?專題17 函數(shù)與導數(shù)壓軸解答題?？继茁窔w類
【命題規(guī)律】
函數(shù)與導數(shù)是高中數(shù)學的重要考查內容，同時也是高等數(shù)學的基礎，其試題的難度呈逐年上升趨勢，通過對近十年的高考數(shù)學試題，分析并歸納出五大考點：
（1）含參函數(shù)的單調性、極值與最值；
（2）函數(shù)的零點問題；
（3）不等式恒成立與存在性問題；
（4）函數(shù)不等式的證明．
（5）導數(shù)中含三角函數(shù)形式的問題
其中，對于函數(shù)不等式證明中極值點偏移、隱零點問題、含三角函數(shù)形式的問題探究和不等式的放縮應用這四類問題是目前高考函數(shù)與導數(shù)壓軸題的熱點．
【核心考點目錄】
核心考點一：含參數(shù)函數(shù)單調性討論
核心考點二：導數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題
核心考點三：雙變量問題
核心考點四：證明不等式
核心考點五：極最值問題
核心考點六：零點問題
核心考點七：不等式恒成立問題
核心考點八：極值點偏移問題與拐點偏移問題
核心考點九：利用導數(shù)解決一類整數(shù)問題
核心考點十：導數(shù)中的同構問題
核心考點十一：洛必達法則
核心考點十二：導數(shù)與三角函數(shù)結合問題
【真題回歸】
1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若和有公共點，
（i）當時，求的取值范圍；
（ii）求證：．
【解析】（1），故，而，
曲線在點處的切線方程為即.
（2）（i）當時，
因為曲線和有公共點，故有解，
設，故，故在上有解，
設，故在上有零點，
而，
若，則恒成立，此時在上無零點，
若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，
而，，故在上無零點，
故，
設，則，
故在上為增函數(shù)，
而，，
故在上存在唯一零點，
且時，；時，；
故時，；時，；
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
故，
因為在上有零點，故，故，
而，故即，
設，則，
故在上為增函數(shù)，
而，故.
（ii）因為曲線和有公共點，
所以有解，其中，
若，則，該式不成立，故.
故，考慮直線，
表示原點與直線上的動點之間的距離，
故，所以，
下證：對任意，總有，
證明：當時，有，故成立.
當時，即證，
設，則（不恒為零），
故在上為減函數(shù)，故即成立.
綜上，成立.
下證：當時，恒成立，
，則，
故在上為增函數(shù)，故即恒成立.
下證：在上恒成立，即證：，
即證：，即證：，
而，故成立.
故，即成立.
2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)設，討論函數(shù)在上的單調性；
(3)證明：對任意的，有．
【解析】（1）因為，所以，
即切點坐標為，
又，
∴切線斜率
∴切線方程為：
（2）因為，????
所以，
令，
則，
∴在上單調遞增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上單調遞增.
（3）原不等式等價于，
令，，
即證，
∵，
，
由（2）知在上單調遞增，
∴，
∴
∴在上單調遞增，又因為，
∴，所以命題得證.
3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)．
(1)求的單調區(qū)間；
(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：
（?。┤簦瑒t；
（ⅱ）若，則．
（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）
【解析】（1），
當，；當，，
故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.
（2）（?。┮驗檫^有三條不同的切線，設切點為，
故，
故方程有3個不同的根，
該方程可整理為，
設，
則
，
當或時，；當時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
因為有3個不同的零點，故且，
故且，
整理得到：且，
此時，
設，則，
故為上的減函數(shù)，故，
故.
（ⅱ）當時，同（?。┲杏懻摽傻茫?br /> 故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
不妨設，則，
因為有3個不同的零點，故且，
故且，
整理得到：，
因為，故，
又，
設，，則方程即為：
即為，
記
則為有三個不同的根，
設，，
要證：，即證，
即證：，
即證：，
即證：，
而且，
故，
故，
故即證：，
即證：
即證：，
記，則，
設，則，所以，
，
故在上為增函數(shù)，故，
所以，
記，
則，
所以在為增函數(shù)，故，
故即，
故原不等式得證：
4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當時，討論的單調性；
(2)當時，，求a的取值范圍；
(3)設，證明：．
【解析】（1）當時，，則，
當時，，當時，，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）設，則，
又，設，
則，
若，則，
因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，
故存在，使得，總有，
故在為增函數(shù)，故，
故在為增函數(shù)，故，與題設矛盾.
若，則，
下證：對任意，總有成立，
證明：設，故，
故在上為減函數(shù)，故即成立.
由上述不等式有，
故總成立，即在上為減函數(shù)，
所以.
當時，有，????
所以在上為減函數(shù)，所以.
綜上，.
（3）取，則，總有成立，
令，則，
故即對任意的恒成立.
所以對任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
【解析】（1）當時，，則，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
所以；
（2），則，
當時，，所以當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；
當時，，在上，，單調遞增；
在上，，單調遞減；
又，
由（1）得，即，所以，
當時，，
則存在，使得，
所以僅在有唯一零點，符合題意；
當時，，所以單調遞增，又，
所以有唯一零點，符合題意；
當時，，在上，，單調遞增；
在上，，單調遞減；此時，
由（1）得當時，，，所以，
此時
存在，使得，
所以在有一個零點，在無零點，
所以有唯一零點，符合題意；
綜上，a的取值范圍為.
6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點，則．
【解析】（1）[方法一]：常規(guī)求導
的定義域為，則

令,得
當單調遞減
當單調遞增，
若,則,即
所以的取值范圍為
[方法二]：同構處理
由得：
令，則即
令，則
故在區(qū)間上是增函數(shù)
故，即
所以的取值范圍為
（2）[方法一]：構造函數(shù)
由題知,一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設
要證,即證
因為,即證
又因為,故只需證
即證
即證
下面證明時，
設，
則

