專題21.20 《一元二次方程》中考真題專練（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題21.20 《一元二次方程》中考真題專練
（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）
一、單選題
1．（2017·浙江溫州·中考真題）我們知道方程的解是，，現(xiàn)給出另一個(gè)方程，它的解是（）
A．， B．， C．， D．，
2．（2019·山西中考真題）解一元二次方程x2＋4x－1＝0，配方正確的是（）
A． B． C． D．
3．（2020·山東聊城市·中考真題）用配方法解一元二次方程，配方正確的是（）．
A． B．
C． D．
4．（2021·山東泰安·）已知關(guān)于x的一元二次方程標(biāo)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）
A． B．
C．且 D．
5．（2021·江蘇無錫·）在中，，，，點(diǎn)P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則取得最小值時(shí)，下列結(jié)論正確的是（）
A．點(diǎn)P是三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．點(diǎn)P是三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)
C．點(diǎn)P是三條高的交點(diǎn) D．點(diǎn)P是三條中線的交點(diǎn)
6．（2020·廣東廣州·中考真題）直線不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于的方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）.
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)或2個(gè)
7．（2020·山東濰坊·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程根的情況，下列說法正確的是（）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．無實(shí)數(shù)根 D．無法確定
8．（2021·湖北荊州·中考真題）定義新運(yùn)算“※”：對(duì)于實(shí)數(shù)，，，，有，其中等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算，如：．若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）
A．且 B． C．且 D．
9．（2019·河北中考真題）小剛在解關(guān)于x的方程時(shí)，只抄對(duì)了，，解出其中一個(gè)根是．他核對(duì)時(shí)發(fā)現(xiàn)所抄的c比原方程的c值小2．則原方程的根的情況是（）
A．不存在實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．有一個(gè)根是x=-1 D．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
10．（2020·湖北隨州·中考真題）將關(guān)于的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：，且，則的值為（）
A． B． C． D．
11．（2021·西藏）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的兩個(gè)根是菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)，則這個(gè)菱形的面積為（）
A．6 B．10 C．12 D．24
12．（2020·上海中考真題）用換元法解方程+=2時(shí)，若設(shè)=y，則原方程可化為關(guān)于y的方程是(　　　)
A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0
13．（2019·四川內(nèi)江·中考真題）一個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)是6，腰長(zhǎng)是一元二次方程的一根，則此三角形的周長(zhǎng)是（　?。?br /> A．16 B．12 C．14 D．12或16
14．（2011·貴州畢節(jié)·中考真題）三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和6，第三邊是方程的解，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（）
A．11 B．13 C．11或13 D．不能確定
15．（2018·臺(tái)灣中考真題）若一元二次方程式x2﹣8x﹣3×11=0的兩根為a、b，且a＞b，則a﹣2b之值為何？（　　）
A．﹣25 B．﹣19 C．5 D．17
16．（2021·四川宜賓·中考真題）若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的兩個(gè)根，則的值是（）
A．4 B．5 C．6 D．12
17．（2021·湖北武漢·中考真題）已知，是方程的兩根，則代數(shù)式的值是（）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
18．（2021·四川南充·中考真題）已知方程的兩根分別為，，則的值為（）
A． B． C． D．
19．（2014·江西南昌·中考真題）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α2+β2的值為（　　）
A．10 B．9 C．7 D．5
20．（2020·江蘇南京·中考真題）關(guān)于x的方程（為常數(shù)）根的情況下，下列結(jié)論中正確的是（）
A．兩個(gè)正根 B．兩個(gè)負(fù)根
C．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根 D．無實(shí)數(shù)根
21．（2020·山東菏澤·中考真題）等腰三角形的一邊長(zhǎng)是，另兩邊的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則的值為（）
A． B． C．或 D．
22．（2021·遼寧阜新市教育服務(wù)中心中考真題）在育紅學(xué)校開展的課外閱讀活動(dòng)中，學(xué)生人均閱讀量從七年級(jí)的每年100萬字增加到九年級(jí)的每年121萬字．設(shè)該校七至九年級(jí)人均閱讀量年均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，所列方程正確的是（）
A． B．
C． D．
23．（2019·廣西玉林·中考真題）若一元二次方程的兩根為，，則的值是（）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
24．（2020·湖北鄂州·中考真題）目前以等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展．某市2019年底有用戶2萬戶，計(jì)劃到2021年底全市用戶數(shù)累計(jì)達(dá)到8.72萬戶．設(shè)全市用戶數(shù)年平均增長(zhǎng)率為，則值為（）
A． B． C． D．
25．（2019·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)是方程的一個(gè)根，其中一條對(duì)角線長(zhǎng)為8，則該菱形的面積為（　?。?br /> A．48 B．24 C．24或40 D．48或80
26．（2019·四川達(dá)州·中考真題）某公司今年4月的營(yíng)業(yè)額為2500萬元，按計(jì)劃第二季度的總營(yíng)業(yè)額要達(dá)到9100萬元，設(shè)該公司5、6兩月的營(yíng)業(yè)額的月平均增長(zhǎng)率為x．根據(jù)題意列方程，則下列方程正確的是（）
A．
B．
C．
D．
27．（2019·黑龍江伊春·中考真題）某?！把袑W(xué)”活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是，則這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是（　?。?br /> A． B． C． D．
28．（2021·河南中考真題）如圖1，矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)沿從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，設(shè)，兩點(diǎn)間的距離為，，圖2是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)隨變化的關(guān)系圖象，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．
29．（2019·湖南郴州·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的三角形，如圖所示，已知，，，則正方形ADOF的邊長(zhǎng)是（）

