一、單選題
類型一、傳播問題
1．畢業(yè)前夕，九年級(jí)（11）班的同學(xué)每人將一份禮物與其他每一位同學(xué)互贈(zèng)，作為珍貴的紀(jì)念，全班共增出1980件禮物，那么這個(gè)班級(jí)共有學(xué)生（ ）
A．40人B．42人C．44人D．45人
2．某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，設(shè)每個(gè)支干長出x個(gè)小分支，則下列方程正確的是（ ）
A．1+x2＝91B．（1+x）2＝91
C．1+x+x2＝91D．1+（1+x）+（1+x）2＝91
類型二、增長率問題
3．某市近兩年環(huán)保工作卓有成效，全年空氣質(zhì)量重度污染天數(shù)從2019年的36天降到2021年的25天．按照這樣的降低率，該市全年空氣質(zhì)量重度污染天數(shù)首次不超過18天的年份是（ ）
A．2022年B．2023年C．2024年D．2025年
4．電影《長津湖》上映以來，全國票房連創(chuàng)佳績．據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，某市第一天票房約4億元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后累計(jì)票房收入達(dá)36億元，將增長率記作x，則方程可以列為（ ）
A．4+4x+4x2＝36B．4 （1+x）2＝36
C．（1+x）2＝36D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝36
類型三、與圖形有關(guān)的問題
5．如圖是某公園在一長35m，寬23m的矩形湖面上修建的等寬的人行觀景曲橋，它的面積恰好為原矩形湖面面積的，求人行觀景曲橋的寬．若設(shè)人行觀景曲橋的寬為xm，則x滿足的方程為（ ）
A．B．
C．D．
6．將一個(gè)容積為的長方體包裝盒剪開、鋪平，紙樣如圖所示，根據(jù)題意，列出關(guān)于x的方程為（ ）
A．B．
C．D．
類型四、數(shù)字問題
7．某數(shù)的一半比這個(gè)數(shù)的平方的3倍少，設(shè)某數(shù)為x，某數(shù)的方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知是完全平方式，則常數(shù)的值為（ ）
A．1或2B．或C．或D．不存在
類型五、營銷問題
9．某網(wǎng)店銷售運(yùn)動(dòng)鞋，若每雙盈利40元，每天可以銷售20雙，該網(wǎng)店決定適當(dāng)降價(jià)促銷，經(jīng)調(diào)查得知，每雙運(yùn)動(dòng)鞋每降價(jià)1元，每天可多銷售2雙，若想每天盈利1200元，并盡可能讓利于顧客，贏得市場，則每雙運(yùn)動(dòng)鞋應(yīng)降價(jià)（ ）
A．10元或20元B．20元C．5元D．5元或10元
10．某漁具店銷售一種魚餌，每包成本價(jià)為10元，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：售價(jià)為20元時(shí)，每天可銷售40包，售價(jià)每上漲1元，銷量將減少3包．如果想獲利480元，設(shè)這種魚餌的售價(jià)上漲x元，根據(jù)題意可列方程為（ ）．
A．B．
C．D．
類型六、動(dòng)態(tài)幾何問題
11．如圖所示，A，B，C，D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB=16cm，AD=8cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向B移動(dòng)，一直到達(dá)B為止；點(diǎn)Q以2cm/s的速度向D移動(dòng)．當(dāng)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始幾秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm．(若一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng))（ ）
A．2s或sB．1s或sC．sD．2s或s
12．如圖，將邊長為12 cm的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把ABC沿著AD方向平移，得到△A′B′C′，若兩個(gè)三角形重疊部分的面積為32 cm2，則它移動(dòng)的距離AA′等于( )
A．4 cmB．8 cmC．6 cmD．4 cm或8 cm
類型七、其他問題
13．距考試還有20天的時(shí)間，為鼓舞干勁，老師要求班上每一名同學(xué)要給同組的其他同學(xué)寫一份拼搏進(jìn)取的留言，小明所在的小組共寫了30份留言，該小組共有（ ）
A．7人B．6人C．5人D．4人
14．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除捷法》中記錄了這樣的一個(gè)問題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何？”其大意是：矩形面積是864平方步，其中長與寬和為60步，問長比寬多多少步？若設(shè)長比寬多x步，則下列符合題意的方程是（ ）
A．(60 - x)x = 864B． = 864
C．(60 + x)x = 864D．(30 + x)(30 - x)= 864
二、填空題
類型一、傳播問題
15．“泱泱華夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之東．山其何輝，韞卞和之美玉”這是武漢女孩陳天羽用文言文寫70周年閱兵式的觀后感．小汀州同學(xué)把這篇?dú)鈩莅蹴?、文采飛揚(yáng)的文章放到自己的微博上，并決定用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播．他設(shè)計(jì)了如下的傳播規(guī)則：將文章發(fā)表在自己的微博上，再邀請個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)，每個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)之后，又邀請個(gè)互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)，依此類推．已知經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有111個(gè)人參與了宣傳活動(dòng)，則的值為________．
