從近五年的高考情況來看，本節(jié)是高考的一個重點，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性是高考的必考內(nèi)容，重點關注單調(diào)性、奇偶性結合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點和不等式相結合進行考查，解題時要充分運用轉化思想和數(shù)形結合思想．
【核心考點目錄】
核心考點一：函數(shù)單調(diào)性的綜合應用
核心考點二：函數(shù)的奇偶性的綜合應用
核心考點三：已知奇函數(shù)
核心考點四：利用軸對稱解決函數(shù)問題
核心考點五：利用中心對稱解決函數(shù)問題
核心考點六：利用周期性和對稱性解決函數(shù)問題
核心考點七：類周期函數(shù)
核心考點八：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性
核心考點九：函數(shù)性質(zhì)的綜合
【真題回歸】
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：賦值加性質(zhì)
因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．因為，，，，，所以
一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，
所以．故選：A．
[方法二]：【最優(yōu)解】構造特殊函數(shù)
由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式
，可設，則由方法一中知，解得，取，
所以，則
，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故選：A．
【整體點評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為的圖像關于直線對稱，
所以，
因為，所以，即，
因為，所以，
代入得，即，
所以，
．
因為，所以，即，所以．
因為，所以，又因為，
聯(lián)立得，，
所以的圖像關于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，
所以
因為，所以．
所以．
故選：D
3．（多選題）（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：對稱性和周期性的關系研究
對于，因為為偶函數(shù)，所以即①，所以，所以關于對稱，則，故C正確；
對于，因為為偶函數(shù)，，，所以關于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關于對稱，因為其定義域為R，所以，結合關于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；
若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤．
故選：BC．
[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構造函數(shù)法．
由方法一知周期為2，關于對稱，故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC．
故選：BC．
[方法三]：
因為，均為偶函數(shù)，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數(shù)，的圖象分別關于直線對稱，
又，且函數(shù)可導，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯誤；
若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤．
故選：BC．
【整體點評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項的真假，轉化難度較高，是該題的通性通法；
方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構造特殊函數(shù)，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．
4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若是奇函數(shù)，則_____，______．
【答案】 ； ．
【解析】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對稱性
若，則的定義域為，不關于原點對稱
若奇函數(shù)的有意義，則且
且，
函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關于原點對稱，
，解得，
由得，，
，
故答案為：；．
[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參
函數(shù)為奇函數(shù)
[方法三]：
因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關于原點對稱．
由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域為，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．
故答案為：；．
【方法技巧與總結】
1、單調(diào)性技巧
（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟
①取值：設，是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；
②變形：作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；
③定號：判斷差的正負或商與的大小關系；
④得出結論．
（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法
①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．
②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．
