專題4.5 線圓最值（隱圓壓軸二）（題型專練）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)《重難點(diǎn)題型》（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)：線圓最值
已知?O及直線l，?O的半徑為r，點(diǎn)Q為?O上一點(diǎn)，圓心O與直線l之間的距離為d.
拓展：在解決某些面積最值問題時(shí)，常利用此模型，將問題轉(zhuǎn)化為求動(dòng)點(diǎn)到定邊的最大（?。┚嚯x，進(jìn)而利用面積公式求解
【典例1】如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且EP＝AE，連接CP，PD，則△PCD面積的最小值為．
【答案】3
【解答】解：∵BC＝2AB＝4，
∴AB＝2，
?點(diǎn)E是AB 的中點(diǎn)，
∴AE＝BE＝1．；
∴點(diǎn)P在以點(diǎn)E為圓心，1為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，
過點(diǎn) P作PQ⊥CD 于點(diǎn)Q，
過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，
則＝PQ，
∴當(dāng)PQ最小時(shí)，△PCD 的面積取得最小值?EP+PQ≥EF，
當(dāng)E，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，PQ取得最小值，最小值為EF﹣EP的值；
∴四邊形ABCD是矩形，
∴EF＝BC＝4，
∴PQ最?。紼F﹣EP＝3，
∴S△PCD最?。絇Q最小＝3，
故答案為：3．
【變式1-1】（2022?觀山湖區(qū)一模）如圖，點(diǎn)P是正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn)，AB＝4，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，連接PD，則線段PD的最小值是（）
A．B．C．6D．
【解答】解：∵AB＝4，∠APB＝90°，
∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧上，
如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接OD，當(dāng)O、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，PD有最小值，
連接BD，過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，
∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，
∴OA＝OB＝OP＝4÷2＝2，
∵正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為180°×（6﹣2）÷6＝120°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，BD＝2BH，
∴∠OBD＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△CBH中，CH＝＝2，BH＝，
∴BD＝，
在Rt△OBD中，OD＝＝，
∴PD的最小值為OD﹣OP＝．
故選：B．
【變式1-2】（安徽一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD交以CD為直徑的圓于點(diǎn)E．則線段BE長度的最小值為（）
A．1B．C．D．
【解答】解：如圖，作以AC為直徑的圓，圓心為O
∵E點(diǎn)在以CD為直徑的圓上
∴∠CED＝90°
∴∠AEC＝180°﹣∠CED＝90°
∴點(diǎn)E也在以AC為直徑的圓上，
可得當(dāng)O、E、B三點(diǎn)共線時(shí)，BE是最短，
∵AC＝8，
∴OC＝4
∵BC＝3，∠ACB＝90°
∴OB＝＝＝5
∵OE＝OC＝4
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣4＝1
故選：A．
【典例2】如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝6，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，且BD＝2AD，DE∥BC，點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，連接BM，CM．將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，△BMC面積的最大值為．
【答案】12．
【解答】解：連接AM，交BC于H，.
