【六大專題目錄】
專題一：垂徑定理求值
專題二：垂徑定理求平行弦問題
專題三：垂徑定理求同心圓問題
專題四：垂徑定理求其他問題
專題五：垂徑定理推論
專題六：垂徑定理實際應(yīng)用
【知識導(dǎo)圖】
【專題一：垂徑定理求值】
1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，⊙O的弦AB垂直于CD，點E為垂足，連接OE．若AE＝1，AB=CD=6，則OE的值是（ ）

A．22B．32C．42D．52
【答案】A
【難度】基礎(chǔ)題
【考點】垂徑定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)
【易錯點】輔助線問題、知識點的綜合應(yīng)用
【分析】如圖所示，過O點作OH⊥AB于H點，OF⊥CD于F點，連接OB、OC，根據(jù)垂徑定理可求出EH的值，再證Rt△OBH≌Rt△OCF(HL)，可得OH=OF，根據(jù)正方形的判定可得四邊形OHEF為正方形，由此即可求解．
【詳情解析】解：如圖所示，過O點作OH⊥AB于H點，OF⊥CD于F點，連接OB、OC，

∴根據(jù)垂徑定理得，DF=CF=12CD=12×6=3，AH=BH=12AB=12×6=3，
∵AE=1，
∴EH=AH?AE=3?1=2，
在Rt△OBH和Rt△OCF中，
OB=OCBH=CF，
∴Rt△OBH≌Rt△OCF(HL)，
∴OH=OF，
∵CD⊥AB，
∴∠HEF=90°，
∵∠OHE=∠OFE=90°，
∴四邊形OHEF為正方形，OE是正方形的對角線，
∴OE=2EH=22，
故選：A．
【提優(yōu)突破】本題考查圓與三角形的綜合，掌握圓的基礎(chǔ)值，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵．
2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連接AO并延長交⊙O于點E，連接EB．若AB=4，CD=1，則EB的長為（ ）

A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【難度】基礎(chǔ)題
【考點】垂徑定理、勾股定理、三角形中位線定理
【易錯點】方程思想、知識點的綜合應(yīng)用
【分析】垂徑定理得到AC=12AB=2，三角形中位線定理得到EB=2OC，在Rt△ACO中，設(shè)OA=x，則OC=x?1，AO2=OC2+AC2，則x2=x?12+22，解得x=52，則OA=52，OC=32，即可得到EB的長．
【詳情解析】解：∵⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連接AO并延長交⊙O于點E，
∴OC垂直平分AB，AE是⊙O的直徑，
∴AC=12AB=2，
∴OC是△ABE的中位線，
∴EB=2OC，
在Rt△ACO中，設(shè)OA=x，則OC=x?1，
∵AO2=OC2+AC2，
∴x2=x?12+22，
解得：x=52，
即OA=52，OC=32，
∴EB=2OC=3，
故選：B．
【提優(yōu)突破】此題考查了垂徑定理、勾股定理、三角形中位線定理等知識，根據(jù)勾股定理得到AO2=OC2+AC2是解題的關(guān)鍵．
3．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心坐標(biāo)是(3,a)(a>3)，半徑為3，函數(shù)y=x的圖像被⊙P截得的弦AB的長為42，則a的值是（ ）

A．4B．3+2C．32D．3+3
【答案】B
【難度】中等題
【考點】垂徑定理、函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)
【易錯點】等腰三角形性質(zhì)與函數(shù)結(jié)合
【分析】作PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連接PB，求出D點坐標(biāo)為(3,3)，可得△OCD為等腰直角三角形，從而△PED也為等腰直角三角形．根據(jù)垂徑定理得AE=BE=22，在Rt△PBE中，利用勾股定理求出PE=1，再求出PD的長即可求解．
【詳情解析】解：作PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連接PB，如圖，
∵⊙P的圓心坐標(biāo)是(3,a)，
∴OC=3,PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴D點坐標(biāo)為(3,3)，
∴CD=3，
∴△OCD為等腰直角三角形，
∴∠PDE=∠ODC=45°，
∵PE⊥AB，
∴△PED為等腰直角三角形，AE=BE=12AB=12×42=22，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE=32?(22)2=1，
∴PD=2PE=2，
∴a=3+2．
故選B．
【提優(yōu)突破】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。_作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
4．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB為弦作⊙O，并使直角頂點C在⊙O內(nèi)，點O在△ABC外，若∠OCB=∠CAB，⊙O的半徑為7，OC=13，則AB的長為（ ）
A．32B．62C．72D．12
【答案】B
【難度】中等題
【考點】垂徑定理、直角三角形斜邊中點
【易錯點】知識點的綜合應(yīng)用
【分析】取AB中點D，連接CD、OD、OB，利用垂徑定理及直角三角形斜邊中點性質(zhì)可得CD=BD=12AB，∠OCD=∠ODB=90°，最后在Rt△ODB中利用勾股定理列方程計算即可．
【詳情解析】解：取AB中點D，連接CD、OD、OB，則OB=7
∴∠ODB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴CD=BD=AD=12AB，
∴∠DCA=∠CAB，∠DCB=∠DBC，∠DCB+∠CAB=90°
∵∠OCB=∠CAB，
∴∠DCB+∠OCB=90°，
∵OC=13，
∴在Rt△OCD中，OD2=OC2+CD2=13+14AB2，
∵在Rt△ODB中，OB2=OD2+BD2
∴72=13+14AB2++14AB2，
解得AB=62（負(fù)值舍去），
故選：B．
【提優(yōu)突破】本題考查了垂徑定理，勾股定理，直角三角形斜邊中點等知識，解題的關(guān)鍵是熟記相關(guān)的定理以及公式．
5．（2021秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，AC＝4，則OD的長為（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】C
【難度】基礎(chǔ)題
【考點】垂徑定理、三角形中位線
【易錯點】知識點的綜合應(yīng)用
【分析】由OD⊥BC，根據(jù)垂徑定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位線，則可求得OD的長．
【詳情解析】解：∵OD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵OA＝OB，AC＝4
∴OD＝12AC＝2．
故選C．
【提優(yōu)突破】此題考查了垂徑定理以及三角形中位線的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
6．（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖，已知銳角∠AOB，按如下步驟作圖：（1）在射線OA上取一點C，以點O為圓心，OC長為半徑作PQ，交射線OB于點D，連接CD；（2）分別以點C，D為圓心，CD長為半徑作弧，交PQ于點M，N；③連接OM，MN，ND．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．∠COM=∠CODB．若OM=MN，則∠AOB=20°
C．MN∥CDD．∠COD=2∠MND
【答案】D
【難度】中等題
【考點】垂徑定理、幾何圖形的基本作法
【易錯點】綜合知識的靈活應(yīng)用
【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到弧相等，再利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠AOB=20°，再利用垂徑定理得到弧相等進(jìn)而得到平行線，利用兩點之間線段最短可知D項錯誤．
【詳情解析】解：由作法得：MC=CD=DN，OM=ON=OC=OD，
∴MC?=CD?=DN?，
∴∠COM=∠COD=∠DON，
∴A選項的結(jié)論正確；
∵OM=MN，OM=ON，
∴△MON是等邊三角形，
∴∠MON=60°，
∴∠AOB=13∠MON=20°，
∴B選項的結(jié)論正確；
作半徑OE⊥CD，如圖，
∴CE?=DE?，
∴ME?=NE?，
∴OE⊥MN，
∴MN∥CD，
∴C選項的結(jié)論正確；
∵圓周角∠MND所對的弧為MD?，圓心角∠MOD所對的弧為MD?，
∴∠MOD=2∠MND，
∵∠MOD>∠COD，
∴2∠MND>∠COD，
∴D選項錯誤；
故選：D．
【提優(yōu)突破】本題考查了尺規(guī)作圖，圓周角性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理，掌握幾何圖形的基本作法是解題的關(guān)鍵．
7．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一條圓弧經(jīng)過A2,2，B4,0，O三點，那么這條圓弧所在圓的圓心為圖中的（ ）
A．點DB．點EC．點FD．點G
【答案】B
【難度】基礎(chǔ)題
【考點】垂徑定理、幾何圖形的基本作法
【易錯點】綜合知識的靈活應(yīng)用
【分析】根據(jù)圖形作線段AB和PQ的垂直平分線，兩線的交點即為圓心，根據(jù)圖形得出即可．
【詳情解析】解：如圖
作線段AB和PQ的垂直平分線，交于點E，即為弧的圓心，
故選：B．
【提優(yōu)突破】本題考查了垂徑定理，線段垂直平分線性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用．
8．（2023秋·江蘇連云港·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A(13,0)，一次函數(shù)y=kx+3k+4（k為常數(shù)，且k≠0）的圖像與⊙O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值為
【答案】24
【難度】基礎(chǔ)題
【考點】垂徑定理、最值問題、函數(shù)問題
【易錯點】垂直的弦最短問題
【分析】易知直線 y=kx+3k+4 過定點 D(?3,4)，運用勾股定理可求出 OD，由條件可求出半徑OB，由于過圓內(nèi)定點 D 的所有弦中,與 OD 垂直的弦最短,因此只需運用垂徑定理及勾股定理就可解決問題．
【詳情解析】解：對于直線 y=kx+3k+4=k(x+3)+4，當(dāng) x=?3 時，y=4，
故直線 y=kx+3k+4 恒經(jīng)過點 (?3,4)，記為點 D；
過點 D 作 DH⊥x 軸于點 H，
則有 OH=3,DH=4,OD=OH2+OD2=5，
∵點A (13,0)，
∴OA=13,
∴OB=OA=13.