（3）記住幾條常用的結論：
①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；
②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；
③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；
④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．
2、奇偶性技巧
（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱．
（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．
函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關于軸對稱；
函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關于原點中心對稱．
（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；
偶函數(shù)必滿足．
（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同．
（5）若函數(shù)的定義域關于原點對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式．記，，則．
（6）運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù)，如．
對于運算函數(shù)有如下結論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）復合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．
（8）常見奇偶性函數(shù)模型
奇函數(shù)： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函數(shù)或函數(shù)．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函數(shù)．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函數(shù)或函數(shù)
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函數(shù)或函數(shù)．
注意：關于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．
偶函數(shù)： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函數(shù)．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函數(shù)．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函數(shù)類型的一切函數(shù)．
④常數(shù)函數(shù)
3、周期性技巧
4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關系
（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且．
5、對稱性技巧
（1）若函數(shù)關于直線對稱，則．
（2）若函數(shù)關于點對稱，則．
（3）函數(shù)與關于軸對稱，函數(shù)與關于原點對稱．
【核心考點】
核心考點一：函數(shù)單調(diào)性的綜合應用
【典型例題】
例1．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】顯然當時，為單調(diào)減函數(shù)，
當時，，則對稱軸為，
若是上減函數(shù)，則 解得，
故選：A．
例2．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】假設，
所以，所以，
所以為奇函數(shù)，
而是向右平移1個單位長度，向上平移3個單位長度，所以的對稱中心為，所以，
由求導得
因為，當且僅當即，取等號，
所以所以在R上單調(diào)遞增，
因為得
所以，解得，
故選：B
例3．（2023·全國·高三專題練習）已知，且滿足，則下列正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，可得，
所以，或，
∴（舍去），或，即，故A錯誤；
又，故，
∴，對于函數(shù)，
則，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴，故D錯誤；
∵，，
∴，
令，則，
∴函數(shù)單調(diào)遞增，
∴，即，
∴，即，故B正確；
∵，
∴函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)單調(diào)遞增，
∴，即，故C錯誤．
故選：B．
核心考點二：函數(shù)的奇偶性的綜合應用
【典型例題】
例4．（2023·全國·高三專題練習）已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵為偶函數(shù)，
∴，即函數(shù)關于對稱，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由，可得，
整理得，，
解得或．
故選：B．
例5．（2023·全國·高三專題練習）設是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，當時，，所以在上為增函數(shù)，
因為是定義在R上的奇函數(shù)，
所以在R上為增函數(shù)，
因為，所以，，
所以，
所以不等式可化為，
所以，解得或，
所以不等式的解集為，
故選：C
例6．（2023·全國·高三專題練習）已知偶函數(shù)的定義域為，且當時，，則使不等式成立的實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】當時，，所以在上單調(diào)遞增，
且，不等式即為．
