一、單選題
1．已知點，點，則線段的垂直平分線的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求出線段的中點與，從而得到，再由點斜式求出直線方程.
【詳解】因為點，點，
所以線段的中點為，且，
所以，則線段的垂直平分線的方程為，
即.
故選：A
2．已知，若共面，則實數(shù)的值為（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【分析】用向量，表示向量，利用共面向量定理構造方程組，求解方程組即得結果.
【詳解】顯然向量與不平行，而，，共面，
則存在實數(shù)，使，即，
于是，解得，所以實數(shù)的值為5.
故選：B
3．方程表示一個圓，則m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】化簡方程為，根據(jù)圓的標準方程，得到不等式，即可求解.
【詳解】由方程，可化為，
要使得方程表示一個圓，則滿足，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
4．已知點，，，若A是直線：和：的公共點，則直線BC的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)條件說明點與均滿足方程，即可得答案.
【詳解】由點在：上可知，，
同理由點在：上可知，
故點與均滿足方程，
由于兩點確定一條直線，因此直線BC的方程為，
故選：B
5．設直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分和兩種情況討論，結合斜率和傾斜角的關系分析求解.
【詳解】當時，方程為，傾斜角為
當時，直線的斜率，
因為，則，
所以；
綜上所述：線的傾斜角的范圍是.
故選：C．
6．我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將底面為矩形且一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬，如圖，四棱錐為陽馬，平面ABCD，且，若，則（ ）

A．3B．C．D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)向量線性運算，以為基地表示出，從而確定的值即可.
【詳解】，
，
，
.
故選：B
7．法國數(shù)學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與交于，兩點，直線交于，兩點，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】選取兩條特殊的互相垂直的切線，得到其交點，代入圓方程得到，利用離心率公式即可得到答案.
【詳解】依題意，取特殊直線和直線，顯然這兩條直線與橢圓都相切，且這兩條直線互相垂直，
因其交點在圓上，∴，得，
∴橢圓的離心率，
故選：D.
8．若點在圓上，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設，故在直線上，又點在圓上，則直線與圓有公共點，圓心到直線距離小于等于半徑，解不等式即可.
【詳解】圓化成標準方程為，圓心，半徑為4；
設，故在直線上，又點在圓上，
則圓心到直線的距離，
即，故，解得，
則的取值范圍為.
故選：B.
二、多選題
9．已知雙曲線E：的左右焦點分別為、，點P在雙曲線E上，=10，則為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)雙曲線定義直接計算可得.
【詳解】由雙曲線定義可知，即，
所以或.
故選：AD
10．下列說法正確的是（ ）
A．過兩點的直線方程為
B．直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是
C．點關于直線的對稱點為
D．直線必過定點
【答案】BD
【分析】對于A,根據(jù)兩點式直線方程的使用條件判斷即可;對于B,求出直線分別在軸和軸上的截距,再用三角形面積公式求解即可;對于C,設點關于直線的對稱點為,列方程組求解即可;對于D,將直線可轉化為即可進行判斷.
【詳解】對于A,當或時,不存在選項中的兩點式直線方程,故A錯誤;
對于B,直線在軸上的截距為,在軸上的截距為,所以直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是,故B正確;
對于C,設點關于直線的對稱點為,
則,解得,
即點關于直線的對稱點為,故C錯誤;
對于D,直線可轉化為,過定點,故D正確.
故選:BD.
11．在棱長為2的正方體中，分別為棱，，的中點，為側面的中心，則（ ）
A．直線平面
B．直線平面
C．三棱錐的體積為
D．三棱錐的外接球表面積
【答案】BCD
【分析】建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，得出各直線的方向向量和平面的法向量，求出相應三棱錐的體積和外接球的表面積，即可得出結論.
【詳解】由題意，
在正方體中，棱長為2，P，E，F(xiàn)分別為棱，，BC的中點，為側面的中心，
建立空間直角坐標系如下圖所示，