由于過圓內(nèi)定點 D 的所有弦中，與 OD 垂直的弦最短， 如圖所示，

因此運用垂徑定理及勾股定理可得：
BC 的最小值為 2BD=2OB2?OD2=2× 132?52=2×12=24；
故答案為：24．
【提優(yōu)突破】本題主要考查了直線上點的坐標(biāo)特征、 垂徑定理、勾股定理等知識，發(fā)現(xiàn)直線恒經(jīng)過點 (?3,4) 以及運用“過圓內(nèi)定點 D 的所有弦中，與 OD 垂直的弦最短“這個經(jīng)驗是解決該選擇題的關(guān)鍵．
9．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O的半徑是3，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，過圓心O分別作AB，BC，AC的垂線，垂足為E，F(xiàn)，G，連接EF．若OG=1，則EF= ．
【答案】22
【難度】基礎(chǔ)題
【考點】垂徑定理、勾股定理、三角形的中位線
【易錯點】知識點綜合應(yīng)用
【分析】連接OC，利用勾股定理求出CG，再結(jié)合垂徑定理及三角形的中位線求解EF．
【詳情解析】解：連接OC，如圖．
在Rt△OCG中，CG=OC2?OG2=32?12=22．
∵ OG⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，且O是⊙O的圓心，
∴ AC=2CG=42，AE=BE，BF=CF，
∴ EF是△ABC的中位線，
∴ EF=12AC=22．
故答案為：22．
【提優(yōu)突破】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的中位線，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·江蘇南京·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，A(1,0)、B(5,0)，以AB為直徑作⊙M，射線OF交⊙M于E、F兩點，C為弧AB的中點，D為EF的中點，當(dāng)射線OF繞O點旋轉(zhuǎn)時，CD的最小值為 ．
【答案】1
【難度】難題
【考點】垂徑定理、隱圓問題
【易錯點】隱圓的應(yīng)用
【分析】連接MD，如圖，利用垂徑定理得到MD⊥EF，則∠ODM=90°，再根據(jù)勾股定理得到點D在以O(shè)M中點G點為圓心，12OM為半徑的圓上，利用點與圓的位置關(guān)系可判斷當(dāng)D點為CG與⊙G的交點時，CD的值最小，此時CD＝CG?GD．
【詳情解析】連接MD，如圖，
∵D為EF的中點，
∴MD⊥EF，
∴∠ODM=90°，
∴點D在以O(shè)M為直徑的圓上，
∵A(1,0)、B(5,0)，M為AB中點，
∴M點坐標(biāo)為(3,0)，
令OM的中點為G，連接CG、DG，
∴G坐標(biāo)為(32，0),⊙G的半徑為12OM=32=CG=GM=DG
∵C為弧AB的中點，
∴∠AMC＝90°
∴ΔCGM為直角三角形，
∴CG=CM2+GM2=52
∴當(dāng)D點為CG與⊙G的交點時，CD的值最小，此時CD=CG?DG=52?32=1，
【提優(yōu)突破】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂徑定理和勾股定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
11．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，⊙O的半徑為4，AB，CD是⊙O的弦，且AB//CD，AB=4，CD=42，則AB和CD之間的距離為 ．
【答案】23±22
【難度】中等題
【考點】垂徑定理、分類討論
【易錯點】分類討論
【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，連結(jié)OA，OC，根據(jù)平行線的性質(zhì)等到OF⊥CD，再利用垂徑定理得到AE=12AB，CF=12CD，再由勾股定理解得OE，OF的長，繼而分類討論解題即可．
【詳情解析】作OE⊥AB于E，交CD于F，連結(jié)OA，OC，如圖，
∵AB//CD
∴OF⊥CD
∴AE=BE=12AB=2，CF=DF=12CD=22
在Rt△OAE中，
∵OA=4，AE=2
∴OE=42?22=23
在Rt△OCF中，
∵OC=4，CF=22
∴OF=42?(22)2=22
當(dāng)圓心O在AB與CD之間時，
EF=OF+OE=23+22
當(dāng)圓心O不在AB與CD之間時，
EF=OF?OE=23?22
即AB和CD之間的距離為23±22，
故答案為：23±22．
【提優(yōu)突破】本題考查勾股定理、垂徑定理、分類討論等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
【專題二：垂徑定理求平行弦問題】
1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（ ）cm.
A．6B．42C．43D．45
【答案】C
【答案】1
【難度】基礎(chǔ)題
【考點】直角三角形、平行弦問題、勾股定理
【易錯點】輔助線、構(gòu)造出直角三角形
【分析】作OD⊥AB于C，交小圓于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO為半徑，則OA=OD=4；然后運用勾股定理即可求得AC的長，即可求得AB的長.
【詳情解析】解：作OD⊥AB于C，交小圓于D，則CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=OA2?OC2=23，
∴AB=2AC=43.
故答案為C.
【提優(yōu)突破】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，作出輔助線、構(gòu)造出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.
