蘇科版數學七年級上冊同步專題熱點難點練習專題2.4 有理數（章節(jié)復習+考點講練）學生版+解析版-試卷下載-教習網

2023-2024學年蘇科版數學七年級上冊同步專題熱點難點專項練習專題2.4 有理數（章節(jié)復習+考點講練）知識點1：有理數的相關概念 1．有理數的分類：（1）按定義分類：（2）按性質分類：細節(jié)剖析（1）用正數、負數表示相反意義的量；（2）有理數“0”的作用： 2．數軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線．細節(jié)剖析（1）一切有理數都可以用數軸上的點表示出來，數軸上的點不都表示的是有理數，如．（2）在數軸上，右邊的點所對應的數總比左邊的點所對應的數大． 3．相反數：只有符號不同的兩個數互稱為相反數，0的相反數是0．細節(jié)剖析（1）一對相反數在數軸上對應的點位于原點兩側，并且到原點的距離相等，這兩點是關于原點對稱的．（2）求任意一個數的相反數，只要在這個數的前面添上“ 號即可．（3）多重符號的化簡：數字前面“”號的個數若有個時，化簡結果為正，若有奇數個時，化簡結果為細節(jié)剖析（1)代數意義：一個正數的是它本身；一個負數的絕對值是它的；0的絕對值是．數a的絕對值記作．（2)幾何意義：一個數a的就是數軸上表示數a的點與原點的．知識點2：有理數的運算 1 ．法則：（1）加法法則：①同號兩數，取的符號，并把相加．②絕對值不相等的異號兩數，取絕對值的加數的符號，并用的絕對值減去的絕對值．③一個數同相加，仍得這個數．（2）減法法則：減去一個數，等于加這個數的．即a-b= ．（3）乘法法則：①兩數相乘，同號得，異號得，并把相乘．②任何數同相乘，都得（4）除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的．即a÷b=a·(b≠0) ．（5）乘方運算的符號法則：①負數的奇次冪是，負數的偶次冪是；②正數的任何次冪都是，0的任何非零次冪都是．　 (6)有理數的混合運算順序：①先，再，最后；②同級運算，從進行； ③如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．細節(jié)剖析 “奇負偶正”口訣的應用：（1）多重負號的化簡，這里奇偶指的是“－”號的個數，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理數乘法，當多個非零因數相乘時，這里奇偶指的是的個數，正負指結果中積的，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理數乘方，這里奇偶指的是，當底數為時，指數為奇數，則冪為負；指數為，則冪為正，例如：，．細節(jié)剖析（1）交換律: ① 加法交換律:a+b= ； ②乘法交換律:ab=ba；（2）結合律: ①加法結合律： (a+b)+c= ； ②乘法結合律：（ab）c= （3）分配律：a(b+c)= 知識點3：有理數的大小比較比較大小常用的方法有：（1）比較法；（2）比較法：正數大于0，0大于負數，正數大于負數；兩個負數，絕對值大的反而?。?3) 比較法．（4）比較法；（5) 比較法．知識點4：科學記數法、近似數及精確度 1.科學記數法：把一個大于10的數表示成的形式（其中，是正整數），此種記法叫做．例如：200 000=． 2.近似數：接近準確數而不等于準確數的數，叫做這個精確數的或 .如長江的長約為6300㎞，這里的6300㎞就是 . 細節(jié)剖析一般采用四舍五入法取，只要看要保留位數的下一位是 3.精確度：一個近似數四舍五入到哪一位，就稱這個數精確到哪一位，精確到的這一位也叫做這個近似數的精確度. 細節(jié)剖析（1）精確度是指與的接近程度. （2）精確度有兩種形式：①精確到哪一位．②保留幾個．這兩種的形式的意義不一樣，一般來說精確到哪一位可以表示誤差絕對值的大小，例如精確到米，說明結果與實際數相差不超過米，而有效數字往往用來比較幾個近似數哪個更精確些. 【典例精講】（2020秋?南京期中）某速凍水餃的儲藏溫度是﹣18±2℃，下列四個冷藏室的溫度中不適合儲藏此種水餃的是（　?。?A．﹣24℃ B．﹣18℃ C．﹣17℃ D．﹣16℃ 【思路點撥】根據題意可以求得速凍水餃的儲藏溫度的范圍，本題得以解決．【規(guī)范解答】解：∵速凍水餃的儲藏溫度是﹣18±2℃， ∴速凍水餃的儲藏溫度是﹣20～﹣16℃，故選項A符合題意，選項B，C，D不符合題意，故選：A．【考點評析】本題考查正數和負數，解答本題的關鍵是明確正負數在題目中的實際意義．【變式訓練1-1】（2016秋?海陵區(qū)校級期末）某種零件，標明要求是φ20±0.02mm（φ表示直徑，單位：毫米），經檢查，一個零件的直徑是19.9mm，該零件 ?。ㄌ睢昂细瘛被颉安缓细瘛保?【變式訓練1-2】（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）中老鐵路是與中國鐵路網直接連通的國際鐵路，線路北起中國西南地區(qū)的昆明市，南向到達老撾首都萬象市，是“一帶一路”上最成功的樣板工程．從長期看將會使老撾每年的總收入提升21%，若+21%表示提升21%，則﹣10%表示（　?。?A．提升10% B．提升31% C．下降10% D．下降﹣10% 【變式訓練1-3】（2014秋?常熟市校級期末）某文具店在一周的銷售中，盈虧情況如下表（盈余為正，單位：元）：表中星期六的盈虧被墨水涂污了，請你算出星期六的盈虧數，并說明星期六是盈還是虧？盈虧是多少？【典例精講】（2022秋?宜興市月考）把幾個不相等的數用大括號括起來，中間用逗號斷開，如：{﹣2，7，0，2022}，以這種形式的表述的，我們稱之為集合，其中大括號中的每一個數我們稱之為此集合的元素，如集合{﹣2，7，0，2022}中就有﹣2，7，0，2022這4個元素．如果一個集合滿足：當有理數a是集合中的元素時，有理數6﹣a也必是這個集合中的元素，那么這樣的集合我們稱為“好集合”，例如集合{6，0}就是一個“好集合”．（1）判斷：集合{2，1} 　不是　“好集合”；集合{8，5，3，1，﹣2} 　是　“好集合”（填“是”或“不是”）；．（2）請你寫出滿足條件的兩個“好集合”的例子：　{1，5}　；　{2，4}?。?（3）在所有“好集合”中，請你寫出元素個數最少的集合為　{3}　【思路點撥】（1）當有理數a是集合中的元素時，有理數6﹣a也必是這個集合中的元素，那么這樣的集合我們稱為“好集合”，計算后驗證一下即可判斷；（2）根據有理數a是集合中的元素時，有理數6﹣a也必是這個集合中的元素這個條件盡量寫元素少的集合；（3）在所有的集合中，元素個數最少就是一個，此時a＝6﹣a，由此可求出a，也就求出了元素個數最少的集合【規(guī)范解答】（1）解：∵6﹣2＝4，4不是集合中的元素， ∴集合{2，1}不是“好集合”， ∵6﹣8＝﹣2，6﹣5＝1，6﹣3＝3，6﹣1＝5，6﹣（﹣2）＝8，而8，5，3，1，﹣2都是該集合的元素， ∴集合{8，5，3，1，﹣2}是“好集合”；故答案為：不是，是；（2）解：例如{1，5}，{2，4}（合理即可）．故答案為：{1，5}，{2，4}；（3）解：元素個數最少的集合就是只有一個元素的集合，設其元素為x，則有6﹣x＝x，解得x＝3，故元素個數最少的集合{3}．故答案為：{3}．【考點評析】本題考查了有理數的減法、解一元一次方程，正確理解題意是解題的關鍵．【變式訓練2-1】（2022秋?新吳區(qū)期中）下列各數中為有理數（　?。?A．π B． C．3.3030030003… D．面積為2的正方形的邊長a 【變式訓練2-2】（2018秋?江陰市校級月考）若a是最小的自然數，b是最大的負整數，c是倒數等于它本身的數，則a+b+c＝（　?。?A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．﹣1或1 【變式訓練2-3】（2022秋?高港區(qū)期中）在﹣4，，0，，3.14159，1.3，0.121121112…中，有理數有　　個．【變式訓練2-4】（2022秋?宿城區(qū)期中）把下列各數：0.618，﹣π，+17，﹣15%，，0.030030003…，﹣102填入相應的集合中： ①整數集合： ?。?②負數集合：　．【典例精講】（2022秋?鐘樓區(qū)校級月考）下列各數中，無理數是（　　） A．0. B． C． D．3.121121121112 【思路點撥】有理數能寫成有限小數和無限循環(huán)小數，而無理數只能寫成無限不循環(huán)小數，據此判斷．【規(guī)范解答】解：A．是循環(huán)小數，屬于有理數，故本選項不合題意； B．是無理數，故本選項符合題意； C．是分數，屬于有理數，故本選項不合題意； D．3.121121121112是有限小數，屬于有理數，故本選項不合題意．故選：B．【考點評析】本題考查了有理數的混合運算，掌握有理數混合運算的運算法則和運算順序是關鍵．【變式訓練3-1】（2022秋?溧水區(qū)期末）在中，無理數共有（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式訓練3-2】（2021春?武進區(qū)校級月考）兩個無理數，它們的和為1，這兩個無理數可以是　 ?。ㄖ灰獙懗鰞蓚€就行）【變式訓練3-3】（2022秋?亭湖區(qū)校級月考）下列各數中：12，，，﹣|﹣1|，0.1010010001…（每兩個1之間的0依次加1），其中，無理數有　　個．【典例精講】（2023?張家口模擬）如圖1，點A，B，C是數軸上從左到右排列的三點，分別對應的數為﹣4，b，5．某同學將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數字0對齊數軸上的點A，發(fā)現點B對齊刻度尺1.5cm處，點C對齊刻度尺4.5cm處．（1）在圖1的數軸上，AC＝　9　個單位長度；（2）求數軸上點B所對應的數b為　﹣1?。? 【思路點撥】（1）根據兩點之間的距離即可得出答案；（2）先求出1個單位長度是多少厘米，再求1.5厘米是幾個單位長度，根據有理數的加法即可得出答案．【規(guī)范解答】解：（1）5﹣（﹣4）＝9（個），故答案為：9；（2）4.5÷9＝0.5（厘米）， 1.5÷0.5＝3（個）， b＝﹣4+3＝﹣1，故答案為：﹣1．【考點評析】本題考查了數軸，掌握如果數軸上兩點A，B表示的數為a，b，那么A，B之間的距離＝|a﹣b|是解題的關鍵．【變式訓練4-1】（2022秋?虎丘區(qū)校級月考）如圖1，點A，B，C是數軸上從左到右排列的三個點，分別對應的數為﹣5，b，4，某同學將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數字0對齊數軸上的點A，發(fā)現點B對應刻度1.8cm，點C對齊刻度5.4cm．