一、單選題
1．已知，若與是共軛復數，則（ ）
A．B．C．2D．5
【答案】A
【分析】利用復數除法化簡，根據共軛復數的定義列方程求參數.
【詳解】由題設，與是共軛復數，
所以.
故選：A
2．設直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分和兩種情況討論，結合斜率和傾斜角的關系分析求解.
【詳解】當時，方程為，傾斜角為
當時，直線的斜率，
因為，則，
所以；
綜上所述：線的傾斜角的范圍是.
故選：C．
3．直線，，若兩條直線平行，則實數（ ）
A．B．1C．3D．或3
【答案】C
【分析】根據兩直線平行的條件，列式求解即可.
【詳解】因為，，
由可得且，
解得，
故選：C.
4．若圓與圓僅有一條公切線，則實數a的值為（ ）
A．3B．C．D．1
【答案】B
【分析】利用兩圓的位置關系計算即可.
【詳解】由題意可知兩圓相內切，易得兩圓圓心，且兩圓半徑分別為，
所以.
故選：B
5．我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想可以表述為“每個大于2的偶數都可以表示為兩個質數的和”，如：.在不超過12的質數中，隨機選取兩個不同的數，其和為偶數的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出不超過12的質數，利用列舉法結合古典概率求解作答.
【詳解】不超過12的質數有，任取兩個不同數有，共10個，
其中和為偶數的結果有，共6個，
所以隨機選取兩個不同的數，和為偶數的概率為.
故選：B
6．廡殿式屋頂是中國古代建筑中等級最高的屋頂形式，分為單檐廡殿頂與重檐廡殿頂．單檐廡殿頂主要有一條正脊和四條垂脊，前后左右都有斜坡（如圖①），類似五面體的形狀（如圖②），若四邊形是矩形，，且，，則三棱錐的體積為（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求出點到平面的距離，進而結合三棱錐的體積公式求解即可.
【詳解】如圖，在線段上取點，使得，，
在線段上取點，使得，，
連接，設分別為的中點，連接，
由題意可得，，，，平面，
則，連接，則，
以為原點，以，，所在直線為軸建立空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，，
設平面的一個法向量為，
則，即，則可取，
則點到平面的距離為，
又，
所以三棱錐的體積為.
故選：A.