則,
,
A項，

，
設面的法向量為，
則，即解得：，
當時，，
∵，
∴直線與面不平行，A錯誤；
B項，

設面的法向量為，
則，即解得：，
當時，，
∵，
∴直線與平面平行，B正確；
C項，

，C正確；
D項，

如圖，三棱錐恰好在長方體上，且為體對角線，

∴為三棱錐外接球的直徑，
由幾何知識得，
∴三棱錐的外接球表面積為，D正確；
故選：BCD.
12．太極圖被稱為“中華第一圖”，閃爍著中華文明進程的光輝，它是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽角，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉化，相對統(tǒng)一的和諧美定義，若一個函數(shù)的圖像能夠將圓的周長和面積同時等分成兩個部分，則稱該函數(shù)為圓的一個“太極函數(shù)”，給出下列命題，其中正確的命題為（ ）
A．函數(shù)可以是某個圓的“太極函數(shù)”
B．正弦函數(shù)可以同時是無數(shù)個圓的“太極函數(shù)”
C．圓的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)都不能為偶函數(shù)
D．函數(shù)是“太極函數(shù)”的充要條件為函數(shù)的圖像是中心對稱圖形
【答案】AB
【分析】根據(jù)給定函數(shù)的新定義，結合幾何圖形逐項分析判斷作答.
【詳解】對于A，令圓，設，顯然，
即函數(shù)是奇函數(shù)，它的圖象將圓O的周長與面積分別等成分兩部分，如圖，

所以函數(shù)可以是某個圓的“太極函數(shù)“，A正確；
對于B，函數(shù)是奇函數(shù)，它的圖象將圓的周長與面積同時等分成兩部分，如圖，

因此正弦函數(shù)可以同時是無數(shù)個圓的“太極函數(shù)”，B正確；
對于C，如圖，函數(shù)是偶函數(shù)，，，
，，于是，
因此函數(shù)也是圓的一個太極函數(shù)，C錯誤；

對于D，由選項C知，圓的太極函數(shù)可以是偶函數(shù)，它的圖象關于原點不一定對稱，D錯誤.
故選：AB
【點睛】方法點睛：通過函數(shù)的新定義，結合函數(shù)圖象的應用，以及對函數(shù)對稱性的理解，使用數(shù)形結合的方法來分析問題.
三、填空題
13．已知圓，以點為圓心，半徑為r的圓與圓C有公共點，則r的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)圓與圓的位置關系得出r的取值范圍.
【詳解】由題知的圓心為，兩圓心的距離．
因為兩圓有公共點，即相交或相切，所以，解得．
故答案為：
14．已知點分別是雙曲線的下、上焦點，若點是雙曲線下支上的點，且，則的面積為 .
【答案】16
【分析】由雙曲線定義可得，然后平方可得的值，然后由余弦定理可得∠F1PF2=90°，然后可得答案.
【詳解】因為是雙曲線下支上的點，所以，兩邊平方得：
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得cs ∠F1PF2==0，
所以∠F1PF2=90°，所以|PF1|·|PF2|=×32=16
故答案為：
15．已知橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點坐標是，則橢圓的離心率是 ．
【答案】
【分析】先利用點差法應用弦中點，再求橢圓離心率.
【詳解】設直線與橢圓交于兩點，其中，
將兩點代入橢圓可得，兩式作差可得，
即，又中點坐標是，
所以，所以，
令，則，所以，
所以，
故答案為：
16．如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面．，，分別是，的中點，是棱上的動點，下列結論中正確的序號是 ．

①
②存在點，使平面
③存在點，使直線與所成的角為
④點到平面與平面的距離和為定值
【答案】①②④
【分析】根據(jù)題意以為坐標原點，所在直線分別為軸，利用向量法判斷①③④，根據(jù)線面平行的判定定理判斷②即可.
【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸，
建立空間直角坐標系，如圖，

設，
則，
由是棱上的動點，設，
，
，
即，①正確；
當是中點時，是的中位線，
所以，又平面，平面，
所以平面，②正確；
，
若存在點，使直線與所成的角為，
則，
化簡得，無解，③錯；
點到平面的距離，
點到平面距離，
所以，④正確.
故答案為：①②④
四、解答題
17．已知直線和直線的交點為．
（1）求過點且與直線平行的直線方程；
（2）若直線與直線垂直，且到的距離為，求直線的方程．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】利用平行（垂直）直線系設出待求直線，用待定系數(shù)法求直線方程.
【詳解】解：聯(lián)立解得，可知交點
（1）設與直線平行的直線方程為
把交點代入可得，∴
∴所求的直線方程為：
（2）設與直線垂直的直線方程為：
∵到的距離為，解得或
∴直線的方程為：或
【點睛】解析幾何中直線系方程的設法:
(1)過定點的直線可設為；
(2)與直線平行的直線可設為：；
(3) 與直線垂直的直線可設為：.
18．已知橢圓的中心在原點，一個焦點為，且長軸長與短軸長的比是.
(1)求橢圓的方程；
(2)設點，點是橢圓上任意一點，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意結合列式求解；（2）由兩點間距離結合橢圓方程整理可得，再根據(jù)二次函數(shù)求最值.
【詳解】（1）由題意得，解得，
所以橢圓方程為.
（2）設，則，即
，
因為的對稱軸為，所以在為減函數(shù)，
所以當時，的最大值為的最大值為.
19．如圖，在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別為，BD的中點，點G在CD上，且.
(1)求證：；
(2)求EF與CG所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）根據(jù)空間向量證明垂直關系即可證明結果；
（2）根據(jù)空間向量求線線夾角的方法求解．
【詳解】（1）證明：以，，所在直線分別為軸，軸，軸，建系如圖，