則數軸上點B所對應的數b為（　　） A．3 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【變式訓練4-2】（2021秋?海安市校級月考）已知有理數a、b在數軸上的位置如圖所示，下列結論正確的是（　?。? A．a＞b B．ab＜0 C．b﹣a＞0 D．a+b＞0 【變式訓練4-3】（2021秋?句容市期末）如圖，數軸上有A、B、C三點，C為AB的中點，點B表示的數為2，點C表示的數為﹣1，則點A表示的數為　 ?。? 【變式訓練4-4】（2016秋?海陵區(qū)校級期末）如圖，已知數軸上點A表示的數為6，B是數軸上在A左側的一點，且A，B兩點間的距離為10．動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒．（1）數軸上點B表示的數是　　，點P表示的數是　 ?。ㄓ煤瑃的代數式表示）；（2）動點Q從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)．求： ①當點P運動多少秒時，點P與點Q相遇？ ②當點P運動多少秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度？【變式訓練4-5】（2022秋?相城區(qū)校級月考）某出租車駕駛員從公司出發(fā)，在南北向的人民路上連續(xù)接送5批客人，行駛路程記錄如下（規(guī)定向南為正，向北為負，單位：km）：（1）接送完第5批客人后，該駕駛員在公司什么方向，距離公司多少千米？（2）若該出租車每千米耗油0.2升，那么在這過程中共耗油多少升？【典例精講】（2021秋?相城區(qū)校級月考）在數軸上表示下列各數：0，﹣2.5，﹣3，+5，，4.5及它們的相反數．【思路點撥】根據相反數的定義，只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，0的相反數是0，可寫出已知六個數的相反數；再根據一對相反數在數軸上的位置特點，分別在原點的左右兩邊，并且與原點的距離相等，可把各數與其相反數在數軸上依次表示出來．【規(guī)范解答】解：0的相反數是0， ﹣2.5的相反數是2.5， ﹣3的相反數是3， +5的相反數是﹣5， 1的相反數是﹣1， 4.5的相反數是﹣4.5．在數軸上可表示為：【考點評析】本題主要考查了相反數的定義及在數軸上表示數的方法，比較簡單，體現了數形結合的思想．【變式訓練5-1】（2022秋?吳江區(qū)校級月考）﹣3的相反數是（　?。?A．3 B．0 C． D．﹣3 【變式訓練5-2】（2014秋?興化市校級期中）﹣1的相反數是　　．【變式訓練5-3】．（2021秋?惠山區(qū)校級月考）記M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，M（n）＝（其中n為正整數）．（1）計算：M（5）+M（6）；（2）求2M（2019）+M（2020）的值；（3）說明2M（n）與M（n+1）互為相反數．【典例精講】（2013秋?東臺市校級月考）下列說法： ①有理數的絕對值一定是正數； ②一個數的絕對值的相反數一定是負數； ③互為相反數的兩個數，必然一個是正數，一個是負數； ④互為相反數的兩個數絕對值相等； ⑤絕對值最小的數是0； ⑥任何一個數都有它的相反數．其中正確的個數有（　?。?A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【思路點撥】分別根據相反數的定義及絕對值的性質進行解答即可．【規(guī)范解答】解：①0的絕對值是0，故原來的說法是錯誤的； ②0的絕對值的相反數是0，故原來的說法是錯誤的； ③互為相反數的兩個0，既不是正數，也不是負數，故原來的說法是錯誤的； ④互為相反數的兩個數絕對值相等是正確的； ⑤絕對值最小的數是0是正確的； ⑥任何一個數都有它的相反數是正確的．其中正確的個數有3個．故選：D．【考點評析】本題考查的是相反數的定義及絕對值的性質，即只有符號不同的兩個數叫互為相反數；一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．【變式訓練6-1】（2022秋?灌云縣月考）若a＜0，且|a|＝4，則a+1＝　．【變式訓練6-2】（2018秋?京口區(qū)校級月考）若|x|＝9，則x＝　　．【變式訓練6-3】（2014秋?蘇州期中）【閱讀】|5﹣2|表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5與﹣2的差的絕對值，也可理解為5與﹣2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離．【探索】（1）若|x﹣2|＝5，則x＝　 ??；（2）利用數軸，找出所有符合條件的整數x，使x所表示的點到2和﹣1所對應的點的距離之和為3．（3）由以上探索猜想，對于任意有理數x，|x﹣2|+|x+3|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．【典例精講】（2022秋?邗江區(qū)校級月考）若|a﹣1|與|b﹣2|互為相反數，則a+b的值為（　?。?A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 【思路點撥】根據非負數互為相反數，可得這兩個數為零，可得a、b的值，根據有理數的加法，可得答案．【規(guī)范解答】解：∵|a﹣1|與|b﹣2|互為相反數， ∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0，又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，解得a＝1，b＝2， a+b＝1+2＝3．故選：A．【考點評析】本題考查了非負數的性質，利用非負數互為相反數得出這兩個數為零0是解題關鍵．【變式訓練7-1】（2022秋?吳江區(qū)校級月考）若|a﹣2|與|b+4|互為相反數，則a+b的值為　　 ?。?【變式訓練7-2】（2022秋?秦淮區(qū)校級月考）已知b、c滿足|b﹣1|+|c+|＝0，則b+c的值是　?。?【變式訓練7-3】（2018秋?鐘樓區(qū)校級月考）閱讀理解：小紅和小明在研究絕對值的問題時，碰到了下面的問題： “當式子|x+1|+|x﹣2|取最小值時，相應的x取值范圍是　　，最小值是　　”．小紅說：“如果去掉絕對值問題就變得簡單了．” 小明說：“利用數軸可以解決這個問題．” 他們把數軸分為三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，經研究發(fā)現，當﹣1≤x≤2時，值最小為3．請你根據他們的解題解決下面的問題： ①當式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|取最小值時，相應x＝　　，最小值是　 ?。?②已知y＝|2x+8|﹣|4x+2|，求相應的x的取值范圍及y的最大值，寫出解答過程．【典例精講】（2022秋?姜堰區(qū)月考）如圖，點A、B、C在數軸上表示的數分別為a、b、c，且OA+OB＝OC，則下列結論中，①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c＝b；④＝1．其中正確的是 ?、冖邸。ㄌ钚蛱枺? 【思路點撥】根據圖示，可得c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|＝|c|，據此逐項判定即可．【規(guī)范解答】解：①∵c＜a＜0，b＞0， ∴abc＞0， ∴選項①不正確； ②∵c＜a＜0，b＞0，|b|＜|c|， ∴b+c＜0， ∴a（b+c）＞0， ∴選項②正確； ③∵OA+OB＝OC， ∴|a|+|b|＝|c|， ∴﹣a+b＝﹣c， ∴a﹣c＝b， ∴選項③正確； ④++ ＝﹣1+1﹣1 ＝﹣1， ∴選項④不正確， ∴正確的個數有2個：②③．故答案為：②③．【考點評析】此題主要考查了數軸的特征和應用，以及絕對值的含義和求法，要熟練掌握．【變式訓練8-1】（2022秋?句容市月考）下面算式與的值相等的是（　?。?A． B． C． D．【變式訓練8-2】（2022秋?如皋市校級月考）將式子（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）省略括號和加號后變形正確的是（　　） A．20﹣3+5﹣7 B．﹣20﹣3+5+7 C．﹣20+3+5﹣7 D．﹣20﹣3+5﹣7 【變式訓練8-3】（2021秋?江陰市校級月考）規(guī)定圖形表示運算a﹣b+c，圖形表示運算x+z﹣y﹣w，則+＝　　（直接寫出答案）．【變式訓練8-4】（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）廠家檢測10個足球的質量，每個足球的標準質量為265克，將每個足球超過克數記為正數，不足克數記為負數，這10個足球稱重后的記錄為：+1，+1，﹣1.3，+1.5，﹣1，+1.2，+1.3，﹣1.2，+1.4，+1.1．這十個足球的質量共是　　克．【變式訓練8-5】（2022秋?興化市校級期末）在2022年8月的北碚山火救災中，位于山腰的2號物資集散地作為重要的物資中轉站，8月21日結束時還剩礦泉水16箱，集散地礦泉水的進出情況如下表（運進記作“+”．運出記作“﹣”），經過五天奮戰(zhàn)，8月26日結束時還剩礦泉水36箱．（1）直接寫出a、b、c的值：a＝　 ??；b＝　 ??；c＝　　；（2）請通過計算求出哪一天結束時2號物資集散地礦泉水數量最多？（3）由于地勢陡峭，2號物資集散地礦泉水的進出運輸都只能由“山城騎士”摩托車隊完成，為保證安全，每位騎士一次只能運輸2箱礦泉水，則需要多少人次才能完成這五天的任務？【變式訓練8-6】（2020秋?泗陽縣期中）某縣教育局倡導全民閱讀行動，婷婷同學堅持閱讀，她每天以閱讀30分鐘為標準，超過的時間記作正數，不足的時間記作負數．下表是她一周閱讀情況的記錄（單位：分鐘）：（1）星期五婷婷讀了　　分鐘；（2）她讀得最多的一天比最少的一天多了　　分鐘；（3）求她這周平均每天讀書的時間．【典例精講】．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，A，B，C，D，E是數軸上5個點，A點表示的數為9，E點表示的數為9100，AB＝BC＝CD＝DE，則數999所對應的點在線段　AB　上．【思路點撥】先根據AB＝BC＝CD＝DE，計算出每一個線段的長度，再把AB的長度與999﹣9進行比較即可．