A． B．2 C． D．4

二、填空題
30．（2020·山東棗莊·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為，則a的值為________．
31．（2019·四川資陽(yáng)·中考真題）a是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值是_______．
32．（2021·山東棗莊·中考真題）若等腰三角形的一邊長(zhǎng)是4，另兩邊的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則的值為______．
33．（2021·湖北鄂州·）已知實(shí)數(shù)、滿足，若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為、，則_____________．
34．（2021·江蘇宿遷·中考真題）方程的解是_____________．
35．（2021·浙江麗水·中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小云和小王在討論張老師出示的一道代數(shù)式求值問題：
已知實(shí)數(shù)同時(shí)滿足，求代數(shù)式的值．

結(jié)合他們的對(duì)話，請(qǐng)解答下列問題：
（1）當(dāng)時(shí)，a的值是__________．
（2）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是__________．
36．（2020·山東煙臺(tái)·中考真題）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是______．
37．（2021·四川遂寧·）如圖都是由同樣大小的小球按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律排列下去，第___個(gè)圖形共有210個(gè)小球．

38．（2020·江蘇南通·中考真題）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式x12﹣2x1+2x2的值等于_____．
39．（2020·貴州黔南·中考真題）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“”，例如，因?yàn)?，所以．若是一元二次方程的兩個(gè)根，則_________．
40．（2020·湖北孝感·中考真題）如圖1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在此圖形中連接四條線段得到如圖2的圖案，記陰影部分的面積為，空白部分的面積為，大正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為，若，則的值為______．

41．（2020·四川內(nèi)江·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有一實(shí)數(shù)根為，則該方程的另一個(gè)實(shí)數(shù)根為_____________
42．（2021·四川阿壩·中考真題）三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和7，第三邊的長(zhǎng)是方程的解，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是________．
43．（2020·四川樂山·中考真題）已知，且．則的值是_________．
44．（2020·湖南中考真題）閱讀理解：對(duì)于x3﹣（n2+1）x+n這類特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解運(yùn)用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解決問題：求方程x3﹣5x+2＝0的解為_____．
45．（2019·四川瀘州·中考真題）已知，是一元二次方程的兩實(shí)根，則的值是_____．
46．（2019·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）對(duì)任意實(shí)數(shù)，若多項(xiàng)式的值總大于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．
47．（2019·湖北荊門·中考真題）已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，且滿足，則的值為__________．
48．（2019·湖北中考真題）對(duì)于實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“◎”如下：◎．若◎，則_____．
49．（2019·江蘇中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值等于_______．
50．（2020·湖南中考真題）如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，將，分別沿DE，DF向內(nèi)折疊得到圖2，此時(shí)DA與DC重合（A、C都落在G點(diǎn)），若GF＝4，EG＝6，則DG的長(zhǎng)為_____．

51．（2020·遼寧撫順·中考真題）如圖，在中，，，分別以點(diǎn)和為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和，作直線，交于點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)為_________．

52．（2011·四川綿陽(yáng)市·中考真題）觀察下面的圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第__________個(gè)圖形共有120個(gè)★．

53．（2015·山東日照市·中考真題）如果m，n是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代數(shù)式2n2﹣mn+2m+2015=_____________．
54．（2021·江蘇鹽城·）勞動(dòng)教育己納入人才培養(yǎng)全過程，某學(xué)校加大投入，建設(shè)校園農(nóng)場(chǎng)，該農(nóng)場(chǎng)一種作物的產(chǎn)量?jī)赡陜?nèi)從300千克增加到363千克．設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為，則可列方程為________．
55．（2021·湖南婁底·中考真題）已知，則________．
56．（2020·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，在一塊長(zhǎng)15m、寬10m的矩形空地上，修建兩條同樣寬的相互垂直的道路，剩余分栽種花草，要使綠化面積為126m2，則修建的路寬應(yīng)為_____米．