∵AB＝AC，AD＝AE，點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，
∴AM⊥DE，AH⊥BC，
將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，即M'、M、H在同一直線上時(shí)，△BMC面積取最大值．
∵AB＝AC＝6，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，且BD＝2AD，
∴AD＝AE＝2，BH＝＝＝3，
∴AM＝AD＝＝，
∴AM'＝，
∴M'H＝＝4，
此時(shí)，△BMC面積＝＝＝12．
故答案為：12．
【變式2-1】（思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，BC＝2，點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中始終有∠BAC＝45°，則△ABC面積的最大值為．
【解答】解：如圖，△ABC的外接圓⊙O，連接OB、OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
過點(diǎn)O作OD⊥BC，垂足為D，
∵OB＝OC，
∴BD＝CD＝BC＝1，
∵∠BOC＝90°，OD⊥BC，
∴OD＝BC＝1，
∴OB＝＝，
∵BC＝2保持不變，
∴BC邊上的高越大，則△ABC的面積越大，當(dāng)高過圓心時(shí)，最大，
此時(shí)BC邊上的高為：+1，
∴△ABC的最大面積是：×2×（+1）＝+1．
故答案為：+1．
【變式2-2】如圖，直線分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)M，N．點(diǎn)P在平面內(nèi)．∠MPN＝90°，點(diǎn)C（0，3），則PC長度的最小值是 1 ．
【答案】1．
【解答】解：∵點(diǎn)P在平面內(nèi)．∠MPN＝90°，
∴點(diǎn)P在以MN為直徑的圓上，
如圖，以MN為直徑作⊙E，連接EC并延長交⊙E于點(diǎn)P′，
此時(shí)，PC長度最小為P′C，
∵直線分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)M，N，
∴M（﹣8，0），N（0，6），
∴OM＝8，ON＝6，
在Rt△MON中，MN＝＝＝10，
∴EM＝EN＝EP′＝＝5，
∵M(jìn)（﹣8，0），N（0，6），點(diǎn)E為MN的中點(diǎn)，
∴E（﹣4，3），
∵C（0，3），
∴CE＝4，
∴P′C＝EP′﹣CE＝5﹣4＝1，
∴PC長度的最小值是1．
故答案為：1．
【變式2-3】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在半圓的中點(diǎn)，且BC＝4cm，點(diǎn)D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，過C點(diǎn)作CH⊥BD于H，連接AH，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，AH長度的最小值是 2﹣2 ．
【答案】2﹣2．
【解答】解：連接AC，取BC的中點(diǎn)T，連接AT，TH．
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵點(diǎn)C在半圓的中點(diǎn)，
∴＝，
∴AC＝CB＝4，
∵CT＝TB＝2，
∴AT＝＝＝2，
∵CH⊥BD，
∴∠CHB＝90°，
∴點(diǎn)H在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∵CT＝TB，
∴HT＝BC＝2，
∵AH≥AT﹣HT＝2﹣2，
∴AH的最小值為2﹣2，
故答案為：2﹣2．
【典例3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠BPC＝90°，連接AP，PD，則△APD面積的最小值為．
【答案】2
【解答】解：∵∠BPC＝90°，
∴點(diǎn)P在以BC為直徑的圓上，
即點(diǎn)P到BC的最大距離為2，
∴點(diǎn)P到AD的最小值＝3﹣×4＝1，
∴S△APD＝×4×1＝2，
∴△APD面積的最小值為2．
故答案為：2．
【變式3-1】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，連接PF、EF，則FC的最小值是，點(diǎn)F到線段BC的最短距離是．
【解答】解：連接CE，作EG⊥BC于G，
∵AE＝EF＝2，
∴點(diǎn)F在以E為圓心，AE為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，
CE＝＝＝2，
∴FC的最小值為CE﹣2＝2﹣2，
∵∠DAB＝∠ABC＝∠BGE＝90°，
∴四邊形ABGE是矩形，
∴EG＝AB＝4，
∴點(diǎn)F到線段BC的最短距離是2，
故答案為：2﹣2，2．
【變式3-2】如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，則當(dāng)線段DP最短時(shí)，CP＝．
【解答】解：以AB為直徑作半圓O，連接OD，與半圓O交于點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P與P′重合時(shí)，DP最短，
則AO＝OP′＝OB＝AB＝2，
∵AD＝2，∠BAD＝90°，
∴OD＝2，∠ADO＝∠AOD＝∠ODC＝45°，
∴DP′＝OD﹣OP′＝2﹣2，
過P′作P′E⊥CD于點(diǎn)E，則
P′E＝DE＝DP′＝2﹣，
∴CE＝CD﹣DE＝+2，
∴CP′＝．
故答案為：2．
【變式3-3】（2022?邗江區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BP為直徑的圓交CP于點(diǎn)Q，若線段AQ長度的最小值是4，則△ABC的面積為．