7．如圖，將菱形紙片沿對角線折成直二面角，，分別為，的中點，是的中點，，則折后直線與平面所成角的正弦值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接、，由面面垂直的性質得到平面，再建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.
【詳解】連接、，依題意可得，，
又平面平面，平面平面，平面，所以平面，
以為原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸，為兩個單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，．
設平面的法向量為，則，
得，取，得，易得與共線的一個向量為，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
故選：A
8．如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，分別是底面與側面的中心，為該正方體表面上的一個動點，且滿足，記點的軌跡所在的平面為，則過四點的球面被平面截得的圓的周長是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立空間直角坐標系，找到球心O和點的軌跡，求出到平面的距離，利用幾何法求截面圓的半徑和周長.
【詳解】取面對角線中點，連接，，，，分別在上，且，
以為原點，的方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
，，，， ，，，，，
，，，，
三棱錐中， 為直角三角形，所以，
因此點即為三棱錐的外接球球心，球半徑長為，
，，，，，共面，
，，， ，
平面，，平面，平面，
點的軌跡為矩形的四邊，如圖所示，
，為平面的法向量，
則球心到平面的距離為，
球面被平面截得的圓的半徑，圓的周長為.
故選：B
【點睛】本題找球心O考查學生的空間想象能力，其余的計算和證明問題，則利用空間向量法.
二、多選題
9．給出下列四個命題，其中正確的命題有（ ）
A．甲、乙二人比賽，甲勝的概率為，則比賽5場，甲勝3場
B．拋擲一顆質地均勻的骰子，記事件為“向上的點數為1或4”，事件為“向上的點數為奇數”，則與互為對立事件
C．拋擲骰子100次，得點數是1的結果有18次，則出現1點的頻率是
D．隨機事件發(fā)生的頻率不一定是這個隨機事件發(fā)生的概率
【答案】CD
【分析】根據頻率和概率的定義，以及對立事件的定義，即可判斷選項.
【詳解】A.甲勝的概率為表示甲每次獲勝的可能性都是，但不一定比賽5場，甲勝3場，故A錯誤；
B. 事件與都包含“向上的點數為1”這個事件，故不是對立事件，故B錯誤；
C.由頻率的概念可知拋擲骰子100次，得點數是1的結果有18次，則出現1點的頻率是，故C正確；
D.頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性，隨著實驗次數的改變而改變，當實驗次數相當大時，頻率非常接近概率，而概率是事件本身的屬性，不隨實驗次數的多少而改變，是定值，故D正確.
故選：CD
10．在空間直角坐標系中，點，，，下列結論正確的有（ ）
A．
B．向量與的夾角的余弦值為
C．點關于軸的對稱點坐標為
D．向量在上的投影向量為
【答案】BD
【分析】根據空間兩點距離公式可判斷A；根據空間向量的夾角坐標公式可判斷B；根據點的對稱性可判斷C；根據投影向量的概念可判斷D.
【詳解】記，，
對于A，，故A錯誤；
對于B，，，，
設與的夾角為，則，故B正確；
對于C，點關于軸的對稱點坐標為，故C錯誤；
對于D，在上的投影向量為，D正確．
故選：BD．
11．古希臘著名數學家阿波羅尼斯發(fā)現：平面內到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標系中，，點滿足．設點的軌跡為，則（ ）
A．軌跡的方程為
B．在軸上存在異于的兩點，使得
C．當三點不共線時，射線是的角平分線
D．在軌跡上存在點，使得
【答案】BCD
【分析】求出軌跡的方程判斷A；設，，結合兩點間距離公式及軌跡C的方程計算判斷B；結合三角形面積公式確定角平分線判斷C；設，由建立方程組，求出點坐標判斷D.
【詳解】對于A，設，則，整理得，即，A錯誤；
對于B，假設在軸上存在異于，的兩點，，使得，
設，，則，
整理得，而點的軌跡方程為，
于是，解得或（舍去），B正確；
對于C，如圖所示，
當三點不共線時，，即，
于是，顯然，因此，
射線是的角平分線，C正確；
對于D，假設在C上存在點M，使得，設，則，，
則，整理得，又，
聯(lián)立解得或，D正確.
故選：BCD
12．如圖，是正四棱臺的底面中心，上底面邊長是，下底面邊長是，側棱長是，是棱上的動點．下列選項中說法正確的是（ ）
A．將四棱錐翻起，其底面與該正四棱臺底面重合，恰好拼成一個正四棱錐
B．平面與平面所成銳二面角的余弦值是
C．當取得最大值時，三棱錐的體積是
D．當取得最小值時，二面角平面角的正切值是
【答案】ABD
【分析】計算出四棱錐各側棱的長，可判斷A選項；利用空間向量法可判斷B選項；分析可得，當取最小值時，確定點的位置，利用三棱錐的體積公式可判斷C選項；當取最大值時，確定點的位置，利用空間向量法結合同角三角函數的基本關系可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，連接、，則為的中點，
由正四棱臺的幾何性質可知四邊形為等腰梯形，
在等腰梯形中，，，，
又因為為的中點，則且，
所以，四邊形為平行四邊形，所以，，
同理可知，，
所以，將四棱錐翻起，其底面與該正四棱臺底面重合，恰好拼成一個正四棱錐，A對；
對于B選項，設上底面的中心為，
由正四棱臺的幾何性質可知平面，
又因為四邊形為正方形，，則，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、、
、、、、，
設平面的法向量為，，，
則，取，可得，
設平面的法向量為，，，
則，取，可得，
所以，，
故平面與平面所成銳二面角的余弦值是，B對；
對于C選項，，
由A選項可知，，則為等腰三角形，
故當點與點或點重合時，取最大值，此時取最大值，
當點與點重合時，三棱錐不存在，C錯；
對于D選項，當點為線段的中點時，取最小值，此時取最小值，
此時點，
設平面的法向量為，，，
則，取，則，
易知平面的一個法向量為，
所以，，
則，故，
由圖可知，二面角為銳角，故二面角的正切值為，D對.
故選：ABD.
【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：
（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結合圖形，作出所求空間角，再結合題中條件，解對應的三角形，即可求出結果；
（2）向量法：建立適當的空間直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結果.
三、填空題
13．已知三點共線，則 ．
【答案】0
【分析】利用空間向量的共線定理計算即可.
【詳解】由題意可知：，
由三點共線可知.
故答案為：0
14．已知點，點，則直線的傾斜角為 ．
【答案】
【分析】利用兩點斜率公式結合三角恒等變換求得，從而可得傾斜角；
【詳解】設直線的傾斜角為，
則
，
所以直線的傾斜角為；
故答案為：.
15．如圖所示，四邊形為正方形，為矩形，且它們所在的平面互相垂直，，為對角線上的一個定點，且，則到直線的距離為 .