【規(guī)范解答】解：∵A點表示數為9，E點表示的數為9100， ∴AE＝9100﹣9， ∵AB＝BC＝CD＝DE， ∴， ∴B點表示的數為， ∵ ＝， ∴＞0， ∴數999所對應的點在B點左側， ∴數999所對應的點在AB點之間，故答案為：AB．【考點評析】本題考查了數軸，掌握兩點之間的距離是正確解答的前提，估算出的大小是得出正確答案的關鍵．【變式訓練9-1】（2021秋?豐縣校級月考）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復幾次，就把這根很粗的面條拉成了許多細的面條，如草圖所示．這樣捏合到第8次后可拉出　根細面條．【變式訓練9-2】（2022秋?灌云縣期中）下列各數：0，﹣80，，（﹣1）3，+|﹣2|，﹣（+62），其中屬于負整數的共有　　個．【變式訓練9-3】（2021秋?六合區(qū)期中）類比有理數的乘方，我們把求若干個相同的有理數（均不等0）的除法運算叫做除方，記作a?，讀作“a的圈n次方”．如2÷2÷2，記作2③，讀作“2的圈3次方；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”．（1）直接寫出計算結果：2③＝　　，（﹣）④＝　 ??；（2）除方也可以轉化為冪的形式，如2④＝2÷2÷2÷2＝2×××＝（）2．試將下列運算結果直接寫成冪的形式（﹣3）④＝　 ?。唬ǎ猓健? ；a?＝　；（3）計算：22×（﹣）④÷（﹣2）③﹣（﹣3）②．【典例精講】（2021秋?江都區(qū)期末）若（a+3）2+|b﹣2|＝0，則ab＝　9?。?【思路點撥】根據非負數的性質列式求出a、b的值，然后代入代數式進行計算即可得解．【規(guī)范解答】解：根據題意得，a+3＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣3，b＝2，所以，ab＝（﹣3）2＝9．故答案為：9．【考點評析】本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0．【變式訓練10-1】（2022秋?海安市校級月考）設a是任意有理數，下列說法正確的是（　?。?A．（a+1）2的值總是正的 B．a2+1的值總是正的 C．﹣（a+1）2的值總是負的 D．a2+1的值中，最大值是1 【變式訓練10-2】（2022秋?漣水縣期中）已知x，y滿足|x﹣5|+（x﹣y﹣1）2＝0，則（x﹣y）2022的值是（　?。?A．5 B．﹣1 C．4 D．1 【變式訓練10-3】（2018秋?清江浦區(qū)期中）已知：|x﹣3|+（y+1）2＝0，則xy＝　 ?。?【變式訓練10-4】（2017秋?灌南縣期中）已知（x+3）2與|y﹣2|互為相反數，z是絕對值最小的有理數，求（x+y）y+xyz的值．【典例精講】（2022秋?秦淮區(qū)期末）計算的結果是　　．【思路點撥】設，化簡求解即可．【規(guī)范解答】解：設，原式＝＝＝．故答案為：．【考點評析】此題主要考查有理數的混合運算，解題的關鍵是根據題意把看作一個整體．【變式訓練11-1】（2021秋?梁溪區(qū)校級期中）已知m是最小的正整數，n是最大的負整數，a，b互為相反數，x，y互為倒數，則m2+n3+a+b﹣xy的值是（　?。?A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【變式訓練11-2】（2022秋?江都區(qū)期中）如圖所示的程序計算，若開始輸入的值為，則輸出的結果y是（　?。? A．25 B．30 C．45 D．40 【變式訓練11-3】（2015秋?東臺市月考）根據“二十四點”游戲的規(guī)則，用僅含有加、減、乘、除及括號的運算式（每個數字只能用一次），使12，﹣12，3，﹣1的運算結果等于24： ?。ㄖ灰獙懗鲆粋€算式即可）【變式訓練11-4】（2022秋?句容市月考）問題探索：如圖，將一根木棒放在數軸（單位長度為1cm）上，木棒左端與數軸上的點A重合，右端與數軸上的點B重合．（1）若將木棒沿數軸向右水平移動，則當它的左端移動到點B時，它的右端在數軸上所對應的數為30；若將木棒沿數軸向左水平移動，則當它的右端移動到點A時，它的左端在數軸上所對應的數為6，由此可得這根木棒的長為　　cm．（2）圖中點A所表示的數是　　，點B所表示的數是　　．實際應用：由（1）（2）的啟發(fā)，請借助“數軸”這個工具解決下列問題：一天，妙妙去問奶奶的年齡，奶奶說：“我若是你現在這么大，你還要35年才出生；你若是我現在這么大，我就115歲啦!”請問妙妙現在多少歲了？【變式訓練11-5】（2017秋?沛縣期中）概念學習規(guī)定：求若干個相同的有理數（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）記作a?，讀作“a的圈n次方”．初步探究（1）直接寫出計算結果：2③＝　　，⑤＝　 ??；（2）關于除方，下列說法錯誤的是　　 A．任何非零數的圈2次方都等于1； B．對于任何正整數n，1?＝1； C.3④＝4③ D．負數的圈奇數次方結果是負數，負數的圈偶數次方結果是正數．深入思考我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？（1）試一試：仿照上面的算式，將下列運算結果直接寫成冪的形式．（﹣3）④＝　　；5⑥＝　??；⑩＝　．（2）想一想：將一個非零有理數a的圈n次方寫成冪的形式等于　　；（3）算一算：．【典例精講】．（2022秋?泗陽縣期末）在國家“一帶一路”戰(zhàn)略下，途經城市和國家最多的一趟專列全程為13000km．將13000用科學記數法表示應為　1.3×104?。?【思路點撥】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【規(guī)范解答】解：數字13000用科學記數法可表示為1.3×104．故答案為：1.3×104．【考點評析】此題考查科學記數法的表示方法，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．【變式訓練12-1】（2022秋?句容市校級期末）2022年10月16日上午10時，中國共產黨第二十次全國代表大會開幕，習近平代表第十九屆中央委員會向黨的二十大作報告，報告中提到，十年來，我國人均國內生產總值從三萬九千八百元增加到八萬一千元，八萬一千用科學記數法可以表示為（　?。?A．0.81×105 B．8.1×103 C．81×103 D．8.1×104 【變式訓練12-2】（2018秋?鼓樓區(qū)期中）港珠澳大橋2018年10月24日上午9時正式通車，這座大橋跨越伶仃洋，東接香港，西接廣東珠海和澳門，總長約55000m，集橋、島、隧于一體，是世界最長的跨海大橋，數據55000用科學記數法表示為（　?。?A．5.5×105 B．55×104 C．5.5×104 D．5.5×106 【變式訓練12-3】（2011秋?戚墅堰區(qū)校級期中）已知地球距離月球表面約為384000千米，那么384000用科學記數法表示為　 ?。?【變式訓練12-4】（2022秋?昆山市校級月考）已知10×102＝1000＝103， 102×102＝10000＝104， 102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝　，10m×10n＝　．（m，n均為正整數）（2）運用上述猜想計算下列式子： ①（1.5×104）×（1.2×105）； ②（﹣6.4×103）×（2×106）． 2023-2024學年蘇科版數學七年級上冊同步專題熱點難點專項練習專題2.4 有理數（章節(jié)復習+考點講練）知識點1：有理數的相關概念 1．有理數的分類：（1）按定義分類：（2）按性質分類：細節(jié)剖析（1）用正數、負數表示相反意義的量；（2）有理數“0”的作用： 2．數軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線．細節(jié)剖析（1）一切有理數都可以用數軸上的點表示出來，數軸上的點不都表示的是有理數，如．（2）在數軸上，右邊的點所對應的數總比左邊的點所對應的數大． 3．相反數：只有符號不同的兩個數互稱為相反數，0的相反數是0．細節(jié)剖析（1）一對相反數在數軸上對應的點位于原點兩側，并且到原點的距離相等，這兩點是關于原點對稱的．（2）求任意一個數的相反數，只要在這個數的前面添上“”號即可．（3）多重符號的化簡：數字前面“”號的個數若有偶數個時，化簡結果為正，若有奇數個時，化簡結果為負． 4．絕對值：（1)代數意義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．數a的絕對值記作．（2)幾何意義：一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離．知識點2：有理數的運算 1 ．法則：（1）加法法則：①同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加．②絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．③一個數同0相加，仍得這個數．（2）減法法則：減去一個數，等于加這個數的相反數．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法則：①兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．②任何數同0相乘，都得0．（4）除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數．即a÷b=a·(b≠0) ．（5）乘方運算的符號法則：①負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；②正數的任何次冪都是正數，0的任何非零次冪都是0．　 (6)有理數的混合運算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行； ③如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．細節(jié)剖析 “奇負偶正”口訣的應用：（1）多重負號的化簡，這里奇偶指的是“－”號的個數，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理數乘法，當多個非零因數相乘時，這里奇偶指的是負因數的個數，正負指結果中積的符號，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理數乘方，這里奇偶指的是指數，當底數為負數時，指數為奇數，則冪為負；指數為偶數，則冪為正，例如：，． 