設
所以,而
所以,所以
所以在單調遞增
即,所以
令

所以在單調遞減
即,所以；
綜上, ,所以.
[方法二]：對數(shù)平均不等式
由題意得：
令，則，
所以在上單調遞增，故只有1個解
又因為有兩個零點，故
兩邊取對數(shù)得：，即
又因為，故，即
下證
因為
不妨設，則只需證
構造，則
故在上單調遞減
故，即得證
7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．
【解析】（1）的定義域為，而，
若，則，此時無最小值，故.
的定義域為，而.
當時，，故在上為減函數(shù)，
當時，，故在上為增函數(shù)，
故.
當時，，故在上為減函數(shù)，
當時，，故在上為增函數(shù)，
故.
因為和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
設，則，
故為上的減函數(shù)，而，
故的唯一解為，故的解為.
綜上，.
（2）[方法一]：
由（1）可得和的最小值為.
當時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).
設，，
當時，，當時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
設，其中，則，
故在上為增函數(shù)，故，
故，故有兩個不同的零點，即的解的個數(shù)為2.
設，，
當時，，當時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
有兩個不同的零點即的解的個數(shù)為2.
當，由（1）討論可得、僅有一個解，
當時，由（1）討論可得、均無根，
故若存在直線與曲線、有三個不同的交點，
則.
設，其中，故，
設，，則，
故在上為增函數(shù)，故即，
所以，所以在上為增函數(shù)，
而，，
故在上有且只有一個零點，且：
當時，即即，
當時，即即，
因此若存在直線與曲線、有三個不同的交點，
故，
此時有兩個不同的根，
此時有兩個不同的根，
故，，，
所以即即，
故為方程的解，同理也為方程的解
又可化為即即，
故為方程的解，同理也為方程的解，
所以，而，
故即.
[方法二]：
由知，，，
且在上單調遞減，在上單調遞增；
在上單調遞減，在上單調遞增，且
①時，此時，顯然與兩條曲線和
共有0個交點，不符合題意；
②時，此時，
故與兩條曲線和共有2個交點，交點的橫坐標分別為0和1；
③時，首先，證明與曲線有2個交點，
即證明有2個零點，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
又因為，，，
令，則，
所以在上存在且只存在1個零點，設為，在上存在且只存在1個零點，設為
其次，證明與曲線和有2個交點，
即證明有2個零點，，
所以上單調遞減，在上單調遞增，
又因為，，，
令，則，
所以在上存在且只存在1個零點，設為，在上存在且只存在1個零點，設為
再次，證明存在b，使得
因為，所以，
若，則，即，
所以只需證明在上有解即可，
即在上有零點，
因為，，
所以在上存在零點，取一零點為，令即可，
此時取
則此時存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，
最后證明，即從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列，
因為
所以，
又因為在上單調遞減，，即，所以，
同理，因為，
又因為在上單調遞增，即，，所以，
又因為，所以，
即直線與兩條曲線和從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.


【方法技巧與總結】
1、對稱變換
主要用來解決與兩個極值點之和、積相關的不等式的證明問題．其解題要點如下：（1）定函數(shù)（極值點為），即利用導函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調性，進而確定函數(shù)的極值點x0．
（2）構造函數(shù)，即根據(jù)極值點構造對稱函數(shù)，若證 ，則令．
（3）判斷單調性，即利用導數(shù)討論的單調性．
（4）比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負，并得出與的大小關系．
（5）轉化，即利用函數(shù)的單調性，將與的大小關系轉化為與之間的關系，進而得到所證或所求．
【注意】若要證明的符號問題，還需進一步討論與x0的大小，得出所在的單調區(qū)間，從而得出該處導數(shù)值的正負．
構造差函數(shù)是解決極值點偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調性是函數(shù)的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中．某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯(lián)系，抓住其本質，那么運用函數(shù)的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用．因此對函數(shù)的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的．根據(jù)題目的特點，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧．許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效
2、應用對數(shù)平均不等式證明極值點偏移：
①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；
②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到；
③利用對數(shù)平均不等式來證明相應的問題．
3、 比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構造函數(shù)利用函數(shù)的單調性證明題中的不等式即可．
【核心考點】
核心考點一：含參數(shù)函數(shù)單調性討論
【規(guī)律方法】
1、導函數(shù)為含參一次型的函數(shù)單調性
導函數(shù)的形式為含參一次函數(shù)時，首先討論一次項系數(shù)為0，導函數(shù)的符號易于判斷，當一次項系數(shù)不為雩，討論導函數(shù)的零點與區(qū)間端點的大小關系，結合導函數(shù)圖像判定導函數(shù)的符號，寫出函數(shù)的單調區(qū)間．
2、導函數(shù)為含參二次型函數(shù)的單調性
當主導函數(shù)（決定導函數(shù)符號的函數(shù)）為二次函數(shù)時，確定原函數(shù)單調區(qū)間的問題轉化為探究該二次函數(shù)在給定區(qū)間上根的判定問題．對于此二次函數(shù)根的判定有兩種情況：
（1）若該二次函數(shù)不容易因式分解，就要通過判別式來判斷根的情況，然后再劃分定義域；
（2）若該二次函數(shù)容易因式分解，令該二次函數(shù)等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，判定導函數(shù)的符號，從而判斷原函數(shù)的單調性．
3、導函數(shù)為含參二階求導型的函數(shù)單調性
當無法直接通過解不等式得到一階導函數(shù)的符號時，可對“主導”函數(shù)再次求導，使解題思路清晰．“再構造、再求導”是破解函數(shù)綜合問題的強大武器．
在此我們首先要清楚之間的聯(lián)系是如何判斷原函數(shù)單調性的．
（1）二次求導目的：通過的符號，來判斷的單調性；
（2）通過賦特殊值找到的零點，來判斷正負區(qū)間，進而得出單調性．
【典型例題】
例1．（2023春·山東濟南·高三統(tǒng)考期中）已知三次函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程，
(2)討論的單調性.
【解析】（1）當時，，
，
所以曲線在點處的切線斜率為，
又，，
整理可得曲線在點處的切線方程為；
（2），
若，由可得，
當時，，為增函數(shù)，
當時，，為減函數(shù)，
當時，，
可得或，
所以在 為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
當時，
若，
在 為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
若，，在上為減函數(shù)，
若，
在 為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
綜上可得：
若，
在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
當時， 在 為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
當時，
若
在 為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
若，，在上為減函數(shù)，
若，在 為減函數(shù)，在上為增函數(shù).
例2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，討論函數(shù)單調性；
【解析】因為的定義域為，
所以，
當時，令，解得或，令，解得，
所以在上單調遞減，在和上單調遞增，
當時恒成立，所以在上單調遞增，
當時，令，解得或，令，解得，
所以在上單調遞減，在和上單調遞增，
綜上可得，當時，在上單調遞減，在和上單調遞增；
當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在和上單調遞增；
例3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，求的單調區(qū)間.
【解析】函數(shù)的定義域為，
求導得：，
若，當時，，當時，，因此在上單調遞減，在上單調遞增，
若，由，得或，由，得，
因此在，上單調遞增，在上單調遞減，
若，恒成立，因此在上單調遞增，
若，由，得或，由，得，
因此在，上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；
當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；
當時，函數(shù)在上單調遞增；
當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為.
例4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).求函數(shù)的單調區(qū)間；
【解析】函數(shù)的定義域為，
則，
當時，因為，所以，則，
故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；
當時，由可得，由可得，
所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，
綜上：當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；
當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.
核心考點二：導數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題
【規(guī)律方法】
在解決等差、等比數(shù)列綜合問題時，要充分利用基本公式、性質以及它們之間的轉化關系，在求解過程中要樹立“目標意識”，“需要什么，就求什么”，并適時地采用“巧用性質，整體考慮”的方法．可以達到減少運算量的目的．
【典型例題】
例5．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學校考模擬預測）已知函數(shù).
(1)若不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)證明：.
【解析】（1），，，，
，
時，，
∴，函數(shù)在上單調遞增，
∴恒成立，滿足條件.
時，對于方程，其，方程有兩個不相等的實數(shù)根，
，，
，
當時，，此時函數(shù)單調遞減，
，則，不滿足條件，舍去.
綜上可得：實數(shù)a的取值范圍是.
（2）證明：由（1）可知：取時，函數(shù)在上單調遞增，
∴在上恒成立，
令，則，
∴，
∴，
∴.
例6．（2023春·重慶·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若不等式對恒成立，求實數(shù)a的范圍；
(3)證明：當．
【解析】（1）由題，則.
得，故在點處的切線方程為：
.
（2）由題，，
令，則.
①當，即時，，有在上單調遞增，則，得在上單調遞增，
此時，故滿足題意.
②當，即時，令，得，
則在上單調遞減，又，
得在上單調遞減，此時，故不合題意.
綜上可得：.
（3）由（2），當時有.
注意到，則令，其中.
則由
可得，當且僅當取等號.
其中.
則令，其中，
得.
又代換后原不等式中的等號已經(jīng)取不到（需），故有
即，其中.
則有