【答案】/
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.
【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，，，，
因為，所以，
所以，，
令，，
所以，，則點到直線的距離為.
故答案為：

16．圓形是古代人最早從太陽、陰歷十五的月亮得到圓的概念的.一直到兩千多年前我國的墨子（約公元前468-前376年）才給圓下了一個定義：圓，一中同長也．意思是說：圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等．現在以點為圓心，2為半徑的圓上取任意一點，若的取值與x、y無關，則實數a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】轉化為點到直線與直線距離之和的5倍，這個距離之和與點在圓上的位置無關可得圓在兩直線之間，利用直線與圓相切可得答案.
【詳解】由已知可得所在的圓的方程為，
設，
故可看作點到直線與直線距離之和的5倍，
因為的取值與x、y無關，
所以這個距離之和與點在圓上的位置無關，
圓心到直線的距離為，所以圓與直線相離，
如圖所示，可知直線平移時，
點與直線的距離之和均為直線之間的距離，
此時可得圓在兩直線之間，
當直線與圓相切時，
，解得（舍去），或，
所以.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是轉化為點到直線與直線距離之和的5倍.
四、解答題
17．已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高線所在直線方程為.
(1)求邊所在直線的方程；
(2)求點到邊的距離.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）求出點坐標，由兩點式求出直線方程，得到答案；
（2）根據垂直關系得到設出方程為，將點代入直線方程，得到直線的方程，聯(lián)立直線與直線，得到點的坐標，進而由點到直線距離公式求出答案.
【詳解】（1）因為點C是直線與直線的交點，
由，
得，
即點坐標為，
所以邊所在直線的方程為，
即.
故邊所在直線的方程為.
（2）因為邊上的高線所在直線方程為，
可設直線方程為，

因為點在直線上，所以，解得.
所以直線的方程為.
因為邊上的中線所在直線方程為，
由，
得，即點D坐標為.
由（1）知，邊所在直線的方程為，
所以點D到直線的距離.
五、證明題
18．如圖，在長方體中，，，點，，，分別在棱，，，上，，，.