則根據(jù)題意可得：
，，， ，
，，
，即，
；
（2）由（1）知，，
，
又與所成角的范圍為，
EF與CG所成角的余弦值為．
20．①經過點；②與軸相切，半徑為2；③被直線平分.從這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答.
問題：已知圓經過點，點，__________.
(1)求圓的方程；
(2)若經過點的直線與圓相切，求直線的方程.
注：如果選多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】(1)條件選擇見解析，
(2)或
【分析】（1）選①把三個點代入圓的一般方程求得結果；②利用圓心在線段的中垂線上以及與軸相切，半徑為2確定圓心坐標，寫出圓的方程；③圓心在線段的中垂線上和直線上，求出圓心坐標及半徑，寫出圓的方程.
（2）分成直線斜率存在與不存在兩種情況進行討論，利用進行求解.
【詳解】（1）選①.設圓的方程為，
因為圓經過三點，
所以，解得.
所以圓的方程為，即.
選②.由點，得線段的中垂線方程為.
則圓心在直線上，
設圓的圓心坐標為，
又由圓與軸相切，可知圓心在軸上方
由半徑為2，得，所以.
所以圓的方程為.
選③.由點，得線段的中垂線方程為.
則圓心在直線上，
因為圓被直線平分，則圓心在直線上.
由解得所以圓心坐標為，
所以半徑，
所以圓的方程為.
（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
即.
因為直線與圓相切，所以，解得，
所以直線的方程為.
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，符合題意；
綜上，直線的方程為或.
21．在平面上．設橢圓，梯形的四個頂點均在上，且．設直線的方程為．
(1)若為的長軸，梯形的高為，且在上的射影為的焦點，求的值；
(2)設，，與的延長線相交于點，當變化時，的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)的面積為定值
【分析】（1）利用表示出，根據(jù)在上的射影為的焦點可構造方程求得；
（2）利用韋達定理和弦長公式可表示出，利用長度關系可得；根據(jù)可整理得到定值.
【詳解】（1）梯形的高為，，代入橢圓方程得：，
在上的射影為的焦點，，又，.
（2）
當時，橢圓；
設，
由得：，，；
，可設直線，
由得：，
則，解得：，
，；
；；
，，整理可得：，即；
點到直線的距離為直線與間距離的倍，，
，
即的面積為定值.
【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應用中的定值問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：
①假設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；
③利用韋達定理表示出所求量，將所求量轉化為關于變量的某個關系式；
④化簡所得關系式，消元可得定值.
22．已知四棱錐，底面為菱形，為上的點，過的平面分別交于點，且∥平面．

(1)證明：；
(2)當為的中點，與平面所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面垂直可證平面，則，再根據(jù)線面平行的性質定理可證∥，進而可得結果；
（2）根據(jù)題意可證平面，根據(jù)線面夾角可知為等邊三角形，建立空間直角坐標系，利用空間向量求面面夾角.
【詳解】（1）設，則為的中點，連接，
因為為菱形，則，
又因為，且為的中點，則，
，平面，所以平面，
且平面，則，
又因為∥平面，平面，平面平面，
可得∥，所以.
（2）因為，且為的中點，則，
且，，平面，所以平面，
可知與平面所成的角為，即為等邊三角形，
設，則，且平面，平面，
可得平面，平面，
且平面平面，所以，即交于一點，
因為為的中點，則為的重心，
且∥，則，
設，則，
如圖，以分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，
可得，
設平面的法向量，則，
令，則，可得，
設平面的法向量，則，
令，則，可得，
可得，
所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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