2．運算律：（1）交換律: ① 加法交換律:a+b=b+a； ②乘法交換律:ab=ba；（2）結合律: ①加法結合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法結合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知識點3：有理數的大小比較比較大小常用的方法有：（1）數軸比較法；（2）法則比較法：正數大于0，0大于負數，正數大于負數；兩個負數，絕對值大的反而?。?3) 作差比較法．（4）作商比較法；（5)倒數比較法．知識點4：科學記數法、近似數及精確度 1.科學記數法：把一個大于10的數表示成的形式（其中，是正整數），此種記法叫做科學記數法．例如：200 000=． 2.近似數：接近準確數而不等于準確數的數，叫做這個精確數的近似數或近似值.如長江的長約為6300㎞，這里的6300㎞就是近似數. 細節(jié)剖析一般采用四舍五入法取近似數，只要看要保留位數的下一位是舍還是入. 3.精確度：一個近似數四舍五入到哪一位，就稱這個數精確到哪一位，精確到的這一位也叫做這個近似數的精確度. 細節(jié)剖析（1）精確度是指近似數與準確數的接近程度. （2）精確度有兩種形式：①精確到哪一位．②保留幾個有效數字．這兩種的形式的意義不一樣，一般來說精確到哪一位可以表示誤差絕對值的大小，例如精確到米，說明結果與實際數相差不超過米，而有效數字往往用來比較幾個近似數哪個更精確些. 【典例精講】（2020秋?南京期中）某速凍水餃的儲藏溫度是﹣18±2℃，下列四個冷藏室的溫度中不適合儲藏此種水餃的是（　　） A．﹣24℃ B．﹣18℃ C．﹣17℃ D．﹣16℃ 【思路點撥】根據題意可以求得速凍水餃的儲藏溫度的范圍，本題得以解決．【規(guī)范解答】解：∵速凍水餃的儲藏溫度是﹣18±2℃， ∴速凍水餃的儲藏溫度是﹣20～﹣16℃，故選項A符合題意，選項B，C，D不符合題意，故選：A．【考點評析】本題考查正數和負數，解答本題的關鍵是明確正負數在題目中的實際意義．【變式訓練1-1】（2016秋?海陵區(qū)校級期末）某種零件，標明要求是φ20±0.02mm（φ表示直徑，單位：毫米），經檢查，一個零件的直徑是19.9mm，該零件　不合格?。ㄌ睢昂细瘛被颉安缓细瘛保?【思路點撥】φ20±0.02 mm，知零件直徑最大是20+0.02＝20.02，最小是20﹣0.02＝19.98，合格范圍在19.98和20.02之間．【規(guī)范解答】解：零件合格范圍在19.98和20.02之間．19.9＜19.98，所以不合格．故答案為：不合格．【考點評析】本題考查數學在實際生活中的應用．【變式訓練1-2】（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）中老鐵路是與中國鐵路網直接連通的國際鐵路，線路北起中國西南地區(qū)的昆明市，南向到達老撾首都萬象市，是“一帶一路”上最成功的樣板工程．從長期看將會使老撾每年的總收入提升21%，若+21%表示提升21%，則﹣10%表示（　　） A．提升10% B．提升31% C．下降10% D．下降﹣10% 【思路點撥】利用正負數表示相反意義的數來選擇即可．【規(guī)范解答】解：∵+21%表示提升21%， ∴﹣10%就表示下降10%．故選：C．【考點評析】本題考查了正負數，做題關鍵是掌握正負數表示意義相反的數．【變式訓練1-3】（2014秋?常熟市校級期末）某文具店在一周的銷售中，盈虧情況如下表（盈余為正，單位：元）：表中星期六的盈虧被墨水涂污了，請你算出星期六的盈虧數，并說明星期六是盈還是虧？盈虧是多少？【思路點撥】設星期六為x元，根據題意可得等量關系：七天的盈虧數之和＝458，根據等量關系列出方程，再解方程即可．【規(guī)范解答】解一：458﹣（﹣27.8﹣70.3+200+138.1﹣8+188），＝458+27.8+70.3﹣200﹣138.1+8﹣188，＝38，因為38為正數，故星期六是盈利，盈利38元，答：星期六是盈利38元．解二：設星期六為x元，則：﹣27.8﹣70.3+200+138.1﹣8+x+188＝458， x＝458+27.8+70.3﹣200﹣138.1+8﹣188， x＝38，因為38為正數，故星期六是盈利，盈利38元，答：星期六是盈利38元．【考點評析】此題主要考查了一元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程．正確理解正負數的意義．【典例精講】（2022秋?宜興市月考）把幾個不相等的數用大括號括起來，中間用逗號斷開，如：{﹣2，7，0，2022}，以這種形式的表述的，我們稱之為集合，其中大括號中的每一個數我們稱之為此集合的元素，如集合{﹣2，7，0，2022}中就有﹣2，7，0，2022這4個元素．如果一個集合滿足：當有理數a是集合中的元素時，有理數6﹣a也必是這個集合中的元素，那么這樣的集合我們稱為“好集合”，例如集合{6，0}就是一個“好集合”．（1）判斷：集合{2，1} 　不是　“好集合”；集合{8，5，3，1，﹣2} 　是　“好集合”（填“是”或“不是”）；．（2）請你寫出滿足條件的兩個“好集合”的例子：　{1，5}?。?　{2，4}??；（3）在所有“好集合”中，請你寫出元素個數最少的集合為　{3}　【思路點撥】（1）當有理數a是集合中的元素時，有理數6﹣a也必是這個集合中的元素，那么這樣的集合我們稱為“好集合”，計算后驗證一下即可判斷；（2）根據有理數a是集合中的元素時，有理數6﹣a也必是這個集合中的元素這個條件盡量寫元素少的集合；（3）在所有的集合中，元素個數最少就是一個，此時a＝6﹣a，由此可求出a，也就求出了元素個數最少的集合【規(guī)范解答】（1）解：∵6﹣2＝4，4不是集合中的元素， ∴集合{2，1}不是“好集合”， ∵6﹣8＝﹣2，6﹣5＝1，6﹣3＝3，6﹣1＝5，6﹣（﹣2）＝8，而8，5，3，1，﹣2都是該集合的元素， ∴集合{8，5，3，1，﹣2}是“好集合”；故答案為：不是，是；（2）解：例如{1，5}，{2，4}（合理即可）．故答案為：{1，5}，{2，4}；（3）解：元素個數最少的集合就是只有一個元素的集合，設其元素為x，則有6﹣x＝x，解得x＝3，故元素個數最少的集合{3}．故答案為：{3}．【考點評析】本題考查了有理數的減法、解一元一次方程，正確理解題意是解題的關鍵．【變式訓練2-1】（2022秋?新吳區(qū)期中）下列各數中為有理數（　　） A．π B． C．3.3030030003… D．面積為2的正方形的邊長a 【思路點撥】根據有理數和無理數的概念，即可解答．【規(guī)范解答】解：A．π是無理數，故A不符合題意； B．是分數，屬于有理數，故B符合題意； C．3.3030030003…是無理數，故C不符合題意； D．面積為2的正方形的邊長a，則，是無理數，故D不符合題意；故選：B．【考點評析】本題考查了實數，熟練掌握有理數和無理數的概念是解題的關鍵．【變式訓練2-2】（2018秋?江陰市校級月考）若a是最小的自然數，b是最大的負整數，c是倒數等于它本身的數，則a+b+c＝（　?。?A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．﹣1或1 【思路點撥】找出最大的負整數，最小的自然數，以及倒數等于本身的數，確定出a，b，c的值．【規(guī)范解答】解：根據題意得：a＝0，b＝﹣1，c＝1或﹣1，則原式＝﹣1+0+1＝0，或原式＝﹣1+0﹣1＝﹣2，故選：C．【考點評析】此題考查了代數式求值，有理數，以及倒數，確定出a，b，c的值是解本題的關鍵．【變式訓練2-3】（2022秋?高港區(qū)期中）在﹣4，，0，，3.14159，1.3，0.121121112…中，有理數有　5　個．【思路點撥】根據有理數的定義選出正確答案，有理數：有理數是整數和分數的統(tǒng)稱，一切有理數都可以化成分數的形式．【規(guī)范解答】解：在﹣4，，0，，3.14159，1.3，0.121121112…中，有理數有﹣4，，0，3.14159，1.3，共5個．故答案為：5．【考點評析】本題主要考查了有理數的定義，特別注意：有理數是整數和分數的統(tǒng)稱，π是無理數．【變式訓練2-4】（2022秋?宿城區(qū)期中）把下列各數：0.618，﹣π，+17，﹣15%，，0.030030003…，﹣102填入相應的集合中： ①整數集合：　+17，﹣102　； ②負數集合：　﹣π，﹣15%，﹣102?。?【思路點撥】由整數，負數的概念，即可分類．【規(guī)范解答】解：①整數集合：+17，﹣102； ②負數集合：﹣π，﹣15%，﹣102．故答案為：①+17，﹣102；②﹣π，﹣15%，﹣102．【考點評析】本題考查整數，負數的概念，關鍵是準確掌握整數，負數的概念．【典例精講】（2022秋?鐘樓區(qū)校級月考）下列各數中，無理數是（　　） A．0. B． C． D．3.121121121112 【思路點撥】有理數能寫成有限小數和無限循環(huán)小數，而無理數只能寫成無限不循環(huán)小數，據此判斷．【規(guī)范解答】解：A．是循環(huán)小數，屬于有理數，故本選項不合題意； B．是無理數，故本選項符合題意； C．是分數，屬于有理數，故本選項不合題意； D．3.121121121112是有限小數，屬于有理數，故本選項不合題意．故選：B．【考點評析】本題考查了有理數的混合運算，掌握有理數混合運算的運算法則和運算順序是關鍵．【變式訓練3-1】（2022秋?溧水區(qū)期末）在中，無理數共有（　?。?A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】運用無理數的概念進行辨別、求解．【規(guī)范解答】解：∵﹣，3.5，1.3是有理數， π，0.1010010001…是無理數，故選：B．【考點評析】此題考查了無理數的辨別能力，關鍵是能準確理解并運用相關概念進行正確地求解．【變式訓練3-2】（2021春?武進區(qū)校級月考）兩個無理數，它們的和為1，這兩個無理數可以是　π，1﹣π（答案不唯一）?。ㄖ灰獙懗鰞蓚€就行）【思路點撥】根據無理數的意義，可得答案．【規(guī)范解答】解：π+（1﹣π）＝1，故答案為：π，1﹣π（答案不唯一）．【考點評析】此題主要考查了無理數的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數，無限不循環(huán)小數為無理數．如π，，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式．【變式訓練3-3】（2022秋?