16．一種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長出同樣數(shù)目的小分支，若主干、支干和小分支的總數(shù)是31，每個(gè)支干長出___個(gè)小分支．
類型二、增長率問題
17．某地區(qū)加大教育投入，2021年投入教育經(jīng)費(fèi)2000萬元，以后每年逐步增長，預(yù)計(jì)2023年，教育經(jīng)費(fèi)投入為2420萬元，則該地區(qū)教育經(jīng)費(fèi)投入年平均增長率為______．
18．電影《長津湖之水門橋》講述了一段波瀾壯闊的歷史，一上映就獲得全國人民的追捧，某地第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后票房收入累計(jì)達(dá)10億元，若把增長率記作x，則方程可以列為___________．
類型三、與圖形有關(guān)的問題
19．如圖，若將圖1正方形剪成四塊，恰能拼成圖2的矩形，則與數(shù)量關(guān)系是______．
20．如圖，在矩形ABCD中，，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，且，連接CE，點(diǎn)F是線段DC上一點(diǎn)，將沿AF折疊，使得點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)落在線段CE上，則DF的長度為___________．
類型四、數(shù)字問題
21．《念奴嬌?赤壁懷古》，在蘇軾筆下，周瑜年少有為，文采風(fēng)流，雄姿英發(fā)，談笑間，檣櫓灰飛煙滅，然天妒英才，英年早逝，欣賞下面改編的詩歌，“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符．”若設(shè)這位風(fēng)流人物去世的年齡十位數(shù)字為x，則可列方程為____．
22．已知一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小4，設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為，列出關(guān)于的方程：______.
類型五、營銷問題
23．商場某種商品進(jìn)價(jià)為120元/件，售價(jià)130元/件時(shí)，每天可銷售70件；售價(jià)單價(jià)高于130元時(shí)，每漲價(jià)1元，日銷售量就減少1件，據(jù)此，若銷售單價(jià)為 __________元時(shí)，商場每天盈利達(dá)1500元．
24．某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關(guān)系，每盆植3株時(shí)，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利減少0.5元，要使每盆的盈利達(dá)到15元，每盆應(yīng)多植多少株？設(shè)每盆多植x株，則一株的盈利為 ________元，可列出的方程是______________________．
類型六、動(dòng)態(tài)幾何問題
25．如圖，將邊長為4的正方形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移得到△A′B′C′，若兩個(gè)三角形重疊部分的面積為3，則它移動(dòng)的距離AA′等于 ___；移動(dòng)的距離AA′等于 ___時(shí)，兩個(gè)三角形重疊部分面積最大．
26．如圖，在正方形中，，以B為圓心，長為半徑畫弧，點(diǎn)E為弧上一點(diǎn)，于F，連接，若，則的值為________．
類型七、其他問題
27．一個(gè)長方體包裝盒的表面展開圖如圖所示，若此包裝盒的容積為1500cm3，則該長方體最短的棱的長為_________________cm．
28．從前有一人拿著竹竿進(jìn)城，橫拿豎拿都進(jìn)不去，橫著比城門寬，豎著比城門高，一個(gè)聰明人告訴他沿著城門的兩對角斜著拿桿，這個(gè)人試了試，不多不少剛好進(jìn)去了．你知道竹竿有多長嗎？設(shè)竹竿的長為xm，請列出符合條件的方程______（要求化為一般式）．
三、解答題
類型一、傳播問題
29．R0，也叫基本傳染數(shù)，或者基本再生數(shù)，英文為Basic reprductin number．更確切的定義是：在沒有外力介入，所有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染某種傳染病的人，總共會(huì)傳染給其他多少個(gè)人的平均數(shù)．最近，新型冠狀病毒變異出德爾塔＋毒株，德爾塔＋變異病毒的R0值極高．若1人患病，在無任何外力影響下經(jīng)歷兩輪傳染后共有73人感染．
(1)求德爾塔＋變異病毒的R0值；
(2)國家研制出新冠疫苗后發(fā)現(xiàn)，通過接種疫苗可以使得R0值隨接種人數(shù)比例的增高同步降低．例如，當(dāng)疫苗全民接種率達(dá)到40%時(shí)，此時(shí)的R0值也下降40%．若有1人感染德爾塔＋變異病毒，要在兩輪內(nèi)將總感染人數(shù)控制在7人以內(nèi)，再加以隔離等措施的干涉，就可控制住疫情，則全民接種率至少應(yīng)該達(dá)到多少？
類型二、增長率問題
30．為進(jìn)一步提高某屆學(xué)生的閱讀量，學(xué)校積極開展課外閱讀活動(dòng)，目標(biāo)將該屆學(xué)生人均閱讀量從剛上七年級(jí)的80萬字增加到八年級(jí)結(jié)束時(shí)的115.2萬字．
(1)求該屆學(xué)生人均閱讀量這兩年中每年的平均增長率；