又因為是偶函數(shù)，所以不等式等價于，
則，所以，，解得．
綜上可知，實數(shù)的取值范圍為，
故選：A．
例7．（2023·全國·高三專題練習）定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，
所以，又，，
所以不等式，可化為，
即，
又因為在上單調(diào)遞增，
所以在R上單調(diào)遞增，
所以，
解得．
故選：D．
例8．（2023春·廣西·高三期末）是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則（ ）
A．－1B．C．D．1
【答案】A
【解析】是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則
．
∴．
故選：A
例9．（2023春·甘肅蘭州·高三蘭化一中校考階段練習）若函數(shù)f（x）=，則滿足恒成立的實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為，
所以是上的奇函數(shù)，
由
，
所以是上的增函數(shù)，
所以等價于：
即，
所以，
令，
則問題轉化為：，
因為且定義域為，
所以是上的偶函數(shù)，
所以只需求在上的最大值即可．
當時，，
，
則當時，；當時，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
可得：，
即，
故選：A．
核心考點三：已知奇函數(shù)+M
【典型例題】
例10．（2022·重慶一中高三階段練習）已知（a，b為實數(shù)），，則______．
【答案】-2014
【解析】
，
因為為奇函數(shù)，
所以，
其中，
所以，
解得：
故答案為：-2014
例11．（2022·河南·西平縣高級中學模擬預測（理））已知函數(shù)，且，則（ ）
A．2B．3C．－2D．－3
【答案】D
【解析】
設，因為，
所以為奇函數(shù)，
因為，
所以，
則．
故選：D．
例12．（2022·福建省福州第一中學高二期末）若對，有，函數(shù)在區(qū)間上存在最大值和最小值，則其最大值與最小值的和為（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】B
【解析】
由題設，且，
∴，則，
∴為奇函數(shù)，令，
∴，即是奇函數(shù)，
∴在上的最小、最大值的和為0，即，
∴．
故選：B
核心考點四：利用軸對稱解決函數(shù)問題
【典型例題】
例13．（2022·全國·高三專題練習）若滿足，滿足，則等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】由題意，故有
故和是直線和曲線、曲線交點的橫坐標．
根據(jù)函數(shù)和函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線對稱，
故曲線和曲線的圖象交點關于直線對稱．
即點（x1，5﹣x1）和點（x2，5﹣x2）構成的線段的中點在直線y=x上，
即，求得x1+x2=5，
故選：D．
例14．（2021春·高一單元測試）設函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．（0，2]B．
C．[2，＋∞）D．∪[2，＋∞）
【答案】B
【解析】由題意，函數(shù)的定義域為，
且，
所以函數(shù)為的偶函數(shù)，且在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
令，可得，
則不等式可化為，
即，即，
又因為，且在上單調(diào)遞減，在為偶函數(shù)，
所以，即，解得，
所以不等式的解集為．
故選：B．
例15．（2021春·西藏拉薩·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)，則的大小關系（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令，所以是偶函數(shù)；
當時，，在上是增函數(shù)，
將圖像向右平移一個單位得到圖像，
所以關于直線對稱，且在單調(diào)遞增．
∵，，，
∴，
∴，
又∵關于直線對稱，∴，
∴．
故選：A
核心考點五：利用中心對稱解決函數(shù)問題
【典型例題】
例16．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且的圖象關于點對稱，當時，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】圖象關于點對稱，，
又為上的偶函數(shù)，，，
，
是周期為的周期函數(shù)，
，又，，
．
故選：C．
例17．（2021春·安徽六安·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，若函數(shù)與圖象共有個交點為、、、，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為，
函數(shù)的定義域為，
，所以，，
故函數(shù)的圖象關于點對稱，
因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，
故函數(shù)的圖象也關于點對稱，
函數(shù)與圖象共有個交點為、、、，且這六個點也關于點對稱，
所以，．
故選：B．
例18．（2021春·貴州黔東南·高一凱里一中校考期中）已知函數(shù)是奇函數(shù)，若函數(shù)與圖象的交點分別為，，…，，則交點的所有橫坐標和縱坐標之和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題可得關于點對稱，的圖象也關于點對稱，
即若點為交點，則點也為交點，同理若為交點，則點也為交點，……
則交點的所有橫坐標和縱坐標之和為，
故選：D．
例19．（2022春·湖北恩施·高一恩施市第一中學?？茧A段練習）已知定義在R上的奇函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標分別為，，，，，且，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，
則，且函數(shù)的圖象與軸交點關于原點對稱，
不妨設，
則，
所以，
則不等式，
即為，解得，
所以不等式的解集為．
故選：A．