故原式得證.
例7．（2023春·福建寧德·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)（）.
(1)，求證：；
(2)證明：.()
【解析】（1）先證，令，此時，故，
所以在上單調遞增，
所以，即.
再證，
令，，
，在上單調遞增，
故，即，
綜合以上可得時，；
（2）由（1）可知，
，
要證，只需證，
即證，即證；
，
要證，即證
令，則，
在上單調遞增，，，
所以在區(qū)間上存在零點，則時，，時，，
故在上單調遞減，上單調遞增，
而，，
由于 ，,故，
故，
所以時，，
故當時，成立，當時，也成立，
所以，得證，則成立.
核心考點三：雙變量問題
【規(guī)律方法】
破解雙參數(shù)不等式的方法：
一是轉化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉化為含單參數(shù)的不等式；
二是巧構函數(shù)，再借用導數(shù)，判斷函數(shù)的單調性，從而求其最值；
三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結果．
【典型例題】
例8．（2023春·江蘇蘇州·高三蘇州中學校考階段練習）已知函數(shù).
(1)若過原點的一條直線與曲線相切，求切點的橫坐標；
(2)若有兩個零點，且，證明：
①；
②.
【解析】（1）由可得，
設切點，
則切線方程為，
代入，解得；
（2）令，得，因為有兩個零點，
所以，
設，則，且，
所以，
從而，
故，
，
①令，則，
令，則，
所以在上單調遞增，又，
所以當時，，即，
所以在上單調遞增，又，
所以，即；
②令，則，
令，
則，
當時，，
所以當時，，因此在上單調遞增，而，
所以當時，，
故，從而在上單調遞增，
又因為，
所以，即.
例9．（2023春·湖南長沙·高三長郡中學?？茧A段練習）已知函數(shù).
(1)討論極值點的個數(shù)；
(2)若有兩個極值點，且，證明:.
【解析】（1）,則,
顯然不是的零點,

令,則,
在單調遞減,在（0,1）單調遞減,在單調遞增.
當時，，當時，，且
時,只有一個實數(shù)根，所以此時有1個極值點,
時,沒有實數(shù)根，故有0個極值點,
當時，，有一個實數(shù)根，但不是極值點，故此時沒有極值點，
時,有兩個不相等的實數(shù)根，故有2個極值點.
（2）由（1）知,,且在（0,1）單調遞減,在單調遞增,
先證:,即證:，即證:.
即證:.
令,
即證:,

令則
令,則,則在單調遞減
,
,即在單調遞減,
,證畢.
再證:,
,且
.
在單調遞增,在單調遞減,在單調遞增,
.
即證:,
又,
即證:.
令,
.
令,
,
令
,
令