(2)若按這兩年中每年的平均增長率增長，學(xué)校能否實(shí)現(xiàn)九年級(jí)結(jié)束時(shí)該屆學(xué)生人均閱讀量達(dá)到140萬字的目標(biāo)，請計(jì)算說明．
類型三、與圖形有關(guān)的問題
31．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>(1)；
(2)．
(3)如圖，在一塊長13m，寬7m的矩形空地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路分別與矩形的一條邊平行），剩余部分栽種花草，若栽種花草的面積是，則道路的寬應(yīng)設(shè)計(jì)為多少m？
類型四、數(shù)字問題
32．根據(jù)題意，列出方程：
（1）有一面積為的長方形，將它的一邊剪短，另一邊剪短，恰好變成一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的邊長是多少？
（2）三個(gè)連續(xù)數(shù)兩兩相乘，再求和，結(jié)果為242，這三個(gè)數(shù)分別是多少？
類型五、營銷問題
33．“農(nóng)村特色產(chǎn)業(yè)規(guī)?；笔俏沂兄攸c(diǎn)扶持的脫貧攻堅(jiān)項(xiàng)目，我市某鎮(zhèn)特色產(chǎn)業(yè)園生產(chǎn)的“雪梨”以原價(jià)每千克10元對外銷售，為了減少庫存，同時(shí)回饋廣大市民厚愛，決定降價(jià)銷售，經(jīng)過兩次降價(jià)后，售價(jià)為每千克8.1元．
(1)求平均每次降價(jià)的百分率；
(2)某超市計(jì)劃從該特色產(chǎn)業(yè)園購進(jìn)一批雪梨，由于購買量較大，特色產(chǎn)業(yè)園在每千克8.1元的基礎(chǔ)上決定再給予兩種優(yōu)惠方案．
方案一：不超過300千克的部分不打折，超過300千克的部分打九折；
方案二：每千克優(yōu)惠0.51元
設(shè)該超市購進(jìn)雪梨重量為x（千克）（千克），方案一費(fèi)用為（元），方案二費(fèi)用為（元），
①直接寫出，與x的函數(shù)關(guān)系式；
②若超市選擇方案一合算，試求超市購進(jìn)雪梨重量情況．
類型六、動(dòng)態(tài)幾何問題
34．如圖，矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝3 cm，點(diǎn)E從點(diǎn)B沿BC以2 cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C沿CD以1 cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)，當(dāng)E，F(xiàn)兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)△AEF是以AF為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
類型七、其他問題
35．如圖，點(diǎn)P(a，a+2)是直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線l1：y＝2x+5與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，直線l2經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)(6，2)并與x軸交于點(diǎn)C．
(1)求直線l2的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)P會(huì)落在直線l1：y＝2x+5上嗎？說明原因；
(3)當(dāng)點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部時(shí)．
①求a的范圍；
②是否存在點(diǎn)P，使得∠OPA＝90°？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
參考答案
1．D
【分析】
設(shè)九年級(jí)（11）班有x人，根據(jù)每個(gè)同學(xué)都向其他同學(xué)贈(zèng)送紀(jì)念品一件，全班共送出紀(jì)念品1980件，可列方程求解．
解：設(shè)有x人，則
x（x-1）=1980
x=45或x=-44（舍去）．
即全班共有45人．
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是知道每人送出（x-1）件禮物，從而可得解．
2．C
【分析】
如果設(shè)每個(gè)支干分出x個(gè)小分支，根據(jù)“每個(gè)支干又長出同樣數(shù)目的小分支”可知：支干的數(shù)量為x個(gè)，小分支的數(shù)量為x?x=x2個(gè)，然后根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是91就可以列出方程．
解：依題意得支干的數(shù)量為x個(gè)，
小分支的數(shù)量為x?x=x2個(gè)，
根據(jù)題意可列出方程為：1+x+x2=91，
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了由實(shí)際問題抽象出的一元二次方程的知識(shí)，找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
3．B
【分析】
設(shè)每年降低率為x，根據(jù)重度污染天數(shù)從2019年的36天降到2021年的25天建立方程求解，再設(shè)需要n年重度污染天數(shù)首次不超過18天，根據(jù)題意列不等式，整理得出，然后試值，即可解答．
解：設(shè)每年降低率為x，
則 ，
∴ ，
∴ ，
解得 或（舍去） ，
設(shè)再需要n年重度污染天數(shù)首次不超過18天，
∵ ，
∴，
當(dāng)n=1時(shí)，，
當(dāng)n=2時(shí)，，符合題意，
∴再經(jīng)過兩年重度污染天數(shù)首次不超過18天，該年份是2023年．
故選：B．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用-百分率問題，解題的關(guān)鍵根據(jù)題意建立方程求出降低率．
