黑龍江省綏化市哈爾濱師范大學青岡實驗中學校2023-2024學年高二下學期4月月考數學試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）
第 Ⅰ 卷
一、單項選擇題（本大題共8題，每小題5分，共計40分．）
1. 一個科技小組中有4名女同學、5名男同學，現從中任選1名同學參加學科競賽，則不同的選派方法數為.（）
A. 4B. 5C. 9D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根據分類加法計數原理求解.
【詳解】第一類從女同學中選1名，有4種不同的選法；
第二類從男同學中選1名，有5種不同的選法，
根據分類加法計數原理，共有種不同的選法.
故選：C
2. 下列導數運算正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用常見函數的導數可以判斷B、C的真假，利用積的導數的運算法則判斷D的真假，利用商的導數的運算法則判斷A的真假.
【詳解】∵，故A錯誤；
∵，故B正確；
∵，故C錯誤；
∵，故D錯誤.
故選：B.
3. 已知函數的導函數為，且滿足，則等于（）
A. 1B. C. -1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據已知求導得，利用方程思想將代入求值.
【詳解】由題意，可得，代入
∴，得
故選：B．
4. 如圖是函數的導函數的圖象，給出下列命題：
①是函數的極值點；
②在處切線的斜率小于零；
③在區(qū)間上單調遞增；
④是函數的最小值點．
則正確命題的序號是（）
A. ①③B. ①②
C. ③④D. ②③
【答案】A
【解析】
【分析】根據給定的導函數的圖象，確定導數值正負所對應的x取值區(qū)間，再結合極值的定義、導數的幾何意義、判斷函數單調性的方法判斷各命題作答.
【詳解】觀察導函數的圖象知，當時，，，
當且時，，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，
因此是函數的極值點，①正確；
，則函數的圖象在處切線的斜率大于零，②錯誤；
，因此函數在區(qū)間上單調遞增，③正確；
由于在上單調遞增，即在上無極值點，④錯誤.
所以正確命題的序號是①③，A正確.
故選：A
5. 一邊長為的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個邊長為的小正方形，然后做成一個無蓋方盒.當方盒的容積最大時，（）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由題意知：方盒高為，底面是邊長為正方形，求出其容積，利用導數判斷其在定義域內的單調性，求出函數取最大值時的值即可.
【詳解】由題意可得：無蓋方盒的底面是邊長為的正方形，高為，
則無蓋方盒的容積，
，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
故時，方盒的容積最大，
故選：B.
.
6. 給出定義：若函數在上可導，即存在，且導函數在上也可導，則稱在上存在二階導函數，記，若在上恒成立，則稱在上為凸函數.以下四個函數在上是凸函數的有（）個
① . ②. ③ . ④.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用凸函數的定義逐項判斷即可.
【詳解】①由，得，，
因為，所以，則，即，
故在上是凸函數；
②由，得，是上恒成立，
故在上是凸函數；
③由，得，則是上恒成立，
故在上是凸函數；
④由，得，則，故在上不是凸函數.
故選：C
7. 若函數單調遞增，則實數的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由恒成立，分離常數，利用基本不等式求得的取值范圍.
【詳解】依題意，即對任意恒成立，
即恒成立，因為（當且僅當時取“=”），
所以.
故選：D
8. 已知，，，其中是自然對數的底數，則，，的大小關系是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意得，，，然后構造函數并利用導數研究其單調性，最后利用其單調性即可比較大小.
詳解】對，，兩邊都取自然對數得
，，，
令，得，設，
得，∴在遞減，∴，
∴，∴在遞減，
又，，，∴，
∴.
故選A.
點睛】本題主要考查構造函數并利用其單調性比較大小問題，屬較難題.
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 已知函數f(x)＝x2－5x＋2ln x，則函數f(x)的單調遞增區(qū)間有（）
A. B. (0，1)C. (2，＋∞)D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用導數求得的單調遞增區(qū)間.
【詳解】的定義域為，
，
所以在區(qū)間遞增.
故選：AC
10. 定義在上的函數的導函數為，且恒成立，則必有（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】設函數，，利用導數可得在上單調遞減，從而，即可得出答案.
【詳解】設函數，，
則，因為恒成立，所以，
所以在上單調遞減，
所以，即，
故AC正確，BD錯誤
故選：AC.
11. 已知函數，則下列說法正確的是（）．
A. 當時，過原點作曲線的切線l，則l的方程為
B. 當時，在上單調遞增
C. 若在上單調遞增，則
D. 當時，在上有極小值點
【答案】ABD
【解析】
【分析】設切點坐標并求導及導數的幾何意義可求得切線方程，運用導數研究函數的單調性、極值點.
【詳解】當時，，設切點為，，，
所以，
又l過原點，則，解得，所以l方程為，故A正確；
當時，，，
當時，，，所以，
所以在上單調遞增，故B正確；
，若在上單調遞增，
則在上恒成立，即在上恒成立，
令，則，
令，得，當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以，所以，故C錯誤；
當時，，，
令，則，
當時，，所以，
所以在上單調遞增，
又，，
所以由零點存在定理可知，存在唯一的，使得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以在上有極小值點，故D正確．
故選：ABD．
第Ⅱ卷
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知函數在時取得極大值4，則______．
【答案】
【解析】
【分析】利用導數研究函數的極值，待定系數計算并驗證即可.
【詳解】由題意可知，
因為函數在時取得極大值4，所以，
解之得，
檢驗，此時，令或，
令，
即在上單調遞增，在上單調遞減，即滿足題意，
故.