令,
,
在單調遞減,在單調遞增.
,
,當時,單調遞增;當時,單調遞減.
,
在單調遞減,在單調遞增.
,
在單調遞增,在單調遞減.
,
,
,
在單調遞增,
,
所以原命題得證.
例10．（2023·全國·高三專題練習）巳知函數(shù).
(1)求函數(shù)f（x）的最大值;
(2)若關于x的方程有兩個不等實數(shù)根證明:
【解析】（1）因為，所以.
令，得；令，得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以.
（2）方程
可化為.
設，顯然在上是增函數(shù)，又，
所以有，即方程有兩個實數(shù)根，.
由（1）可知，則有，所以的取值范圍為.
因為方程有兩個實數(shù)根，，所以，
則，要證，即證.
，
需證.
需證.
不妨設，令，則，即要證.
設，則，
所以在上是增函數(shù)，，即成立，故原式成立.
核心考點四：證明不等式
【規(guī)律方法】
利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構造函數(shù)法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數(shù)；
（2）適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；
（3）構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù)．
（4）對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友
（5）凹凸反轉，轉化為最值問題
（6）同構變形
【典型例題】
例11．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．
(1)當時，討論的單調性
(2)設為的兩個不同零點，證明：當時，．
【解析】（1）當時，，則定義域為，；
①當時，，恒成立，在上單調遞增；
②當時，令，解得：（舍）或，
則當時，；當時，；
在上單調遞增，在上單調遞減；
綜上所述：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）不妨設，則，且，
兩式作差整理得：，，
；
；
要證，
只需證，
又，則只需證；
即證；
令，則，
在上單調遞增，，
當時，，即，；
令，則，
當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，，
則，（當且僅當時取等號）；
令，則，
當時，；當時，；
在上單調遞增，在上單調遞減，，
（當且僅當時取等號）；
，即；
又，，
成立.
例12．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知．
(1)求的單調遞增區(qū)間；
(2)若，且，證明．
【解析】（1） 的定義域為 .
∵，僅當時取等號，
∴ 的單調遞增區(qū)間為 .
（2）由題可得 ，
若 ， 則必有 ， 則 ；
若，則必有，則．
∴若，則．
要證，只需證，只需證，即證，
又，故只需證．
令．
則．
∵，∴，∴，
且，
∴，故在上單調遞增．
∵，∴，∴，∴，得證.
例13．（2023·江蘇·高三專題練習）已知函數(shù)在處的切線方程為.
(1)求實數(shù)m和n的值；
(2)已知，是函數(shù)的圖象上兩點，且，求證：.
【解析】（1）由，得.
因為函數(shù)在處的切線方程為，
所以，，則；
（2）證明：由（1）可得，，，
所以當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減.
因為，是函數(shù)的圖象上兩點，且，
不妨設，且，所以.
由，得，即.
設，.
設，則，所以，
即，故.
要證，只需證，
即證，即證，即證，
即證，即證.
令，，
則，
證明不等式；
設，則，
所以當時，；當時，，
所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
故，所以成立.
由上還不等式可得，當時，，故恒成立，
故在上為減函數(shù)，則，
所以成立，即成立.
綜上所述，.
核心考點五：極最值問題
【規(guī)律方法】
利用導數(shù)求函數(shù)的極最值問題．解題方法是利用導函數(shù)與單調性關系確定單調區(qū)間，從而求得極最值．只是對含有參數(shù)的極最值問題，需要對導函數(shù)進行二次討論，對導函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求導，確定單調性，零點的存在性及唯一性等，由于零點的存在性與參數(shù)有關，因此對函數(shù)的極最值又需引入新函數(shù)，對新函數(shù)再用導數(shù)進行求值、證明等操作．
【典型例題】
例14．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學?？茧A段練習）已知函數(shù).
(1)當時，求在上的最值；
(2)討論的極值點的個數(shù).
【解析】（1）當時，，
，故在上單調遞增，
，.
（2）,
①當時,恒成立,此時在上單調遞增，不存在極值點.
②當時,令,即，解得:或，
令,即，解得
故此時在遞增,在遞減,在遞增,
所以在時取得極大值，在時取得極小值，故此時極值點個數(shù)為2，
綜上所述:時,無極值點，
時,有2個極值點.
例15．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)，其中a為大于0的常數(shù)，若．
(1)討論的單調區(qū)間；
(2)若在取得極小值，求的最小值．
【解析】（1），
求導，
由，令，得，
（1）當時，，
當和時，，所以在和上單調遞增；
當時，，所以在上單調遞減；
（2）當時，，
當時，，所以在上單調遞減；
當時，，所以在上單調遞增；
（3）當時，，
當和時，，所以在和上單調遞增；
當時，，所以在上單調遞減；
綜上，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；
（2）由（1）知，當時，在處取得極小值，不符合題意；
當時，在處取得極小值，即，
則，其中
令，即求
求導
令，得，即
當時，，所以在上單調遞減；
當時，，所以在上單調遞增；
故在處取得極小值，即最小值
所以的最小值為
例16．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預測）已知，函數(shù)的最小值為2，其中，．
(1)求實數(shù)a的值；
(2)，有，求的最大值．
【解析】（1）由題意知，，
則，
令，令，
所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，又，
所以，解得，
經(jīng)檢驗，符合題意.
故.
（2）由，得
，即，
對于，可得不等式在R上恒成立，
即在R上恒成立，
設，則，
若，則，函數(shù)在R上單調遞增，
且，符合題意；
若，令，令，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
由，得，即①；
對于，可得不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
設，則，
若，則，不符合題意；
若，令，令，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
由，得，即②.
當時，由①②得，，即，
設，則，，
故存在零點，故當且僅當，時等號成立.
綜上，的最大值為1.
核心考點六：零點問題
【規(guī)律方法】
函數(shù)零點問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點或者求零點的個數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點情況，求參數(shù)的值或取值范圍．
求解步驟：
第一步：將問題轉化為函數(shù)的零點問題，進而轉化為函數(shù)的圖像與軸（或直線）在某區(qū)間上的交點問題；
第二步：利用導數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調性、極值、端點值等性質，進而畫出其圖像；
第三步：結合圖像判斷零點或根據(jù)零點分析參數(shù)．
【典型例題】
例17．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．
(1)若存在，使得成立，求的取值范圍；
(2)若函數(shù)有三個不同的零點，求的取值范圍．
【解析】（1）若存在，使得成立，
則在時成立，故，
令，，則，
當時，，函數(shù)單調遞增，當時，，函數(shù)單調遞減，
故，所以，
故的取值范圍為；
（2）有3個不同實數(shù)解，所以有三個不同的實數(shù)解，
令，則，
令，則，
因為，所以當或時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
當時，，，
由題意得，
故的取值范圍為．
例18．（2023·全國·高三專題練習）設，已知函數(shù)，和.
(1)若與有相同的最小值，求a的值；
(2)設有兩個零點，求a的取值范圍.
【解析】（1），，令，則
所以在上單調遞減，在上單調遞增，則
因為，則的定義域為
，令，則
所以在上單調遞減，在上單調遞增，則
依題，
所以，
（2）因為，
令，即，則
即，則
因為在上單調遞增，則，
即在上有兩個零點，
由（1）可得：，解得：
此時在上有一個零點，
當時，下證在上有一個零點，
取，則
令，則
所以在單調遞減，則，即，
因為，令，則，
所以，
令，則，
令，則，
所以在上遞增，所以，
所以，則，
所以在上單調遞增，則，即，
所以在上有一個零點，
則的取值范圍為
例19．（2023春·廣西·高三期末）已知函數(shù).
(1)當時，求函數(shù)的最大值；
(2)若關于x的方1有兩個不同的實根，求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】（1）當時，，故，
當時，，故在上為增函數(shù)，
當時，，故在上為減函數(shù)，
故.
（2）方程即為，
整理得到：，令，
故，因為均為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，
而，故的解為，
因為方程有兩個不同的實數(shù)根，故有兩個不同的正數(shù)根，
設，則，
若，則，故在上為增函數(shù)，
在上至多一個零點，與題設矛盾；
若，則時，；時，，
故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
由有兩個不同的零點可得，
故.
當時，，而，
故在有且只有一個零點，
又，設，
令，，則，
故在上為減函數(shù)，故，
故，故在有且只有一個零點，
綜上.
核心考點七：不等式恒成立問題
【規(guī)律方法】
1、利用導數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：
（1）通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題；
（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：
一般地，已知函數(shù)，，，．
（1）若，，有成立，則；
（2）若，，有成立，則；
（3）若，，有成立，則；
（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．
【典型例題】
例20．（2023·廣西南寧·南寧二中?？家荒＃┮阎瘮?shù).
(1)若函數(shù)的圖象在處的切線與直線平行，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)求證：當時，不等式在上恒成立.
【解析】（1），
函數(shù)的定義域為，得，
則.
又因為切線與直線平行，所以，解得.
又，故切線方程為，
即；
（2）由在上恒成立，得在上恒成立.
令，即在上恒成立，
易知.
①當時，，
所以在上單調遞減，
所以，所以，滿足題意；
②當時，令，得，
所以當時，，當時，.
所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.
（?。┊敚磿r，在上單調遞增，
因為，
所以存在，使得成立，所以，不滿足題意；
（ⅱ）當，即時，
函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.
所以.
設，
則，所以在上單調遞增，
則，故，
即存在，使得成立.所以，不滿足題意；
（ⅲ）當，即時，在上單調遞減，
所以，所以，滿足題意.
綜上，.
例21．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知函數(shù)且為常數(shù)）.
(1)當，求函數(shù)的最小值；
(2)若函數(shù)有2個極值點，求的取值范圍；
(3)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當時，，，
當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
所以當時，函數(shù)取得最小值；
（2）函數(shù)的定義域為，，
設，，由，得，
列表如下：









