一、單選題
1．已知復數(shù)，則的虛部是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】利用除法運算求出，根據(jù)復數(shù)的概念可得結果.
【詳解】因為，所以的虛部是1.
故選：B
2．等差數(shù)列中，，則的前2023項和為（ ）
A．1011B．2022C．4046D．8092
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質和前項和公式，即可求解.
【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，故，故.
故選：C
3．設；，若是的充分不必要條件，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)充分不必要條件可確定兩個集合的真包含關系，從而通過解不等式組即得.
【詳解】若是的充分不必要條件，且等號不同時成立，解得.
故選：A.
4．下列說法正確的是（ ）
A．過，兩點的直線方程為
B．過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為
C．點關于直線的對稱點為
D．直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是8
【答案】D
【分析】根據(jù)直線方程的形式，結合直線的截距，對稱的定義，即可判斷選項.
【詳解】對于A，當或時，不存在選項中的兩點式直線方程，故A錯誤；
對于B，當直線過原點時，滿足題意，此時直線方程為，故B不正確；
對于C，設點關于直線的對稱點為，則，
解得，即點關于直線的對稱點為，故C錯誤；
對于D，直線在軸上的截距為4，在軸上的截距為，所以直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是，故D正確.
故選：D
5．溶液酸堿度是通過計量的．的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升．已知某品牌蘇打水中氫離子的濃度為摩爾/升，計算這種蘇打水的值．（精確到 0.001）（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A．8.699B．8.301C．7.699D．6.602
【答案】B
【分析】直接利用所給公式計算求解即可．
【詳解】由題意得蘇打水的為
．
故選：B
6．已知實數(shù)，且滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．9B．12C．16D．25
【答案】D
【分析】將不等式恒成立問題，轉化為利用基本不等式求最值問題.
【詳解】，
當且僅當，即，時，等號成立.
因不等式恒成立，只需，
因此，故實數(shù)的最大值為25.
故選：D
7．已知函數(shù)（），則（ ）
A．存在實數(shù)，使函數(shù)沒有零點
B．當時，對，都有成立
C．當時，方程有4個不同的實數(shù)根
D．當時，方程有2個不同的實數(shù)根
【答案】C
【分析】作出函數(shù)和的圖象，然后討論m可判斷A和B；
令得，，然后將，作為函數(shù)值 的零點個數(shù)即可判斷C；方程的根的個數(shù)等價于與的交點個數(shù)，作出圖象即可判斷，則D可求.
【詳解】對于A：作出函數(shù)和的圖象（如圖所示），
當時，函數(shù)只有1個零點，
當時，函數(shù)有2個零點，
當時，函數(shù)只有1個零點，故A錯誤；
對于B：當，都有成立時，則函數(shù)單調遞增，
而時，函數(shù)先增后減再增，
當時，函數(shù)不是增函數(shù)，B錯誤；
對于C：時，令得，，
當時，方程有兩個解，當時，方程有兩個解，
所以方程有4個不同的實數(shù)根，故C正確；
對于D：當時，方程的根為的根，令，
作出，的圖象，可得函數(shù)與有三個交點，其中包括，即方程有三個根.
\
故選：C.
8．已知雙曲線（，）的上下焦點分別為，，點在的下支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的值可能為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意畫出草圖，結合草圖找到不等關系，再利用雙曲線的離心率公式化簡求范圍.
【詳解】如圖，過點作漸近線的垂線，垂足為，
設，則點到漸近線的距離.
由雙曲線的定義可得，故，
所以，即的最小值為，
因為恒成立，所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.
故選：A.