57．（2017·上海中考真題）某市前年P(guān)M2.5的年均濃度為50微克/立方米，去年比前年下降了10%，如果今年P(guān)M2.5的年均濃度比去年也下降10%，那么今年P(guān)M2.5的年均濃度將是____________微克/立方米．
58．（2018·湖南張家界·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則______.
59．（2020·遼寧大連·中考真題）1275年，我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個(gè)問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)一十二步．問闊及長(zhǎng)各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長(zhǎng)少12步，問寬和長(zhǎng)各幾步．若設(shè)長(zhǎng)為x步，則可列方程為_____．
60．（2020·山西中考真題）如圖是一張長(zhǎng)，寬的矩形鐵皮，將其剪去兩個(gè)全等的正方形和兩個(gè)全等的矩形，剩余部分（陰影部分）可制成底面積是的有蓋的長(zhǎng)方體鐵盒．則剪去的正方形的邊長(zhǎng)為______．

61．（2019·寧夏中考真題）你知道嗎，對(duì)于一元二次方程，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家還研究過其幾何解法呢！以方程即為例加以說明．?dāng)?shù)學(xué)家趙爽（公元3～4世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造圖（如下面左圖）中大正方形的面積是，其中它又等于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，據(jù)此易得．那么在下面右邊三個(gè)構(gòu)圖（矩形的頂點(diǎn)均落在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上）中，能夠說明方程的正確構(gòu)圖是_____．（只填序號(hào)）

62．（2018·山東濟(jì)南市·中考真題）如圖,將邊長(zhǎng)為12的正方形ABCD沿其對(duì)角線AC剪開,再把△ABC沿著AD方向平移,得到△A′B′C′,當(dāng)兩個(gè)三角形重疊部分的面積為32時(shí),它移動(dòng)的距離AA′等于________.

63．（2014·四川甘孜·中考真題）如圖，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家得出的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形與大正方形的面積之比為1：13，則直角三角形較短的直角邊a與較長(zhǎng)的直角邊b的比值為__．

64．（2019·四川廣元·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則點(diǎn)在第____象限．
65．（2010·湖北荊門市·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____．
66．（2014·貴州貴陽(yáng)·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD為BC邊上的高．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D方向以cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)△ABP的面積為S1，矩形PDFE的面積為S2，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜8），則t=_______秒時(shí)，S1=2S2．

67．（2018·四川綿陽(yáng)·中考真題）已知a>b>0,且，則=______.
68．（2021·四川廣安·中考真題）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，第三邊長(zhǎng)是方程x2-6x+8=0的根，則三角形的周長(zhǎng)為_____．
69．（2018·湖北十堰·中考真題）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，則x的值為_____．
70．（2018·山東煙臺(tái)·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的實(shí)數(shù)根x1，x2，滿足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，則m的取值范圍是_____．
71．（2018·內(nèi)蒙古通遼市·中考真題）為增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，提高學(xué)生足球運(yùn)動(dòng)競(jìng)技水平，我市開展“市長(zhǎng)杯”足球比賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間賽一場(chǎng)）．現(xiàn)計(jì)劃安排21場(chǎng)比賽，應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)球隊(duì)參賽？設(shè)邀請(qǐng)x個(gè)球隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為_____．

三、解答題
72．（2021·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：
，其中x滿足．

73．（2019·上海中考真題）解分式方程：．

74．（2021·湖北荊門·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有，兩實(shí)數(shù)根．
（1）若，求及的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，滿足？若存在，求出求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

75．（2021·湖南永州·中考真題）若是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，則．現(xiàn)已知一元二次方程的兩根分別為m，n．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．

76．（2021·北京中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2，求的值．

77．（2021·湖北十堰·）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個(gè)根都是符號(hào)相同的整數(shù)，求整數(shù)m的值．

78．（2021·四川南充·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）求證：無論k取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且k與都為整數(shù)，求k所有可能的值．

79．（2021·山東日照·中考真題）某藥店新進(jìn)一批桶裝消毒液，每桶進(jìn)價(jià)35元，原計(jì)劃以每桶55元的價(jià)格銷售，為更好地助力疫情防控，現(xiàn)決定降價(jià)銷售．已知這種消毒液銷售量（桶）與每桶降價(jià)（元）（）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示：

（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在這次助力疫情防控活動(dòng)中，該藥店僅獲利1760元．這種消毒液每桶實(shí)際售價(jià)多少元？