減
極小值
增
當時，，當時，，
做出函數(shù)與的圖像，如下圖，

當時，直線與的圖像有2個交點，設這兩個交點的橫坐標分別為，且，
有圖可知，當或時，，當時， ，此時函數(shù)有2個極值點，
所以的取值范圍是；
（3）不等式對任意的恒成立，
等價于對任意的????恒成立，
所以對任意的恒成立，
令，其中，則，
令，其中，則，對任意的恒成立，所以在上單調遞增，
因為，，故存在，使得，
當時，，此時函數(shù)單調遞減，
當時，，此時函數(shù)單調遞增，
所以，
因為，則，因為，則，
因為函數(shù)在上單調遞增，
由可得，故，可得，
所以，
故.
例22．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)若不等式在區(qū)間上有解，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）當時，，
，
當時，，，所以，即在上單調遞增，
當時，，，所以，即在上單調遞減，
則的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.
（2）因為，
則，
①當時，即時，因為，，，
所以，因此函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，
所以，不等式在區(qū)間上無解；
②當時，即時，當時，，，
因此，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，
，不等式在區(qū)間上有解．
綜上，實數(shù)的取值范圍是．
核心考點八：極值點偏移問題與拐點偏移問題
【規(guī)律方法】
1、極值點偏移的相關概念
所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對稱性．若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點，則的中點為，而往往．如下圖所示．

圖1 極值點不偏移 圖2 極值點偏移
極值點偏移的定義：對于函數(shù)在區(qū)間內只有一個極值點，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點左偏，簡稱極值點左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點右偏，簡稱極值點右偏．
【典型例題】
例23．（2022?浙江期中）已知函數(shù)有兩個不同的零點，．
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）證明：．
【解析】解：（1）函數(shù)
，
當時，，為減函數(shù)，
當時，，為增函數(shù)，
故當時，函數(shù)取最小值，
若函數(shù)有兩個不同的零點，．
則，即；
證明：（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，．不妨設，
則，且，
若證．即證，
構造函數(shù)，，
所以，
所以，，
令，則，所以單調遞增，
所以（1），
所以，所以（1），
即，，
又，所以
因為在區(qū)間上單調遞增，
所以，故原不等式得證．
例24．（2021春?汕頭校級月考）已知，函數(shù)，其中．
（1）討論函數(shù)的單調性；
（2）若函數(shù)有兩個零點，
求的取值范圍；
設的兩個零點分別為，，證明：．
【解析】解：（1）函數(shù)的定義域為，
，
①當時，，在單調遞增；
②當時，由得，
則當時，，在單調遞增；
當時，，在單調遞減．
（2）法1：函數(shù)有兩個零點即方程在有兩個不同根，
轉化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點，如圖：
可見，若令過原點且切于函數(shù)圖象的直線斜率為，
只須，
設切點，，所以，
又，所以，解得，
于是，所以，
法2：由（1）當時，在單調遞增，不可能有兩個零點，
，
此時，
需解得，
從而，
又故在有一個零點；，
設，，則
故在單調遞減在有一個零點故的取值范圍為．
原不等式，
不妨設，
，，
，，
，，
，
令，則，于是，設函數(shù)，
求導得：，
故函數(shù)是上的增函數(shù)，
（1），即不等式成立，故所證不等式成立．