2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，則AB與CD之間的距離為 cm．
【答案】7或1．
【難度】中等題
【考點】垂徑定理、平行弦問題、勾股定理
【易錯點】輔助線、分類討論的思想
【分析】分兩種情況考慮：當(dāng)兩條弦位于圓心O同一側(cè)時，當(dāng)兩條弦位于圓心O兩側(cè)時；利用垂徑定理和勾股定理分別求出OE和OF的長度，即可得到答案．
【詳情解析】解：分兩種情況考慮：
當(dāng)兩條弦位于圓心O一側(cè)時，如圖1所示，
過O作OE⊥CD，交CD于點E，交AB于點F，連接OC，OA，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∴E、F分別為CD、AB的中點，
∴CE=DE=12CD=3cm，AF=BF=12AB=4cm，
在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，
根據(jù)勾股定理得：OF=3cm，
在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，
根據(jù)勾股定理得：OE═4cm，
則EF=OE?OF=4cm?3cm=1cm；
當(dāng)兩條弦位于圓心O兩側(cè)時，如圖2所示，
同理可得EF=4cm+3cm=7cm，
綜上，弦AB與CD的距離為7cm或1cm．
故答案為：7或1．
【提優(yōu)突破】此題考查了垂徑定理，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．
3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，AB，CD是半徑為15的⊙O的兩條弦，AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，P為EF上任意一點，則PA＋PC的最小值為 ．
【答案】212
【難度】中等題
【考點】垂徑定理以及最短路徑問題
【易錯點】垂徑定理、最短路徑
【分析】由于A、B兩點關(guān)于MN對稱，因而PA＋PC＝PB＋PC，即當(dāng)B、C、P在一條直線上時，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．
【詳情解析】解：連接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
∵AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，
∴BE＝12AB＝12，CF＝12CD＝9，
∴OE=OB2?BE2=9，OF=OC2?CF2=12，
∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，
BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，
在Rt△BCH中，根據(jù)勾股定理得：BC=BH2+CH2=212，
即PA＋PC的最小值為212．
故答案為：212．
【提優(yōu)突破】本題考查垂徑定理以及最短路徑問題，靈活根據(jù)垂徑定理確定最短路徑是解題關(guān)鍵．
4．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M交x軸于A?1,0，B3,0兩點，交y軸于C，D0,3兩點，點S是DB 上一動點，N是OS的中點，則線段DN的最小值是 ．
【答案】26?52
【難度】中等題
【考點】垂徑定理、中位線定理
【易錯點】垂徑定理，中位線定理，作出相應(yīng)的輔助線
【分析】在y軸上截取DE=OD，連接ES，根據(jù)A?1,0，B3,0，求出點M的坐標(biāo)為1,1，根據(jù)OD=DE，ON=NS，得出DN=12ES，當(dāng)ES取最小值時，DN才能取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)E、S、M三點共線時，ES才能取得最小值，求出EM=12+6?12=26，得出ES最小=EM?SM=26?5，即可得出答案．
【詳情解析】解：在y軸上截取DE=OD，連接ES，如圖所示：
∵A?1,0，B3,0，
∴圓心M在AB的垂直平分線上，
∴M點的橫坐標(biāo)為1，
設(shè)M點的縱坐標(biāo)為n，
∴M1,n，
∵D0,3，
∴r2=1?02+n?32=3?12+n2，
解得：n=1，r=5，
∴M1,1，
∵OD=DE，ON=NS，
∴DN=12ES，
∴當(dāng)ES取最小值時，DN才能取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)E、S、M三點共線時，ES才能取得最小值，如圖所示：
∵E0,6，M1,1，
∴EM=12+6?12=26，
∴ES最小=EM?SM=26?5，
∴DN最小=12EM最小=26?52．
故答案為：26?52．
【提優(yōu)突破】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，中位線定理，作出相應(yīng)的輔助線，求出點M的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是找出當(dāng)ES取最小值時，DN才能取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)E、S、M三點共線時，ES才能取得最小值．
5．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考階段練習(xí)）【閱讀理解】三角形中線長公式：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線和第三邊一半的平方和的兩倍如左圖，在△ABC中，點D是BC中點，則有：AB2+AC2=2AD2+BD2．
【問題解決】請利用上面的結(jié)論，解決下面問題：如右圖，點C、D是以AB為直徑的⊙O上兩點，點P是OB的中點，點E是CD的中點，且∠CPD=90°，若AB=8，當(dāng)△EPB面積最大時，則CD的長為 ．
【答案】42
【難度】難題
【考點】三角形中線長公式，垂徑定理，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理
【易錯點】垂徑定理，直角三角形斜邊上的中線，作出相應(yīng)的輔助線
【分析】連接CO,EO，根據(jù)垂徑定理可得OE2+14CD2=16①，取OP的中點Q，則OQ=1，根據(jù)三角形中線長公式可得：OE2+EP2=2EQ2+1②，由①②得出 EQ=7，可得E點的軌跡，進(jìn)而根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，以及三角形面積公式，圓上一點到直徑的距離，求得當(dāng)EQ⊥AB時，△EPB面積最大，進(jìn)而勾股定理求得EP的長，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線即可求解．
【詳情解析】解：如圖，連接CO,EO，
∵E為CD的中點，
∴OE⊥CD，EP=12CD，
∴CO2=CE2+OE2，
∵AB為⊙O的直徑,AB=8,
∴CO=4，
∴OE2=CO2?12CD2=16?14CD2，
∴OE2+14CD2=16①
如圖，取OP的中點Q，則OQ=1，
根據(jù)三角形中線長公式可得：OE2+EP2=2EQ2+1②
∵EP=12CD，
∴OE2+14CD2=2EQ2+1，
即EQ2=12OE2+14CD2?1②，
將①代入②得：EQ2=12×16?1=7，
∴EQ=7，
∴E在以Q為圓心7為半徑的圓上運動，
在△OPE中，P為OB的中點，
∴S△EPB=S△OPE
設(shè)點E到AB的距離為?，由S△OPE=12OP??，則當(dāng)?取得最大值時，S△EPB最大，
∴當(dāng)EQ⊥AB時，?=EQ，
在Rt△PEQ中，EQ=7,PQ=1，
∴EP=22，
∴CD=2PE=42，
故答案為：42．
【提優(yōu)突破】本題考查了三角形中線長公式，垂徑定理，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，充分利用三角形中線長公式是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·河南駐馬店·駐馬店市第二初級中學(xué)校考二模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，弦EF∥AB．
(1)在圖1中，請僅用不帶刻度的直尺畫出劣弧EF的中點P；(保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)如圖2，在（1）的條件下連接OP、PF，若OP交弦EF于點Q ，△PQF的面積6，且EF=12，求⊙O的半徑；
【答案】(1)見解析
(2)10
【難度】中等題
【考點】幾何圖形的基本性質(zhì)、垂徑定理
【易錯點】垂徑定理，作出相應(yīng)的輔助線
【分析】（1）由圓的對稱性，連接AF、BE交于點M，連接OM并延長交⊙O于P點即可；
（2）連接OF，如圖，根據(jù)垂徑定理得到OP⊥EF，EQ=FQ=12EF=6，再利用三角形面積公式計算出PQ=2，設(shè)⊙O的半徑，則OQ=r?2，OF=r，利用勾股定理得到62+(r?2)2=r2，解方程即可．
【詳情解析】（1）解：連接AF、BE，它們相交于點M，連接OM并延長交⊙O于P點，如圖1，
點P為所作；
（2）連接OF，如圖2，
∵點P為劣弧EF的中點，
∴OP⊥EF，EQ=FQ=12EF=6，
∵△PQF的面積為6，
∴ 12×PQ×6=6，
解得PQ=2，
設(shè)⊙O的半徑r，則OQ=r?2，OF=r，
在Rt△OQF中，62+(r?2)2=r2，
解得r=10，
即⊙O的半徑為10．
【提優(yōu)突破】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖，涉及垂徑定理和勾股定理，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
【專題三：垂徑定理求同心圓問題】
1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于C點，AB=12cm，AO=8cm，則OC長為（ ）cm
A．5B．4C．25 D．27
【答案】D
【難度】基礎(chǔ)題
【考點】同心圓、弦心距
【易錯點】弦心距的概念和性質(zhì)
【詳情解析】解：∵ O為圓心的兩個同心圓的圓心，大圓的弦AB與小圓相切于C點，
∴ C點是AB的中點，即AC=BC=12AB=6；
并且OC⊥AB，在RtΔAOC中，
由勾股定理得AO2=AC2+OC2，
所以O(shè)C2=AO2?AC2；AO=8cm，
所以O(shè)C2=82?62=28，
所以O(shè)C=27
故選：D
【提優(yōu)突破】本題考查弦心距，勾股定理，解答本題要求考生掌握弦心距的概念和性質(zhì)，熟悉勾股定理的內(nèi)容.