【解答】解：如圖，取BC的中點(diǎn)T，連接AT，QT，BQ．
∵PB是⊙O的直徑，
∴∠PQB＝∠CQB＝90°，
∴QT＝BC＝定值，AT是定值，
∵AQ≥AT﹣TQ，
∴當(dāng)A，Q，T共線時(shí)，AQ的值最小，設(shè)BT＝TQ＝x，
在Rt△ABT中，則有（4+x）2＝x2+82，
解得x＝6，
∴BC＝2x＝12，
∴S△ABC＝AB?BC＝×8×12＝48，
故答案為：48．
【變式3-4】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為AE中點(diǎn)，G為DE上一點(diǎn)，BF＝FG，則CG的最小值為 ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：如圖1，連接AG，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，DC＝AB＝3，
∵F是AE的中點(diǎn)，
∴BF＝AE＝AF＝EF，
∵BF＝FG，
∴AF＝FG＝EF，
∴∠AGE＝∠AGD＝90°，
∴點(diǎn)G在以AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取AD的中點(diǎn)O，連接OG，
當(dāng)O，G，C三點(diǎn)共線時(shí)，CG的值最小，如圖2所示，
∴OD＝OG＝2，
∴OC＝＝，
∴CG的最小值為﹣2．
故答案為：﹣2．
【變式3-5】矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，點(diǎn)P為矩形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．且滿足∠PBC＝∠PCD，則線段PD的最小值為 ﹣3 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠PCD+∠PBC＝90°，
∵∠PBC＝∠PCD，
∴∠PBC+∠PBC＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴P點(diǎn)在以BC為直徑的圓上，設(shè)圓心為O，
∵BC＝6，
∴CO＝3，
∵CD＝2，
∴DO＝，
∴PD的最小值為﹣3，
故答案為：﹣3．
【變式3-6】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝8，D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CM⊥AD于M，連接BM，則BM的最小值是 4 ．
【答案】4．
【解答】解：如圖，以AC為直徑作⊙O，
∵CM⊥AD，
∴∠AMC＝90°，
∴點(diǎn)M在⊙O的上半圓上，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、M、O三點(diǎn)共線時(shí)，BM最小，
∵OC＝AC＝×12＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，
∴OB＝＝＝10，
∵OM＝OC＝6，
∴BM＝OB﹣OM＝10﹣6＝4，
即BM的最小值是4，
故答案為：4．
【典例4】如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN，連接A'B，A'C，則△A'BC面積的最小值為．
【答案】﹣1
【解答】解：如圖，
由折疊知A'M＝AM，
又∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，
∴MA＝MA'＝MD，
點(diǎn)A'的運(yùn)動(dòng)軌跡就是在以點(diǎn)M為圓心，MA長為半徑的上，
過點(diǎn)M作ME⊥BC于點(diǎn)E，連接BD，
在菱形ABCD中，
∵AD＝AB，∠A＝60°，
∴△ABD是等邊三角形．
∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，
∴EM＝，
設(shè)點(diǎn)A'到BC的距離為h，當(dāng)點(diǎn)A'在ME上時(shí)，h取得最小值，最小值為EM﹣A'M＝﹣1，
∴△A'BC面積的最小值為＝BC?h＝×2×（﹣1）＝﹣1，
故答案為：﹣1．
【變式4-1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，點(diǎn)D在邊BC上．將△ACD沿AD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，連接BC′，則BC′的最小值為．
【答案】3．
【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3，
∴，
由折疊的性質(zhì)可知AC＝AC'＝3，
∵BC'≥AB﹣AC'，
∴當(dāng)A、C′、B三點(diǎn)在同一條直線時(shí)，BC'取最小值，最小值即為，
故答案為．
【典例5】如圖，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E是平面內(nèi)一點(diǎn)，且DE＝1，連接AE，CE，則四邊形ABCE面積的最大值為．
【答案】
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝．
經(jīng)分析，當(dāng)DE⊥AC于D時(shí)，四邊形ABCE面積的最大．
∴四邊形ABCE面積的最大值為S四邊形ABCE＝S△ABC+S△ACE＝DE＝＝．
故答案為：．
【變式5-1】如圖，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P是射線AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在BP上，且滿足∠BCQ＝∠BPC，則線段CQ的最小值為（）?
