1、正確掌握使用集合的語言來刻畫一類事物的方法．
2、理解使用邏輯用語表達(dá)數(shù)學(xué)對象，進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的方法．
【考點(diǎn)目錄】
考點(diǎn)一：集合的含義與表示
考點(diǎn)二：集合的基本關(guān)系
考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算
考點(diǎn)四：含參數(shù)的集合問題
考點(diǎn)五：充分與必要條件
考點(diǎn)六：全稱量詞與存在量詞
【基礎(chǔ)知識】
知識點(diǎn)一：集合的有關(guān)概念
1、一般地，研究對象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫集合．
2、關(guān)于集合的元素的特征
（1）確定性：設(shè)A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立．
（2）互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素．
（3）無序性：集合中的元素的次序無先后之分．如：由1，2，3組成的集合，也可以寫成由1，3，2組成一個集合，它們都表示同一個集合．
3、元素與集合的關(guān)系：
（1）如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作aA
（2）如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作
4、常用數(shù)集及其表示
非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N 正整數(shù)集，記作N*或N+
整數(shù)集，記作Z 有理數(shù)集，記作Q 實(shí)數(shù)集，記作R
知識點(diǎn)二：集合的表示方法
1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來．
2、描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內(nèi)．具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．
知識點(diǎn)三．集合與集合的關(guān)系
（1）一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為B的子集．
記作：
讀作：A包含于B（或B包含A）．
圖示：
（2）如果兩個集合所含的元素完全相同（），那么我們稱這兩個集合相等．
記作：A=B
讀作：A等于B．
圖示：
知識點(diǎn)四．真子集
若集合，存在元素，則稱集合A是集合B的真子集．
記作：AB（或BA）
讀作：A真包含于B（或B真包含A）
知識點(diǎn)五．空集
不含有任何元素的集合稱為空集，記作：．
規(guī)定：空集是任何集合的子集．
結(jié)論：（1）（類比）
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）若則（類比，則）
（4）一般地，一個集合元素若為n個，則其子集數(shù)為2n個，其真子集數(shù)為2n-1個，特別地，空集的子集個數(shù)為1，真子集個數(shù)為0．
知識點(diǎn)六：集合的運(yùn)算
1、并集
一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B讀作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn圖表示：
2、交集
一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：A∩B，讀作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn圖表示：
3、補(bǔ)集
全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U．
補(bǔ)集：對于全集U的一個子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集（cmplementary set），簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作：，即補(bǔ)集的Venn圖表示：
4、集合基本運(yùn)算的一些結(jié)論
，，，，
，，，，
，
若A∩B=A，則，反之也成立
若A∪B=B，則，反之也成立
若x（A∩B），則且xB
若x（A∪B），則xA，或xB
求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法．
知識點(diǎn)七：充分條件與必要條件充要條件的概念
符號與的含義
“若，則”為真命題，記作：； “若，則”為假命題，記作：．
充分條件、必要條件與充要條件
①若，稱是的充分條件，是的必要條件．
②如果既有，又有，就記作，這時是的充分必要條件，稱是的充要條件．
知識點(diǎn)詮釋：對的理解：指當(dāng)成立時，一定成立，即由通過推理可以得到．
①“若，則”為真命題；
②是的充分條件；
③是的必要條件
以上三種形式均為“”這一邏輯關(guān)系的表達(dá)．
知識點(diǎn)八：充分條件、必要條件與充要條件的判斷
從邏輯推理關(guān)系看
命題“若，則”，其條件p與結(jié)論q之間的邏輯關(guān)系
①若，但，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件；
②若，但，則是的必要不充分條件，是的充分不必要條件；
③若，且，即，則、互為充要條件；
④若，且，則是的既不充分也不必要條件．
從集合與集合間的關(guān)系看
若p：x∈A，q：x∈B，
①若AB，則是的充分條件，是的必要條件；
②若A是B的真子集，則是的充分不必要條件；
③若A=B，則、互為充要條件；
④若A不是B的子集且B不是A的子集，則是的既不充分也不必要條件．
知識點(diǎn)八：全稱量詞與全稱量詞命題
1、全稱量詞：一般地，“任意”“所有”“每一個”在陳述句中表示所述事物的全體，稱為全稱量詞，用符號“”表示．
2、全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題．
3、全稱量詞命題的形式：對集合M中的所有元素x，，簡記為：對．
知識點(diǎn)九：存在量詞與存在量詞命題
1、全稱量詞：一般地，“存在”“有”“至少有一個”在陳述句中表示所述事物的個體或部分，稱為全存在量詞，用符號“”表示．
2、存在量詞命題：含有存在量詞的命題，稱為存在量詞命題．
3、存在量詞命題的形式：存在集合M中的元素x，，簡記為：對．
知識點(diǎn)十：命題的否定
1、一般地，對命題p加以否定，就得到一個新的命題，記作“”，讀作“非p”或p的否定．
2、如果一個命題是真命題，那么這個命題的否定是假命題，反之亦然．
知識點(diǎn)十一：全稱量詞命題的否定
一般地，全稱量詞命題“ ”的否定是存在量詞命題： ．
知識點(diǎn)十二：存在量詞命題的否定
一般地，存在量詞命題“ ”的否定是全稱量詞命題： ．
知識點(diǎn)十三：命題與命題的否定的真假判斷
一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假．
知識點(diǎn)七：常見正面詞語的否定舉例如下：
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：集合的含義與表示
例1．下列說法中，正確的個數(shù)是（ ）
①的近似值的全體構(gòu)成一個集合 ②自然數(shù)集N中最小的元素是0
③在整數(shù)集Z中，若，則 ④一個集合中不可以有兩個相同的元素
A．1B．2C．3D．4
例2．給出下列6個關(guān)系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正確命題的個數(shù)為（ ）
A．4B．2C．3D．5
例3．方程組的解集是（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)二：集合的基本關(guān)系
例4．已知集合，，則的子集的個數(shù)為（ ）
A．2個B．3個C．4個D．8個
例5．已知集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
例6．設(shè)集合，若，則（ ）
A．0B．1C．2D．
考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算
例7．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
例8．設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
例9．已知全集，集臺和的關(guān)系如圖所示，則陰影部分表示的集合的元素共有（ ）
A．個B．個C．個D．無窮多個
例10．某小學(xué)為落實(shí)雙減，實(shí)現(xiàn)真正素質(zhì)教育，在課后給同學(xué)們增設(shè)了各種興趣班.為了了解同學(xué)們的興趣情況，某班班主任對全班女生進(jìn)行了關(guān)于對唱歌?跳舞?書法是否有興趣的問卷調(diào)查，要求每位同學(xué)至少選擇一項(xiàng)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)有21人喜歡唱歌，17人喜歡跳舞，10人喜歡書法，同時喜歡唱歌和跳舞的有12人，同時喜歡唱歌和書法的有6人，同時喜歡跳舞和書法的有5人，三種都喜歡的有2人，則該班女生人數(shù)為（ ）
A．27B．23C．25D．29
考點(diǎn)四：含參數(shù)的集合問題
例11．已知集合.