4．D
【分析】
根據(jù)第一天的票房及增長率，即可得出第二天票房約4（1+x）億元、第三天票房約4（1+x）2億元，根據(jù)三天后累計(jì)票房收入達(dá)36億元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
解：∵第一天票房約4億元，且以后每天票房的增長率為x，
∴第二天票房約4（1+x）億元，第三天票房約4（1+x）2億元．
依題意得：4+4（1+x）+4（1+x）2=36．
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
5．C
【分析】
根據(jù)圖中曲橋分布，列出方程即可；
解：如圖，
將曲橋移至同一水平上可得，
故選：C
【點(diǎn)撥】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．
6．C
【分析】
根據(jù)題意表示出長方體的長與寬，進(jìn)而表示出長方體的體積即可．
解：由題意可得：長方體的長為：15，寬為：(30-2x)÷2=15-x，
則根據(jù)題意，列出關(guān)于x的方程為：15(15-x)x=600
故選：C．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，正確表示出長方體的棱長是解題關(guān)鍵．
7．D
【分析】
本題首先用含的式子表示某數(shù)的一半，繼而表示某數(shù)的平方的倍，最后按數(shù)量關(guān)系列方程即可．
解：由已知得：的一半為，的平方的倍為，
則有：．
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，理清題意，按數(shù)量關(guān)系列式即可．
8．B
【分析】
本題通過完全平方公式將展開式進(jìn)行還原，求解中間項(xiàng)當(dāng)中尾項(xiàng)部分，繼而平方與32n建立等式方程求解本題．
解：=，
根據(jù)完全平方公式的構(gòu)成可得：，
兩邊平方并求解該方程得：．
故本題答案為B選項(xiàng)．
【點(diǎn)撥】本題考查完全平方公式的逆用，解題關(guān)鍵在于清楚完全平方展開式的每一項(xiàng)構(gòu)成，利用一一對應(yīng)相等的原則即可解答本題．
9．B
【分析】
先設(shè)每雙鞋應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)平均每天售出的雙數(shù)×每件盈利=每天銷售利潤，再列出方程，求出x的值，再根據(jù)盡可能讓利顧客，把不合題意的根舍去即可求出答案；
解：設(shè)每雙鞋應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)題意得：
（40-x）（20+2x）=1200，
解得x1=20，x2=10，
∵盡可能讓利顧客， ∴x=20．
答：每雙鞋應(yīng)降價(jià)20元；
故選B
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，掌握“平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷售的利潤”是解題的關(guān)鍵．
10．C
【分析】
設(shè)這種魚餌的售價(jià)上漲x元，則每包的銷售利潤為（20+x﹣10）元，每天可銷售（40﹣3x）包，利用每天的銷售利潤＝每包的銷售利潤×每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程即可．
解：設(shè)這種魚餌的售價(jià)上漲x元，則每包的銷售利潤為（20+x﹣10）元，每天可銷售（40﹣3x）包，
依題意得：（20+x﹣10）（40﹣3x）＝480．
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，列代數(shù)式，找準(zhǔn)等量關(guān)系每天的銷售利潤＝每包的銷售利潤×每天的銷售量，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
11．D
【分析】
設(shè)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到x秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm，此時(shí)AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，利用勾股定理即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．
解：設(shè)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到xs時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm，此時(shí)AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，
根據(jù)題意得：（16-2x-3x）2+82=102，
解得：x1=2，x2=，
答：當(dāng)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到2s或s時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm．
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，利用勾股定理找出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
12．D
解：
設(shè)AA′=xcm，則A′D=（12－x）cm，∵正方形ABCD，∴∠D=90°，AD=CD,∴∠DAC=45°，同理可證∠B′A′C′=45°，∵△A′B′C′由△ABC沿著AD方向平移得到，∴A′B′⊥AD，∴∠A′EA=45°，∴∠B′A′C′=∠A′EA，∴A′F∥EC，∵A′E∥CF，∴四邊形A′ECF為平行四邊形，所以SA′ECF= A′E×A′D=x（12－x）=32，解得x=4或8.
