一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求。）
1.復(fù)數(shù)的實(shí)部為
A. B. C.2 D.
2.已知一個(gè)水平放置的?ABC用斜二測畫法得到的直觀圖如圖所示，且，則其平面圖形的面積是
A.4 B. C. D.8
3.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，互斥而不對立的兩個(gè)事件是
A.至少有1個(gè)白球和都是白球 B.至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)紅球
C.恰有1個(gè)白球和恰有2個(gè)白球 D.至少有1個(gè)白球和都是紅球
4.為了解某中學(xué)三個(gè)年級的學(xué)生對食堂飯菜的滿意程度，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取30%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，已知該中學(xué)學(xué)生人數(shù)和各年級學(xué)生的滿意率分別如圖1和圖2所示，則樣本容量和抽取的二年級學(xué)生中滿意的人數(shù)分別為
A.800，360 B.600，108
C.800，108 D.600，360
5.已知是單位向量，，若在方向上的投影向量是，則與的夾角為
A. B. C. D.
6.如圖，在正四面體ABCD中.點(diǎn)E是線段AD上靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn)，則異面直線EC與BD所成角的余弦值為
A. B. C. D.
7.萬丈懸梯高可攀，白塔座落嘉陵邊.白塔作為閬中市的標(biāo)志性建筑之一.當(dāng)你登臨頂層，會欣賞到閬中5A風(fēng)景的全貌.感覺人仿佛在凌空飛翔.現(xiàn)有一數(shù)學(xué)興趣小組，如圖，測量河對岸的白塔高，可以選取與塔底 在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)與.現(xiàn)測得α=30°，β=120° DC=10米，在點(diǎn)C測得塔頂?shù)难鼋菫棣?60°，則測得的塔高為（ ）米.
A. B.10 C. D.30
8.如圖，在?ABC中，M，N分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，P是線段MN上的一個(gè)動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），CP與AB交于點(diǎn)D，BP與AC交于點(diǎn)E，，，則的最小值為
A.2 B.4 C.6 D.8
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。）
9.一組樣本數(shù)據(jù)為7，12，13，17，18，20，32，則
A.該組數(shù)據(jù)的極差為25
B.該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為19
C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17
D.若該組數(shù)據(jù)去掉一個(gè)數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等
10.已知互不相同的兩條直線，和兩個(gè)平面，，下列命題正確的是
A.若，，則
B.若，，，，則
C.若，，且，則
D.若，，且，則
11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是
A.若，則將的圖象向左平移個(gè)單位長度，能得到函數(shù)的圖象
B.若，則當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?br>C.若在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，則
D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分。)
12.已知向量，且，則 .
13.一個(gè)封閉的正三棱柱容器，高為8，內(nèi)裝水若干(如圖1，底面處于水平狀態(tài)將容器放倒（如圖2，一個(gè)側(cè)面處于水平狀態(tài)），這時(shí)水面所的平面與各棱交點(diǎn)E，F(xiàn)，，分別為所在的棱的中點(diǎn)，則圖1中水面的高度為
14.在銳角?ABC中，角的對邊分別為，三角形ABC的面積為，滿足，若，則的最小值為 .
四、解答題(本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)
15.（本題滿分13分）已知，，.
1)求與的夾角；
2)求與.
16.（本題滿分15分）2024年5月15日是第15個(gè)全國公安機(jī)關(guān)打擊和防范經(jīng)濟(jì)犯罪宣傳日，某市組織了多個(gè)小分隊(duì)走進(jìn)社區(qū)，走進(jìn)群眾，開展主題為“與民同心，為您守護(hù)”的宣傳活動，為了讓宣傳更加全面有效，某個(gè)分隊(duì)隨機(jī)選擇了200位市民進(jìn)行宣傳，這些市民年齡的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖：