例25．（2022?浙江開學）已知，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若，函數(shù)有兩個零點，，求證：．
【解析】解：，
，時，，
，
時，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；
時，，
時，增區(qū)間為：；
時，，
，
時，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；
綜上：時，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；
時，增區(qū)間為：；
時，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；
（Ⅱ）證法一：由（1）知，時，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；
且時，，，
函數(shù)的大致圖像如下圖所示：

因為時，函數(shù)有兩個零點，，所以，即，
不妨設，則，
先證：，即證：，
因為，所以，又在單調遞增，所以即證：
又，所以即證：，，
令函數(shù)，，
則，
因為，所以，，故，
函數(shù)在單調遞增，所以，
因為，所以，，即，
所以．
（Ⅱ）證法二：因為時，函數(shù)有兩個零點，，
則兩個零點必為正實數(shù)，，
問題等價于有兩個正實數(shù)解；
令
則，在單調遞增，在單調遞減，且，
令，，
則，
所以在單調遞增，，
又，故，，
又，所以，
又，所以，，
又在單調遞增，所以，
所以．
核心考點九：利用導數(shù)解決一類整數(shù)問題
【規(guī)律方法】
分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離
【典型例題】
例26．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)在處的切線方程
（2）證明：在區(qū)間內存在唯一的零點；
（3）若對于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．
【解析】（1），
，，
，
在處的切線為；
（2）證明：，
，
當時，，
在上單調遞增，
（3），（4），
在區(qū)間內存在唯一的零點．
（3），且，
，
令，則，，
由（2）知，在上單調遞增，且在區(qū)間內存在唯一的零點，
設該零點為，則，
故當時，，即，在上單調遞減，
當，時，，即，在，上單調遞增，
，
，
故整數(shù)的最大值為3．
例27．已知函數(shù)，．
（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；
（2）令，若在恒成立，求整數(shù)的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，）．
【解析】
（1）（1）當時，可得，則，
可得，且，
即函數(shù)在點處的切線的斜率，
所以切線方程為，即，
函數(shù)在點處的切線方程．
（2）由，
因為在恒成立，即在恒成立，
即在恒成立，
令，可得，
令，可得在上單調遞增，且，
所以存在，使得，
從而在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
因為在恒成立，所以，
所以整數(shù)的最大值為．
例28．已知函數(shù)．
（1）證明：在區(qū)間內存在唯一的零點；
（2）若對于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．
【解析】
（1）證明：∵，
∴，
當時，，
∴在上單調遞增，
∵，，
∴在區(qū)間內存在唯一的零點．
（2）解：∵，且，
∴，
令，則，，
由（1）知，在上單調遞增，且在區(qū)間內存在唯一的零點，
設該零點為，則，
故當時，，即，在上單調遞減，
當時，，即，在上單調遞增，
∴，
∴，
故整數(shù)的最大值為3．
核心考點十：導數(shù)中的同構問題
【規(guī)律方法】
1、同構式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式
2、同構式的應用：
（1）在方程中的應用：如果方程和呈現(xiàn)同構特征，則可視為方程的兩個根
（2）在不等式中的應用：如果不等式的兩側呈現(xiàn)同構特征，則可將相同的結構構造為一個函數(shù)，進而和函數(shù)的單調性找到聯(lián)系．可比較大小或解不等式．
①指對各一邊，參數(shù)是關鍵；②常用“母函數(shù)”：，；尋找“親戚函數(shù)”是關鍵；
③信手拈來湊同構，湊常數(shù)、、參數(shù)；④復合函數(shù)（親戚函數(shù)）比大小，利用單調性求參數(shù)范圍．
（3）在解析幾何中的應用：如果滿足的方程為同構式，則為方程所表示曲線上的兩點．特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方程
（4）在數(shù)列中的應用：可將遞推公式變形為“依序同構”的特征，即關于與的同構式，從而將同構式設為輔助數(shù)列便于求解
【典型例題】
例29．（2022·河北·高三階段練習）已知函數(shù)．
（1）討論的單調性；
（2）設a，b為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：．
【解析】（1），定義域為，
由，解得，
由，解得，
由，解得，
所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．
（2）∵a，b為兩個不相等的正數(shù)，且，
∴，即，
由（1）可知，且，時，，
則令，
則為的兩根，且，
不妨設，則，
先證，即證，即證，
令，即證在上，，
則，
在上單調遞增，即，
∴在上恒成立，即在上單調遞減，，
∴，即可得；
再證，即證，
由（1）單調性可得證，
令，
，
在上單調遞增，
∴，且當，
所以存在使得，
即當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
又有，
且，
所以恒成立，
∴，
則，即可證得．
例30．（2022·河南鄭州·二模（文））已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）當x>0時，證明：
【解析】（1）定義域為，
則，時，，在單調遞增，
時，，在單調遞減，
故函數(shù)的極大值為，無極小值
（2）證明等價證明（），
即．
令
，
令，則在上單調遞增，
而，
故在上存在唯一零點，且，
時，，在上單調遞減；
時，，在上單調遞增，
故，又因為即，
所以，從而，
即
例31．（2022·河南省?？h第一中學模擬預測（理））已知函數(shù)．
（1）討論f（x）的單調性．
（2）若a＝0，證明：對任意的x>1，都有．
【解析】（1）解：由題意可得．
當時，恒成立，則在上單調遞增；
當時，由，得，由，得，
則在上單調遞減，在上單調遞增．
綜上，當時，在R上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增．
（2）證明：由題得，時，對任意的，都有，即，
等價于，即．
設，則．
由，得；由，得．
則在上單調遞增，在上單調遞減，
故，即，即，當且僅當時，等號成立．
設，則．
由，得；由，得．
則在上單調遞減，在上單調遞增．
因為，，所以有解，
則，當且僅當時，等號成立．
即，即．
核心考點十一：洛必達法則
【規(guī)律方法】
法則1、若函數(shù)和滿足下列條件：
（1）及；
（2）在點的去心鄰域內，與可導且；
（3），那么=．
法則2、若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；
（2），和在與上可導，且；
（3），
那么=．
法則3、若函數(shù)和滿足下列條件：
（1）及；
（2）在點的去心鄰域內，與可導且；
（3），
那么=．
注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：
（1）將上面公式中的，，，洛必達法則也成立．
（2）洛必達法則可處理，，，，，，型．
（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達法則會出錯．當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限．
（4）若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．
，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則．
【典型例題】
例32．已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點處的切線與直線垂直．
（1）求實數(shù)的值；
（2）若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1），；
函數(shù)在處取得極值，；
又曲線在點處的切線與直線垂直，；
解得：；
（2）不等式恒成立可化為，即；
當時，恒成立；當時，恒成立，
令，則；
令，則；
令，則；
得在是減函數(shù)，故，進而
（或，，
得在是減函數(shù)，進而）．
可得：，故，所以在是減函數(shù)，
而要大于等于在上的最大值，但當時，沒有意義，
變量分離失效，我們可以由洛必達法得到答案，，故答案為．
例33．設函數(shù)．
（1）證明：當時，；
（2）設當時，，求的取值范圍．
【解析】（1）易證．
（2）由題設，此時．
①當時，若，則，不成立；
②當時，當時，，即；
若，則；
若，則等價于，即．
記，則．
記，則，．
因此，在上單調遞增，且，所以，
即在上單調遞增，且，所以．
因此，所以在上單調遞增．
由洛必達法則有，
即當時，，即有，所以．
綜上所述，的取值范圍是．
例34．設函數(shù)．如果對任何，都有，求的取值范圍．
【解析】，
若，則；
若，則等價于，即
則．
記，