例20．（2021春·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，函數(shù)滿足，若函數(shù)恰有個零點，則所有這些零點之和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函數(shù)滿足，
則函數(shù)的圖象關于點對稱，且（1），
函數(shù)，
則，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關于點對稱，
又函數(shù)是由函數(shù)向右平移一個單位得到的函數(shù)，
故函數(shù)的圖象關于點對稱，
令，
則，
因為函數(shù)與的圖象都關于點對稱，
所以兩個函數(shù)圖象的交點也關于點對稱，
因為函數(shù)恰有2021個零點，
所以2021個零點除之外的2020個零點關于對稱，
則所有這些零點之和為．
故選：D．
核心考點六：利用周期性和對稱性解決函數(shù)問題
【典型例題】
例21．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且當時，．若，則（ ）
A．B．0C．D．
【答案】C
【解析】因為為偶函數(shù)，所以，
用代替得：，
因為為奇函數(shù)，所以，
故①，
用代替得：②，
由①② 得：，
所以函數(shù)的周期，
所以，即，
因為，令得：，故，
，解得：，
所以時，，
因為，
令，得，
其中，所以，
因為，
令得：，即，
因為，所以，
因為，
令得：，
故，
．
故選：C
例22．（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)的定義域為R，為偶函數(shù)，，當時，（且），且．則（ ）
A．16B．20C．24D．28
【答案】C
【解析】因為是偶函數(shù)，所以，所以，
所以函數(shù)關于直線對稱，
又因為，所以，
所以，所以關于點中心對稱，
由及得
所以
所以函數(shù)的周期為，
因為當時，（且），且，
所以，解得：或，因為且，所以．
所以當時，，
所以，，，
，，，
，所以，
所以，
故選：．
例23．（2023·山東濟寧·高三嘉祥縣第一中學?？茧A段練習）已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當時，．若直線與曲線恰有三個公共點，那么實數(shù)a的取值的集合為（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
【答案】B
【解析】定義在R上的偶函數(shù)滿足，
所以的圖像關于對稱，且為周期是2的偶函數(shù)，
當時，，所以畫出函數(shù)圖像如下圖所示：
①當時，結合圖像可知與（）有兩個公共點；
②當與（）相切時，滿足，即，令，解得．
當時，結合圖像可知與（）有兩個公共點；
由圖像可知， 時，直線與（）有三個公共點；
又因為周期，可知（）．
故選：B．
例24．（2023·全國·高三專題練習）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，若函數(shù)圖象與的圖象恰有10個不同的公共點，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，
又函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移一個單位可得，
所以函數(shù)的圖象的對稱軸為，
當時，，所以函數(shù)的圖象也關于對稱，
在平面直角坐標系中作出函數(shù)與在右側的圖象，
數(shù)形結合可得，若函數(shù)圖象與的圖象恰有10個不同的公共點，
則由函數(shù)圖象的對稱性可得兩圖象在右側有5個交點，
則，解得．
故選：D．
例25．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）已知是定義在R上的奇函數(shù)，，恒有，且當時，1，則（ ）
A．1B．-1C．0D．2
【答案】B
【解析】因為，所以的最小正周期是8，
因為，
，，，
，又是周期為8的周期函數(shù)，
所以，
，所以．
故選：B
例26．（2023·山東濟寧·高三嘉祥縣第一中學?？茧A段練習）已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當時，．若直線與曲線恰有三個公共點，那么實數(shù)a的取值的集合為（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
【答案】B
【解析】定義在R上的偶函數(shù)滿足，
所以的圖像關于對稱，且為周期是2的偶函數(shù)，
當時，，所以畫出函數(shù)圖像如下圖所示：
①當時，結合圖像可知與（）有兩個公共點；
②當與（）相切時，滿足，即，令，解得．
當時，結合圖像可知與（）有兩個公共點；
由圖像可知， 時，直線與（）有三個公共點；
又因為周期，可知（）．
故選：B．
例27．（2023·全國·高三專題練習）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，若函數(shù)圖象與的圖象恰有10個不同的公共點，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，
又函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移一個單位可得，
所以函數(shù)的圖象的對稱軸為，
當時，，所以函數(shù)的圖象也關于對稱，
在平面直角坐標系中作出函數(shù)與在右側的圖象，
數(shù)形結合可得，若函數(shù)圖象與的圖象恰有10個不同的公共點，
則由函數(shù)圖象的對稱性可得兩圖象在右側有5個交點，
則，解得．
故選：D．
例28．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學?？茧A段練習）已知是定義在R上的奇函數(shù)，，恒有，且當時，1，則（ ）
A．1B．-1C．0D．2
【答案】B
【解析】因為，所以的最小正周期是8，
因為，
，，，
，又是周期為8的周期函數(shù)，
所以，
，所以．
故選：B
核心考點七：類周期函數(shù)
【典型例題】
例29．（2022·天津一中高三月考）定義域為的函數(shù)滿足，當時，，若當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