故選D.
【點(diǎn)撥】遇到此類應(yīng)用題一般要求什么我們就設(shè)什么，此題首先分析重疊部分圖形是何圖形，若是規(guī)則圖形，則根據(jù)公式法用所設(shè)未知數(shù)表示出重疊部分面積，若為不規(guī)則圖形，則可根據(jù)割補(bǔ)法用所設(shè)未知數(shù)表示出圖形面積，從而列方程求解.
13．B
【分析】
設(shè)小組有x人，根據(jù)題意，得x(x-1)=30，解方程即可．
解：設(shè)小組有x人，根據(jù)題意，得
x(x-1)=30，
整理，得
，
解方程，得
(舍去)，
故選B．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
14．B
【分析】
畫圖分析即可得，寬為步，長為步，根據(jù)面積關(guān)系即可得方程．
解：畫圖如下：
由圖知：寬為步，長為步
則可得方程為： = 864
故選：B
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，弄懂題意并畫圖分析得到寬與長是關(guān)鍵．
15．10
【分析】
根據(jù)經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)有111個(gè)人參加了宣傳活動(dòng)，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
解：根據(jù)題意得：1+n+n2＝111，
整理得：n 2+n－110＝0，
解得：n1＝10，n2＝﹣11（不符合題意，舍去）
故答案為：10．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
16．5
【分析】
設(shè)每個(gè)支干長出x根小分支，則可表示出主干、支干和小分支的總數(shù)，由條件可列出方程，可求得答案．
解：設(shè)每個(gè)支干長出x根小分支，
根據(jù)題意可得：1+x+x2＝31，
解得x＝5或x＝﹣6（不符合題意，舍去），
∴每個(gè)支干長出5根小分支，
故答案是：5．
【點(diǎn)撥】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．
17．10%
【分析】
設(shè)年平均增長率為x，則經(jīng)過兩次變化后2023年的經(jīng)費(fèi)為2000(1+x)2，2023年投入教育經(jīng)費(fèi)2420萬元，建立方程2000(1+x)2=2420，求解即可．
解：設(shè)年平均增長率為x，由題意可得：2000(1+x)2=2420，
解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合題意舍去）．
所以2021年到2023年該地區(qū)投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率為10%．
【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程的應(yīng)用??求平均變化率的方法，能夠列出式子是解答本題的關(guān)鍵．
18．
【分析】
若把增長率記作x，則第二天票房約為3（1+x）億元，第三天票房約為3（1+x）2億元，根據(jù)三天后票房收入累計(jì)達(dá)10億元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
解：若把增長率記作x，則第二天票房約為3（1+x）億元，第三天票房約為3（1+x）2億元，
依題意得：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．
故答案為：：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．
【點(diǎn)撥】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
19．
【分析】
根據(jù)左圖可以知道圖形是一個(gè)正方形，邊長為(a+b)，右圖是一個(gè)長方形，長、寬分別為(b+a+b)、b，并且它們的面積相等，由此即可列出等式(a+b)2=b(b+a+b)，解方程即可求出答案．
解：依題意得(a+b)2=b(b+a+b)，
整理得：a2+b2+2ab=2b2+ab，
則a2-b2+ab=0，
方程兩邊同時(shí)除以b2，
則，
解得：，
∵不能為負(fù)，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了圖形的剪拼，是一個(gè)信息題目．解題的關(guān)鍵是要正確理解題目的意思，會(huì)根據(jù)題目隱含條件找到數(shù)量關(guān)系，最后利用數(shù)量關(guān)系列出方程解決問題
20．
【分析】
過D'作D'G⊥AB于G，D'H⊥AD于H，連結(jié)DD'，則由題意和勾股定理可以得到HD'=AG=4，AH=3，DH=2，設(shè)DF=y，則由可得關(guān)于y的方程，解方程即可得到DF的值．
解：如圖，過D'作D'G⊥AB于G，D'H⊥AD于H，連結(jié)DD'，
由題意可得EB=BC=5，
∴∠CEG=45°，
∴EG=GD'，設(shè)EG=GD'=x，
又由題意可得AD'=AD=5，AG=AE+EG=AB-BE+EG=1+x
∴在RT△AGD'中，，
解之可得GD'=x=3，
∴HD'=AG=4，AH=3，DH=2，
設(shè)DF=y，
則由可得：
，
解之可得y=，即DF=，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查矩形的折疊問題，熟練掌握勾股定理的應(yīng)用、矩形與軸對稱的性質(zhì)及方程思想方法的運(yùn)用是解題關(guān)鍵．
21．
【分析】
根據(jù)“十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符”以及十位數(shù)字+各位數(shù)字=個(gè)位數(shù)字的平方，據(jù)此列方程可得答案．
解：設(shè)這位風(fēng)流人物去世的年齡十位數(shù)字為x，
則根據(jù)題意：，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
22．
【分析】
用x表示出十位上數(shù)，即可表示出這個(gè)兩位數(shù)，再根據(jù)題目條件列出方程化簡即可.