因此，當時，，在上單調遞減，且，
故，所以在上單調遞減，
而．
另一方面，當時，，
因此．
核心考點十二：導數(shù)與三角函數(shù)結合問題
【規(guī)律方法】
分段分析法
【典型例題】
例35．（2023·河南鄭州·高三階段練習）已知函數(shù)，．
(1)求證：在上單調遞增；
(2)當時，恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1），，
當時，，，，（等號不能同時成立），所以；
當時，，，，所以，
所以當時，，綜上，在上單調遞增．
（2），化簡得，
①當時，，顯然恒成立；
②當時，，顯然恒成立；
③當時，，∴．
設，，
設，．
∵，∴，，∴，在上單調遞增，
又由，所以
當時，∴，，∴在上單調遞減，
當時，，，∴在上單調遞增，
所以，故．
例36．（2023春·江蘇蘇州·高三蘇州中學校考階段練習）已知函數(shù)（a為常數(shù)），函數(shù).
(1)證明：（i）當時，；
（ii）當時，；
(2)證明：當時，曲線與曲線有且只有一個公共點.
【解析】（1）令,所以,則,
所以在上單調遞增，且，
所以當時，,即,所以；
當時，,即,所以
（2）解法一:
由，得，
設，則 .
令，由上述推理可得或.
① 當時，，
因為，當且僅當，所以在上單調遞增，
又因為，所以的零點有且僅有一個為0.
② 當時，列表如下：




0



0







0



0

0



極大值

極小值

首先在上無零點；
取且

從而在上有且僅有一個零點.
綜上所述，曲線與曲線有且僅有一個公共點.
解法二:
令
令


①當時，在上單調遞增，

注意到,所以在上有唯一的零點.
②當時，令或,
且當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
當時，單調遞增,且
當時，無零點
當時，，當時，
.，
令,
,在上有唯一的零點，證畢!
例37．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).
(1)若，判斷函數(shù)的單調性；
(2)證明：.
【解析】（1）因為，
所以,
因為，所以在上，
由，解得.
當時，，故在上為增函數(shù)；
當時，，在上為減函數(shù).
（2）證明：由（1）知，當時，
在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).
因為，
所以，
故，
所以，
所以.
設，
所以在上為減函數(shù).
又，則，所以，
所以.


【新題速遞】
1．（2023·北京·高三專題練習）已知是函數(shù)的一個極值點．
(1)求值；
(2)判斷的單調性；
(3)是否存在實數(shù)，使得關于的不等式的解集為?直接寫出的取值范圍．
【解析】（1），則，
，解得.
，
當時，，函數(shù)單調遞增；
當時，，函數(shù)單調遞減.
故是函數(shù)的極大值點，滿足.
（2），
當時，，函數(shù)單調遞增；
當時，，函數(shù)單調遞減.
（3），
當，易知，，故.
故，滿足條件.
當時，設，故，
故，即，
當時，設，，
當時，，函數(shù)單調遞增；
當時，，函數(shù)單調遞減；
故，故.
，
即可以無限接近.
綜上所述：.
2．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習）已知．
(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)有兩個極值點，證明：．
【解析】（1）函數(shù)定義域為，依題意，，成立，
即，成立，而當時，，因此，
而時，不是常數(shù)函數(shù)，于是得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
（2）由（1）知，，因有兩個極值點，則，即有兩不等正根，
于是得，有，
，
，令，，
，顯然函數(shù)在上單調遞增，而，
因此，使得，即，當時，，當時，，
于是得在上單調遞減，在上單調遞增，，
顯然在上單調遞增，則，因此，即有，
所以.
3．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)，其中，若的圖象在點處的切線方程為．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值．
【解析】（1）依題意，，切點在切線上，則，
，
而的圖象在點處的切線斜率為，，解得得，
所以函數(shù)的解析式為.
（2）由（1）知，，由得或，
當時，或，有，，有，
因此函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，又，，，，
所以在上的最大值為 ，最小值為.
4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，.
(1)若直線與在處的切線垂直，求的值；
(2)若函數(shù)存在兩個極值點，，且，求證：.
【解析】（1）∵，∴在處的切線斜率，
∵直線與切線垂直，∴，∴.
（2）由題意得，，
由函數(shù)有兩個極值點，則，在上有兩個不等的實根，即，在有兩個不等式的實根，，
∵，，，
∴，則，且，，
方法一：要證，即證，
則，
同理可得：，
則，
，
令，，
則，，
由，則，，則，則，
則在上單調遞增，
∴，∴，即，
∴成立.
方法二：要證，即證：，
又