因為當時，不等式恒成立，所以，
當時，

當時，，當時， ，因此當時，，選B．
例30．（2022·浙江·杭州高級中學高三期中）定義域為的函數(shù)滿足，當時，，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
因為，所以，
因為時，，
所以，
因為函數(shù)滿足，
所以，
所以，，
又因為，恒成立，
故，
解不等式可得或．
例31．（2022山西省榆林市高三二模理科數(shù)學試卷）定義域為的函數(shù)滿足，當時，，若當時，函數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
當時，，又，因此當時，函數(shù)，從而，選C．
核心考點八：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性
【典型例題】
例32．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知函數(shù)對任意，都有成立．有以下結論：
①；②是上的偶函數(shù)；③若，則；
④當時，恒有，則函數(shù)在上單調(diào)遞增．
則上述所有正確結論的編號是________
【答案】①③
【解析】對于①令，則，解得，①正確；
對于②令，則，∴，∴是上的奇函數(shù)，②錯誤；
對于③令，則，∴，③正確；
對于④設，則，∴，
則，∴在上單調(diào)遞減，④錯誤．
故答案為：①③．
例33．（2022·山東聊城·二模）已知為上的奇函數(shù)，，若對，，當時，都有，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
由，得，
因為，所以，
即，設，
則在上單調(diào)遞減，
而，
則，解得：；
因為為R上的奇函數(shù)，所以，
則為R上的偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，
，
則，解得：；
綜上，原不等式的解集為．
故選：B．
例34．（2022·全國·模擬預測（理））已知定義在R上的奇函數(shù)的圖象關于直線對稱，且在上單調(diào)遞增，若，，，則，，的大小關系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由函數(shù)的圖象關于直線對稱可得，結合奇函數(shù)的性質(zhì)可知
，．
由奇函數(shù)的性質(zhì)結合在上單調(diào)遞增可得在上單調(diào)遞增，
所以，
所以．
故選：C
例35．（2022·黑龍江大慶·三模（理））已知定義域為R的偶函數(shù)滿足，當時，，則方程在區(qū)間上所有解的和為（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】A
【解析】
解：因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，
又函數(shù)為偶函數(shù)，所以，
所以函數(shù)是周期為2的函數(shù)，
又的圖象也關于直線對稱，
作出函數(shù)與在區(qū)間上的圖象，如圖所示：
由圖可知，函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有8個交點，且關于直線對稱，
所以方程核心考點九：函數(shù)性質(zhì)的綜合
【典型例題】
例36．（2023·上海·高三專題練習）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，且恒成立，則不等式的解集為______．
【答案】
【解析】由于函數(shù)定義在上的偶函數(shù)，在是增函數(shù)，
由得，
所以，
解方程得，
令，則，
所以是方程的兩根，
由韋達定理得，解得，
則不等式即，
設，，，故，
所以單調(diào)遞增，且，故解集為．
故答案為：．
例37．（2023春·山東濟南·高三統(tǒng)考期中）已知是定義域為R的奇函數(shù)，為奇函數(shù)，則__________．
【答案】68
【解析】而是定義域為R的奇函數(shù)，故有，且，
因為為奇函數(shù)，所以，
而，
所以，
用替換得：，
令，則有，
即；
令，則，
則，即；
令，則有；
所以．
；
；
；
所以
．
故答案為：68
例38．（2023春·重慶璧山·高三校聯(lián)考階段練習）設a＞0，b＞0，若關于x的方程恰有三個不同的實數(shù)解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3＝b，則a+b的值為______．
【答案】
【解析】不妨令，
顯然滿足，可知為偶函數(shù)，
因為關于x的方程恰有三個不同的實數(shù)解x1，x2，x3，
且x1＜x2＜x3＝b，
所以必有x2＝0，且﹣x1＝x3＝b，故x1+x2+x3＝0，
將x2＝0，x3＝b代入原方程得：，
當b≥a時，原方程化為，解得，
此時，
當b＜a時，原方程化為，解得a＝b＝0，與a＞0，b＞0矛盾，
故．
故答案為：．
例39．（2023·全國·高三專題練習）已知是上的偶函數(shù)，對于任意的，均有，當時，，則函數(shù)的所有零點之和為______；
【答案】4042
【解析】圖像關于軸對稱的偶函數(shù)向右平移一個單位得到函數(shù)．因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，
令替換，則有，
所以函數(shù)的周期為2，且函數(shù)關于直線對稱，
又當時，，當時，，，
當時，，
依次類推，可以求出，當時，
由此可在同一平面直角坐標系下作出函數(shù)與的部分圖象．
函數(shù)的零點，即為函數(shù)與的交點橫坐標，
當時，，兩函數(shù)圖像無交點，又兩函數(shù)在上有2021個交點，由對稱性知它們在上也有2021個交點，且它們關于直線對稱，則對稱兩零點和為2，所以函數(shù)的所有零點之和為4042．
故答案為：4042．
【新題速遞】
一、單選題
1．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）己知函數(shù)，，若與圖像的公共點個數(shù)為n，且這些公共點的橫坐標從小到大依次為，，…，，則下列說法正確的有（ ）個
①若，則 ②若，則
③若，則 ④若，則