A．B．1C．D．
【答案】C
【解答】解：如圖，連接AQ，
∵∠BCQ＝∠BPC，且∠CBQ＝∠PBC，
∴△BCQ∽△BPC，
∴BQ：BC＝BC：BP，
∵AB＝BC，
∴BQ：AB＝AB：BP，
∵∠ABQ＝∠PBA，
∴△ABQ∽△PBA，
∴∠AQB＝∠BAP＝90°，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是在以AB為直徑的圓上，
如圖，取AB中點(diǎn)O，連接OC交⊙O于Q，則CQ此時(shí)最小，
∵BC＝2，
∴OB＝1，
∴OC＝＝，
∵OQ＝1，
∴CQ＝﹣1．
故選：C．
【變式5-2】如圖，正方形ABCD的邊長為5，以C為圓心，2為半徑作⊙C．點(diǎn)P為⊙C上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，并將BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BP'，連接CP'．在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，CP'長度的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：連接P'A，PC，
∵∠ABC＝∠P'BP＝90°，
∴∠P'BA＝∠PBC，
∵BP'＝BP，BA＝BC，
∴△P'BA≌△PBC（SAS）．
∴P'A＝PC＝2，
∴P'在以A為圓心，2為半徑的圓上，
連接AC，則當(dāng)P'在CA的延長線上時(shí)，P'C最長，
此時(shí)P'C＝P'A+AC＝2+＝5+2，
故選：A．
【變式5-3】在△ABC中，若O為BC邊的中點(diǎn)，則必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，點(diǎn)M在以半徑為2的⊙D上運(yùn)動(dòng)，則MF2+MG2的最大值為（）
A．104B．116C．120D．100
【答案】B
【解答】解：取GF的中點(diǎn)O，連接OM，OD，DM．
∵四邊形DEFG是矩形，
∴∠DGO＝90°，DG＝EF＝4，F(xiàn)G＝DE＝6，
∵M(jìn)G2+MF2＝2GO2+2OM2，
∵OG＝OF＝3，
∴OM的值最大時(shí)，MG2+MF2的值最大，
∵DM＝2，OD＝＝＝5，
∴OM≤OD+DM＝5+2＝7，
∴OM的最大值為7，
∴MG2+MF2的最大值＝2×32+2×72＝116，
故選：B．
【變式5-4】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠BCD＝90°，AB＝12，BC＝16．點(diǎn)M是AB上一點(diǎn)，AM＝4，點(diǎn)N是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且DN＝5，連接CN，MN．
（1）當(dāng)M，N，D三點(diǎn)共線時(shí)，求MN的長；
（2）求四邊形BCNM面積的最小值．
【解答】解：（1）延長DA到F，作MG⊥AF于G，AE⊥BC于E，
∵∠B＝60°，AB＝12，
∴BE＝6．
∴AD＝EC＝10，
∵AM＝4，∠AMG＝30°，
∴AG＝2，MG＝2，
∴DG＝12，
∵DM2＝DG2+MG2，
∴DM2＝122+（2）2，
∴DM＝2，
∴MN＝2﹣5；
（2）取BC中點(diǎn)K，連接MC，MK，作NH⊥MC于H，DL⊥MC于L，
∵∠B＝60°，BM＝BK＝8，
∴△MBK是等邊三角形，
∴MK＝KC＝6，
∠MKB＝60°，
∴∠KMC＝∠MCK＝30°，
∴∠BMC＝90°
∴MC＝8，
∴S△MBC＝MC?MB＝32，
∴當(dāng)△NMC面積最小時(shí)，四邊形MBCN面積最小，
∵DN＝5，
∴當(dāng)D，N，H三點(diǎn)共線時(shí)，NH最小，
△NMC面積最小，
由（1）知DC＝AE＝6，
∴DL＝DC＝9，
∴NH最小值為：4，
∴S△NMC的最小值為：CM?NH＝16，
∴四邊形MBCN面積最小值為：32+16＝48．
位置關(guān)系
直線與?O相離
直線與?O相切
直線與?O相交
圖示
點(diǎn)Q到直線l距離的最大值
d＋r
2r
d＋r
此時(shí)點(diǎn)Q的位置
過點(diǎn)O作直線l的垂線，其反向延長線與?O的交點(diǎn)，即為點(diǎn)Q
點(diǎn)Q到直線l距離的最小值
d－r
0
r－d
此時(shí)點(diǎn)Q的位置
過點(diǎn)O作直線l的垂線，與?O的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q

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