80．（2021·山東東營(yíng)·）“雜交水稻之父”——袁隆平先生所率領(lǐng)的科研團(tuán)隊(duì)在增產(chǎn)攻堅(jiān)第一階段實(shí)現(xiàn)水箱畝產(chǎn)量700公斤的目標(biāo)，第三階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量1008公斤的目標(biāo)．
（1）如果第二階段、第三階段畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率相同，求畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率；
（2）按照（1）中畝產(chǎn)量增長(zhǎng)率，科研團(tuán)隊(duì)期望第四階段水稻畝產(chǎn)量達(dá)到1200公斤，請(qǐng)通過計(jì)算說明他們的目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)．

81．（2021·山東濱州·）某商品原來每件的售價(jià)為60元，經(jīng)過兩次降價(jià)后每件的售價(jià)為48.6元，并且每次降價(jià)的百分率相同．
（1）求該商品每次降價(jià)的百分率；
（2）若該商品每件的進(jìn)價(jià)為40元，計(jì)劃通過以上兩次降價(jià)的方式，將庫(kù)存的該商品20件全部售出，并且確保兩次降價(jià)銷售的總利潤(rùn)不少于200元，那么第一次降價(jià)至少售出多少件后，方可進(jìn)行第二次降價(jià)？

82．（2021·湖北宜昌·中考真題）隨著農(nóng)業(yè)技術(shù)的現(xiàn)代化，節(jié)水型灌溉得到逐步推廣．噴灌和滴灌是比漫灌更節(jié)水的灌溉方式，噴灌和滴灌時(shí)每畝用水量分別是漫灌時(shí)的和．去年，新豐收公司用各100畝的三塊試驗(yàn)田分別采用噴灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000噸．
（1）請(qǐng)問用漫灌方式每畝用水多少噸？去年每塊試驗(yàn)田各用水多少噸？
（2）今年該公司加大對(duì)農(nóng)業(yè)灌溉的投入，噴灌和滴灌試驗(yàn)田的面積都增加了，漫灌試驗(yàn)田的面積減少了．同時(shí)，該公司通過維修灌溉輸水管道，使得三種灌溉方式下的每畝用水量都進(jìn)一步減少了．經(jīng)測(cè)算，今年的灌溉用水量比去年減少，求的值．
（3）節(jié)水不僅為了環(huán)保，也與經(jīng)濟(jì)收益有關(guān)系．今年，該公司全部試驗(yàn)田在灌溉輸水管道維修方面每畝投入30元，在新增的噴灌、滴灌試驗(yàn)田添加設(shè)備所投入經(jīng)費(fèi)為每畝100元．在（2）的情況下，若每噸水費(fèi)為2.5元，請(qǐng)判斷，相比去年因用水量減少所節(jié)省的水費(fèi)是否大于今年的以上兩項(xiàng)投入之和？

83．（2021·重慶中考真題）某工廠有甲、乙兩個(gè)車間，甲車間生產(chǎn)A產(chǎn)品，乙車間生產(chǎn)B產(chǎn)品，去年兩個(gè)車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量相同且全部售出．已知A產(chǎn)品的銷售單價(jià)比B產(chǎn)品的銷售單價(jià)高100元，1件A產(chǎn)品與1件B產(chǎn)品售價(jià)和為500元．
（1）A、B兩種產(chǎn)品的銷售單價(jià)分別是多少元？
（2）隨著5G時(shí)代的到來，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)入了快速發(fā)展時(shí)期．今年，該工廠計(jì)劃依托工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)將乙車間改造為專供用戶定制B產(chǎn)品的生產(chǎn)車間．預(yù)計(jì)A產(chǎn)品在售價(jià)不變的情況下產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上增加a%；B產(chǎn)品產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上減少a%，但B產(chǎn)品的銷售單價(jià)將提高3a%．則今年A、B兩種產(chǎn)品全部售出后總銷售額將在去年的基礎(chǔ)上增加%．求a的值．

84．（2021·重慶）重慶小面是重慶美食的名片之一，深受外地游客和本地民眾歡迎．某面館向食客推出經(jīng)典特色重慶小面，顧客可到店食用（簡(jiǎn)稱“堂食”小面），也可購(gòu)買搭配佐料的袋裝生面（簡(jiǎn)稱“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的總售價(jià)為31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的總售價(jià)為33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的價(jià)格分別是多少元？
（2）該面館在4月共賣出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，為回饋廣大食客，該面館從5月1日起每份“堂食”小面的價(jià)格保持不變，每份“生食”小面的價(jià)格降低．統(tǒng)計(jì)5月的銷量和銷售額發(fā)現(xiàn)：“堂食”小面的銷量與4月相同，“生食”小面的銷量在4月的基礎(chǔ)上增加，這兩種小面的總銷售額在4月的基礎(chǔ)上增加．求a的值．