故答案為：
13. 在實驗中學元旦晚會中有A、B、C、D、E，5個節(jié)目，為了考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下具體要求，節(jié)目A不能安排在第一位和最后一位，節(jié)目D、E必須安排連在一起，則這五個節(jié)目演出順序的編排方案共有______種．
【答案】24
【解析】
【分析】把D，E視為一個整體，與B，C作全排列，再把A插入中間兩個間隙并排D，E即可.
【詳解】把D，E視為一個整體，與B，C作全排列，有種方法，
再把A插入每個排列的中間兩個間隙中，有種方法，D，E間的排列有種，
所以五個節(jié)目演出順序的編排方案共有（種）.
故答案為：24
14. 若實數，，，滿足，則的最小值為______.
【答案】2
【解析】
【分析】由，，故可理解為曲線上一點與直線上一點間的距離的平方，采用數形結合和對函數求導可知，函數在處的切線方程與直線之間的距離的平方為我們要求的的最小值.
【詳解】由，，故可理解為曲線上一點與直線上一點間的距離的平方，對于函數，令，故可得，即函數在處的切線方程為，切線方程與直線平行，則函數在處的切線方程與直線之間的距離，故的最小值為.
故答案為：2.
四、解答題：本題共5小題，共77分．
15. 已知函數．
（1）求函數的圖象在點處的切線方程；
（2）求函數的單調區(qū)間．
【答案】（1）
（2）單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.
【解析】
【分析】（1）根據題意，利用導數的幾何意義，即可求得切線方程；
（2）求得，結合導數的符號，即可求解函數的單調區(qū)間.
【小問1詳解】
解：由函數，可得，可得，
因為切點為，所以切線方程為，即.
【小問2詳解】
解：由函數，其定義域為，且，
當時，，則在上單調遞減；
當時，，則在上單調遞增；
所以函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.
16. 記函數的導函數為，已知，．
（1）求實數的值；
（2）求函數在上的最值．
【答案】（1）
（2）最小值為，最大值為
【解析】
【分析】（1）求得，結合，列出方程，即可求解；
（2）由（1）可知，求得函數的單調性，結合極值和區(qū)間端點的函數值，即可求得函數的最值.
【小問1詳解】
由函數，可得，
因為，所以，解得.
【小問2詳解】
由（1）可知，
令，解得或；令，解得，
所以函數在，單調遞增，在單調遞減，
又因為，，，，
所以，．
17. 已知函數在點處的切線方程為.
（1）求實數、的值；
（2）求函數的極值．
【答案】（1），
（2）極小值為，無極大值
【解析】
【分析】（1）求出，由導數的幾何意義可得，可得出關于、的方程組，即可解出這兩個未知數的值；
（2）利用導數分析函數的單調性，利用極值與導數的關系可求得該函數的極值.
【小問1詳解】
解：因為，則，
因為函數在點處的切線方程為，
則，解得.
【小問2詳解】
解：函數的定義域為，則，
由可得，列表如下：
所以，函數的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為，
故函數的極小值為，無極大值.
18. 已知函數，，是自然對數的底數.
（1）討論函數的單調性；
（2）若關于的方程有兩個不等實根，求的取值范圍；
（3）若，為整數，且當時，恒成立，求的最大值.
【答案】（1）見解析（2）
（3）2
【解析】
【分析】（1）首先求函數的導數，再討論和兩種情況，求函數的單調性；
（2）方程，轉化為，利用導數分析函數的圖象，再利用數形結合，求參數的取值范圍；
（3）首先參變分離為，再令，，利用導數求函數的單調區(qū)間，并求函數的最小值的取值范圍，即可求解的最大值.
【小問1詳解】
，
若，則恒成立，所以在上單調遞增，
若，，得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
綜上可知，時，的增區(qū)間是，
當時，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；
【小問2詳解】
方程，顯然當時，方程不成立，則，，
若方程有兩個不等實根，即與有2個交點，
，
當時，，在區(qū)間和單調遞減，
并且時，，當時，
當時，，單調遞增，
時，當時，取得最小值，，
如圖，函數的圖象，
與有2個交點，則；
【小問3詳解】
當時，，，
所以，
當時，，，
令，，
則，
由（1）可知，在單調遞增，而且，
所以在上存在唯一的零點，即在上存在唯一的零點，
設此零點為，則，且，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以的最小值為，
所以，
所以整數的最大值為2.
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問和第三問的關鍵是運用參變分離，轉化為函數圖象的交點問題，以及隱點問題，求最值.
19. 已知函數.
（1）求在點處的切線方程；
（2）已知函數在區(qū)間上不存在極值點，求的取值范圍；
（3）證明：，.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）求，由導數的幾何意義求得斜率，再由點斜式可得點斜式方程；
（2），則，由題意可得或，設，等價于或對于恒成立，求導利用單調性轉化為最值問題即可求解；
（3）構造函數，利用導數求最值可得，令可得，再累加即可求證.
【小問1詳解】
由可得，
所以在點處的切線斜率為，
因為，所以切點為，
所以在點處的切線方程為即.
【小問2詳解】
，定義域為，
，
若在區(qū)間上不存在極值點，
則或恒成立，
令，則或對于恒成立，
因為恒成立，所以在上單調遞增，
所以，
若恒成立，則，所以符合題意；
因為對于不可能恒成立，
所以時，恒成立，此時在區(qū)間上不存在極值點，
所以的取值范圍為.
【小問3詳解】
設，定義域為，
則
由可得；由可得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，所以即，
令，則，
所以，
所以，
即.
減
極小值
增

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