一、單選題
1．已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】B
【分析】根據(jù)空間四點(diǎn)共面的充要條件代入即可解決.
【詳解】，即
整理得
由、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，
可得 ，解之得
故選：B
2．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系求解.
【詳解】由已知得，
故直線斜率
由于傾斜的范圍是，
則傾斜角為.
故選：B.
3．橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用點(diǎn)差法計(jì)算即可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)弦的兩端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2)，
代入橢圓得，
兩式相減得，
即，
即，又
即，
即，
∴弦所在的直線的斜率為，
故選：C.
4．湘西州有甲草原：龍山縣八面山空中草原，乙草原：瀘溪縣濱江大草原，暑假期間兩草原供游客休閑旅游，記事件“只去甲草原”，事件“至少去一個(gè)草原”，事件“至多去一個(gè)草原”，事件“不去甲草原”，事件“一個(gè)草原也不去”.下列命題正確的是（ ）
A．E與G是互斥事件；B．F與I是互斥事件，且是對(duì)立事件；
C．F與G是互斥事件；D．G與I是互斥事件.
【答案】B
【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的定義判斷即可；
【詳解】依題意基本事件有“去甲草原”、“去乙草原”、 “一個(gè)草原也不去”、 “去甲、乙草原”共四個(gè)，
事件“至少去一個(gè)草原”包含“去甲草原”、“去乙草原”、 “去甲、乙草原”三個(gè)基本事件；
事件“至多去一個(gè)草原”包含“去甲草原”、“去乙草原”、 “一個(gè)草原也不去”三個(gè)基本事件；
事件“不去甲草原”包含“去乙草原”、 “一個(gè)草原也不去”兩個(gè)基本事件；
對(duì)于A，事件，有可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，事件與不可能同時(shí)發(fā)生，且發(fā)生的概率之和為1，是互斥事件，且為對(duì)立事件，故B正確；
對(duì)于C，事件與有可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，事件與有可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故D錯(cuò)誤.
故選：B
5．已知，則圓與直線的位置關(guān)系是（ ）
A．相切B．相交C．相離D．不確定
【答案】B
【分析】由題意，可判斷直線恒過(guò)定點(diǎn)，而此點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故可得直線與圓的位置關(guān)系.
【詳解】，
直線轉(zhuǎn)化為，
所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，
由，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，
故直線與圓相交.
故選：B.
6．已知向量與的夾角為60°，，，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】由求解.
【詳解】解：因?yàn)橄蛄颗c的夾角為60°，且，，
所以
，
即，
即，
解得或（舍去），
故選：A
7．點(diǎn)到直線的距離為1，且直線與圓相切，若這樣的有四條，則的取值范圍是（ ）
A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，5）
【答案】C
【分析】直線到點(diǎn)的距離為1等價(jià)于直線與圓相切，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓公切線有四條，兩圓外離.
【詳解】由直線到點(diǎn)的距離為1，所以直線與圓相切，
直線與圓，圓都相切且這樣的有四條，
所以圓與圓外離，圓心距大于半徑之和，
即，解得，
故選：C.
8．甲?乙?丙三人相約一起去做核酸檢測(cè)，到達(dá)檢測(cè)點(diǎn)后，發(fā)現(xiàn)有兩支正在等待檢測(cè)的隊(duì)伍，則甲?乙?丙三人不同的排隊(duì)方案共有（ ）
A．12種B．18種C．24種D．36種
【答案】C
【分析】對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行分類，分成以下情況①3人到隊(duì)伍檢測(cè)，②2人到隊(duì)伍檢測(cè)，③1人到隊(duì)伍檢測(cè)，④0人到隊(duì)伍檢測(cè)；然后，逐個(gè)計(jì)算后再相加即可求解；注意計(jì)算時(shí)要考慮排隊(duì)時(shí)的順序問(wèn)題.
【詳解】先進(jìn)行分類：①3人到隊(duì)伍檢測(cè)，考慮三人在隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有種方案；
②2人到隊(duì)伍檢測(cè)，同樣要考慮兩人在隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有種方案；
③1人到隊(duì)伍檢測(cè)，要考慮兩人在隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有種方案；
④0人到隊(duì)伍檢測(cè)，要考慮兩人在隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有種方案；
所以，甲?乙?丙三人不同的排隊(duì)方案共有24種.