2．（2022秋·江蘇徐州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在5×5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A、B、C三點，那么AC所對的圓心角的大小是（ ）
A．60°B．75°C．80°D．90°
【答案】D
【難度】基礎(chǔ)題
【考點】垂徑定理推論、圓心確定
【易錯點】徑定理的推論
【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，分別作AB，BC的垂直平分線即可得到圓心，進(jìn)而解答即可．
【詳情解析】解：作AB的垂直平分線，作BC的垂直平分線，如圖，
它們都經(jīng)過Q，所以點Q為這條圓弧所在圓的圓心．
連接AQ，CQ，
在△APQ與△QNC中
AP=QN∠APQ=∠QNCPQ=CN，
∴△APQ≌△QNCSAS，
∴∠AQP=∠QCN，∠PAQ=∠CQN，
∵∠AQP+∠PAQ=90°，
∴∠AQP+∠CQN=90°，
∴∠AQC=90°，
即AC所對的圓心角的大小是90°，
故選：D．
【提優(yōu)突破】本題考查了垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心．這也常用來確定圓心的方法．
3．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，AB是半圓O的直徑，以弦AC為折痕折疊AC后，恰好經(jīng)過點O，則∠AOC等于（ ）
A．120°B．125°C．130°D．145°
【答案】A
【難度】中等題
【考點】垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)
【易錯點】折疊的性質(zhì)
【分析】連接OC，BC，過O作OE⊥AC于D交圓O于E，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OD=12OE，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OD=12BC，求得∠COB=60°，得到∠AOC=120°，于是得到結(jié)論．
【詳情解析】解：如圖，連接OC，BC，過O作OE⊥AC于D交圓O于E，
∵把半圓沿弦AC折疊，AC恰好經(jīng)過點O，
∴OD=12OE，OD⊥AC
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴OD∥BC，
∵OA=OB，
∴OD=12BC，
∴BC=OE=OB=OC，
∴△OCB是等邊三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠AOC=120°，
【提優(yōu)突破】本題考查了折疊的性質(zhì)，垂徑定理，中位線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）在同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點．
(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，AB=24，則CD的長為 ___________．
(2)如圖②，大圓的另一條弦EF交小圓于G，H兩點，若AB=EF，求證CD=GH．
【答案】(1)46
(2)見解析
【難度】難題
【考點】垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)
【易錯點】輔助線、垂徑定理綜合使用
【分析】（1）連接OA，OC，過O點作OH⊥AB，則H為AB，CD的中點，得出AH=12AB，CH=12CD，根據(jù)勾股定理即可求出CD的長；
（2）過O作OM⊥AB，作ON⊥EF，垂足分別為M、N，得出DM=12CD，HN=12GH，AM=12AB，EN=12EF，連接OA、OE、OD、OH，通過證明Rt△OAM?Rt△OEN和Rt△ODM?Rt△OHN，即可得證CD=GH．
【詳情解析】（1）連接OA，OC，過O點作OH⊥AB，則H為AB，CD的中點，
∵AB=24，
∴AH=12AB=12×24=12，CH=12CD，
∵OH⊥AB，
∴OH2=OA2?AH2，OH2=OC2?CH2，
∴OA2?AH2=OC2?CH2，
∴132?122=72?CH2，
∴CH=26，
∴CD=2CH=46，
故答案為：46
（2）過O作OM⊥AB，作ON⊥EF，垂足分別為M、N，
∴DM=12CD，HN=12GH，AM=12AB，EN=12EF，
又∵AB=EF，
∴AM=EN，
連接OA、OE、OD、OH，

在Rt△OAM和Rt△OEN中，
OA=OEAM=EN，
∴Rt△OAM?Rt△OEN，
∴OM=ON，
在Rt△ODM和Rt△OHN中，
OD=OHOM=ON，
∴Rt△ODM?Rt△OHN，
∴DM=HN，
∴CD=GH．
【提優(yōu)突破】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解此類題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·浙江杭州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在兩個同心圓⊙O中，大圓的弦AB與小圓相交于C，D兩點．
(1)求證：AC=BD．
(2)若AC=2,BC=4，大圓的半徑R=5，求小圓的半徑r．
【答案】(1)證明見解析
(2)小圓的半徑r為17.
【難度】中等題
【考點】垂徑定理，勾股定理、
【易錯點】輔助線做法、垂徑定理
【分析】（1）過O作OE⊥AB于點E，由垂徑定理可知E為CD和AB的中點，則可證得結(jié)論；
（2）連接OC,OA，由條件可求得CD的長，則可求得CE和AE的長，在Rt△AOE中，利用勾股定理可求得OE的長，在Rt△COE中可求得OC的長；
【詳情解析】（1）證明：過O作OE⊥AB于點E，如圖1，
由垂徑定理可得AE=BE,CE=DE,
∴AE?CE=BE?DE,
∴AC=BD.
（2）解：連接OC,OA，如圖2，
∵AC=2,BC=4，
∴AB=2+4=6，
∴AE=3，
∴CE=AE?AC=1，
在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2=OA2?AE2=52?32=16，
在Rt△COE中，由勾股定理可得OC2=OE2+CE2=16+12=17,
∴OC=17，即小圓的半徑r為17．
【提優(yōu)突破】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．
【專題四：垂徑定理求其他問題】
1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為4米，⊙O半徑長為3米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（ ）
A．1米B．3+5米C．3米D．3?5米
【答案】D
【難度】基礎(chǔ)題
【考點】垂徑定理，勾股定理
【易錯點】實際應(yīng)用問題
【分析】連接OC交AB于D，根據(jù)圓的性質(zhì)和垂徑定理可知OC⊥AB，AD=BD=2，根據(jù)勾股定理求得OD的長，由CD=OC?OD即可求解．
【詳情解析】解：根據(jù)題意和圓的性質(zhì)知點C為AB的中點，
連接OC交AB于D，
則OC⊥AB，AD=BD=12AB=2，
在Rt△OAD中，OA=3，AD=2，
∴OD=AO2?AD2=5，
∴CD=OC?OD=3?5，
即點C到弦AB所在直線的距離是3?5米，
故選：D．
【提優(yōu)突破】本題考查圓的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解答的關(guān)鍵．
2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，△ABC的頂點A、B、C均在⊙O上，點A是CB中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°
C．BC=2AC D．∠BAC+12∠AOC=180°
【答案】B
【難度】基礎(chǔ)題
【考點】垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系
【易錯點】圓心角、弧、弦的關(guān)系
【分析】直接利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得出各線段、角的關(guān)系即可解答．
【詳情解析】解：A、∵點A是CB中點，
∴AB=AC，
∴AB=AC，
無法得出AB=OC，故選項A錯誤；
B、如圖：連接BO，
∵AB=AC，
∴∠BOA=∠AOC，
∵BO=AO=CO，
∴∠OAC=∠BAO=∠ACO，
∴∠OAC+∠ACO+∠AOC=∠BAC+∠AOC=180°，故此選項正確；
C、∵AB=AC，AB+AC>BC，
∴BC≠2AC，故選項C錯誤；
D、無法得出∠BAC+12∠AOC=180°，故選項D錯誤．
故選：B．

【提優(yōu)突破】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，正確把握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．
3．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)著作，書中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數(shù)學(xué)語言可表述為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥DC于E，ED=1寸，AB=10寸，求直徑CD的長．”則CD= 寸．

【答案】26
【難度】基礎(chǔ)題
【考點】垂徑定理，勾股定理
【易錯點】垂徑定理應(yīng)用
【分析】連接AO，設(shè)⊙O的半徑為r寸，則OA=r寸，OE=r?1寸，由垂徑定理得AE=BE=12AB=5寸，由勾股定理得52+r?12=r2，解方程求出r，從而得到直徑CD的值．
【詳情解析】解：如圖，連接AO，
，
設(shè)⊙O的半徑為r寸，則OA=r寸，OE=r?1寸，
∵ AB⊥DC，AB=10寸，
∴AE=BE=12AB=5寸，
在Rt△AOE中，AE2+OE2=OA2，
即52+r?12=r2，
解得：r=13寸，
∴CD=2r=26寸，
故答案為：26．
【提優(yōu)突破】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理、勾股定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
4．（2022春·江蘇·九年級期末）【數(shù)學(xué)認(rèn)識】