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】對于①，當時，令，則，即函數(shù)有且僅有一個零點為0，同理易知函數(shù)有且僅有一個零點為0，
即與也恰有一個公共點，故①錯誤；
對于②：當時，如下圖：
易知在，且，與圖像相切，由當時，，則，，故，從而，所以，故②正確；
對于③：當時，如下圖：
則，，所以，又圖像關于對稱，結合圖像有，即有，故③正確；
對于④：當時，由，與的圖像在y軸右側的前1012個周期中，每個周期均有2個公共點，共有2024個公共點，故④正確．
故選：C．
2．（2023·青海海東·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，且，則下列結論正確的是（ ）
A．當時，在上是增函數(shù)
B．當時，在上是增函數(shù)
C．的單調(diào)性與有關
D．若不等式的解集是，則
【答案】B
【解析】當時，在上單調(diào)遞增，且．
因為函數(shù)在上是減函數(shù)，
所以在上是減函數(shù)，則錯誤；
當時，在上單調(diào)遞減，且．
因為函數(shù)在上是減函數(shù)，
所以在上是增函數(shù)，則正確；
定義域為R，，
所以，為R上的偶函數(shù)．
又由前面分析知，當時，在上是減函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)知，在上是增函數(shù)；
當時，在上是增函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)知，在上是減函數(shù)．
所以，可知，當且時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
從而的單調(diào)性與無關，故C錯誤；
因為不等式的解集是．
由前面分析知，為R上的偶函數(shù)．在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
所以，所以，解得或，則D錯誤．
故選：B．
3．（2023·青海海東·統(tǒng)考一模）已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若，且，則不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設，則．
因為，所以，即，
所以在上單調(diào)遞減．
不等式等價于不等式，即．
因為，所以，所以．
因為在上單調(diào)遞減，所以，解得
故選：A
4．（2023春·重慶·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)，正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】B
【解析】，
故函數(shù)關于對稱，又在上嚴格遞增；
即
當且僅當時取得．
故選：B．
5．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）若正實數(shù)滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
即
即
即
令，根據(jù)增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù)得在上為增函數(shù)，
，，
故選：A．
6．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知f（x），g（x）分別為定義域為R的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若關于x的不等式在（0，ln 2）上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為分別為偶函數(shù)和奇函數(shù)，
①，
所以，即②，
①②聯(lián)立可解得，，
不等式為，
，則，，
設，則，
，，，在上是增函數(shù)，，
又在時是增函數(shù)，所以，，
，在恒成立，則．
故選：C．
7．（2023春·江蘇南京·高三統(tǒng)考階段練習）設，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，在單調(diào)遞增，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】對A：∵函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，A錯誤；
由題意可得：在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增
∵，則
∴函數(shù)關于對稱，則在上單調(diào)遞減
當時，當且僅當時，；當且僅當或時，
∵函數(shù)關于對稱，則，即
∴，則函數(shù)的周期為4
當時，則有：
的根依次為，即當且僅當，
若，則，即，C、D錯誤；
的根依次為，即當且僅當，
∵，則，B正確；
故選：B．
8．（2023春·遼寧·高三校聯(lián)考期中）已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增 ，
因為，所以由偶函數(shù)性質(zhì)知
所以，解得：．
故選：A．
二、多選題
9．（2023春·福建寧德·高三校考階段練習）已知函數(shù)的定義域為R，為的導函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】若為偶函數(shù)，則，故，則為奇函數(shù)
故，
由可得，
又可得，兩式相減得，
所以函數(shù)的周期為4；
由可得
又可得，兩式相加得
所以函數(shù)的對稱中心為；
則，，故A選項正確；
又，則，由函數(shù)的周期為4
可得，，故B，D選項正確；
可得，所以，故C選項不正確；
故選：ABD．
10．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)、的定義域均為，為偶函數(shù)，且，，下列說法正確的有（ ）
A．函數(shù)的圖象關于對稱B．函數(shù)的圖象關于對稱
C．函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)D．函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)