解：∵個(gè)位上的數(shù)字為，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4
∴十位上的數(shù)字為
所以這個(gè)兩位數(shù)為
∵個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小4
∴
化簡得
故答案為.
【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程的應(yīng)用——數(shù)字問題，解題的關(guān)鍵是正確的表示出這個(gè)兩位數(shù)，從而建立方程.
23．150或170##170或150
【分析】
設(shè)漲價(jià)x元，根據(jù)單件利潤=售價(jià)－進(jìn)價(jià)、利潤=單件利潤×銷售量列出一元二次方程，然后解方程即可解答．
解：設(shè)漲價(jià)x元，根據(jù)題意得：（130+x－120）（70－x）=1500，
整理得：x2－60x+800=0，
解得：x1=20，x2=40，
所以銷售單價(jià)為130+20=150元或130+40=170元，
故答案為：150或170．
【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出一元二次方程是解答的關(guān)鍵．
24．
【分析】
根據(jù)已知假設(shè)每盆花苗增加x株，則每盆花苗有（x＋3）株，得出平均單株盈利為（4?0.5x）元，由題意得（x＋3）（4?0.5x）＝15即可．
解：設(shè)每盆應(yīng)該多植x株，則一株的盈利為（4?0.5x），由題意得
（3＋x）（4?0.5x）＝15，
故答案為：（4?0.5x），（3＋x）（4?0.5x）＝15．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)每盆花苗株數(shù)×平均單株盈利＝總盈利得出方程是解題關(guān)鍵．
25． 1cm或3cm##3cm或1cm 2cm
【分析】
如圖，設(shè)交于 交于證明四邊形是平行四邊形，證明是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，設(shè)cm，則 再利用面積公式建立方程，解方程即可，同時(shí)利用配方法求解面積最大值時(shí)的平移距離.
解：如圖，設(shè)交于 交于
由平移的性質(zhì)可得：
四邊形是平行四邊形，
由正方形可得：
是等腰直角三角形，
同理：也是等腰直角三角形，
設(shè)cm，則


解得：
cm或cm
重疊部分的面積為：
當(dāng)時(shí)，重疊部分的面積最大，最大面積為4cm2
所以當(dāng)cm時(shí)，重疊部分的面積最大.
