弦值是.
16．答案：(1)；
(2)
解析：(1)因?yàn)?，所以?br>由正弦定理，得，所以，
由余弦定理，得，
因?yàn)?，所?
(2)因?yàn)榈拿娣e是，所以，
即，所以.
因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以，
因?yàn)?，所以?br>即，所以.
由余弦定理，得，
所以，所以，即的周長為.
17．答案：(1)，；
(2)
解析：(1)由題意可知，，①
，②
①-②，得，所以，
①+②，得，所以.
(2)若，恒成立，
則恒成立，
因?yàn)楹瘮?shù)在R上是奇函數(shù)，所以，
即對恒成立.
因?yàn)椋院瘮?shù)在R上是增函數(shù)，
所以對恒成立，
當(dāng)時(shí)，，，所以成立.
當(dāng)時(shí)，，所以對恒成立.
令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，，
所以，在上單調(diào)遞減，故.
所以，在上單調(diào)遞增，故.
所以由對恒成立，得，
綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
18．答案：(1)證明見解析；
(2)；
(3)證明見解析
解析：(1)證明:因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?，所以，所以?br>所以數(shù)列是以9為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.
(2)由(1)，得，所以，又，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，即.
(3)證明:，
所以
，所以.
假設(shè)數(shù)列中存在不同的三項(xiàng)，，(且s，t，r互不相同)
成等差數(shù)列，所以，即，
不妨設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞減，
所以，所以.
在兩邊同時(shí)乘以，得，即，
因?yàn)?，所以，都?的倍數(shù)，即是3的倍數(shù)，但1不是3的倍數(shù)，所以不成立，即假設(shè)錯(cuò)誤.
所以數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.
19．答案：(1)；
(2)；
(3)證明見解析
解析：(1)，，，
由拉格朗日中值定理，得在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)t，
使得，即，
解得或.因?yàn)?，所以?br>所以函數(shù)在上的"拉格朗日中值"為.
(2)證明:由，得.
在的圖象上任取兩點(diǎn)，，，
根據(jù)拉格朗日中值定理，得存在，使得.
因?yàn)?br>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)兩個(gè)等號同時(shí)成立，
所以的最小值是，
所以，即函數(shù)上任意兩點(diǎn)連線的斜率不小于.
(3)證明:設(shè)，，要證:拉格朗日中值定理成立，即證:對于任意常數(shù)m，在區(qū)間上有零點(diǎn).
，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故函數(shù)在區(qū)間上至多有1個(gè)零點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
所以在處取到極小值，也是最小值，
即時(shí)，.由，得，
所以，又，即，
所以.
由，得，所以，即，
又，即，所以，
由函數(shù)的零點(diǎn)存在定理知在區(qū)間上有零點(diǎn)，即針對函數(shù)，拉格朗日中值定理成立.

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