【答案】BC
【解析】對于A選項，因為為偶函數(shù)，所以．
由，可得，可得，
所以，函數(shù)的圖象關于直線對稱，A錯；
對于B選項，因為，則，
又因為，可得，
所以，函數(shù)的圖象關于點對稱，B對；
對于C選項，因為函數(shù)為偶函數(shù)，且，
則，從而，則，
所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，C對；
對于D選項，因為，且，，
又因為，所以，，
又因為，則，所以，，
故，因此，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，D錯．
故選：BC．
11．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為R，若，均為奇函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】因為若，為奇函數(shù)，
所以，
令得，，即，，A選項正確；
所以，，即，
所以，函數(shù)關于對稱，對稱，
所以，，即
所以，，
所以，，即函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，
所以，，，故D選項正確，B選項錯誤；
對于C選項，由可得，其中為常數(shù)，
所以，所以，
故令得，即，故C選項正確．
故選：ACD．
12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A．圖象關于對稱B．
C．的最小正周期為4D．對任意都有
【答案】BCD
【解析】為上的奇函數(shù)，則，．為偶函數(shù)，即關于軸對稱，則．
所以，則，故，則最小正周期為4；
對A，，故圖象不關于對稱，A錯；
對B，，B對；
對C，最小正周期為4，，的最小正周期為4，C對；
對D，，D對；
故選：BCD
13．（2023·全國·高三專題練習）已知為偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】A選項，因為為偶函數(shù)，所以，
因為為奇函數(shù)，所以，
令得：，解得：，所以
令得：，即，所以，故A正確；
B選項，令得：，即，
因為，則，所以，所以，故B正確；
C選項，因為，所以，
因為，所以，
即，所以，
，所以，
即，所以，
所以的周期為4，，故C正確；
D選項，因為，
所以令得：，解得：，
令中得：，故D錯誤．
故選：ABC
三、填空題
14．（2023春·江蘇南京·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是________．
【答案】．
【解析】因為，則，
因為函數(shù)，由有：且，
因為，大致圖象如圖，
①當且時，，所以，顯然滿足；
②當時，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性法則同增異減可得，單調(diào)遞減，
當時，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性法則同增異減可得，單調(diào)遞增，
又，，所以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性有：
由，解得：或．
綜上，滿足的取值范圍是．
故答案為：．
15．（2023·全國·高三專題練習）已知定義域為的函數(shù)存在導函數(shù)，且滿足，則曲線在點處的切線方程可以是___________（寫出一個即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】的定義域為，由可知，是偶函數(shù)，
由可知周期為4，
因為，故關于直線對稱，
又因為，所以也是的對稱軸，
因為在上存在導函數(shù)，所以是的極值點，
即，曲線在點處的切線斜率為0，
故切線方程可能為，
故答案為：（答案不唯一）
16．（2023·全國·高三專題練習）定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，給出下列幾個命題：
①是周期函數(shù)；
②的圖象關于直線對稱；
③在上是減函數(shù)；
④．
其中正確命題的序號是_____．（寫出所有正確命題的序號）
【答案】①②③④
【解析】因為，所以，所以，所以的周期為，即為周期函數(shù)，故①正確；
因為，所以，又因為為奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，故②正確；
因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，因為在上為增函數(shù)，且為奇函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，
因為關于直線對稱，所以在上為減函數(shù)，故③正確；
由，令得，故④正確，
故答案為：①②③④
17．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若，則___________．
【答案】2
【解析】因為，對稱軸為，所以的對稱中心為，即，
因為，所以在上單調(diào)遞增，
所以方程的解均有且只有一個，
因為，所以關于對稱中心對稱，
所以，
故答案為：2
18．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的極大值為，極小值為，則______．
【答案】6
【解析】由題意，，故關于對稱．
故取得極大與極小值的點關于對稱，所以．
故答案為：6
19．（2023·全國·高三專題練習）設的定義域為，且滿足，若，則___________．
【答案】2024
【解析】因為，所以，
由，得，有，
可得，有，
又由，可得，可知函數(shù)的周期為4，
可得，
有，
因為，所以
由得，
所以，
即，
所以
所以．
故．
故答案為：2024
20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為R，且為奇函數(shù)，其圖象關于直線對稱．當時，，則____．
【答案】4
【解析】∵的圖象關于直線對稱，∴，又為奇函數(shù)，∴，故，
則，∴函數(shù)的周期，又∵，∴．
故答案為：4．

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