故答案為：1cm或3cm；2cm
【點(diǎn)撥】本題考查的是正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，配方法的應(yīng)用，平移的性質(zhì)，熟悉以上基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
26．2
【分析】
過E作EG⊥BC于G，連結(jié)BE，設(shè)EF=x，由EF⊥CD，四邊形ABCD為正方形，可證四邊形EGCF為矩形，可求BG=4-x，在Rt△EBG中， EG=，在Rt△EGC中，CE=，由EC-EF=2，可得-x=2，移項(xiàng)兩邊平方得,解得,可求CE=,從而求得CF=2．
解：過E作EG⊥BC于G，連結(jié)BE，
設(shè)EF=x，
∵EF⊥CD，四邊形ABCD為正方形，
∴∠EFC=∠FCG=∠EGC=90°，AB=BC=BE=4，
∴四邊形EGCF為矩形，
∴EF=GC=x，EG=FC，
∴BG=4-x，
在Rt△EBG中， EG=
在Rt△EGC中，CE=
∵EC-EF=2，
∴-x=2，
∴ =2+x，
兩邊平方得，
整理得，
解得，
∴CE=，
∴CF=
故答案為：2．
【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，，掌握正方形的性質(zhì)。矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵．
27．5
【分析】
設(shè)地面長方體的長為x，長方體的高為y，根據(jù)體積公式可列方程，進(jìn)而可解出x，y的值，根據(jù)情況舍去即可．
解：設(shè)地面長方體的長為x，長方體的高為y，
由圖可知：，
則由②得：，
將其代入②得：，
則，
則，
解得：（舍去）或，
故答案為：5．
【點(diǎn)撥】本題考查長方體的體積公式，應(yīng)用一元二次方程解決實(shí)際問題，能夠根據(jù)題意列出方程是解決本題的關(guān)鍵．
28．
【分析】
用竹竿表示出門框的邊長，根據(jù)門框的邊長的平方和等于竹竿的長的平方列方程即可．
解：設(shè)竹竿的長為x米．由題意得：
，
化簡得：
故答案為：
【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，得到門框的邊長和竹竿長的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
29．(1)德爾塔＋變異病毒的R0值為8 (2)全民接種率至少應(yīng)該達(dá)到75%
【分析】
（1）由已知列出方程，即可解得德爾塔變異病毒的值；
（2）根據(jù)已知列出不等式，即可解得答案．
(1)解：設(shè)R0值為x，根據(jù)題意得：
，解，得：（舍去），，
答：德爾塔＋變異病毒的R0值為8；
(2)解：設(shè)全民接種率至少應(yīng)該達(dá)到，根據(jù)題意得：
，
令，則，
，解得，
即，
，
答：全民接種率至少應(yīng)該達(dá)到．
【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程及不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解的意義，根據(jù)已知列方程（不等式）解決問題．
30．(1)20% (2)學(xué)校的目標(biāo)不能實(shí)現(xiàn)，說明見分析
【分析】
（1）設(shè)每學(xué)期學(xué)生人均閱讀量的平均增長率增長率為，根據(jù)題意可列出一元二次方程求解得出答案；
（2）用增長率），計(jì)算即可求解．
(1)解：設(shè)該屆學(xué)生每學(xué)年學(xué)生人均閱讀量的平均增長率為，根據(jù)題意得，
，
解得（舍去），．
答：增長率為20%．
(2)按照（1）中的閱讀量增長率，九年級(jí)的人均閱讀量為（萬字），
∵，∴學(xué)校的目標(biāo)不能實(shí)現(xiàn)．
【點(diǎn)撥】本題考查了平均增長率和一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握平均增長率的意義．
31．(1) (2) (3)道路的寬應(yīng)設(shè)計(jì)為1米．
【分析】
（1）先把方程化為，再利用直接開平方的方法解方程即可；
（2）先求解根的判別式的值，再利用公式法解方程即可；
（3）把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的部分是一個(gè)長方形，根據(jù)長方形的面積公式列方程即可．
(1)解：

或
解得：
(2)解：
則


所以
(3)解：設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，
由題意得，．
整理得：
解得x=1或x=19．
經(jīng)檢驗(yàn)：不符合題意，舍去，取
答：道路的寬應(yīng)設(shè)計(jì)為1米．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的應(yīng)用，矩形的定義，把中間修建的兩條道路分別平移到矩形地面的最上邊和最左邊是解本題的關(guān)鍵．
32．（1）；（2）
【分析】
（1）設(shè)這個(gè)正方形的邊長是，根據(jù)題意，得，化為一般式即可；
（2）設(shè)三個(gè)連續(xù)整數(shù)依次為，根據(jù)題意，得，化為一般式即可．
解：（1）設(shè)這個(gè)正方形的邊長是，
根據(jù)題意，得
，
即；
（2）設(shè)三個(gè)連續(xù)整數(shù)依次為，
根據(jù)題意，得
，
即．
【點(diǎn)撥】本題主要考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，根據(jù)題意準(zhǔn)確列出等式是解題關(guān)鍵．
33．(1)平均每次降價(jià)10%
(2)①；；②當(dāng)所購雪梨重量超過810千克時(shí)，超市選擇方案一合算．
【分析】
（1）設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為，利用經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格＝原價(jià)×，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出平均每次降價(jià)的百分率為10%；
（2）①設(shè)該超市購進(jìn)雪梨重量為x（千克）（千克），根據(jù)題意即可解得答案；
②由題意若超市選擇方案一合算可知，方案一的費(fèi)用小于方案二費(fèi)用，據(jù)此列不等式，即可求解．
(1)解：設(shè)平均每次降價(jià)百分率為a．由題意，得：
．
解得，．（舍去）
答：平均每次降價(jià)10%．