參考答案
1．D
【解析】把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作關(guān)于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3=1或2x+3=﹣3，
所以x1=﹣1，x2=﹣3．
故選D．
考點(diǎn)：一元二次方程的解．
2．C
【分析】方程移項(xiàng)后，兩邊加上2變形即可得到結(jié)果．
解：方程移項(xiàng)得：x2+4x=1，
配方得： x2+4x+4=5，
∴（x+2）2=5，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．．
3．A
【分析】按照配方法的步驟進(jìn)行求解即可得答案.
解：
移項(xiàng)得，
二次項(xiàng)系數(shù)化1的，
配方得
即
故選：A
【點(diǎn)撥】本題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟為（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
4．C
【分析】由一元二次方程定義得出二次項(xiàng)系數(shù)k≠0；由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得出“△>0”，解這兩個(gè)不等式即可得到k的取值范圍．
解：由題可得：,
解得：且；
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，涉及到了解不等式等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能讀懂題意并牢記一元二次方程的概念和根的判別式的內(nèi)容，能正確求出不等式（組）的解集等，本題對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力有一定的要求．
5．D
【分析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則=，可得P(2，)時(shí)，最小，進(jìn)而即可得到答案．
解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，
則A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，
設(shè)P(x，y)，則=
==，
∴當(dāng)x=2，y=時(shí)，即：P(2，)時(shí)，最小，
∵由待定系數(shù)法可知：AB邊上中線所在直線表達(dá)式為：，
AC邊上中線所在直線表達(dá)式為：，
又∵P(2，)滿足AB邊上中線所在直線表達(dá)式和AC邊上中線所在直線表達(dá)式，
∴點(diǎn)P是三條中線的交點(diǎn)，
故選D．