亭湖區(qū)校級月考）下列各數中：12，，，﹣|﹣1|，0.1010010001…（每兩個1之間的0依次加1），其中，無理數有　2　個．【思路點撥】根據無理數的定義（無理數是指無限不循環(huán)小數）判斷即可．【規(guī)范解答】解：無理數有，0.1010010001…（每兩個1之間的0依次加1），共有2個，故答案為：2．【考點評析】此題主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：π，2π等；開方開不盡的數；以及像0.1010010001…（每兩個1之間的0依次加1），等有這樣規(guī)律的數．【典例精講】（2023?張家口模擬）如圖1，點A，B，C是數軸上從左到右排列的三點，分別對應的數為﹣4，b，5．某同學將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數字0對齊數軸上的點A，發(fā)現點B對齊刻度尺1.5cm處，點C對齊刻度尺4.5cm處．（1）在圖1的數軸上，AC＝　9　個單位長度；（2）求數軸上點B所對應的數b為　﹣1?。? 【思路點撥】（1）根據兩點之間的距離即可得出答案；（2）先求出1個單位長度是多少厘米，再求1.5厘米是幾個單位長度，根據有理數的加法即可得出答案．【規(guī)范解答】解：（1）5﹣（﹣4）＝9（個），故答案為：9；（2）4.5÷9＝0.5（厘米）， 1.5÷0.5＝3（個）， b＝﹣4+3＝﹣1，故答案為：﹣1．【考點評析】本題考查了數軸，掌握如果數軸上兩點A，B表示的數為a，b，那么A，B之間的距離＝|a﹣b|是解題的關鍵．【變式訓練4-1】（2022秋?虎丘區(qū)校級月考）如圖1，點A，B，C是數軸上從左到右排列的三個點，分別對應的數為﹣5，b，4，某同學將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數字0對齊數軸上的點A，發(fā)現點B對應刻度1.8cm，點C對齊刻度5.4cm．則數軸上點B所對應的數b為（　?。?A．3 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【思路點撥】根據刻度尺上的刻度與數軸上得單位長度的比值不變求解．【規(guī)范解答】解：∵5.4÷（4+5）＝0.6（cm）， ∴1.8÷0.6＝3， ∴﹣5+3＝﹣2，故選：C．【考點評析】本題考查了數軸，刻度尺上的刻度與數軸上得單位長度的比值不變是解題的關鍵．【變式訓練4-2】（2021秋?海安市校級月考）已知有理數a、b在數軸上的位置如圖所示，下列結論正確的是（　?。? A．a＞b B．ab＜0 C．b﹣a＞0 D．a+b＞0 【思路點撥】由數軸可得b＜a＜0，從而可以判斷選項中的結論是否正確，從而可以解答本題．【規(guī)范解答】解：∵由數軸可得，b＜a＜0， ∴a＞b，（故A正確）； ab＞0，（故B錯誤）； b﹣a＜0，（故C錯誤）； a+b＜0，（故D錯誤）．故選：A．【考點評析】本題考查數軸，解題的關鍵是明確數軸的特點，能根據各數的大小判斷選項中的結論是否成立．【變式訓練4-3】（2021秋?句容市期末）如圖，數軸上有A、B、C三點，C為AB的中點，點B表示的數為2，點C表示的數為﹣1，則點A表示的數為　﹣4?。? 【思路點撥】根據數軸上兩點間距離進行計算即可．【規(guī)范解答】解：設點A表示的數為x， ∵C為AB的中點， ∴BC＝CA， ∴﹣1﹣x＝2﹣（﹣1）， ∴x＝﹣4， ∴點A表示的數為：﹣4，故答案為：﹣4．【考點評析】本題考查了數軸，熟練掌握數軸上兩點間距離是解題的關鍵．【變式訓練4-4】（2016秋?海陵區(qū)校級期末）如圖，已知數軸上點A表示的數為6，B是數軸上在A左側的一點，且A，B兩點間的距離為10．動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒．（1）數軸上點B表示的數是　﹣4　，點P表示的數是　6﹣6t?。ㄓ煤瑃的代數式表示）；（2）動點Q從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)．求： ①當點P運動多少秒時，點P與點Q相遇？ ②當點P運動多少秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度？【思路點撥】（1）由已知得OA＝6，則OB＝AB﹣OA＝4，因為點B在原點左邊，從而寫出數軸上點B所表示的數；動點P從點A出發(fā)，運動時間為t（t＞0）秒，所以運動的單位長度為6t，因為沿數軸向左勻速運動，所以點P所表示的數是6﹣6t；（2）①點P運動t秒時追上點Q，由于點P要多運動10個單位才能追上點Q，則6t＝10+4t，然后解方程得到t＝5； ②分兩種情況：當點P運動a秒時，不超過Q，則10+4a﹣6a＝8；超過Q，則10+4a+8＝6a；由此求得答案解即可．【規(guī)范解答】解：（1）∵數軸上點A表示的數為6， ∴OA＝6，則OB＝AB﹣OA＝4，點B在原點左邊， ∴數軸上點B所表示的數為﹣4；點P運動t秒的長度為6t， ∵動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動， ∴P所表示的數為：6﹣6t；（2）①點P運動t秒時追上點Q，根據題意得6t＝10+4t，解得t＝5，答：當點P運動5秒時，點P與點Q相遇； ②設當點P運動a秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度，當P不超過Q，則10+4a﹣6a＝8，解得a＝1；當P超過Q，則10+4a+8＝6a，解得a＝9；答：當點P運動1或9秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度．【考點評析】此題考查的知識點是兩點間的距離及數軸，根據已知得出各線段之間的關系等量關系是解題關鍵．【變式訓練4-5】（2022秋?相城區(qū)校級月考）某出租車駕駛員從公司出發(fā)，在南北向的人民路上連續(xù)接送5批客人，行駛路程記錄如下（規(guī)定向南為正，向北為負，單位：km）：（1）接送完第5批客人后，該駕駛員在公司什么方向，距離公司多少千米？（2）若該出租車每千米耗油0.2升，那么在這過程中共耗油多少升？【思路點撥】（1）將表格中的里程數求和即可得出答案．（2）將表格中的里程數的絕對值求和，再乘以0.2即可．【規(guī)范解答】解：（1）5+2+（﹣4）+（﹣3）+10＝10（km）．答：接送完第5批客人后，該駕駛員在公司南邊10千米處．（2）（5+2+|﹣4|+|﹣3|+10）×0.2＝4.8（升）．答：在這過程中共耗油4.8升．【考點評析】本題考查了正數和負數在實際問題中的應用，熟練掌握正數和負數的意義并理清題中的數量關系是解題的關鍵．【典例精講】（2021秋?相城區(qū)校級月考）在數軸上表示下列各數：0，﹣2.5，﹣3，+5，，4.5及它們的相反數．【思路點撥】根據相反數的定義，只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，0的相反數是0，可寫出已知六個數的相反數；再根據一對相反數在數軸上的位置特點，分別在原點的左右兩邊，并且與原點的距離相等，可把各數與其相反數在數軸上依次表示出來．【規(guī)范解答】解：0的相反數是0， ﹣2.5的相反數是2.5， ﹣3的相反數是3， +5的相反數是﹣5， 1的相反數是﹣1， 4.5的相反數是﹣4.5．在數軸上可表示為：【考點評析】本題主要考查了相反數的定義及在數軸上表示數的方法，比較簡單，體現了數形結合的思想．【變式訓練5-1】（2022秋?吳江區(qū)校級月考）﹣3的相反數是（　?。?A．3 B．0 C． D．﹣3 【思路點撥】利用相反數的概念：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，進而得出答案．【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】解：﹣3的相反數是：3．故選：A．【考點評析】此題主要考查了相反數，正確把握定義是解題關鍵．【變式訓練5-2】（2014秋?興化市校級期中）﹣1的相反數是　1　．【思路點撥】根據只有符號不同的兩個數叫做互為相反數解答．【規(guī)范解答】解：﹣1的相反數是1．故答案為：1．【考點評析】本題考查了相反數的定義，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵．【變式訓練5-3】．（2021秋?惠山區(qū)校級月考）記M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，M（n）＝（其中n為正整數）．（1）計算：M（5）+M（6）；（2）求2M（2019）+M（2020）的值；（3）說明2M（n）與M（n+1）互為相反數．【思路點撥】（1）根據M（n）＝（其中n為正整數），可得M（5），M（6）；根據有理數的加法，可得答案；（2）根據乘方的意義，可得M（2019），M（2020），根據有理數的加法，可得答案；（3）根據乘方的意義，可得M（n），M（n+1），根據有理數的加法，可得答案．【規(guī)范解答】解：（1）M（5）+M（6）＝（﹣2）5+（﹣2）6＝﹣32+64＝32；（2）2M（2019）+M（2020）＝2×（﹣2）2019+（﹣2）2020＝﹣（﹣2）×（﹣2）2019+（﹣2）2020＝﹣（﹣2）2020+（﹣2）2020＝0；（3）2M（n）+M（n+1）＝﹣（﹣2）×（﹣2）n+（﹣2）n+1＝﹣（﹣2）n+1+（﹣2）n+1＝0， ∴2M（n）與M（n+1）互為相反數．【考點評析】本題主要考查了新定義運算和有理數的混合運算，掌握規(guī)律是解答此題的關鍵．【典例精講】（2013秋?東臺市校級月考）下列說法： ①有理數的絕對值一定是正數； ②一個數的絕對值的相反數一定是負數； ③互為相反數的兩個數，必然一個是正數，一個是負數； ④互為相反數的兩個數絕對值相等； ⑤絕對值最小的數是0； ⑥任何一個數都有它的相反數．其中正確的個數有（　?。?A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【思路點撥】分別根據相反數的定義及絕對值的性質進行解答即可．【規(guī)范解答】解：①0的絕對值是0，故原來的說法是錯誤的； ②0的絕對值的相反數是0，故原來的說法是錯誤的； ③互為相反數的兩個0，既不是正數，也不是負數，故原來的說法是錯誤的； ④互為相反數的兩個數絕對值相等是正確的； ⑤絕對值最小的數是0是正確的； ⑥任何一個數都有它的相反數是正確的．其中正確的個數有3個．故選：D．