二、多選題
9．某學校對高一學生選科情況進行了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)學生選科僅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五種組合，其中選考物化地和物化政組合的人數(shù)相等，并繪制得到如下的扇形圖和條形圖，則（ ）
A．該校高一學生總數(shù)為
B．該校高一學生中選考物化政組合的人數(shù)為
C．該校高一學生中選考物理的人數(shù)比選考歷史的人數(shù)多80
D．用比例分配的分層隨機抽樣方法從該校高一學生抽取人，則生史地組合抽取人
【答案】AC
【分析】根據(jù)政史地人數(shù)和占比可確定A正確；計算出物化生的人數(shù)后即可確定B錯誤；分別計算選考歷史和物理的人數(shù)，則知C正確；確定生史地組合人數(shù)占比后，根據(jù)分層抽樣原則可知D錯誤.
【詳解】對于A，選科為政史地的人數(shù)為人，占比為，
該校高一學生共有人，A正確；
對于B，選科為物化生的人數(shù)為人，
選科為物化政的人數(shù)為，B錯誤；
對于C，選考歷史的人數(shù)有人，選考物理的人數(shù)有人，
選考物理的人數(shù)比選考歷史的人數(shù)多，C正確；
對于D，選科為生史地的學生人數(shù)占比為，
采用分層抽樣抽取人，生史地組合應抽取人，D錯誤.
故選：AC.
10．圓和圓的交點為，，則（ ）
A．公共弦所在直線的方程為
B．線段中垂線方程為
C．公共弦的長為
D．為圓上一動點，則到直線距離的最大值為
【答案】AB
【分析】兩圓方程相減即可得公共弦的方程，則A可判斷；求出其中一個圓的圓心坐標，由垂直關系可得中垂線的斜率，利用點斜式方程可求中垂線方程，則B可判斷；求出其中一個圓的圓心到直線AB的距離，則公共弦AB的長可求；利用點到直線的距離公式求圓心到的距離，加上半徑即為最大值.
【詳解】對于選項A，因為圓，，
兩式作差可得公共弦所在直線的方程為，即，故A正確；
對于選項B，圓的圓心為，，
則線段中垂線的斜率為，即線段中垂線方程為，整理可得，故B正確；
對于選項C，圓心到的距離為，
又圓的半徑，所以，故C不正確；
對于選項D，為圓上一動點，圓心到的距離為，
又圓的半徑，所以到直線距離的最大值為，故D錯誤.
故選：AB.
11．已知，，為同一平面內(nèi)的單位向量，，，且與的夾角為銳角，則（ ）
A．與的夾角B．
C．D．
【答案】AD
【分析】先由題意求出，再對四個選項一一驗證：
對于A：利用夾角公式求出與的夾角；對于 B：直接判斷；
對于C：直接求出即可判斷；對于D：直接求出，即可判斷.
【詳解】因為,所以.
設，因為與的夾角為銳角，所以.
所以，所以x>0.
因為，，為位向量,所以.
又所以.
所以，又,所以
即，解得：.
所以.
對于A：
設與的夾角為,為銳角.
則，所以.故A正確；
對于 B：由A的推導可知：.故B錯誤；
對于C：因為，
所以
故C錯誤；
對于D：因為，
所以
.
故D正確.
故選：AD
12．如圖，已知點是棱長為2的正方體的底面內(nèi)（包含邊界）一個動點，下列說法正確的是（ ）
A．過、、三點的平面截正方體所得的截面圖形為三角形或四邊形
B．當點到、、三點的距離相等時，三棱錐的外接球的表面積為
C．若點到直線的距離與點到的距離相等，則點的軌跡為拋物線的一部分
D．若點到點的距離是點到的距離的兩倍，則點的軌跡的長度為
【答案】ABC
【分析】對于A項，通過作出不同位置的截面即得；對于B項，需要構建空間圖形，利用勾股定理求解；
對于C項，結合條件，運用拋物線定義即可判斷；對于D項，建立平面直角坐標系，求出軌跡方程即可求得.