故選：C
二、多選題
9．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，Q是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．不存在點(diǎn)Q，使得
B．存在點(diǎn)Q，使得
C．對(duì)于任意點(diǎn)Q，Q到的距離的取值范圍為
D．對(duì)于任意點(diǎn)Q，都是鈍角三角形
【答案】ABC
【分析】證明直線與是異面直線判斷A，當(dāng)與重合時(shí)，可判斷BD，設(shè)（），計(jì)算出的面積的最大值和最小值后從而可得Q到的距離的最小值和最大值，從而判斷C．
【詳解】由平面，平面，，平面，∴直線與是異面直線，A正確；
平面，平面，則，又，與是平面內(nèi)兩相交直線，所以平面，又平面，所以，即當(dāng)與重合時(shí)，，B正確，此時(shí)是直角三角形，D錯(cuò)；
設(shè)（），，，，
，
，
所以，
，
所以時(shí)，，或1時(shí)，，所以的最大值是，最小值是，
記到的距離為，，因此的最大值是，的最小值是，C正確．
故選：ABC．

10．已知直線：，其中，下列說(shuō)法正確的是（ ）.
A．若直線與直線平行，則
B．當(dāng)時(shí)，直線與直線不垂直
C．當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不相等
D．直線過(guò)定點(diǎn)
【答案】CD
【分析】根據(jù)直線的平行關(guān)系可求得，判斷A；利用直線斜率與垂直的關(guān)系判斷B；求出直線在坐標(biāo)軸上的截距判斷C；求出直線所過(guò)定點(diǎn)判斷D.
【詳解】對(duì)于A，直線與直線平行，則，即，
解得或，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線：為，
直線與斜率之積為-1，此時(shí)直線與直線垂直，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，：為，
直線在軸上截距為-1，在軸上截距為1，二者不相等，C正確；
對(duì)于D，：即，
由于，令，則，即直線過(guò)定點(diǎn)，D正確
故選：CD
11．給出下列命題，其中正確的命題是（ ）
A．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則直線
B．若直線：，：，則“”是“”的充分不必要條件
C．若兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線
D．直線必過(guò)定點(diǎn)
【答案】BC
【分析】利用直線的方向向量和平面法向量的定義，兩直線垂直的性質(zhì)，空間向量基本定理，直線恒過(guò)定點(diǎn)的解法依次判斷即可.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng),由已知得，則，
即直線或者，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng),若直線，則兩直線的斜率之積為，即，
解得或，所以“”“”，即“”是“”的充分不必要件，
故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng),由空間向量基本定理得三個(gè)不共面的向量可以成為空間的一個(gè)基底，若兩個(gè)非零向量不共線，則存在向量使得與這兩個(gè)向量不共面，此時(shí)這三個(gè)向量可成為空間的一個(gè)基底，由此可知，若兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng),直線必過(guò)定點(diǎn),故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：.
12．方程（，不全為零），下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)為圓
B．當(dāng)時(shí)不可能為直線
C．當(dāng)方程為圓時(shí)，，滿足
D．當(dāng)方程為直線時(shí)，直線方程
【答案】ACD
【分析】對(duì)于A、B、D可直接代值確定，對(duì)于C，展開化簡(jiǎn)，根據(jù)圓的方程的特點(diǎn)判斷.
【詳解】對(duì)于A，由題可得 或，代入得或，都是圓，故A對(duì)；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得是直線，故B錯(cuò)；對(duì)于C，原式可化為，要表示圓，則必有，故C對(duì)；對(duì)于D，只有時(shí)，方程表示直線，故D對(duì).
故選：ACD.
三、填空題
13．圓心在直線上，并且經(jīng)過(guò)圓與圓交點(diǎn)的圓的方程為 ．
【答案】
【分析】利用圓系方程求解.
【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓的方程為，即，圓心坐標(biāo)為，將其代入直線解得．所以圓的方程為．
故答案為：
14．圓：與圓：的公切線條數(shù)為 .
【答案】3
【分析】將兩圓的公切線條數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系，然后由兩圓心之間的距離與兩半徑之間的關(guān)系判斷即可.
【詳解】圓：，圓心，半徑；
圓：，圓心，半徑.
因?yàn)椋詢蓤A外切，所以兩圓的公切線條數(shù)為3.
故答案為：3
15．過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為 、，則直線的方程為 ．
【答案】
【分析】由題知、，進(jìn)而求解方程即可.
【詳解】解：方法1：由題知，圓的圓心為，半徑為，
所以過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，
所以，
所以直線的方程為，即；
方法2：設(shè)，，則由，可得，
同理可得，
所以直線的方程為.
