1. 理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，能熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程；
2. 通過求根公式的推導，培養(yǎng)學生數(shù)學推理的嚴密性及嚴謹性，滲透分類的思想．
【要點梳理】
知識點一 公式法解一元二次方程
一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的兩個根為x=，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。
一元二次方程求根公式的推導過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過程。
公式法解一元二次方程的具體步驟：
方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化為正值
確定公式中a,b,c的值，注意符號；
求出b2-4ac的值；
若b2-4ac≥0，則把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，則方程無實數(shù)根。
知識點二 一元二次方程根的判別式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即△=b2-4ac.
△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數(shù)根
一元二次方程 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數(shù)根
根的判別式
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實數(shù)根
【典型例題】
類型一、解一元二次方程--公式法
1．用公式法解下列方程：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
按照公式法的一般步驟：先把式子化為一般式，找到a，b，c，先算，再帶入求根公式求解即可．
解：（1）∵，
∴，
∴，
即；
（2）方程化為一般形式，得，這里，
∴，
，
∴原方程的解為．
【點撥】本題考查了用公式法解一元二次方程，熟記一元二次方程的求根公式，是解決本題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】用公式法解下列方程：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用求根公式解一元二次方程即可；
（2）先將方程整理為一般式，再根據(jù)求根公式解一元二次方程.
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴原方程的根為：；
（2）原方程化為一般形式為：，
∵，
∴，
∴，
∴原方程的根為：．
【點撥】本題主要考查公式法解一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握公式法解一元二次方程的步驟.
【變式2】用公式法解下列方程：
（1）． （2）．
【答案】（1），．（2），．
【分析】
（1）先把方程化為一般式，再利用公式法進行求解；
（2）根據(jù)公式法即可求解.
解：（1）將方程化為一般形式，得．
這里，，．
∵，
∴，
即，．
（2）這里，，．
∵，
∴，
∴，．
【點撥】此題主要考查一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是熟知公式法解方程.
類型二、根的判別式
2．已知關(guān)于x的方程
（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根
（2）若方程有一個小于1的正根，求實數(shù)k的取值范圍
【答案】（1）證明見分析；（2）
【分析】
（1）證出根的判別式即可完成；
（2）將k視為數(shù)，求出方程的兩個根，即可求出k的取值范圍.
解：（1）證明：
∴方程總有兩個實數(shù)根
（2）
∴
∴
∵方程有一個小于1的正根
∴
∴
【點撥】本題考查一元二次方程根的判別式與方程的根之間的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.
舉一反三：
【變式1】已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）證明：不論m為何值時，方程總有實數(shù)根；
（2）m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根．
【答案】（1）證明見分析；（2）m=1．
【分析】
解：（1）求出方程根的判別式，利用配方法進行變形，根據(jù)平方的非負性證明即可；
（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的兩個根，根據(jù)題意求出m的值．
方法1 （1）利用判別式
（1）證明：．
∵不論m為何值，，即．
∴不論m為何值，方程總有實數(shù)根．
（2）解關(guān)于x的一元二次方程，得
，∴，．
∵方程的兩個根都是正整數(shù)，∴是正整數(shù)，∴或．
又∵方程的兩個根不相等，∴，∴．
方法2（1）直接解一元二次方程求出根
（1）證明：解關(guān)于x的一元二次方程，
得，，
∴不論m為何值，方程總有實數(shù)根．
（2）解關(guān)于x的一元二次方程，得
，∴，．
∵方程的兩個根都是正整數(shù)，∴是正整數(shù)，∴或．
又∵方程的兩個根不相等，∴，∴．
【變式2】 已知關(guān)于x的一元二次方程
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若△ABC的兩邊AB、AC的長是方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5．當△ABC是等腰三角形時，求k的值
【答案】（1）詳見分析 （2）或
【分析】
（1）先計算出△=1，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；
（2）先利用公式法求出方程的解為x1=k，x2=k+1，然后分類討論：AB=k，AC=k+1，當AB=BC或AC=BC時△ABC為等腰三角形，然后求出k的值．
解：（1）∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解為x=，
即x1=k，x2=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
當AB=k，AC=k+1，且AB=BC時，△ABC是等腰三角形，則k=5；
當AB=k，AC=k+1，且AC=BC時，△ABC是等腰三角形，則k+1=5，解得k=4，
所以k的值為5或4．
【點撥】本題考查了：1．根的判別式；2．解一元二次方程；3．三角形三邊關(guān)系；4．等腰三角形的性質(zhì)．
類型三、根據(jù)一元二次方程求參數(shù)
3、關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根．
（1）求的取值范圍；
（2）如果是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程與方程有一個相同的根，求此時的值．
【答案】（1）；（2）的值為．
【分析】
（1）利用判別式的意義得到，然后解不等式即可；
（2）利用（1）中的結(jié)論得到的最大整數(shù)為2，解方程解得，把和分別代入一元二次方程求出對應(yīng)的，同時滿足．
解：（1）根據(jù)題意得，
解得；
（2）的最大整數(shù)為2，
方程變形為，解得，
∵一元二次方程與方程有一個相同的根，
∴當時，，解得；
當時，，解得，
而，
∴的值為．
【點撥】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．
舉一反三：
【變式1】關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)m，使得成立？如果存在，求出m的值：如果不存在，請說明理由．
【答案】（1）m＜1；（2）m=-1
【分析】
（1）由方程有兩個不相等的實數(shù)根，那么△＞0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出x1+x2=-2（m-1），x1?x2=m2-1，由條件可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出m的值．
解：（1）∵方程x2+2（m-1）x+m2-1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．
∴△=4（m-1）2-4（m2-1）=-8m+8＞0，
∴m0，即可得到關(guān)于n的不等式，從而求得n的范圍；
(2)利用配方法解方程，然后根據(jù)n的取值范圍和限制條件“方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)”來求n的值即可．
解：∵關(guān)于的方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項，
∴，
解得；
由原方程，得
，
解得，
∵方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，且，不是負數(shù)，
∴，且是完全平方形式，
∴，或，
解得，或．
【點撥】本題考查了一元二次方程的根的判別式．一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．

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21.1 一元二次方程

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