數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系的一門學(xué)科，在初中幾何學(xué)習(xí)的歷程中，常常把角與角的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊與邊的數(shù)量關(guān)系，把邊與邊的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為角與角的數(shù)量關(guān)系．
【構(gòu)造模型】
（1）如圖①，已知△ABC，在直線BC上用直尺與圓規(guī)作點D，使得∠ADB＝12∠ACB．
（不寫作法，保留作圖痕跡）
【應(yīng)用模型】
已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，⊙O的半徑為r，△ABC的周長為c．
（2）如圖②，若r＝5，AB＝8，求c的取值范圍．
（3）如圖③，已知線段MN，AB是⊙O一條定長的弦，用直尺與圓規(guī)作點C，使得c＝MN．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【答案】（1）見解析；（2）16＜c≤8＋85；（3）見解析
【難度】難題
【考點】垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，綜合作圖問題
【易錯點】綜合作圖問題
【分析】（1）可找到兩個這樣的點：①當(dāng)點D在BC的延長線上時：以點C為圓心，AC長為半徑，交BC的延長線于點D，連接AD，即為所求；②當(dāng)點D在CB的延長線上時：以點A為圓心，AD長為半徑，交CB的延長線于點D1，連接AD1，即為所求；兩種情況均可利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)證明；
（2）考慮最極端的情況：當(dāng)C與A或B重合時，則CA+CB=AB=8，可得此時c=16，根據(jù)題意可得c>16，當(dāng)點C為優(yōu)弧AB的中點時，連接AC并延長至D，使得CD=CB，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)可得點D的運動軌跡為一個圓，點C為優(yōu)弧AB的中點時，點C即為△ABD外接圓的圓心，AC長為半徑，連接CO并延長交AB于點E，連接AO，根據(jù)垂徑定理及勾股定理可得AC=45，當(dāng)AD為直徑時，c最大即可得；
（3）依照（1）（2）的做法，方法一：第1步：作AB的垂直平分線交⊙O于點P；第2步：以點P為圓心，PA為半徑作⊙P；第3步：在MN上截取AB的長度；第4步：以A為圓心，MN減去AB的長為半徑畫弧交⊙P于點E；第5步：連接AE交⊙O于點C，即為所求；方法二：第1步：在圓上取點D，連接AD、BD，延長AD使得ED=BD；第2步：作△ABE的外接圓；第3步：在MN上截取AB的長度；第4步：以點A為圓心，MN減去AB的長為半徑畫弧交△ABE的外接圓于點F；第5步：連接AF交⊙O于點C，即為所求．
【詳情解析】（1）如圖所示：①當(dāng)點D在BC的延長線上時：以點C為圓心，AC長為半徑，交BC的延長線于點D，連接AD，即為所求；②當(dāng)點D在CB的延長線上時：以點A為圓心，AD長為半徑，交CB的延長線于點D1，連接AD1，即為所求；
證明：①∵AC=CD，
∴∠CDA=∠CAD，
∴∠CDA=12∠BCA；
同理可證明∠CD1A=12∠BCA；
（2）當(dāng)C與A或B重合時，則CA+CB=AB=8，
∴c=CA+CB+AB=16，
∵△ABC，
∴c>16，
如圖，當(dāng)點C為優(yōu)弧AB的中點時，連接AC并延長至D，使得CD=CB，
∴∠D=12∠ACB，
∵同弧所對的圓周角相等，
∴∠ACB為定角，
∴∠D為定角，
∴點D的運動軌跡為一個圓，當(dāng)點C為優(yōu)弧AB的中點時，點C即為△ABD外接圓的圓心，AC長為半徑，連接CO并延長交AB于點E，連接AO，
由垂徑定理可得：CE垂直平分AB，
∴AE=12AB=4，
在Rt△AOE中，
OE=AO2?AE2=3，
∴CE=5+3=8，
∴AC=AE2+CE2=42+82=45，
∴AD為直徑時最長，
∴AC+BC=AD=85最長，
∴△ABC的周長最長．
∴c最長為AB+AC+BC=8+85，
∴c的取值范圍為：160)上有點P，以P為圓心，OP長為半徑畫圖，分別交x軸，y軸于A，B兩點．
（1）三角形AOB的面積是否為定值？若為，求出；若不為，說明理由．
（2）y=?2x+4與⊙P交于M，N兩點，且OM=ON，求⊙P的面積．
（3）若定點Q(a,a)到P的最小距離為32，求所有滿足條件的a的值．
【答案】（1）為，8；（2）10π；（3）-1或26
【難度】難題
【考點】函數(shù)問題、最值問題、三角形問題、不等式的性質(zhì)
【易錯點】最值問題、不等式的性質(zhì)
【分析】（1）連接AB，可得AB為圓P直徑，設(shè)A（2a，0），B（0，2b），可得P（a，b），由三角形面積公式可得結(jié)論；
（2）根據(jù)y=-2x+4求出GO=4，QO=2，根據(jù)勾股定理求出GQ=25，由垂徑定理得OP⊥GQ，根據(jù)等積關(guān)系計算出OE，EF，EH，從而得出點E坐標(biāo)（85，45），進(jìn)一步求出直線OP的解析式，設(shè)P(x,4x)代入求得x的值，從而求出OP，根據(jù)圓的面積公式求解即可；
（3）設(shè)P(x,4x)，求出PQ2=2a2?2a(x+4x)+(x+4x)2?8，令t=x+4x，則t≥2x?4x=4，把PQ2化簡為PQ2=(t?a)2+a2?8，然后分兩種情況討論求解即可．
【詳情解析】解：如圖，連接AB，
∵∠AOB=90°
∴AB為圓P直徑，即AB的中點為點P,
設(shè)A（2a，0），B（0，2b），
∴P(2a+02,0+2b2)，即P(a,b)
∵點P在y=4x(x>0)上
∴ab=4
∴SΔABO=12?OA?OB=2ab=8
即ΔAOB的面積為定值8；
（2）設(shè)直線y=-2x+4與x軸交于點Q，與y軸交于點G，與OP交于點E，過點E作EF⊥y軸，EH⊥x軸，垂足分別為F，H，如圖，
∵M(jìn)，N在圓P上，且OM=ON
∴OP⊥MN
對于y=-2x+4，令x=0，則y=4；令y=0，則x=2
∴OG=4，OQ=2
由勾股定理得，GQ=OG2+OQ2=42+22=25
又12OG·OQ=12GQ·OE
∴OE=OG·OQGQ=4×225=455
又GE=GO2?OE2=42?(455)2=855，EQ=OQ2?OE2=22?(455)2=255
同理可得，EF=85，EQ=45
∴E(85,45)
設(shè)直線OP的解析式為y=kx，則85k=45
∴k=12
∴直線OP的解析式為y=12x
設(shè)P（x，4x），則有12x=4x
解得，x=22或x=?22（舍去）
∴P(22，2)
∴PO=(22)2+(2)2=10
∴⊙P的面積為：π·PO2=10π
（3）設(shè)P(x,4x)，
∵Q(a,a)
∴PQ2=(a?x)2+(a?4x)2
=2a2?2a(x+4x)+x2+16x2
=2a2?2a(x+4x)+(x+4x)2?8
令t=x+4x，則t≥2x?4x=4，
∴PQ2=t2?2at+2a2?8=(t?a)2+a2?8
①當(dāng)aBC，①錯誤；根據(jù)同圓中等弦對等弧得到AB=DE，F(xiàn)G=AC．推出DE+FG=AB+AC，得到DE+FG=BC，②正確；連接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，根據(jù)同圓中等弦所對圓心角相等得到∠AOB=∠DOE，∠AOC=∠FOG，得到∠AOB+∠AOC=∠DOE+∠FOG，得到∠DOE+∠FOG=∠BOC，③正確；根據(jù)同圓的半徑相等，等邊對等角得到，∠OAB=∠OBA=180°?∠AOB2=90°?12∠AOB，∠OAC=90°?12∠AOC，∠DEO=90°?12∠DOE，∠FGO=90°?12∠FOG，根據(jù)∠AOB=∠DOE，∠AOC=∠FOG，推出∠DEO=∠OAB，∠FGO=∠OAC，得到∠DEO+∠FGO=∠OAB+∠OAC=∠BAC，④正確．
【詳情解析】解：∵AB+AC>BC，AB=DE，F(xiàn)G=AC，
∴DE+FG>BC．
∴①錯誤；
∵AB=DE，F(xiàn)G=AC，
∴AB=DE，F(xiàn)G=AC．
∴DE+FG=AB+AC，
∴DE+FG=BC，
∴②正確；
連接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，如圖，
∵AB=DE，F(xiàn)G=AC，
∴∠AOB=∠DOE，∠AOC=∠FOG，
∴∠DOE+∠FOG=∠AOB+∠AOC=∠BOC；
∴③正確；
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=180°?∠AOB2=90°?12∠AOB．
同理可得：
∠OAC=90°?12∠AOC，
∠DEO=90°?12∠DOE，
∠FGO=90°?12∠FOG．
∵∠AOB=∠DOE，∠AOC=∠FOG，
∴∠DEO=∠OAB，∠FGO=∠OAC，
∴∠DEO+∠FGO=∠OAB+∠OAC=∠BAC．
∴④正確．
∴正確的序號為：②③④．
故選：D．
【提優(yōu)突破】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握圓心角、弧、弦之間是關(guān)系，三角形三邊的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)．
2．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在半徑為5的⊙A中，弦BC，DE所對的圓心角分別是∠BAC，∠DAE．若DE=6，∠BAC+∠DAE=180°，則弦BC的弦心距為（ ）.
A．412B．342C．4D．3
【答案】D
【難度】中等題
【考點】圓的基本性質(zhì)、垂徑定理和三角形中位線性質(zhì)
【易錯點】垂徑定理推論
【分析】作AH⊥BC于H，作直徑CF，連接BF，先利用等角的補角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根據(jù)垂徑定理得CH=BH，則AH為△CBF的中位線，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到AH=12BF=3．
【詳情解析】作AH⊥BC于H，作直徑CF，連接BF，如圖，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴DE=BF，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
而CA=AF，
∴AH為△CBF的中位線，
∴AH=12BF=3,
故選：D.