1)請估計(jì)這200位市民的平均年齡（同組數(shù)據(jù)用組中值代替）；
2)現(xiàn)用分層抽樣的方法從年齡在區(qū)間和
兩組市民中一共抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)
行電話回訪，求“抽取的2人的年齡差大于10歲”的概率.
17.（本題滿分15分）甲?乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是和，假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響，每人每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒有影響.
1)求甲?乙各射擊一次，至少擊中目標(biāo)一次的概率；
2)若乙在射擊中出現(xiàn)連續(xù)2次未擊中目標(biāo)就會被終止射擊，求乙恰好射擊4次后被終止射擊的概率.
18.（本題滿分17分） 在以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中并作答.
①； ②； ③?ABC的面積為（如多選，則按選擇的第一個(gè)記分）
問題：在?ABC中，角，，的對邊分別為，，，且 .
1)求角；
2)若，求?ABC面積的最大值；
3)在（2）的條件下，若?ABC為銳角三角形，求的取值范圍.
19.（本題滿分17分）如圖，在矩形中，，，是線段AD上的一動點(diǎn)，將沿著BM折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，滿足點(diǎn)平面且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在線段BC上.
1)當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)重合時(shí)，
①證明：平面； ②求二面角的余弦值；
設(shè)直線CD與平面所成的角為，二面角A'-BM-C的平面角為，求的最大值.
高二學(xué)年數(shù)學(xué)試題（答案）
一、單項(xiàng)選擇題
1--5 CACBD 6--8 ADC
二、多項(xiàng)選擇題
9．ACD 10． BD 11．AD
三、填空題
12．4 13．6 14.
四、解答題
15．解（1）由，得，
即，求得，
再由，可得．
（2）；
．
16．解（1）由頻率分布直方圖可得這200位市民的平均年齡為：
；
（2）樣本中年齡在區(qū)間的頻率為，
年齡在區(qū)間的頻率為，
則年齡在區(qū)間抽取人，分別記作、、、，
年齡在區(qū)間抽取人，分別記作、，
從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪可能結(jié)果有、、、、、、
、、、、、、、、共個(gè)，
其中滿足抽取的2人的年齡差大于10歲的有、、、、、、、共個(gè)，
所以“抽取的2人的年齡差大于10歲”的概率.
17．解（1）甲?乙各射擊一次，至少擊中目標(biāo)一次的概率為：
.
（2）乙恰好射擊4次后被終止射擊，則“第次擊中，后兩次未擊中”，
故所求概率為：.
18．解（1）若選①：由正弦定理得，
則，
，
，
．
若選②：，切化弦，得到，
則由正弦定理得，，即，，
，
若選③：，
則，
由正弦定理得，
，
.
（2）由余弦定理得，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，取“＝”號，即．
，則，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取得最大值．
（3）由正弦定理得，
則，
，由于為銳角三角形，
則，
.
.
19．解（1）①

當(dāng)點(diǎn)M與端點(diǎn)D重合時(shí)，由可知，
由題意知平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，所以
因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面；
②

過E作EO⊥BD于點(diǎn)O，連接.
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)镋O⊥BD， ，，平面，
所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?br>所以為二面角的平面角,
且在四邊形ABCD中，A、O、E三點(diǎn)共線.
因?yàn)樗?，所以?br>所以，
所以，
所以，
所以在中，，
即二面角的余弦值為.
（2）

過點(diǎn)做交于，所以直線與平面所成的角,
即為直線與平面所成的角，
過E作EO⊥BM于點(diǎn)O，連接.
由②同理可得平面，平面，
所以平面平面，
作，垂足為，平面平面，平面，
所以平面，
連接，是直線與平面所成的角，即，
因?yàn)?，滿足，
設(shè)，所以，
所以，
所以，，
因?yàn)樵谥?，斜邊大于直角邊，即?br>所以，所以，
，
在中由等面積，，
因?yàn)?，，所以是二面角A'-BM-C平面角，
即，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“＝”成立，
故的最大值.

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