【詳解】對于A選項，若點為點（或點），則截面為三角形，若為其它點則為四邊形，故A項正確；
對于B選項，如圖，滿足條件的點P為中點，設中點為，外接球球心為，半徑為，
可知三點共線，在 中，，解得：，
則外接球的表面積為，故B項正確；
對于C選項，點到直線的距離與點到的距離相等，即點到的距離等于點到直線點的距離，
所以點的軌跡為拋物線的一部分，故C項正確；
對于D選項，由可知點P滿足阿氏圓，故點P的軌跡為一段圓弧，圓弧半徑為，圓心角為，
圓弧長為，故D項錯誤.
故選：ABC.
【點睛】方法點睛：本題主要考查立體圖形的應用，屬于中檔題.常見的解決方法有：
（1）截面法：運用空間圖形的相關性質作截面；
（2）建模法：求幾何體的外接球問題時，經(jīng)常建模或者構建圖形；
（3）定義法：求軌跡問題時，常常用到圓和圓錐曲線的定義；
（4）解析法：求軌跡問題時，常常需要建立直角坐標系，然后求得軌跡方程來解題.
三、填空題
13．已知，則 .
【答案】/
【分析】利用余弦的二倍角公式結合已知條件直接求解即可.
【詳解】因為，
所以
，
故答案為：
14．已知函數(shù)的定義域為，且函數(shù)為奇函數(shù)，若，則 .
【答案】
【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)，對進行賦值即可得到答案.
【詳解】已知函數(shù)為奇函數(shù)，則，
即，
又，則.
又，，
故.
故答案為：.
15．已知動直線與圓相交于點、，點為直線上的動點，則的最小值為 .
【答案】2
【分析】圓心到動直線距離為定值，可求得動點的軌跡，轉化為圓外一點到圓上一點的最小距離問題.
【詳解】圓心到動直線距離為定值，所以設線段的中點為，則，，點在以為圓心，為半徑的圓上，
因為，
則，
因為，所以，所以
當直線時，，
.
故答案為：2
16．已知為坐標原點，直線與拋物線交于，兩點，且，點為點在直線上的射影，則點到直線的距離的最大值為 .
【答案】8
【分析】設直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，得到，，由得，從而求出直線方程，分和兩種情況進行求解即可.
【詳解】由題可知直線斜率存在，設直線，，，
聯(lián)立方程：，整理得：，，
，.
，
得或（舍）.故直線，
當時，點，點到直線的距離為；
當時，直線，又直線，消去整理得：，
即此時點的軌跡方程為，（或者利用直線過定點結合，得出點的軌跡為以為直徑的圓），
點到直線距離的最大值為，
綜合可知點到直線的距離的最大值為8.
故答案為：8.
四、解答題
17．等差數(shù)列滿足，，前項和為.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知條件列方程組求出，，從而可求出其通項公式；
（2）由通項公式可知數(shù)列有前7項和最大，從而可求得結果.
【詳解】（1）設首項為，公差為，
因為等差數(shù)列滿足，，
所以，解得，
所以；
（2）因為當時，，當時，，
所以的最大值為，
因為，
所以.
18．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，為中點，設.
(1)求；
(2)若的面積等于，求的周長的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由誘導公式及兩角差的正弦公式計算可得；
（2）由面積公式求出，利用基本不等式求出的最小值，利用余弦定理及基本不等式求出的最小值，即可得解.
【詳解】（1）因為.
由正弦定理與誘導公式可得.
顯然，所以，所以，
∵，所以，∴.
（2）依題意，即，∴，
所以，當且僅當時取等號，
又由余弦定理得，
∴，當且僅當時取等號，
所以的周長最小值為.
19．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，，
點為棱上的點，且.

(1)證明：；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）運用線面垂直的判定定理和性質定理即可證明；
（2）利用證明線面垂直，建立空間直角坐標系，分別求得相關點的坐標，
計算直線的方向向量和平面的法向量，運用空間向量線面夾角公式即可求得.
【詳解】（1）由為矩形可知：，又因為，，
，平面，所以平面，又，
所以面，又面，故.
（2）由（1）可知，，，所以，在中，
，所以；
又，，，面，所以面；
故以點為坐標原點，建立空間直角坐標系（如圖）.