【考點評析】本題考查的是相反數的定義及絕對值的性質，即只有符號不同的兩個數叫互為相反數；一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．【變式訓練6-1】（2022秋?灌云縣月考）若a＜0，且|a|＝4，則a+1＝　﹣3　．【思路點撥】根據絕對值的定義求出a的值，再代入計算a+1的值即可．【規(guī)范解答】解：若a＜0，且|a|＝4，所以a＝﹣4，所以a+1＝﹣3，故答案為：﹣3．【考點評析】本題考查絕對值，理解絕對值的定義是正確解答的前提，求出a的值是解決問題的關鍵．【變式訓練6-2】（2018秋?京口區(qū)校級月考）若|x|＝9，則x＝　±9?。?【思路點撥】根據絕對值的性質解答即可．【規(guī)范解答】解：若|x|＝9，則x＝±9，故答案為：±9．【考點評析】此題考查絕對值問題，關鍵是根據絕對值的性質解答．【變式訓練6-3】（2014秋?蘇州期中）【閱讀】|5﹣2|表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5與﹣2的差的絕對值，也可理解為5與﹣2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離．【探索】（1）若|x﹣2|＝5，則x＝　7或﹣3??；（2）利用數軸，找出所有符合條件的整數x，使x所表示的點到2和﹣1所對應的點的距離之和為3．（3）由以上探索猜想，對于任意有理數x，|x﹣2|+|x+3|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．【思路點撥】（1）|x﹣2|可以理解為x與2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離，根據|x﹣2|＝5即可求得x的值；（2）計算|x﹣2|+|x+1|＝3，求得x的取值范圍即可解題；（3）|x﹣2|+|x+3|可以理解為數軸上一個點到2和﹣3的距離，即可解題．【規(guī)范解答】解：|x﹣2|可以理解為x與2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離，到2的距離為5的數字有7和﹣3，故答案為7或﹣3；（2）|x﹣2|+|x+1|＝3，當x＜﹣1時，|x﹣2|+|x+1|＝2﹣x﹣1﹣x＝3﹣2x＝3，x＝0（不符合題意舍去）；當1﹣≤x≤2時，|x﹣2|+|x+1|＝2﹣x+x+1＝3，當x＞2時，|x﹣2|+|x+1|＝x﹣2+x+1＝2x﹣1＝3，x＝2（不符合題意舍去）；綜上所述，當﹣1≤x≤2時，x所表示的點到2和﹣1所對應的點的距離之和為3；所以滿足條件的整數為﹣1，0，1，2；（3）|x﹣2|+|x+3|可以理解為數軸上一個點到2和﹣3的距離，求證方法和（2）相同，故有最小值為5．【考點評析】本題考查了絕對值的計算，考查了絕對值的定義．本題屬于基礎題，牢記絕對值定義是解題的關鍵．【典例精講】（2022秋?邗江區(qū)校級月考）若|a﹣1|與|b﹣2|互為相反數，則a+b的值為（　?。?A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 【思路點撥】根據非負數互為相反數，可得這兩個數為零，可得a、b的值，根據有理數的加法，可得答案．【規(guī)范解答】解：∵|a﹣1|與|b﹣2|互為相反數， ∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0，又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，解得a＝1，b＝2， a+b＝1+2＝3．故選：A．【考點評析】本題考查了非負數的性質，利用非負數互為相反數得出這兩個數為零0是解題關鍵．【變式訓練7-1】（2022秋?吳江區(qū)校級月考）若|a﹣2|與|b+4|互為相反數，則a+b的值為　　﹣2?。?【思路點撥】由|a﹣2|與|b+4|互為相反數，得出|a﹣2|+|b+4|＝0，從而求出a、b的值，即可得到結果．【規(guī)范解答】解：∵|a﹣2|與|b+4|互為相反數， ∴|a﹣2|+|b+4|＝0， ∴a﹣2＝0，b+4＝0，解得a＝2，b＝﹣4， ∴a+b＝2﹣4＝﹣2．故答案為：﹣2．【考點評析】本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0．【變式訓練7-2】（2022秋?秦淮區(qū)校級月考）已知b、c滿足|b﹣1|+|c+|＝0，則b+c的值是　?。?【思路點撥】根據絕對值的非負性，求出b、c的值，再代入計算即可．【規(guī)范解答】解：∵|b﹣1|+|c+|＝0， ∴b﹣1＝0，c+＝0，解得b＝1，c＝﹣， ∴b+c＝1﹣＝，故答案為：．【考點評析】本題考查絕對值的非負性，掌握“幾個非負數的和為0，則這些非負數均為0”是解決問題的關鍵．【變式訓練7-3】（2018秋?鐘樓區(qū)校級月考）閱讀理解：小紅和小明在研究絕對值的問題時，碰到了下面的問題： “當式子|x+1|+|x﹣2|取最小值時，相應的x取值范圍是　﹣1≤x≤2　，最小值是　3　”．小紅說：“如果去掉絕對值問題就變得簡單了．” 小明說：“利用數軸可以解決這個問題．” 他們把數軸分為三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，經研究發(fā)現，當﹣1≤x≤2時，值最小為3．請你根據他們的解題解決下面的問題： ①當式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|取最小值時，相應x＝　4　，最小值是　4　． ②已知y＝|2x+8|﹣|4x+2|，求相應的x的取值范圍及y的最大值，寫出解答過程．【思路點撥】閱讀理解：根據線段上的點與線段的端點的距離最小，可得答案；（1）根據線段上的點與線段的端點的距離最小，可得答案；（2）根據兩個絕對值，可得分類的標準，根據每一段的范圍，可得到答案．【規(guī)范解答】解：閱讀理解：當式子|x+1|+|x﹣2|取最小值時，相應的x取值范圍是﹣1≤x≤2，最小值是3，故答案為﹣1≤x≤2，3；（1）當式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|取最小值時，相應的x＝4，最小值是4；故答案為4，4；（2）當x≥﹣時y＝﹣2x+6，當x＝﹣時，y最大＝7；當﹣4≤x≤﹣時，y＝6x+10，當x＝﹣時，y最大＝7；當x≤﹣4，時y＝2x﹣6，當x＝﹣4時，y最大＝﹣14，所以x＝﹣時，y有最大值y＝7．【考點評析】本題考查了絕對值，線段上的點與線段的端點的距離最小，（2）分類討論是解題關鍵．【典例精講】（2022秋?姜堰區(qū)月考）如圖，點A、B、C在數軸上表示的數分別為a、b、c，且OA+OB＝OC，則下列結論中，①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c＝b；④＝1．其中正確的是　②③?。ㄌ钚蛱枺? 【思路點撥】根據圖示，可得c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|＝|c|，據此逐項判定即可．【規(guī)范解答】解：①∵c＜a＜0，b＞0， ∴abc＞0， ∴選項①不正確； ②∵c＜a＜0，b＞0，|b|＜|c|， ∴b+c＜0， ∴a（b+c）＞0， ∴選項②正確； ③∵OA+OB＝OC， ∴|a|+|b|＝|c|， ∴﹣a+b＝﹣c， ∴a﹣c＝b， ∴選項③正確； ④++ ＝﹣1+1﹣1 ＝﹣1， ∴選項④不正確， ∴正確的個數有2個：②③．故答案為：②③．【考點評析】此題主要考查了數軸的特征和應用，以及絕對值的含義和求法，要熟練掌握．【變式訓練8-1】（2022秋?句容市月考）下面算式與的值相等的是（　?。?A． B． C． D．【思路點撥】根據有理數的加減混合運算法則計算即可得出答案．【規(guī)范解答】解：由于＝＝＝＝．對于A選項，＝＝﹣ ＝，故A選項不符合；對于B選項，＝＝＝，故B選項不符合；對于C選項，＝＝＝，故C選項符合；對于D選項，＝＝＝，故D選項不符合．故選：C．【考點評析】本題考查有理數的加減混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．【變式訓練8-2】（2022秋?如皋市校級月考）將式子（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）省略括號和加號后變形正確的是（　?。?A．20﹣3+5﹣7 B．﹣20﹣3+5+7 C．﹣20+3+5﹣7 D．﹣20﹣3+5﹣7 【思路點撥】先把加減法統(tǒng)一成加法，再省略括號和加號．【規(guī)范解答】解：（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）＝﹣20+3+5﹣7．故選：C．【考點評析】把同號得正，異號得負運用到省略括號和加號的形式中，可使計算更簡單不易出錯．【變式訓練8-3】（2021秋?江陰市校級月考）規(guī)定圖形表示運算a﹣b+c，圖形表示運算x+z﹣y﹣w，則+＝　0?。ㄖ苯訉懗龃鸢福?【思路點撥】根據題中的新定義化簡，計算即可得到結果．【規(guī)范解答】解：根據題意得：1﹣2+3+4+6﹣5﹣7＝0．故答案為：0．【考點評析】此題考查了有理數的加減混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．【變式訓練8-4】（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）廠家檢測10個足球的質量，每個足球的標準質量為265克，將每個足球超過克數記為正數，不足克數記為負數，這10個足球稱重后的記錄為：+1，+1，﹣1.3，+1.5，﹣1，+1.2，+1.3，﹣1.2，+1.4，+1.1．這十個足球的質量共是　2655　克．【思路點撥】先求解10個足球質量與標準值的差值的和，再與10個足球的標準值相加即可求解．【規(guī)范解答】解：+1+1﹣1.3+1.5﹣1+1.2+1.3﹣1.2+1.4+1.1＝5（克）， 265×10+5＝2655（克），所以這十個足球的質量一共是2655克，故答案為：2655．【考點評析】本題主要考查正數與負數，有理數的混合運算，理解正數與負數的意義是解題的關鍵．【變式訓練8-5】（2022秋?興化市校級期末）在2022年8月的北碚山火救災中，位于山腰的2號物資集散地作為重要的物資中轉站，8月21日結束時還剩礦泉水16箱，集散地礦泉水的進出情況如下表（運進記作“+”．運出記作“﹣”），經過五天奮戰(zhàn)，8月26日結束時還剩礦泉水36箱．（1）直接寫出a、b、c的值：a＝　﹣36??