【提優(yōu)突破】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理和三角形中位線性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·江蘇·九年級期中）【概念提出】
圓心到弦的距離叫作該弦的弦心距．
【數(shù)學(xué)理解】
如圖①，在⊙O中，AB是弦，OP⊥AB，垂足為P，則OP的長是弦AB的弦心距．
（1）若⊙O的半徑為5，OP的長為3，則AB的長為 ．
（2）若⊙O的半徑確定，下列關(guān)于AB的長隨著OP的長的變化而變化的結(jié)論：
①AB的長隨著OP的長的增大而增大；
②AB的長隨著OP的長的增大而減小；
③AB的長隨著OP的長的確定而確定；
④AB的長與OP的長無關(guān)．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
【問題解決】
如圖②，已知線段EF，MN，點Q是⊙O內(nèi)一定點．
（3）用直尺和圓規(guī)過點Q作弦AB，滿足AB＝EF；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（4）若弦AB，CD都過點Q，AB＋CD＝MN，且AB⊥CD．設(shè)⊙O的半徑為r，OQ的長為d，MN的長為l．
①求AB，CD的長（用含r，d，l的代數(shù)式表示）；
②寫出作AB，CD的思路．
【答案】（1）8．（2）②③；（3）見解析；（4）①AB＝l?16r2?8d2?l22，CD＝l+16r2?8d2?l22；②見解析
【難度】難題
【考點】圓的基本性質(zhì)、弦心距
【易錯點】垂徑定理推論
【分析】（1）連接OA，先根據(jù)垂徑定理得出AP=12AB，再根據(jù)勾股定理求出AP的長，即可求得AB的長；
（2）設(shè)半徑為r不變，得出AB=2r2?p2，然后根據(jù)式子判斷即可；
（3）利用弦心距及線段的垂直平分線作圖即可；
（4）①設(shè)AB＝2m，CD＝2n，列出關(guān)于m和n的二元一次方程組求解即可；
②類比（3）的作圖方法即可．
【詳情解析】（1）解：連接OA．
∵OP⊥AB，
∴AP=12AB，
∵OA=5，OP=3，
∴AP=OA2?OP2=52?32=4，
∴AB=2AP=8．
（2）設(shè)半徑為r不變，
∴AB=AP+BP=OA2?OP2+OB2?OP2=2r2?p2，
當(dāng)r不變，OP的長增大時，AB減小；OP長確定時，AB也確定，
∴選②③
（3）如圖，弦AB，滿足AB＝EF；
（4）①解：設(shè)AB＝2m，CD＝2n，如圖，可得：
r2?m2+r2?n2=d22m+2n=l.，解得m=l?16r2?8d2?t24,n=l+16r2?8d2?t24
∴ AB＝l?16r2?8d2?l22，CD＝l+16r2?8d2?l22，
②作圖思路：先作斜邊為4r，一條直角邊為22d，另一條直角邊為16r2?8d2的直角三角形；后作斜邊為16r2?8d2，一條直角邊為l，另一條直角邊為16r2?8d2?12的直角三角形；再在⊙O中作出長為1?16r2?8d2?l22的弦，再如（3）中作法過點Q作弦AB；最后過點Q作AB的垂直弦CD．
【提優(yōu)突破】本題考查了垂徑定理，勾股定理及圓的弦心距，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些性質(zhì)解決問題．
4．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，已知AB、CD是⊙O的兩條平行弦，AB=8，CD=6，弦AB、CD之間的距離為7．
（1）求證：弧AD=弧BC．
（2）求圖中陰影部分的面積．
【答案】（1）見解析；（2）25π?504
【難度】難題
【考點】圓的基本性質(zhì)、不規(guī)則圖形的面積、勾股定理
【易錯點】不規(guī)則圖形的面積
【分析】（1）過點O作OM⊥AB，延長MO交CD于點N，連接OA、OB、OC、OD，通過證明△DON≌△OAM推出∠AOD=90°，∠BOC=90°，根據(jù)相等的圓心角所對的弧相等即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)S陰=S扇形BOC?S△BOC代入數(shù)值求解即可．
【詳情解析】解：（1）過點O作OM⊥AB，延長MO交CD于點N，連接OA、OB、OC、OD，
∵AB//CD，
∴ON⊥CD，
∴AM=12AB=4，CN=12CD=3，MN=7，
在Rt△AOM中，∵OM2+AM2=OA2，
∴OM2+42=r2①，
在Rt△CON中，∵ON2+CN2=OC2，
∴ON2+32=r2②，
②?①得ON2?OM2=7，
∴(ON+OM)(ON?OM)=7，
∴ON?OM=1，
∴ON=4，OM=3，
∴OA=AM2+OM2=5，ON=AM，DN=OM，
在△DON和△OAM中，OD=OADN=OMON=AM，
∴△DON≌△OAM，
∴∠AOM=∠ODN，
∴∠AOM+∠DON=∠ODN+∠DON=90°，
∴∠AOD=90°，
同理可得∠BOC=90°，
∴AD?=BC?；
（2）S陰=S扇形BOC?S△BOC=90π?52360?12×5×5=25π?504．
【提優(yōu)突破】本題考查圓的基本性質(zhì)、不規(guī)則圖形的面積、勾股定理等內(nèi)容，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）如圖所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直徑，弦CG⊥AB于D，F(xiàn)是⊙O上的點，且CF=CB，BF交CG于點E，求證：CE＝BE．
【答案】見解析．
【難度】難題
【考點】垂徑定理、圓周角定理、全等三角形的性質(zhì)和判定
【易錯點】綜合應(yīng)用
【分析】證法一：連接CB，可證CF=GB，從而可證明CE＝BE；
證法二：作ON⊥BF，垂足為N，連接OE，證明△ONE≌△ODE，可得NE＝DE，再結(jié)合垂徑定理可得BN＝CD，再根據(jù)線段的差即可證明結(jié)論；
證法三：連接OC交BF于點N，只需要證明△CNE≌△BDE即可證明結(jié)論．
【詳情解析】證法一：如圖(1)，連接BC，
∵ AB是⊙O的直徑，弦CG⊥AB，
∴CB=GB,
∵CF=BC，
∴CF=GB，
∴∠C＝∠CBE，
∴CE＝BE．
證法二：如圖(2)，作ON⊥BF，垂足為N，連接OE．
∵AB是⊙O的直徑，且AB⊥CG，
∴CB=BG，
∵CB=CF，
∴CF=BC=BG，
∴BF＝CG，ON＝OD，
∵∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD，
∴△ONE≌△ODE（HL），
∴NE＝DE．
∵BN=12BF，CD=12CG，
∴BN＝CD，
∴BN-EN＝CD-ED，
∴BE＝CE．
證法三：如圖(3)，連接OC交BF于點N．
∵CF=BC，
∴OC⊥BF，
∵AB是⊙O的直徑，CG⊥AB，
∴BG=BC，
∴CF=BG=BC，
∴BF=CG，ON=OD，
∵OC＝OB，
∴OC-ON＝OB-OD，
即CN＝BD，
又∠CNE＝∠BDE＝90°，
∠CEN＝∠BED，
∴△CNE≌△BDE，
∴CE＝BE．
【提優(yōu)突破】本題考查垂徑定理、圓周角定理、全等三角形的性質(zhì)和判定等．熟練掌握垂徑定理及其推理是解題關(guān)鍵．
【專題六：垂徑定理實際應(yīng)用】
1．（2020秋·江蘇鹽城·九年級?？计谥校閱讀材料]如圖1所示，對于平面內(nèi)⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中點M，我們把弦AB的中點M到某點或某直線的距離叫做弦AB到這點或者這條直線的“密距”例如：圖1中線段MO的長度即為弦AB到原點O的“密距”，過點M作y軸的垂線交y軸于點N線段MN的長度即為弦AB到y(tǒng)軸的“密距”．
[類比應(yīng)用]
已知⊙P的圓心為P（0，4），半徑為2，弦AB的長度為2，弦AB的中點為M．