，
又，
所以，
又
所以只需證明：，，
令，，
求導，，，
由，則，，則，則，
則在上單調遞增，∴
所以，即.
5．（2023·北京·高三專題練習）已知函數(shù)，直線與曲線相切．
(1)求實數(shù)的值；
(2)若曲線與直線有兩個公共點，其橫坐標分別為．
①求實數(shù)的取值范圍；
②證明：．
【解析】（1）設切點，，
得，，所以，代入直線方程得；
（2）①由（1）知，若曲線與直線有兩個公共點，則等價于有2個實數(shù)根，，
設，則，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
，當趨向于正無窮大時，趨向于0，當趨向于負無窮大時，趨向于負無窮大，
則；
②，即，等價于，
令，，
，
因為，所以，故，
所以在上單調遞增，故,
不妨設，故，即，
由已知，所以，
由①知，當時，單調遞增，
故，所以，
所以.
6．（2023春·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)若，，求實數(shù)a的取值范圍．
【解析】（1）易知函數(shù)的定義域為．
當時，，∴
令，得；令，得
∴函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，
的單調遞減區(qū)間為．
（2）

，
①當時，恒成立，在上單調遞增，
∴此時 ，
②當，令，得；令，得 ，
∴在上單調遞增，在上單調遞減，
∴．
∵，，，
∴此時
③當，恒成立，在上單調遞減．
∴此時，令，得.
要使，，只需在的最大值點
綜上，實數(shù)a的取值范圍為
7．（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)當時，過點作曲線的切線l，求l的方程；
(2)當時，對于任意，證明：．
【解析】（1）由題，時，，，
設切點，則切線方程為，
該切線過點，則，即，
所以或．又；；，．
所以，切線方程為或；
（2）設，則，
令，則，
可知，時，；時，，
故時均有，則即在上單調遞增，，
因為時，則，，故在上單調遞增，
此時，．
所以，當時，對于任意，均有．
8．（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)若單調遞增，求a的取值范圍；
(2)若有兩個極值點，其中，求證：．
【解析】（1）由得，
由單調遞增，則，得，
設，則，
可知時，，單調遞增；時，﹐單調遞減，則時，取得極大值，也即為最大值，則．
所以，a的取值范圍是．
（2）由題，函數(shù)有兩個極值點，則即有兩個不相等實數(shù)根，
由（1），可知時，取得極大值，且時，時，故有兩個不等實根時，且．
過點與的直線方程為，
構造函數(shù)，，
令，則，
則時，，即單調遞減；時，，即單調遞增，所以時，極小值為，
所以時，，則，
即，故當時，，
設方程根為，則．構造函數(shù)，
設，
可知時，則，
所以時，，
設方程解為，則．
于是有，如圖，
所以，證畢．

9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)
(1)若，求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)若存在，使得，設函數(shù)的圖像與軸的交點從左到右分別為，，，，證明：點，分別是線段和線段的黃金分割點.（注：若線段上的點將線段分割成兩部分，且其中較長部分與全長之比等于較短部分與較長部分之比，則稱此點為該線段的黃金分割點）
【解析】（1）因為，
所以.
①當時，由解得，由解得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增；
②當時，由解得，由解得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減.
綜上可知：當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
時，在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）若存在，使得，
則，
得，
得對任意恒成立，
即對任意恒成立，
所以
所以；
代入得，
由可得.
因為函數(shù)的圖象關于對稱，所以有
，得，，，，
所以，，
所以點，分別是線段和的黃金分割點.
10．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，，，其中為常數(shù)，若.
(1)討論的單調區(qū)間；
(2)若在取得極小值，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1），明顯可見，
①，即，此時恒成立，即在定義域內單調遞增；
②，即，和上，在上，即在和上單調遞增，在上單調遞減；
③，即，和上，在上，即在和上單調遞增，在上單調遞減；
（2）在取得極小值,分析①②③三種情況，則只有②滿足題意，此時，， 當時，對于，則，可得，，單調遞增；，，單調遞減；故，；又，，
，，單調遞減；，，單調遞增；故
；又，；
當時，不妨令，，
，，令，則
，，令，則
，，在時為單調遞增函數(shù)，且，
若，則時，，單調遞增，且，
故，得單調遞增，
，得到單調遞增；
，符合題意；故時，恒成立；
若，，則，，在單調遞減，，在單調遞減，，不符題意；
綜上所述，
11．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線C：的焦點為F，過點P(2，0)作直線交拋物線于A，B兩點．
(1)若的傾斜角為，求△FAB的面積；
(2)過點A，B分別作拋物線C的兩條切線，且直線與直線相交于點M，問：點M是否在某定直線上？若在，求該定直線的方程，若不在，請說明理由．
【解析】（1）∵l的傾斜角為，∴，
∵直線為點P(2，0)，∴直線的方程y＝x－2，即x＝y(tǒng)＋2，
聯(lián)立直線與拋物線方程，化簡可得，
設A，B，則，，
∴，
又∵點F(1，0)到直線的距離是，
∴．
（2）設的方程為，
聯(lián)立直線與拋物線方程，化簡可得，
則，由韋達定理可得＝4m，＝－8，
∴，
不妨設點A在x軸上方，點B在x軸下方，
當時，，求導可得，∴，
∴拋物線C上過點A的切線的方程為，即①，
當時，，求導可得，∴，
∴拋物線C上過點B的切線方程為，即②，
聯(lián)立①②可得，，
∵，
∴，
∵＝4，∴，
又∵，∴x＝－2，即M的橫坐標恒為－2，
∴點M在定直線x＝－2上．
12．（2023春·江西贛州·高三贛州市贛縣第三中學?？计谥校┮阎瘮?shù)，，
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)若對于定義域內任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，
．
當時，對任意的，，
此時函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；
當時，由，可得；由，可得,
函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
綜上，當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；
當時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
（2）對任意的，，
即，
可得對任意的恒成立，
構造函數(shù)，其中，則，，
構造函數(shù)，其中，
則，在上單調遞增，
因為，，
所以存在，使得，
當時，，函數(shù)單調遞減，
當時，，函數(shù)單調遞增，
，因為，
則，
構造函數(shù)，其中，
則，函數(shù)在上為增函數(shù)，
因為，則，則，
由可得，
所以，
所以，可得，
所以，
．




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