(1)若，求；
(2)若，求的取值范圍.
例12．已知集合是函數(shù)的定義域，.
(1)若，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
例13．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集?給出下列條件①“”是“”的充分條件；②；③.從中選一個作為已知填在橫線上，并解答.
(1)若，求；
(2)設(shè)集合，滿足條件___________，若這樣的實(shí)數(shù)存在，求取值范圍，若不存在說明理由.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.
例14．已知集合，，，且，．
(1)求的值；
(2)求的取值范圍．
例15．從①“充分不必要條件”、②“必要不充分條件”兩個條件中任選一個，補(bǔ)充到本題第（2）問的橫線處，并解答下列問題: 已知集合，．
(1)若，求；
(2)若存在正實(shí)數(shù)，使得“”是“”成立的 ，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．
（注:如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答記分）
考點(diǎn)五：充分與必要條件
例16．設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
例17．若p：，則p成立的充分不必要條件可以是（ ）
A．B．
C．D．
例18．設(shè)，，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例19．“”的一個必要不充分條件是（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)六：全稱量詞與存在量詞
例20．命題“，”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
例21．已知命題，則命題的否定及否定的真假為（ ）
A．，真命題
B．，假命題
C．，真命題
D．，假命題
例22．已知命題，.若為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例23．已知為實(shí)數(shù)，使“，”為真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【真題演練】
1．（2022·天津·高考真題）“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2022·天津·高考真題）設(shè)全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國·高考真題（文））設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全國·高考真題）若集合，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全國·高考真題（文））集合，則（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全國·高考真題（理））設(shè)全集，集合M滿足，則（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全國·高考真題（理））設(shè)全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全國·高考真題）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·北京·高考真題）已知全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·浙江·高考真題）設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
鞏固練習(xí)
一、單選題
1.如圖，設(shè)集合{華南虎，爪哇虎，里?；，{華南虎，巴厘虎，馬來亞虎}，則陰影部分表示的集合是（ ）
A．{華南虎，爪哇虎}B．{華南虎，巴厘虎}
C．{爪哇虎，里海虎}D．{巴厘虎，馬來亞虎}
2.命題“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3.已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
4.集合，，則（ ）
A．B．C．D．（3，4）
二、多選題
5.設(shè)集合，，，則下列關(guān)系中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
6.如果A是D的充分不必要條件，B是C的充要條件，A是C的必要不充分條件，則下列說法正確的是（ ）
A．A是B的必要不充分條件B．B是D的充分不必要條件
C．C是D充要條件D．B是D的既不充分又不必要條件
三、填空題
7.已知下列不等式①；②；③；④；⑤.其中是不等式的一個充分不必要條件的有______（填序號）.
8.已知集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
四、解答題
9.設(shè)全集為，，
(1)當(dāng)時，求；
(2)若，求的取值范圍.
10.已知集合，集合或，全集.
(1)若，求;
(2)若?，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
11.已知集合，.
(1)若，求，；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
集合與常用邏輯用語 隨堂檢測
1.下列判斷正確的是（ ）
A．個子高的人可以組成集合B．
C．D．空集是任何集合的真子集
2.若集合，，則（ ）
A．B．C．D．
3.，則（ ）
A．B．C．D．
4.命題“對任意，都有”的否定為（ ）
A．對任意，都有B．對任意，都有
C．存在，使得D．存在，使得
5．（多選）設(shè)為全體質(zhì)數(shù)的集合，若，則的值可能是（ ）
A．5B．7C．13D．17
6．（多選）若“，使得成立”是假命題，則實(shí)數(shù)可能的取值是（ ）
A．1B．2C．D．3
7.已知集合，集合，則滿足關(guān)系的所有集合為______.
8.已知集合，集合．
(1)求；
(2)設(shè)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
9.設(shè)集合，．
(1)用列舉法表示集合；
(2)若，求實(shí)數(shù)的值．
10.在①是的充分不必要條件；②；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題：
已知集合，．
(1)當(dāng)時，求；
(2)若選______，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
正面詞語
等于
大于（>）
小于（

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