；b＝　0　；c＝　﹣22　；（2）請通過計算求出哪一天結束時2號物資集散地礦泉水數量最多？（3）由于地勢陡峭，2號物資集散地礦泉水的進出運輸都只能由“山城騎士”摩托車隊完成，為保證安全，每位騎士一次只能運輸2箱礦泉水，則需要多少人次才能完成這五天的任務？【思路點撥】（1）根據題意可求出22日﹣26日每天結束時剩余的礦泉水數量，即可求出a，b，c的值；（2）求出22日﹣26日每天結束時剩余的礦泉水數量即可求解；（3）將22日﹣26日每天運出與運進的礦泉水數量相加再除以每位騎士一次只能運輸2箱礦泉水即可求解．【規(guī)范解答】解：（1）∵8月21日結束時還剩礦泉水16箱， ∴8月22日結束時還剩礦泉水：16+24＝40（箱）， 8月23日結束時還剩礦泉水：40+16＝56箱， 8月23日結束時還剩礦泉水40+52+a＝56，即a＝﹣36， 8月24日結束時還剩礦泉水：56+（﹣10）＝46（箱）， 8月25日結束時還剩礦泉水：46+12＝58（箱）， 8月26日結束時還剩礦泉水36箱， ∴36﹣58＝﹣22，即c＝﹣22， ∴b+（﹣22）＝c，即b+（﹣22）＝﹣22，解得b＝0，故答案為：﹣36，0，﹣22；（2）由（1）得8月25日結束時還剩礦泉水數量最多；（3）2號物資集散地礦泉水的進出運輸數量是：54+30+52+36+40+50+64+52+22＝400， ∵每位騎士一次只能運輸2箱礦泉水， ∴400÷2＝200，答：需要200人次才能完成這五天的任務．【考點評析】本題主要考查了正數和負數和有理數的混合運算，理解題意掌握正數和負數表示相反意義的量和有理數的混合運算法則是解題的關鍵．【變式訓練8-6】（2020秋?泗陽縣期中）某縣教育局倡導全民閱讀行動，婷婷同學堅持閱讀，她每天以閱讀30分鐘為標準，超過的時間記作正數，不足的時間記作負數．下表是她一周閱讀情況的記錄（單位：分鐘）：（1）星期五婷婷讀了　28　分鐘；（2）她讀得最多的一天比最少的一天多了　23　分鐘；（3）求她這周平均每天讀書的時間．【思路點撥】（1）列出算式，再求出即可；（2）用其中最大的正整數減去最小的負整數即可；（3）先求出讀書的總時間，再除以7即可．【規(guī)范解答】解：（1）30﹣2＝28（分鐘），即星期五婷婷讀了28分鐘；故答案為：28；（2）13﹣（﹣10）＝23（分鐘），即她讀得最多的一天比最少的一天多了23分鐘；故答案為：23；（3）9+10﹣10+13﹣2+0+8＝28（分鐘）， 28÷7+30＝34（分鐘），答：她這周平均每天讀書的時間為34分鐘．【考點評析】本題考查了正數與負數的意義，正確理解正數與負數的意義是解題的關鍵．【典例精講】．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，A，B，C，D，E是數軸上5個點，A點表示的數為9，E點表示的數為9100，AB＝BC＝CD＝DE，則數999所對應的點在線段　AB　上．【思路點撥】先根據AB＝BC＝CD＝DE，計算出每一個線段的長度，再把AB的長度與999﹣9進行比較即可．【規(guī)范解答】解：∵A點表示數為9，E點表示的數為9100， ∴AE＝9100﹣9， ∵AB＝BC＝CD＝DE， ∴， ∴B點表示的數為， ∵ ＝， ∴＞0， ∴數999所對應的點在B點左側， ∴數999所對應的點在AB點之間，故答案為：AB．【考點評析】本題考查了數軸，掌握兩點之間的距離是正確解答的前提，估算出的大小是得出正確答案的關鍵．【變式訓練9-1】（2021秋?豐縣校級月考）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復幾次，就把這根很粗的面條拉成了許多細的面條，如草圖所示．這樣捏合到第8次后可拉出　256　根細面條．【思路點撥】根據題意列出算式，計算即可得到結果．【規(guī)范解答】解：根據題意得：28＝256，故答案為：256 【考點評析】此題考查了有理數的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關鍵．【變式訓練9-2】（2022秋?灌云縣期中）下列各數：0，﹣80，，（﹣1）3，+|﹣2|，﹣（+62），其中屬于負整數的共有　3　個．【思路點撥】先化簡（﹣1）3，+|﹣2|，﹣（+62），再根據負整數的含義可得答案．【規(guī)范解答】解：∵（﹣1）3＝﹣1，+|﹣2|＝2，﹣（+62）＝﹣62， ∴0，﹣80，，（﹣1）3，+|﹣2|，﹣（+62）中的負整數有：﹣80，（﹣1）3，﹣（+62）共3個，故答案為：3．【考點評析】本題考查的是有理數的分類，乘方運算的含義，掌握“負整數的含義以及乘方運算的運算法則”是解本題的關鍵．【變式訓練9-3】（2021秋?六合區(qū)期中）類比有理數的乘方，我們把求若干個相同的有理數（均不等0）的除法運算叫做除方，記作a?，讀作“a的圈n次方”．如2÷2÷2，記作2③，讀作“2的圈3次方；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”．（1）直接寫出計算結果：2③＝　　，（﹣）④＝　4??；（2）除方也可以轉化為冪的形式，如2④＝2÷2÷2÷2＝2×××＝（）2．試將下列運算結果直接寫成冪的形式（﹣3）④＝?。ǎ?　；（）⑩＝　28??；a?＝　（）n﹣2??；（3）計算：22×（﹣）④÷（﹣2）③﹣（﹣3）②．【思路點撥】（1）根據除方的定義計算即可；（2）把除法轉化為乘法即可得出答案；（3）根據除方的定義計算即可．【規(guī)范解答】解：（1）2÷2÷2＝，（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝1×（﹣2）×（﹣2）＝4，故答案為：，4；（2）（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（﹣）×（﹣）＝（）2， ÷÷＝1×2×2×2×2×2×2×2×2＝28，＝1×＝（）n﹣2，故答案為：，28，；（3）原式＝＝4×9×（﹣2）﹣1 ＝﹣72﹣1 ＝﹣73．【考點評析】本題考查了有理數的乘方，有理數的乘除法，體現了轉化思想，掌握除以一個不為0的數等于乘這個數的倒數是解題的關鍵．【典例精講】（2021秋?江都區(qū)期末）若（a+3）2+|b﹣2|＝0，則ab＝　9　．【思路點撥】根據非負數的性質列式求出a、b的值，然后代入代數式進行計算即可得解．【規(guī)范解答】解：根據題意得，a+3＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣3，b＝2，所以，ab＝（﹣3）2＝9．故答案為：9．【考點評析】本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0．【變式訓練10-1】（2022秋?海安市校級月考）設a是任意有理數，下列說法正確的是（　?。?A．（a+1）2的值總是正的 B．a2+1的值總是正的 C．﹣（a+1）2的值總是負的 D．a2+1的值中，最大值是1 【思路點撥】根據偶次方的非負性，即a2≥0進行判斷即可．【規(guī)范解答】解：（a+1）2≥0，A錯誤； a2+1＞0，B正確； ﹣（a+1）2，≤0，C錯誤； a2+1的值中，最小值是1，D錯誤，故選：B．【考點評析】本題考查的是偶次方的非負性，掌握a2≥0是解題的關鍵．【變式訓練10-2】（2022秋?漣水縣期中）已知x，y滿足|x﹣5|+（x﹣y﹣1）2＝0，則（x﹣y）2022的值是（　?。?A．5 B．﹣1 C．4 D．1 【思路點撥】先根據非負數的性質列出關于x，y的方程組，求出x，y的值代入代數式進行計算即可．【規(guī)范解答】解：由題意，解得，所以原式＝（5﹣4）2022＝1．故選：D．【考點評析】本題考查的是非負數的性質，熟知當幾個數或式的偶次方或絕對值相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0是解題的關鍵．【變式訓練10-3】（2018秋?清江浦區(qū)期中）已知：|x﹣3|+（y+1）2＝0，則xy＝　﹣3?。?【思路點撥】根據非負數的性質列出方程求出x、y的值，代入所求代數式計算即可．【規(guī)范解答】解：∵|x﹣3|+（y+1）2＝0， ∴x﹣3＝0，y+1＝0， ∴x＝3，y＝﹣1， ∴xy＝3×（﹣1）＝﹣3．故答案為：﹣3．【考點評析】此題主要考查了非負數的性質，初中階段有三種類型的非負數：絕對值、偶次方、二次根式（算術平方根）．當它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．【變式訓練10-4】（2017秋?灌南縣期中）已知（x+3）2與|y﹣2|互為相反數，z是絕對值最小的有理數，求（x+y）y+xyz的值．【思路點撥】根據題意z是絕對值最小的有理數可知，z＝0，且互為相反數的兩數和為0，注意平方和絕對值都具有非負性．【規(guī)范解答】解：∵（x+3）2與|y﹣2|互為相反數， ∴（x+3）2+|y﹣2|＝0， ∵（x+3）2≥0，|y﹣2|≥0， ∴（x+3）2＝0，|y﹣2|＝0，即x+3＝0，y﹣2＝0， ∴x＝﹣3，y＝2， ∵z是絕對值最小的有理數，∴z＝0．（x+y）y+xyz＝（﹣3+2）2+（﹣3）×2×0＝1．故答案為：1 【考點評析】本題主要考查了非負數的性質．初中階段有三種類型的非負數：（1）絕對值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術平方根）．當它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．根據這個結論可以求解這類題目．【典例精講】（2022秋?秦淮區(qū)期末）計算的結果是　?。?【思路點撥】設，化簡求解即可．【規(guī)范解答】解：設，原式＝＝＝．故答案為：．【考點評析】此題主要考查有理數的混合運算，解題的關鍵是根據題意把看作一個整體．【變式訓練11-1】（2021秋?梁溪區(qū)校級期中）已知m是最小的正整數，n是最大的負整數，a，b互為相反數，x，y互為倒數，則m2+n3+a+b﹣xy的值是（　?。?A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【思路點撥】利用相反數、倒數的性質，以及最小的正整數為1，最大負整數為﹣1求出各自的值，代入原式計算即可求出值．【規(guī)范解答】解：根據題意得：m＝1，n＝﹣1，a+b＝0，xy＝1，則原式＝1﹣1+0﹣1＝﹣1．故選：B．【考點評析】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式訓練11-2】（2022秋?江都區(qū)期中）如圖所示的程序計算，若開始輸入的值為，則輸出的結果y是（　　） A．