【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形中線的交點(diǎn)，兩點(diǎn)間的距離公式，建立合適的坐標(biāo)系，把幾何問題化為代數(shù)問題，是解題的關(guān)鍵．
6．D
【分析】根據(jù)直線不經(jīng)過第二象限，得到，再分兩種情況判斷方程的解的情況.
解：∵直線不經(jīng)過第二象限，
∴，
∵方程，
當(dāng)a=0時(shí)，方程為一元一次方程，故有一個(gè)解，
當(dāng)a0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選：D.
【點(diǎn)撥】此題考查一次函數(shù)的性質(zhì)：利用函數(shù)圖象經(jīng)過的象限判斷字母的符號(hào)，方程的解的情況，注意易錯(cuò)點(diǎn)是a的取值范圍，再分類討論.
7．A
【分析】先計(jì)算判別式，再進(jìn)行配方得到△=（k-1）2+4，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△＞0，再利用判別式的意義即可得到方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
解：△=(k-3)2-4(1-k)
=k2-6k+9-4+4k
=k2-2k+5
=(k-1)2+4，
∴（k-1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：A．
【點(diǎn)撥】本題考查的是根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．
8．C
【分析】按新定義規(guī)定的運(yùn)算法則，將其化為關(guān)于x的一元二次方程，從二次項(xiàng)系數(shù)和判別式兩個(gè)方面入手，即可解決．
解：∵[x2+1，x]※[5?2k，k]=0，
∴．
整理得，．
∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴判別式且．
由得，，
解得，．
∴k的取值范圍是且．
故選：C
【點(diǎn)撥】本題考查了新定義運(yùn)算、一元二次方程的根的判別等知識(shí)點(diǎn)，正確理解新定義的運(yùn)算法則是解題的基礎(chǔ)，熟知一元二次方程的條件、根的不同情況與判別式符號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．此類題目容易忽略之處在于二次項(xiàng)系數(shù)不能為零的條件限制，要引起高度重視．
9．A
【分析】直接把已知數(shù)據(jù)代入進(jìn)而得出的值，再利用根的判別式求出答案．
解：∵小剛在解關(guān)于x的方程()時(shí)，只抄對(duì)了，，解出其中一個(gè)根是，
∴，
解得：，
∵核對(duì)時(shí)發(fā)現(xiàn)所抄的比原方程的值小2，
故原方程中，
則，
則原方程的根的情況是不存在實(shí)數(shù)根．
故選：A．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了根的判別式，正確利用方程的解得出c的值是解題關(guān)鍵．
10．C
【分析】先求得，代入即可得出答案．
解：∵，
∴，，
∴
=
=
=
=
=，
∵，且，
∴，
∴原式=，
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是會(huì)將四次先降為二次，再將二次降為一次．
11．C
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解確定出菱形兩條對(duì)角線長(zhǎng)，進(jìn)而求出菱形面積即可．
解：方程x2﹣10x＋24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形兩對(duì)角線長(zhǎng)為4和6，
則這個(gè)菱形的面積為×4×6＝12．
故選：C．
【點(diǎn)撥】此題考查了求解一元二次方程和菱形的面積公式，難度一般．
12．A
【分析】方程的兩個(gè)分式具備倒數(shù)關(guān)系，設(shè)=y，則原方程化為y+=2，再轉(zhuǎn)化為整式方程y2-2y+1=0即可求解．
解：把=y代入原方程得：y+=2，轉(zhuǎn)化為整式方程為y2﹣2y+1=0．
故選：A．
【點(diǎn)撥】考查了換元法解分式方程，換元法解分式方程時(shí)常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡(jiǎn)，化難為易，對(duì)此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的分式方程的特點(diǎn)，尋找解題技巧．
13．A
【分析】通過解一元二次方程求得等腰三角形的兩個(gè)腰長(zhǎng)，然后求該等腰三角形的周長(zhǎng)．
解：解方程，得：或，
若腰長(zhǎng)為3，則三角形的三邊為3、3、6，顯然不能構(gòu)成三角形；
若腰長(zhǎng)為5，則三角形三邊長(zhǎng)為5、5、6，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)為16，
故選A．
【點(diǎn)撥】此題考查三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，解一元二次方程-因式分解法，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則
14．B
解：試題分析：分解因式得：，可得或，解得：，，
當(dāng)時(shí)，三邊長(zhǎng)為2，3，6，不能構(gòu)成三角形，舍去；
當(dāng)時(shí)，三邊長(zhǎng)分別為3，4，6，此時(shí)三角形周長(zhǎng)為3+4+6=13．故選B．
考點(diǎn)：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三邊關(guān)系．
15．D
解：分析：先利用因式分解法解方程得到a=11，b=﹣3，然后計(jì)算代數(shù)式a﹣2b的值．
詳解：（x﹣11）（x+3）=0，
x﹣11=0或x﹣3=0，
所以x1=11，x2=﹣3，
即a=11，b=﹣3，
所以a﹣2b=11﹣2×（﹣3）=11+6=17．
故選D．
點(diǎn)睛：本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．
16．C
【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x?9＝0的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得m＋n=?3，mn=?9，而m是方程的一個(gè)根，可得m2＋3m?9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整體代入計(jì)算即可．
解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x?9＝0的兩個(gè)根，
∴m＋n＝?3，mn＝?9，
∵m是x2＋3x?9＝0的一個(gè)根，
∴m2＋3m?9＝0，
∴m2＋3m＝9，
∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9?3＝6．
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）兩根x1、x2之間的關(guān)系：x1＋x2=?，x1?x2=．
17．D
【分析】先根據(jù)已知可得，，a+b=3，然后再對(duì)變形，最后代入求解即可．
解：∵已知，是方程的兩根
∴，，a+b=3
∴=0+5+30+1=36．
故選D．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程的解、根與系數(shù)的關(guān)系以及整式的變形，根據(jù)需要對(duì)整式靈活變形成為解答本題的關(guān)鍵．
18．B
【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系可得，，再代入通分計(jì)算即可求解．
解：∵方程的兩根分別為，，
∴，，
∴，
∴=====-1．
故選B．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練運(yùn)用一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
19．A
解：由題意可知：
∴
故選：A．
【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式，正確運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及完全平方式可以簡(jiǎn)便運(yùn)算．
20．C
【分析】先將方程整理為一般形式，再根據(jù)根的判別式得出方程由兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，然后又根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的正負(fù)即可．
解：，
整理得：，
∴，
∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
設(shè)方程兩個(gè)根為、，
∵，
∴兩個(gè)異號(hào)，而且負(fù)根的絕對(duì)值大．
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：，
21．C
【分析】分類討論：當(dāng)3為等腰三角形的底邊，則方程有等根，所以△＝0，求解即可，于是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得兩腰的和＝4，滿足三角形三邊的關(guān)系；當(dāng)3為等腰三角形的腰，則x＝3為方程的解，把x＝3代入方程可計(jì)算出k的值即可．
解：①當(dāng)3為等腰三角形的底邊，根據(jù)題意得△＝（-4）2?4k＝0，解得k＝4，
此時(shí)，兩腰的和=x1+x2=4>3，滿足三角形三邊的關(guān)系，所以k＝4；
②當(dāng)3為等腰三角形的腰，則x＝3為方程的解，把x＝3代入方程得9?12＋k＝0，解得k＝3；
綜上，k的值為3或4，