則，，，，，
又在中，，則，，，.
設面的法向量，則即故，
設直線與面所成角為，則.
故直線與平面所成角的正弦值為：
20．某高校承辦了杭州亞運會志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.
(1)求，的值；
(2)估計這100名候選者面試成績的第65百分位數(shù)（分位數(shù)精確到0.1）；
(3)在第四，第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，以確定組長人選，求選出的兩人來自同一組的概率.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的頻率的性質即各組頻率為相應矩形面積，列式計算，即可求得答案；
（2）確定面試成績的65%分位數(shù)的范圍，計算各矩形面積和的65%處對應的數(shù)值即為所求；
（3）確定兩組各抽取的人數(shù)，采用列舉法列出選出2人的所有可能情況，再列出這2人來自同一組的情況，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.
【詳解】（1）因為第三、四、五組的頻率之和為0.7，所以，解得，
所以前兩組的頻率之和為，即，所以；
（2）前兩個分組頻率之和為0.3，前三個分組頻率之和為0.75，所以第65百分位數(shù)在65和75之間，
即為；
（3）第四、第五兩組志愿者分別有20人，5人，
故按照分層抽樣抽得的第四組志愿者人數(shù)為4，分別設為，，，，第五組志愿者人數(shù)為1，設為，
這5人中選出2人，所有情況有，，，，，，，，，共有10種情況，
其中選出的兩人來自同一組的有，，，，，，共6種情況，
故選出的兩人來自同一組的概率為.
21．函數(shù)和的圖象關于原點對稱，且.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)解不等式；
(3)若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)對稱關系直接求解；
（2）分類討論解不等式；
（3）利用二次函數(shù)的性質分類討論求解.
【詳解】（1）設函數(shù)的圖象上任意一點關于原點的對稱點為，
則即.
∵點在函數(shù)的圖象上，∴，即，
故.
（2）由，可得，
當時，，此時不等式無解.
當時，，解得.
因此，原不等式的解集為.
（3），
①當時，在上是增函數(shù)，∴.
②當時，對稱軸的方程為.
(i)當時，，解得.
(ii)當時，，解得.
綜上，.
22．在平面直角坐標系中，已知直線與橢圓交于點（在軸上方），
且.設點在軸上的射影為， 的面積為1（如圖1）.
(1)求橢圓的方程；
(2)設平行于的直線與橢圓相交，其弦的中點為.
①求證：直線的斜率為定值；
②設直線與橢圓相交于兩點（在軸上方），點為橢圓上異于一點，
直線交于點，交于點，如圖2，求證：為定值.
【答案】(1)；
(2)①證明見解析；②證明見解析.
【分析】（1）運用橢圓的對稱性將三角形面積轉化求出點P的坐標，繼而利用條件求出的值，代入點的坐標求出的值，即得方程；
（2）①通過設直線方程與橢圓方程聯(lián)立，借助于韋達定理和弦的中點公式即得點Q坐標；②由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點的坐標，設點P，寫出直線和直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出點坐標，計算,經(jīng)化簡即得為定值.
【詳解】（1）由題意，可設,由橢圓的對稱性可得，
所以由解得：，故，即；
又橢圓經(jīng)過點，即，解得；
故所求橢圓的方程為：.
（2）證明：設平行于的直線方程為，則，
①聯(lián)立消去可得：，因點Q為弦的中點，
故點Q的橫坐標為：，縱坐標為：，
于是，直線的斜率為（定值）.
②由題意可知，，，
聯(lián)立方程組解得：，.
設點，先考慮直線斜率都存在的情形：直線，
聯(lián)立方程組：，解得：，
直線，聯(lián)立方程組：，
解得：，
則，
，
所以

而
故（定值）
再考慮直線的斜率不存在時，有直線
由可得：
直線，
由可得：
于是，
從而，
最后考慮直線的斜率不存在時，有直線
同理求得：
于是，
從而，

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