25 B．30 C．45 D．40 【思路點撥】依據程序圖按要求列出算式計算即可．【規(guī)范解答】解：（﹣）×（﹣4）﹣（﹣1）＝2+1＝3＜10，再次輸入運算： 3×（﹣4）﹣（﹣1）＝﹣12+1＝﹣11＜10，再次輸入運算：（﹣11）×（﹣4）﹣（﹣1）＝44+1＝45＞10， ∴輸出的結果y45，故選：C．【考點評析】本題主要考查了有理數的混合運算，本題是操作型題目，依據程序圖按要求列出算式是解題的關鍵．【變式訓練11-3】（2015秋?東臺市月考）根據“二十四點”游戲的規(guī)則，用僅含有加、減、乘、除及括號的運算式（每個數字只能用一次），使12，﹣12，3，﹣1的運算結果等于24：　3×（﹣12）×（﹣1）﹣12＝24?。ㄖ灰獙懗鲆粋€算式即可）【思路點撥】利用“二十四點”游戲的規(guī)則列出算式即可．【規(guī)范解答】解：根據題意得：3×（﹣12）×（﹣1）﹣12＝24，故答案為：3×（﹣12）×（﹣1）﹣12＝24．【考點評析】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式訓練11-4】（2022秋?句容市月考）問題探索：如圖，將一根木棒放在數軸（單位長度為1cm）上，木棒左端與數軸上的點A重合，右端與數軸上的點B重合．（1）若將木棒沿數軸向右水平移動，則當它的左端移動到點B時，它的右端在數軸上所對應的數為30；若將木棒沿數軸向左水平移動，則當它的右端移動到點A時，它的左端在數軸上所對應的數為6，由此可得這根木棒的長為　8　cm．（2）圖中點A所表示的數是　14　，點B所表示的數是　22?。?實際應用：由（1）（2）的啟發(fā)，請借助“數軸”這個工具解決下列問題：（3）一天，妙妙去問奶奶的年齡，奶奶說：“我若是你現在這么大，你還要35年才出生；你若是我現在這么大，我就115歲啦!”請問妙妙現在多少歲了？【思路點撥】（1）由題意可得數6與數30之間的線段的長等于AB的三倍，根據這一關系可求結論；（2）利用AB＝8，用6+8和30﹣8即可得出結論；（3）依題意仿照（1）方法得到兩端的數字為﹣35，115，則115﹣（﹣35）為奶奶年齡的三倍，則奶奶年齡可求，妙妙的年齡為50﹣35．【規(guī)范解答】解：（1）由題意可得：數6與數30之間的線段的長等于AB的三倍， ∴AB＝（30﹣6）÷3＝8．故答案為：8；（2）∵AB＝8， ∴點A表示的數為：6+8＝14，點B表示的數為：30﹣8＝22，故答案為：14，22；（3）當奶奶像妙妙這樣大時，妙妙為（﹣35）歲，所以奶奶與妙妙的年齡差為[115﹣（﹣35）]÷3＝50（歲），所以妙妙現在的年齡為115﹣50﹣50＝15（歲）．【考點評析】本題主要考查了數軸，實數的混合運算，本題是閱讀型題目，理解題干中的方法并熟練應用是解題的關鍵．【變式訓練11-5】（2017秋?沛縣期中）概念學習規(guī)定：求若干個相同的有理數（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）記作a?，讀作“a的圈n次方”．初步探究（1）直接寫出計算結果：2③＝　　，⑤＝　﹣8??；（2）關于除方，下列說法錯誤的是　C　 A．任何非零數的圈2次方都等于1； B．對于任何正整數n，1?＝1； C.3④＝4③ D．負數的圈奇數次方結果是負數，負數的圈偶數次方結果是正數．深入思考我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？（1）試一試：仿照上面的算式，將下列運算結果直接寫成冪的形式．（﹣3）④＝　?。?⑥＝　　；⑩＝　28?。?（2）想一想：將一個非零有理數a的圈n次方寫成冪的形式等于　?。?（3）算一算：．【思路點撥】初步探究（1）根據新定義計算；（2）根據新定義可判斷C錯誤；深入思考（1）把有理數的除方運算轉化為乘方運算進行計算；（2）利用新定義求解；（3）先把除方運算轉化為乘方運算進行計算，然后進行乘除運算．【規(guī)范解答】解：初步探究（1）2③＝，⑤＝﹣8；（2）C選項錯誤；深入思考（1）（﹣3）④＝；5⑥＝；⑩＝28．（2）a?＝；（3）原式＝122÷32×（﹣23）﹣34÷33 ＝﹣131．故答案為，﹣8，C，，，28，．【考點評析】本題考查了有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算．進行有理數的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．【變式訓練11-6】（2022秋?玄武區(qū)校級期末）計算：（1）﹣23﹣×[4﹣（﹣3）2]；（2）（﹣﹣）×（﹣24）．【思路點撥】（1）先算乘方，再算括號里的運算，接著算乘法，最后算加法即可；（2）利用乘法的分配律進行運算即可．【規(guī)范解答】解：（1）﹣23﹣×[4﹣（﹣3）2] ＝﹣8﹣×（4﹣9）＝﹣8﹣×（﹣5）＝﹣8+1 ＝﹣7；（2）（﹣﹣）×（﹣24）＝＝﹣8+4+18 ＝14．【考點評析】本題主要考查有理數的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．【典例精講】．（2022秋?泗陽縣期末）在國家“一帶一路”戰(zhàn)略下，途經城市和國家最多的一趟專列全程為13000km．將13000用科學記數法表示應為　1.3×104?。?【思路點撥】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【規(guī)范解答】解：數字13000用科學記數法可表示為1.3×104．故答案為：1.3×104．【考點評析】此題考查科學記數法的表示方法，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．【變式訓練12-1】（2022秋?句容市校級期末）2022年10月16日上午10時，中國共產黨第二十次全國代表大會開幕，習近平代表第十九屆中央委員會向黨的二十大作報告，報告中提到，十年來，我國人均國內生產總值從三萬九千八百元增加到八萬一千元，八萬一千用科學記數法可以表示為（　?。?A．0.81×105 B．8.1×103 C．81×103 D．8.1×104 【思路點撥】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數；當原數的絕對值＜1時，n是負整數．【規(guī)范解答】解：八萬一千＝81000＝8.1×104．故選：D．【考點評析】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．【變式訓練12-2】（2018秋?鼓樓區(qū)期中）港珠澳大橋2018年10月24日上午9時正式通車，這座大橋跨越伶仃洋，東接香港，西接廣東珠海和澳門，總長約55000m，集橋、島、隧于一體，是世界最長的跨海大橋，數據55000用科學記數法表示為（　?。?A．5.5×105 B．55×104 C．5.5×104 D．5.5×106 【思路點撥】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【規(guī)范解答】解：55000＝5.5×104，故選：C．【考點評析】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．【變式訓練12-3】（2011秋?戚墅堰區(qū)校級期中）已知地球距離月球表面約為384000千米，那么384000用科學記數法表示為　3.84×105?。?【思路點撥】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值是易錯點，由于384000有6位，所以可以確定n＝6﹣1＝5．【規(guī)范解答】解：384 000＝3.84×105．故答案為：3.84×105．【考點評析】此題考查科學記數法表示較大的數的方法，準確確定n值是關鍵．【變式訓練12-4】（2022秋?昆山市校級月考）已知10×102＝1000＝103， 102×102＝10000＝104， 102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝　1010　，10m×10n＝　10m+n?。╩，n均為正整數）（2）運用上述猜想計算下列式子： ①（1.5×104）×（1.2×105）； ②（﹣6.4×103）×（2×106）．【思路點撥】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥1時，n是非負數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【規(guī)范解答】解：（1）106×104＝1010，10m×10n＝10m+n；故答案為：1010；10m+n；（2）①（1.5×104）×（1.2×105）＝（1.5×1.2）×（104×105）＝1.8×109； ②（﹣6.4×103）×（2×106）＝（﹣6.4×2）×（103×106）＝﹣12.8×109＝﹣1.28×1010．【考點評析】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值作用舉例表示數的性質0是自然數、是有理數表示沒有3個蘋果用+3表示，沒有蘋果用0表示表示某種狀態(tài) 表示冰點表示正數與負數的界點0非正非負，是一個中性數星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合計﹣27.8﹣70.3200138.1﹣8188458第1批第2批第3批第4批第5批5km2km﹣4km﹣3km10km時間8月22日8月23日8月24日8月25日8月26日運進+54+52+40+64b運出﹣30a﹣50﹣52﹣22與前一天相比（增加記作“+”，減少記作“﹣”）+24+16﹣10+12c星期一二三四五六日與標準的差（分鐘）+9+10﹣10+13﹣20+8作用舉例表示數的性質0是自然數、是有理數表示沒有3個蘋果用+3表示，沒有蘋果用0表示表示某種狀態(tài) 表示冰點表示正數與負數的界點0非正非負，是一個中性數星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合計﹣27.8﹣70.3200138.1﹣8188458第1批第2批第3批第4批第5批5km2km﹣4km﹣3km10km時間8月22日8月23日8月24日8月25日8月26日運進+54+52+40+64b運出﹣30a﹣50﹣52﹣22與前一天相比（增加記作“+”，減少記作“﹣”）+24+16﹣10+12c星期一二三四五六日與標準的差（分鐘）+9+10﹣10+13﹣20+8