（1）當(dāng)AB//y軸時，如圖2所示，圓心P到弦AB的中點M的距離是____，此時弦AB到原點O的“密距”是 ；
（2）①如果弦AB在⊙P上運動，在運動過程中，圓心P到弦AB的中點M的距離變化嗎?若不變化，請求出PM的長，若變化，請說明理由．
②直接寫出弦AB到原點O的“密距”d的取值范圍 ；
[拓展應(yīng)用]如圖3所示，已知⊙P的圓心為P（0，4），半徑為2,點A（0，2），點B為⊙P上白一動點，有直線y=-x-3，弦AB到直線y=-x-3的“密距”的最大值是 ．（直接寫出答案）
【答案】【類比應(yīng)用】（1）3；19；（2）①不變化，PM長為3；②4?3≤d≤4+3；【拓展應(yīng)用】32+1．
【難度】難題
【考點】新定義、最值問題、動點軌跡
【易錯點】動點軌跡
【分析】[類比應(yīng)用]：（1）理解“密距”之意義，運用垂徑定理相關(guān)知識，構(gòu)造直角三角形，運用勾股定理容易作答．（2）①運用同圓中等弦的的弦心距相等，易得答；②運用兩點之間線段最短，易得弦AB到原點O的“密距”d的取值范圍．
[拓展應(yīng)用]：先證得弦AB的中點M運動軌跡是以(0,3)為圓心，以1為半徑的圓，再求出此圓心到直線y=-x-3的“密距”，加1即可得弦AB到直線y=-x-3的“密距”的最大值．
【詳情解析】[類比應(yīng)用]（1）如下圖2
連接PA、PM、OM、
∵P為圓心，M是弦AB（非直徑）的中點
∴PM⊥AB
在RT△PAM中，由勾股定理得
PM=PA2?AM2=PA2?(12AB)2=22?1=3
即圓心P到弦AB的中點M的距離是3；
∵AB∥y軸
∴PM⊥y軸
在RT△OMP中，由勾股定理得
OM=PM2+OP2=(3)2+42=19
∴由“密距”的意義得
弦AB到原點O的“密距”是19．
（2）①不變化
連接PM、PA、
∵點M是弦AB（非直徑）的中點，P為圓心，
∴PM⊥AB，MA=MB=1，
∴PM=PA2?PM2=3
②由圖知OP?PM≤OM≤OP+PM
∴4?3≤d≤4+3；
[拓展應(yīng)用]：如下圖3
C是PA中點，連接CM、過C作CD⊥EF于D
∵M(jìn)是AB（非直徑）中點，P是⊙P的圓心
∴PM⊥AB
又∵C是PA中點
∴CM=AP2=1
當(dāng)AB是⊙P的直徑時，CM=CP=1
∴當(dāng)B點在⊙P上運動是，M的運動軌跡是以C為圓心，以1為半徑的圓．
易知直線y=-x-3與兩坐標(biāo)軸的交點為E(0,-3)、F(-3,0)
∴OE=OF=3，
∴EC=AO+OE+AC=2+3+1=6
又∵x軸⊥y軸
∴∠DEC=45°
∴CD=CEsin∠DEC=6sin45°=32
由圖易知M到EF的最遠(yuǎn)距離為CD+CM=32+1
所以弦AB到直線y=-x-3的“密距”的最大值為32+1．
【提優(yōu)突破】此題主要考查垂徑定理的相關(guān)知識．其關(guān)鍵是讀懂題意理解“密距”，在拓展應(yīng)用中還有一關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)弦AB的中點的軌跡是圓．
2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）定義：同一個圓中，互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦，等垂弦所在直線的交點叫做等垂點．
(1)如圖1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．求證：四邊形ADOE是正方形；
(2)如圖2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分別交⊙O于D，C兩點，連接CD．求證：AB，CD是⊙O的等垂弦；
(3)已知⊙O的半徑為10，AB，CD是⊙O的等垂弦，P為等垂點．若AP=3BP，求AB的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)AB=85或45
【難度】難題
【考點】新定義、圓的有關(guān)知識，全等三角形的判定和性質(zhì)
【易錯點】綜合應(yīng)用能力
【分析】（1）根據(jù)垂直的定義及等垂弦定義推出四邊形ADOE是矩形，根據(jù)垂徑定理得出OD=OE，即可判定矩形ADOE是正方形；
（2）連接AC，由圓心角、弦的關(guān)系可得AB=CD，由圓周角定理可得∠BAC=12∠BOC=45°，∠ACD=12∠AOD=45°，可證AB⊥CD，可得結(jié)論；
（3）分兩種情況討論，過點O作OH⊥AB，作OG⊥CD，可證矩形OHPG為正方形，利用勾股定理可求解．
【詳情解析】（1）證明：∵AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠A=∠ADO=∠AEO=90°，
∴四邊形ADOE是矩形，
∵AB，AC是⊙O的等垂弦，
∴AB=AC，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD=OE，
∴矩形ADOE是正方形；
（2）證明：設(shè)AB交CD于點E，連接AC，
∵OD⊥OA，OC⊥OB，
∴∠AOD=∠BOC=90°，
∴∠AOB=∠COD，
∴AB=CD，
∵∠BAC=12∠BOC=45°，∠ACD=12∠AOD=45°，
∴∠BEC=∠ACD+∠BAC=90°，
即AB⊥CD，
∵AB=CD，AB⊥CD，
∴AB，AC是⊙O的等垂弦；
（3）解：若點P在⊙O內(nèi)，過點O作OH⊥AB，垂足為H，作OG⊥CD，垂足為G，如圖，
∵AB，CD是⊙O的等垂弦，
∴AB=CD，AB⊥CD，
∴四邊形OHPG是矩形，
∵OH⊥AB，OG⊥CD，
∴AH=12AB，DG=12CD，∠AHO=∠DGO=90°，
∴AH=DG，
又∵OA=OD，
∴Rt△AHO≌Rt△DGO(HL)，
∴OH=OG，
∴矩形OHPG為正方形，
∴OH=HP，
∵AP=3BP，且AH=BH，
∴AH=2BP=2OH，
在Rt△AOH中，AO2=AH2+OH2，
即2OH2+OH2=AO2=100，
解得OH=25，
∴HP=25，
∴AB=4HP=85；
若點P在⊙O外，過點O作OH⊥AB，垂足為H，作OG⊥CD，垂足為G，如圖，
同理，AH=25，則AB=2AH=45；
∴AB=85或45．
【提優(yōu)突破】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·江蘇·九年級階段練習(xí)）圖1是某種型號圓形車載手機支架，由圓形鋼軌、滑動桿、支撐桿組成．圖2是它的正面示意圖，滑動桿AB的兩端都在圓O上，A、B兩端可沿圓形鋼軌滑動，支撐桿CD的底端C固定在圓O上，另一端D是滑動桿AB的中點，（即當(dāng)支架水平放置時直線AB平行于水平線，支撐桿CD垂直于水平線），通過滑動A、B可以調(diào)節(jié)CD的高度．當(dāng)AB經(jīng)過圓心O時，它的寬度達(dá)到最大值10cm，在支架水平放置的狀態(tài)下：
(1)當(dāng)滑動桿AB的寬度從10厘米向上升高調(diào)整到6厘米時，求此時支撐桿CD的高度．
(2)如圖3，當(dāng)某手機被支架鎖住時，鎖住高度與手機寬度恰好相等（AE=AB），求該手機的寬度．
【答案】(1)支撐桿CD的高度為9cm．
(2)手機的寬度為8cm．
【難度】中等題
【考點】垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用
【易錯點】垂徑定理的應(yīng)用
【分析】（1）如圖，連結(jié)OA，由題意可得：⊙O的直徑為10，AB=6, 由OD⊥AB, 先求解OD, 從而可得答案；
（2）如圖，記圓心為O，連結(jié)OA，證明AE=CD=BF=AB, 設(shè)AD=BD=x,則AE=CD=BF=AB=2x,則OD=2x?5, 再利用勾股定理建立方程求解即可．
【詳情解析】（1）解：如圖，連結(jié)OA，由題意可得：⊙O的直徑為10，AB=6,
∴OA=5,
∵CD⊥AB, 即OD⊥AB,
∴AD=BD=3,
∴OD=52?32=4,
∴CD=OC+OD=9.