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解以及根與系數(shù)的關(guān)系等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，注意解得k的值之后要看三邊能否組成三角形．
22．A
【分析】設(shè)該校七至九年級(jí)人均閱讀量年均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)從七年級(jí)的每年100萬字增加到九年級(jí)的每年121萬字，即可得出關(guān)于x的一元二次方程．
解：該校七至九年級(jí)人均閱讀量年均增長(zhǎng)率為x，
依題意得：．
故選：A．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
23．A
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.
解：根據(jù)題意得，，
所以．
故選A．
【點(diǎn)撥】此題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知根與系數(shù)的性質(zhì).
24．C
【分析】先用含x的代數(shù)式表示出2020年底、2021年底用戶的數(shù)量，然后根據(jù)2019年底到2021年底這三年的用戶數(shù)量之和=8.72萬戶即得關(guān)于x的方程，解方程即得答案．
解：設(shè)全市用戶數(shù)年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，得：
，
解這個(gè)方程，得：，（不合題意，舍去）．
∴x的值為40%．
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用之增長(zhǎng)率問題，屬于?？碱}型，正確理解題意、找準(zhǔn)相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
25．B
【分析】利用因式分解法解方程得到x1=5，x2=3，利用菱形的對(duì)角線互相垂直平分和三角形三邊的關(guān)系得到菱形的邊長(zhǎng)為5，利用勾股定理計(jì)算出菱形的另一條對(duì)角線為6，然后計(jì)算菱形的面積．
解：，
所以，，
∵菱形一條對(duì)角線長(zhǎng)為8，
∴菱形的邊長(zhǎng)為5，
∴菱形的另一條對(duì)角線為，
∴菱形的面積．
故選B．
【點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三邊的關(guān)系．也考查了三角形三邊的關(guān)系和菱形的性質(zhì)．
26．D
【分析】分別表示出5月，6月的營(yíng)業(yè)額進(jìn)而得出等式即可．
解：設(shè)該公司5、6兩月的營(yíng)業(yè)額的月平均增長(zhǎng)率為x．根據(jù)題意列方程得：
．
故選D．
【點(diǎn)撥】考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，正確理解題意是解題關(guān)鍵．
27．C
【分析】設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小分支，根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是43，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論
解：設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出個(gè)小分支，
依題意，得：，
解得：（舍去），．
故選C．
【點(diǎn)撥】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于列出方程
28．C
【分析】先利用圖2得出當(dāng)P點(diǎn)位于B點(diǎn)時(shí)和當(dāng)P點(diǎn)位于E點(diǎn)時(shí)的情況，得到AB和BE之間的關(guān)系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中點(diǎn)定義得到BC的值．
解：由圖2可知，當(dāng)P點(diǎn)位于B點(diǎn)時(shí)，，即，
當(dāng)P點(diǎn)位于E點(diǎn)時(shí)，，即，則，
∵,
∴,
即,
∵
∴,
∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴,
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像的理解與應(yīng)用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中點(diǎn)的定義等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能正確理解題意，能從圖像中提取相關(guān)信息，能利用勾股定理建立方程等，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．
29．B
【分析】設(shè)正方形ADOF的邊長(zhǎng)為x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程，解方程即可．
解：設(shè)正方形ADOF的邊長(zhǎng)為x，
由題意得：，，
，
在Rt△中，，
即，
整理得，，
解得：x=2或x=-12(舍去)，
，
即正方形ADOF的邊長(zhǎng)是2，
故選B．
【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、一元二次方程的解法、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．
30．-1．
【分析】把代入方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一元二次方程，求得a值，結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，確定結(jié)果即可．
解：∵一元二次方程有一個(gè)根為，
∴
∴a=1或a=-1，
∵方程是一元二次方程，
∴a-1≠0，
∴a=-1，
故答案為：-1．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的解的定義，解法，熟練理解定義，確保二次項(xiàng)系數(shù)不為零是解題的一個(gè)陷阱，要注意．
31．8
【分析】直接把a(bǔ)的值代入得出，進(jìn)而將原式變形得出答案．
解：∵a是方程的一個(gè)根，
∴，
∴．
故答案為8．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了一元二次方程的解，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．
32．8或9
【分析】分4為等腰三角形的腰長(zhǎng)和4為等腰三角形的底邊長(zhǎng)兩種情況，再利用一元二次方程根的定義、根的判別式求解即可得．
解：由題意，分以下兩種情況：
（1）當(dāng)4為等腰三角形的腰長(zhǎng)時(shí)，則4是關(guān)于的方程的一個(gè)根，
因此有，
解得，
則方程為，解得另一個(gè)根為，
此時(shí)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為，滿足三角形的三邊關(guān)系定理；
（2）當(dāng)4為等腰三角形的底邊長(zhǎng)時(shí)，則關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
因此，根的判別式，
解得，
則方程為，解得方程的根為，
此時(shí)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為，滿足三角形的三邊關(guān)系定理；
綜上，的值為8或9，
故答案為：8或9．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程根的定義、根的判別式、等腰三角形的定義等知識(shí)點(diǎn)，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．需注意的是，要檢驗(yàn)三邊長(zhǎng)是否滿足三角形的三邊關(guān)系定理．
33．
【分析】根據(jù)非負(fù)性求得a、b的值，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求得+、，代入求解即可．
解：∵實(shí)數(shù)、滿足，
∴a﹣2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=﹣3，
∴，
∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為、，
∴+=2，=﹣3，
∴=，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查代數(shù)式求值、二次根式被開方數(shù)的非負(fù)性、絕對(duì)值的非負(fù)性、一元二次方程根與系數(shù)，熟練掌握非負(fù)性和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解答的關(guān)鍵．
34．，
【分析】先把兩邊同時(shí)乘以，去分母后整理為，進(jìn)而即可求得方程的解．
解：，
兩邊同時(shí)乘以，得
，
整理得：
解得：，，
經(jīng)檢驗(yàn)，，是原方程的解，
故答案為：，．
【點(diǎn)撥】本題考查了分式方程和一元二次方程的解法，熟練掌握分式方程和一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．
35．或1 7
【分析】（1）將代入解方程求出，的值，再代入進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（2）當(dāng)時(shí)，求出，再把通分變形，最后進(jìn)行整體代入求值即可．
解：已知，實(shí)數(shù)，同時(shí)滿足①，②，
①-②得，
∴
∴或
①+②得，
（1）當(dāng)時(shí)，將代入得，

