TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22003" 【考點(diǎn)1 分式有意義的條件】 PAGEREF _Tc22003 \h 1
\l "_Tc4799" 【考點(diǎn)2 分式的基本性質(zhì)的運(yùn)用（擴(kuò)大或縮小倍數(shù)）】 PAGEREF _Tc4799 \h 2
\l "_Tc3541" 【考點(diǎn)3 分式的值為整數(shù)】 PAGEREF _Tc3541 \h 2
\l "_Tc7960" 【考點(diǎn)4 分式的值為正數(shù)或負(fù)數(shù)】 PAGEREF _Tc7960 \h 3
\l "_Tc24303" 【考點(diǎn)5 分式的化簡(jiǎn)求值綜合運(yùn)算（非負(fù)性與二元一次方程組）】 PAGEREF _Tc24303 \h 3
\l "_Tc4856" 【考點(diǎn)6 分式的化簡(jiǎn)求值綜合運(yùn)算（不等式組）】 PAGEREF _Tc4856 \h 3
\l "_Tc28900" 【考點(diǎn)7 分式的混合運(yùn)算（作差法比較大?。?PAGEREF _Tc28900 \h 4
\l "_Tc10999" 【考點(diǎn)8 分式的化簡(jiǎn)求值（裂項(xiàng)相消）】 PAGEREF _Tc10999 \h 5
\l "_Tc31588" 【考點(diǎn)9 分式的化簡(jiǎn)求值綜合運(yùn)算（通分代入）】 PAGEREF _Tc31588 \h 6
\l "_Tc24476" 【考點(diǎn)10 分式的化簡(jiǎn)求值（倒數(shù)法）】 PAGEREF _Tc24476 \h 6
\l "_Tc32295" 【考點(diǎn)11 解分式方程的運(yùn)用（增根問題）】 PAGEREF _Tc32295 \h 8
\l "_Tc7647" 【考點(diǎn)12 解分式方程的運(yùn)用（無解問題）】 PAGEREF _Tc7647 \h 8
\l "_Tc30175" 【考點(diǎn)13 分式的混合運(yùn)算（規(guī)律問題）】 PAGEREF _Tc30175 \h 9
\l "_Tc3292" 【考點(diǎn)14 解分式方程與不等式組】 PAGEREF _Tc3292 \h 10
\l "_Tc23965" 【考點(diǎn)15 解分式方程的運(yùn)用（新定義問題）】 PAGEREF _Tc23965 \h 10
\l "_Tc4637" 【考點(diǎn)16 分式方程的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc4637 \h 11
【考點(diǎn)1 分式有意義的條件】
【例1】（2022·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)期末）下列各式中，無論x為何實(shí)數(shù)，分式都有意義的是：（ ）
A．12x+1B．x+1x2+1C．3x+1x2D．x2?1x?1
【變式1-1】（2022·山東臨沂·八年級(jí)期末）已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，式子x?2x2?4x+m都有意義，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．m>4B．m-2B．x-2且x≠1D．x>1
【變式4-1】（2022·新疆·克拉瑪依市白堿灘區(qū)教育局八年級(jí)期末）分式23?4x的值為負(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______
【變式4-2】（2022·上?！て吣昙?jí)期末）若分式a2a?1的值總是正數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)>0B．a(chǎn)>12C．00.75
【分析】根據(jù)題意易得3?4x34．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的值及一元一次不等式的解法，熟練掌握分式的值及一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2022·上?！て吣昙?jí)期末）若分式a2a?1的值總是正數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)>0B．a(chǎn)>12C．00;或當(dāng)a?0時(shí),2a?1?0,再分別解不等式可得．
【詳解】若分式a2a?1的值總是正數(shù)：
當(dāng)a>0時(shí)，2a?1>0，解得a>12;
當(dāng)a?0時(shí)，2a?1?0，解得a6.
【分析】根據(jù)分式的值為負(fù)數(shù)，分子的最小值為1，得出分母小于0列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范圍．
【詳解】∵x2+16?x6
【點(diǎn)睛】本題考查分式的值.分式的值要為負(fù)，那么分母和分子必須異號(hào)，在本題中分子已經(jīng)為正，那么分母只能為負(fù).
【考點(diǎn)5 分式的化簡(jiǎn)求值綜合運(yùn)算（非負(fù)性與二元一次方程組）】
【例5】（2022·廣西·柳州二十五中八年級(jí)期末）已知x2?10x+25與y?3互為相反數(shù)，求y2x?y2?x2+y2?2xyy3÷x2?y2x+y的值．
【答案】32
【分析】先化簡(jiǎn)分式，再由x2?10x+25與y?3互為相反數(shù)得x、y的值，代入即可求解；
【詳解】解：原式=y4x?y2?x?y2y3?x+yx+yx?y
=yx?y
∵x2?10x+25與y?3互為相反數(shù)，
∴x2?10x+25+y?3=0，
∴x?52+y?3=0，
∴x=5，y=3，
∴原式=35?3=32．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值、相反數(shù)的應(yīng)用，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2022·山東·東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x、y滿足x?3+y2?4y+4=0，求代數(shù)式x2?y2xy·1x2?2xy+y2 ÷xx2y?xy2的值．
【答案】53
【分析】根據(jù)分式的乘除法法則把原式化簡(jiǎn)，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出x、y，代入計(jì)算即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，則
∵x?3+y2?4y+4=0，
∴x?3+(y?2)2=0，
∴x?3=0，y?2=0，
∴x=3，y=2；
∴x2?y2xy·1x2?2xy+y2 ÷xx2y?xy2
=(x+y)(x?y)xy×1(x?y)2×xy(x?y)x
=x+yx
∴x+yx=3+23=53；
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除運(yùn)算，以及求代數(shù)式的值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則，正確的進(jìn)行化簡(jiǎn)．
【變式5-2】（2022·四川·九年級(jí)專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x、y滿足x?3+y2?4y+4=0，求代數(shù)式x2?y2xy?1x2?2xy+y2÷xx2y?xy2的值．
【答案】53
【分析】根據(jù)分式的乘除法法則把原式化簡(jiǎn)，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出x、y，代入計(jì)算即可．
【詳解】解：x2?y2xy?1x2?2xy+y2÷xx2y?xy2
=(x+y)(x?y)xy?1(x?y)2?xy(x?y)x
=x+yx，
∵x?3+y2?4y+4=0，
∴x?3+(y?2)2=0，
∴x=3，y=2，
∴原式=3+23=53．
【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2022·江西贛州·八年級(jí)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：x2?2xy+y2x2?y2÷x2?xyx?2x+y，其中實(shí)數(shù)x、y滿足y=x?2?2?x?1．
【答案】化簡(jiǎn)的結(jié)果為?1x+y；值為-1
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件分別求出x、y，根據(jù)分式混合運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn)，把x、y代入計(jì)算即可
【詳解】解：要使x?2有意義，必須x?2≥0，即x≥2
同理：2?x≥0，即x≤2
∴ x=2
∴ y=-1
原式=(x?y)2(x?y)(x+y)÷x(x?y)x?2x+y
=x?yx+y×1x?y?2x+y
=1x+y?2x+y
=-1x+y
=-12?1
=-1
【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值、二次根式有意義的條件，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
【考點(diǎn)6 分式的化簡(jiǎn)求值綜合運(yùn)算（不等式組）】
【例6】（2022·山東菏澤·八年級(jí)期末）先化簡(jiǎn)xx?5?x5?x÷2xx2?25，然后再?gòu)牟坏冉M?x?2≤3，2x

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10.1 分式

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