所以此時支撐桿CD的高度為9cm．
（2）解：如圖，記圓心為O，連結(jié)OA，
由題意可得：AB=AE,∠E=∠EAB=∠ABF=90°,
∴四邊形AEFB為正方形，
∵CD⊥EF,
∴AE=CD=BF=AB,
∵CD⊥AB,
∴ 設(shè)AD=BD=x,
則AE=CD=BF=AB=2x,
∵OA=OC=5,
∴OD=2x?5,
由勾股定理可得：52=x2+(2x?5)2,
解得x1=0,x2=4,
經(jīng)檢驗x=0不符合題意，舍去，取x=4,
AB=8（cm），
即手機的寬度為8cm．
【提優(yōu)突破】本題考查的是正方形的判定與性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，理解題意，建立方程解題是關(guān)鍵．
4．（2021·江蘇南通·南通田家炳中學(xué)?？级＃?）風(fēng)箏起源于中國，至今已有2300多年的歷史，如圖1，在小明設(shè)計的“風(fēng)箏”圖案中，已知AB=AD，∠B=∠D，∠BAE=∠DAC．求證：AC=AE；
（2）如圖2，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧，點O是弧CD的圓心，E為弧CD上一點，OE⊥CD，垂足為F．已知CD=600m，EF=100m，求這段彎路的半徑．
【答案】（1）答案見解析；（2）這段彎路的半徑是500m
【難度】中等題
【考點】垂徑定理的應(yīng)用、方程思想
【易錯點】垂徑定理的應(yīng)用、幾何問題
【分析】（1）由“ASA”可證△BAC≌△DAE，可得AC=AE．
（2）根據(jù)垂徑定理即可求得CF的長，設(shè)這段彎路的半徑長是r，則在直角△OCF中，OE=r，OF=(r-100)m，CF=300m利用勾股定理即可列方程即可求得r的長
【詳情解析】（1）證明：∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
∠B＝∠DAB＝AD∠BAC＝∠DAE，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC=AE．
（2）連接CO，如圖，∵OF⊥CD，
∴△OFC是直角三角形，
∵CD=600m，EF=100m，
∴CF=300m，
設(shè)OC=r，則OF=r-100
根據(jù)勾股定理：r2=（r-100）2+3002
則r=500，
∴這段彎路的半徑是500m．
【提優(yōu)突破】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，用方程解幾何問題，方程是解決幾何有關(guān)計算問題的有效的方法和工具，通常結(jié)合勾股定理的形式出現(xiàn)．
5．（2019秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）【操作思考】畫⊙O和⊙O的直徑AB、弦CD，使AB⊥CD，垂足為P（如圖1）．猜想所畫的圖中有哪些相等的線段、相等的劣?。浚∣A=OB除外）．
（1）猜想：① ；② ；③ ．
操作：將圖1中的ADB沿著直徑AB翻折，因為圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸，所以ADB與ACB重合，又因為∠APD=∠APC=90°，所以射線PD與射線PC重合（如圖2），于是點C與點D重合，從而證實猜想．
【知識應(yīng)用】圖3是某品牌的香水瓶，從正面看上去（如圖4），它可以近似看作割去兩個弓形后余下的部分與矩形ABCD組合而成的圖形（點B、C在EF上），其中EF∥GH．
（2）已知⊙O的半徑為3cm，AB=3cm，EF=3.6cm，GH=4.8cm，求香水瓶的高度?．
【答案】（1）CP=DP，AC=AD，BC=BD；（2）7.2cm
【難度】中等題
【考點】垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理
【易錯點】垂徑定理的應(yīng)用、幾何問題
【分析】（1）根據(jù)軸對稱圖形的定義及垂徑定理即可得到答案；
（2）作OM⊥EF，延長MO角GH于N，連接OE、OG，根據(jù)垂徑定理分別求出EM、GN，利用勾股定理求出OM、ON，即可得到答案.
【詳情解析】（1）∵⊙O的直徑AB、弦CD，使AB⊥CD，垂足為P，
∴相等的線段是：CP=DP，相等的劣弧是：AC=AD ，BC=BD，
故答案為：CP=DP，AC=AD，BC=BD；
（2）作OM⊥EF，延長MO角GH于N，連接OE、OG，
∵EF∥GH，
∴ON⊥GH，
∵EM=12EF=1.8cm，GN=12GH=2.4cm，⊙O的半徑為3cm，
∴OM=32?1.82=2.4cm，ON=32?2.42=1.8cm,
∴香水瓶的高度?=AB+OM+ON=3+2.4+1.8=7.2cm.
【提優(yōu)突破】此題考查軸對稱圖形和圓的相關(guān)知識，勾股定理，垂徑定理正確掌握軸對稱圖形的定義，圓的軸對稱關(guān)系，利用垂徑定理進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵.
6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）幾何模型：
條件：如圖1，A、B是直線l同側(cè)的兩個定點．
問題：在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最小，
方法：作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′交l于點P，則PA+PB=AB′的值最?。?br>直接應(yīng)用：
(1)如圖2，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值為______．
變式練習(xí)：
(2)如圖3，點A是半圓上（半徑為1）的三等分點，B是AN的中點，P是直徑MN上一動點，求PA+PB的最小值．
深化拓展：
(3)如圖4，在銳角△ABC中，AB=42，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，求BM+MN的最小值．
(4)如圖5，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD．（要求：保留作圖痕跡，并簡述作法．）
【答案】(1)10
(2)PA+PB的最小值為2
(3)BM+MN的最小值為4
(4)見解析
【難度】難題
【考點】垂徑定理的應(yīng)用、最值問題、輔助線、正方形
【易錯點】綜合問題
【分析】（1）連接BN，根據(jù)AC是對角線為對稱軸，得出BN=DN，根據(jù)兩點之間距離得出DN+NM=BN+NM≥BM，當(dāng)B、N、M三點共線時DN+NM最短=BM，然后利用勾股定理求解即可；
（2）作點B關(guān)于NM的對稱點B′，連接PB′，OB′，可得PB=PB′，根據(jù)兩點之間距離得出PA+PB=PA+PB′≥AB′，當(dāng)A、P、B′，三點共線時PA+PB最小=AB′，然后求出∠AOB′=90°，再利用勾股定理AB′=OA2+OB'2=12+12=2即可；
（3）作BE⊥AC于E，作點N關(guān)于AD的對稱點N′，連接MN′根據(jù)AD平分∠CAB，點N在AB上，得出點N′在AC上，根據(jù)對稱性得出MN=MN′，BM+MN=BM+MN′≥BE，當(dāng)點M，N′在BE上時BM+MN最小=BE，可證△AEB為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出BE=22AB=22×42=4即可；
（4）作點B關(guān)于AC對稱點B′，作射線DB′交AC與P，連接BP，根據(jù)點B與點B′關(guān)于AC對稱，得出PB=PB′，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)得出PE平分∠BPB′即可．
【詳情解析】（1）解：連接BN，
∵四邊形ABCD為正方形，AC是對角線為對稱軸，
∴BN=DN，
∴DN+NM=BN+NM≥BM
∴當(dāng)B、N、M三點共線時DN+NM最短=BM，
∵DM=2，DC=BC=8，
∴CM=DC-DM=8-2=6，
在Rt△BCM中，BM=BC2+CM2=82+62=10，
∴DN+NM最小=10；
故答案為10；
（2）解：作點B關(guān)于NM的對稱點B′，連接PB′，OB′，
則PB=PB′，
∴PA+PB=PA+PB′≥AB′，
∴當(dāng)A、P、B′，三點共線時PA+PB最小=AB′
∵點A是半圓上（半徑為1）的三等分點，
∴AN的度數(shù)為60°，
∵B是AN的中點，
∴BN=B'N的度數(shù)為30°，
∴AB'的度數(shù)為60°+30°=90°，
∴∠AOB′=90°，
∵OA=OB′=1，
∴AB′=OA2+OB'2=12+12=2，
∴PA+PB最小=2；
（3）解：作BE⊥AC于E，作點N關(guān)于AD的對稱點N′，連接MN′
∵AD平分∠CAB，點N在AB上，
∴點N′在AC上，
MN=MN′，BM+MN=BM+MN′≥BE，
∴當(dāng)點M，N′在BE上時BM+MN最小=BE，
∵∠CAB=45°，BE⊥AC
∴∠EBA=180°-90°-45°=45°=∠CAB，
∴AE=BE，
∴△AEB為等腰直角三角形，
∴AE2+BE2=2BE2=AB2，
∴BE=22AB=22×42=4，
∴BM+MN最小=4；
（4）作點B關(guān)于AC對稱點B′，作射線DB′交AC與P，連接BP，
∵點B與點B′關(guān)于AC對稱，
∴PB=PB′，
∵PE⊥BB′
∴PE平分∠BPB′，
∴∠APB=∠APD．
【提優(yōu)突破】本題考查尺規(guī)作圖，軸對稱性質(zhì)，兩點之間線段最短，正方形性質(zhì)，勾股定理，圓心角，圓周角弧弦的關(guān)系，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，掌握尺規(guī)作圖，軸對稱性質(zhì)，兩點之間線段最短，正方形性質(zhì)，勾股定理，圓心角，圓周角弧弦的關(guān)系，等腰直角三角形判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

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