(2)解：①設(shè)該超市購進(jìn)雪梨重量為x（千克）（千克），
方案一的費(fèi)用為：（元），
方案二的費(fèi)用為：（元）．
②由題意，得，
解得．
即當(dāng)所購雪梨重量超過810千克時(shí)，超市選擇方案一合算．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)題意，正確列出一元一次不等式．
34．（6－）s
【分析】
設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是x秒．根據(jù)題意可得方程，解方程即可得到結(jié)論．
解：設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是x s．
根據(jù)題意可得22＋（2x）2＝（3－2x）2＋x2，解這個(gè)方程得
x1＝6－，x2＝6＋，
∵3÷2＝1.5（s），2÷1＝2（s），
∴兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了1.5s后停止運(yùn)動(dòng)．
∴x＝6－．
答：當(dāng)△AEF是以AF為底邊的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（6－）s．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．
35．(1)直線l2的表達(dá)式為y＝x+5，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（10，0）
(2)點(diǎn)P會(huì)落在直線l1：y＝2x+5上，理由見分析
(3)①a的取值范圍為－2＜a＜2；②存在點(diǎn)P，使得∠OPA＝90°，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）
【分析】
（1）先求出點(diǎn)B得到坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得直線l2的表達(dá)式，進(jìn)而可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）將x＝a，y＝a+2代入y＝2x+5上，求得a＝－3，由此可得點(diǎn)P會(huì)落在直線l1：y＝2x+5上；
（3）①分別求得點(diǎn)P落在直線l2上以及點(diǎn)P在x軸上的a的值，由此可得a的取值范圍；
②假設(shè)存在，先利用兩點(diǎn)間的距離公式分別表示出OP2＝a2+ (a+2)2，AP2＝(a+2.5)2+ (a+2)2，OA2＝2.52，再利用勾股定理列出方程求解即可．
(1)解：將x＝0代入y＝2x+5得：y＝5，
∴點(diǎn)B（0，5），
將y＝0代入y＝2x+5得：x＝－2.5，
∴點(diǎn)A（－2.5，0），
設(shè)直線l2的表達(dá)式為y＝kx+b，
將點(diǎn)B（0，5），點(diǎn)(6，2)代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
∴直線l2的表達(dá)式為y＝x+5，
將y＝0代入y＝x+5得：x＝10，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（10，0）；
(2)解：點(diǎn)P會(huì)落在直線l1：y＝2x+5上，
將x＝a，y＝a+2代入y＝2x+5上，
得：a+2＝2a+5，
解得：a＝－3，
∴當(dāng)a＝－3時(shí)，點(diǎn)P(－3，－1)落在直線l1：y＝2x+5上，
∴點(diǎn)P會(huì)落在直線l1：y＝2x+5上；
(3)解：①若點(diǎn)P落在直線l2上，
將x＝a，y＝a+2代入y＝x+5上，
得：a+2＝a+5，
解得：a＝2，
∵點(diǎn)P坐標(biāo)為(a，a+2)，
∴點(diǎn)P在直線y＝x+2上，
當(dāng)y＝0時(shí)，x+2＝0，
解得：x＝－2，
∴直線y＝x+2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，0），
∵－2＞－2.5符合題意，
∴當(dāng)點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部時(shí)，a的取值范圍為－2＜a＜2；
②假設(shè)存在點(diǎn)P，使得∠OPA＝90°，
∵P(a，a+2)，A(－2.5，0)，O(0，0)，
∴OP2＝a2+ (a+2)2，AP2＝(a+2.5)2+ (a+2)2，OA2＝2.52，
∵∠OPA＝90°，
∴OP2＋AP2＝OA2，
∴a2+ (a+2)2＋(a+2.5)2+ (a+2)2＝2.52，
整理，得：4a2+ 13a+8＝0，
解得：a1＝，a2＝＜－2（不符合題意，舍去），
當(dāng)a＝時(shí)，a+2＝，
∴存在點(diǎn)P，使得∠OPA＝90°，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．
【點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，勾股定理的應(yīng)用以及一元二次方程的解法，熟練掌握勾股定理的應(yīng)用以及一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．

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人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊 24.12 圓周角（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）：

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人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊 25.9 《概率初步》全章復(fù)習(xí)與鞏固（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）：

這是一份人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊 25.9 《概率初步》全章復(fù)習(xí)與鞏固（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)），共19頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊電子課本

21.1 一元二次方程

版本： 人教版

年級(jí)： 九年級(jí)上冊

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