解得，，
∴，
把代入得，3=3，成立；
把代入得，0=0，成立；
∴當(dāng)時(shí)，a的值是1或-2
故答案為：1或-2；
（2）當(dāng)時(shí)，則，即
∵
∴
∴
∴
∴
故答案為：7．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代數(shù)式的值和分式的運(yùn)算等知識(shí)，熟練掌握運(yùn)算法則和乘法公式是解答此題的關(guān)鍵．
36．且
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合一元二次方程的定義和根的判別式可得關(guān)于k的不等式，然后解不等式即可求解．
解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，，
∴的取值范圍是且，
故答案為：且．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的定義、根的判別式、解一元一次不等式，熟練掌握一元二次方程的根的判別式與根的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．
37．20
【分析】根據(jù)已知圖形得出第n個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)為1+2+3++n=，列一元二次方程求解可得．
解：∵第1個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)1，
第2個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)3=1+2，
第3個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)6=1+2+3，
第4個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)10=1+2+3+4，
……
∴第n個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)為1+2+3+4+5++n=，
當(dāng)共有210個(gè)小球時(shí)，
，
解得：或(不合題意，舍去)，
∴第個(gè)圖形共有210個(gè)小球．
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了圖形的變化規(guī)律，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是得出第n個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)為1+2+3+……+n．
38．2028
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的概念和根與系數(shù)的關(guān)系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2）計(jì)算可得．
解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
則原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案為：2028．
【點(diǎn)撥】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=，x1x2=．
39．0
【分析】求出的解，代入新定義對(duì)應(yīng)的表達(dá)式即可求解．
解：，
解得：，
即，
則，
故答案為：0．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)新定義的正確理解是解題的關(guān)鍵．
40．
【分析】如圖（見解析），設(shè)，先根據(jù)直角三角形的面積公式、正方形的面積公式求出的值，再根據(jù)建立等式，然后根據(jù)建立等式求出a的值，最后代入求解即可．
解：如圖，由題意得：，，，是直角三角形，且均為正數(shù)
則大正方形的面積為
小正方形的面積為
設(shè)
則

又，即

解得或（不符題意，舍去）
將代入得：
兩邊同除以得：
令
則
解得或（不符題意，舍去）
即的值為
故答案為：．

【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程與幾何圖形、勾股定理、三角形全等的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解題意，正確求出的值是解題關(guān)鍵．
41．
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義把x=-1代入原方程得到關(guān)于m的一元二次方程，解得m的值，然后根據(jù)一元二次方程的定義確定m的值．
解：把x=-1代入得m2-5m+4=0，解得m1=1,m2=4，
∵(m-1)2≠0，
∴m1．
∴m=4.
∴方程為9x2+12x+3=0.
設(shè)另一個(gè)根為a,則-a=.
∴a=-.
故答案為: -．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定義．
42．17
【分析】先利用因式分解法求解得出x的值，再根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系判斷能否構(gòu)成三角形，從而得出答案．
解：解方程得x1=2，x2=6，
當(dāng)x=2時(shí)，2+4=60，
∴m

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