(1)證明：；
(2)求到平面的距離；
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據題意，建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算，即可證明；
（2）根據題意，由空間向量的坐標運算，結合點到面的距離公式，即可得到結果.
【詳解】（1）
以為坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
則，，，，，
，
又，不在同一條直線上，.
（2）設平面的法向量，又，
則，
令，則，∴，又，
所以到平面的距離為.
六、解答題
19．如圖，圓與x軸交于A、B兩點，動直線：與x軸、y軸分別交于點E、F，與圓交于C、D兩點．
(1)求中點M的軌跡方程；
(2)設直線、的斜率分別為、，是否存在實數k使得？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由題意可得，從而點M的軌跡是以為直徑的圓（除去原點），即可求得點M的軌跡方程；
（2）聯(lián)立直線與圓的方程，結合韋達定理與計算可求出的值，檢驗后可得結果.
【詳解】（1）由題意，存在且，
∵M為中點，∴，
∴點M的軌跡是以為直徑的圓（除去原點），
∴圓心為，半徑為，
則點M的軌跡方程為.
（2）由，得，
，
設，則，
，
又，，
，
即，則，
即，解得或，
又，，得，
，
則，故舍去，符合題意，
綜上，存在實數使得.
20．古人云“民以食為天”，某校為了了解學生食堂服務的整體情況，進一步提高食堂的服務質量，營造和諧的就餐環(huán)境，使同學們能夠獲得更好的飲食服務為此做了一次全校的問卷調查，問卷所涉及的問題均量化成對應的分數（滿分100分），從所有答卷中隨機抽取100份分數作為樣本，將樣本的分數（成績均為不低于40分的整數）分成六段：，得到如圖所示的頻數分布表．
(1)求頻數分布表中a和b的值，并求樣本成績的中位數和平均數；
(2)已知落在的分數的平均值為56，方差是7；落在的分數的平均值為65，方差是4，求兩組成績的總平均數和總方差．
【答案】(1)，，，
(2)兩組市民成績的總平均數是，總方差是
【分析】（1）根據頻率分布直方圖的性質，求得，結合中位數、平均數的計算公式，即可求解；
（2）根據分層抽樣的分法，得到分數在和的人數，結合分層抽樣的方差的計算方法，即可求解.
【詳解】（1）解：（1）由，解得，則，
由，所以，
由成績在的頻率為，所以中位數為，
平均數為．
（2）解：由表可知，分數在的市民人數為10人，成績在的市民人數為20人，
故，
則，
所以兩組市民成績的總平均數是，總方差是．
七、證明題
21．如圖1，在中，為的中點，為上一點，且.將沿翻折到的位置，如圖2.

(1)當時，證明：平面平面；
(2)已知二面角的大小為，棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，點為中點
【分析】（1）根據線面垂直的判定定理證明平面，再由面面垂直的判定定理證明即可；
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解.
【詳解】（1）由已知，有，且，
平面，所以平面，
因為平面，所以.
在Rt中，，
所以.
因為，所以.
且，平面，所以平面.
因為平面，所以平面平面.
（2）由（1），
所以為二面角的平面角，，
因為為的中點，
所以，， ，，，
如圖，以為坐標原點，分別以為軸?軸正方向建立空間直角坐標系.

則.
設，
則,.
設平面的一個法向量，
由，得，
令，則，所以.
因為直線與平面所成角的正弦值為，
所以，
解得或（舍）.
因此，當點為中點時，直線與平面所成角的正弦值為.
八、解答題
22．已知兩定點，動點N滿足．
(1)求動點N的方程；
(2)如圖，過點）且互相垂直的兩條直線分別與圓交于點A，B，與圓交于點C，D，的中點為E，求面積的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）設動點坐標為，由題意列出方程，化簡可得答案；
（2）分類討論直線的斜率是否存在，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，利用點到直線距離列不等式求得k的范圍，進而求出弦AB的長，求出M點到直線的距離即可求得面積的表達式，利用換元法結合二次函數性質即可求得答案.
【詳解】（1）設動點坐標為，則，，
又知，則，得，
故動點N的方程為；
（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
所以，直線的方程為，點的坐標為，
所以的面積；
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
當時，直線的方程為，直線的方程為，
直線與圓不相交，此時不存在，舍去；
當時，直線，
由得，所以．
因為，所以．
因為，，所以，
所以E點到直線的距離即M點到直線的距離，
所以的面積，
令，則，所以，
因為，所以，而函數在上單調遞減，
故，所以，
綜上可得，面積的取值范圍是．
【點睛】難點點睛：本題考查了軌跡方程的求解以及直線和圓的位置關系中三角形面積的范圍問題，綜合性較強，難點在于面積的表達式的求解，解答時要注意結合圓的幾何性質求出弦長以及利用點到直線的距離公式求三角形的高，即可求解三角形面積的表達式，進而結合二次函數性質求解答案..
樣本分數段
頻數
5
10
20
a
25
10
頻率
0.05
0.1
0.2
b
0.25
0.1

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