故答案為：
16．阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是“如果動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比為(，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓”下面我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題，已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為 .
【答案】
【分析】首先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得，則，設(shè)點(diǎn)，可得，該圓對(duì)照，所以，求得點(diǎn)，再由，即可得解.
【詳解】
假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得，則，設(shè)點(diǎn)，則，
即，
該圓對(duì)照，所以，所以點(diǎn)，
所以.
故答案為：
四、解答題
17．已知圓與圓
(1)求證：圓與圓相交；
(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；
(3)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)圓與圓圓心距與兩半徑關(guān)系證明；
（2）兩圓相交，兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程；
（3）設(shè)出經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程，圓心坐標(biāo)代入所在直線即可求解.
【詳解】（1）圓，圓心坐標(biāo)為，半徑，
圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑，
圓心距，，所以圓與圓相交.
（2）兩圓方程相減，得，所以兩圓公共弦所在直線的方程為.
（3）設(shè)所求圓的方程為，即，圓心坐標(biāo)為，代入直線可得，解得，所求圓的方程為
18．（1）求兩條平行直線與間的距離；
（2）若直線與直線垂直，求的值.
【答案】（1）1;（2）
【分析】（1）利用兩平行直線間的距離公式直接求解；
（2）根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)即可.
【詳解】（1）根據(jù)平行線間的距離公式,得.
（2）由題意可知，
因?yàn)閮芍本€垂直，所以，解得或（舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，兩直線垂直，滿足題意.
19．三角形的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線為，A的平分線所在直線為．
(1)求A的坐標(biāo)和直線的方程；
(2)若P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，，，求取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)，直線的方程為
(2)
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)并表示中點(diǎn)D坐標(biāo)，由點(diǎn)在直線方程建立方程求解即可得A，利用角平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，從而求方程；
（2）由兩點(diǎn)之間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)求最值計(jì)算即可.
【詳解】（1）由題意可設(shè)，則，由直線，的方程可知：
，即，
設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，
則中點(diǎn)坐標(biāo)為，，
依題意有，解之得，即，
易知在直線上，故由兩點(diǎn)式可得，化簡(jiǎn)得；

（2）由（1）所得方程，不妨設(shè)，
則，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)，上式取得最小值，此時(shí).
20．甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為.
（1）求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率；
（2）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率.
【答案】（1）；（2）
【詳解】分析：（1）根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，即可求解乙至多擊中目標(biāo)次的概率；
（2）設(shè)甲恰好比乙多擊中目標(biāo)次為事件，分為甲恰擊中目次且乙恰好擊中目標(biāo)次為事件，甲恰擊中目標(biāo)次且乙擊中目標(biāo) 次為事件，即可求解其概率；
詳解：（1）乙至多擊中目標(biāo)2次的概率為.
（2）設(shè)甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次為事件，甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)0
次為事件，甲恰擊中目標(biāo)3次且乙擊中目標(biāo)1次為事件，則，、為
互斥事件，.
點(diǎn)睛：本題考查了概率的求解，其中解答中涉及到獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，以及互斥事件的概率的加法公式，對(duì)于次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，一是在每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率是否均為；二是概率的計(jì)算公式表示在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率.
21．已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心C在直線上.
(1)求圓C的方程：
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線m被圓C截得的弦長(zhǎng)為，求直線m的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）利用幾何法聯(lián)立直線剛才得圓心，即可求解，
（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋跃€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
直線的斜率，
因此線段的垂直平分線方程是，即.
圓心的坐標(biāo)是方程組的解.解得，
所以圓心的坐標(biāo).
圓的半徑長(zhǎng)
所以圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是；
（2）因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)為，
所以圓到直線的距離.
①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，符合題意.
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，
即.
所以，解得
.
直線的方程為或
22．已知函數(shù)，
(1)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性
(2)證明：對(duì)任意的，有
【答案】(1)在上單調(diào)遞增
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求的導(dǎo)數(shù)，在求一次導(dǎo)數(shù)無(wú)法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題即得解；
（2）令，，即證，由第二問(wèn)結(jié)論可知在上單調(diào)遞增，即得證．
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br>所以
設(shè)，所以
因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增
又因?yàn)?，所以，，所?br>所以在上單調(diào)遞增
（2）設(shè)=
所以=
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，所以，
所以，所以，故
所以在上單調(diào)遞增，所以，
而
所以對(duì)于，.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題：在本題中通過(guò)作差構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)的最值證得結(jié)果；

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