期末高頻壓軸必殺題-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《同步考點(diǎn)解讀?專題訓(xùn)練》（北師大版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：如圖，連接AE，設(shè)FM交AC于點(diǎn)I，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CBD＝∠CDB＝45°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴點(diǎn)E到AB，BC的距離相等，
故①正確；
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，∠BAE＝∠BCE，
∵EF⊥CE，
∴∠CEF＝∠MEF＝90°，
∴∠BCE+∠BFE＝180°，
∵∠EFA+∠BFE＝180°，
∴∠BCE＝∠EFA，
∴∠BAE＝∠EFA，
∴AE＝FE，
∴CE＝FE，
∴∠FCE＝∠CFE＝45°，
故②正確；
∵AD∥BC，
∴∠DME＝∠BCE＝∠BAE，
∵∠MDE＝∠ABE，
∴△MDE∽△ABE，
∴＝，
∴＝，
∵∠MEF＝∠MDC，
∴△MEF∽△MDC，
∴∠DMC＝∠FMC，
故③正確；
作FL⊥BD于點(diǎn)L，則∠BLF＝90°，設(shè)BL＝x，
∴∠LFB＝∠LBF＝45°，
∴FL＝BL＝x，
∵BF2＝BL2+FL2＝2BL2，
∴BF＝x，
∵AD＝CD＝BC＝4，DM＝2，
∴CM＝＝2，BD＝＝4，
∵△DEM∽△BEC，
∴＝＝＝＝，
∴FE＝CE＝CM＝，BE＝BD＝，
∵EL＝＝＝，
∴x+＝，
解得x1＝，x2＝2（不符合題意，舍去），
∴BF＝×＝≠，
故④錯(cuò)誤，
故選：C．
2．如圖，在正方形ABCD中，P是AC上一點(diǎn)，且CP＝，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC上，∠EPF＝90°，PE＝3PF，則線段AP的長(zhǎng)是（）
A．2B．2C．3D．3
【答案】D
【解答】解：如圖所示，連接EF，連接BP并延長(zhǎng)交CD于G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC，∠ABC＝∠BCG＝90°，AB∥CD，
∵∠EPF＝90°，
∴∠EBF+∠EPF＝180°，
∴B、E、P、F四點(diǎn)共圓，
∴∠PBF＝∠PEF，
∴tan∠CBG＝tan∠PEF＝＝＝，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴△ABP∽△CGP，
∴＝＝3，
∴AP＝3CP＝3，
故選：D．
3．如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為12，里面有2個(gè)小正方形，各邊的頂點(diǎn)都在大正方形的邊上的對(duì)角線或邊上，它們的面積分別是S1，S2，則S1+S2＝（）
A．68B．72C．64D．70
【答案】A
【解答】解：如圖，由正方形的性質(zhì)，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°，
所以，四個(gè)角所在的三角形都是等腰直角三角形，
∵正方形的邊長(zhǎng)為12，
∴AC＝12，
∴兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)分別為×12＝4，×12＝6，
∴S1+S2＝（4）2+62＝32+36＝68．
故選：A．
4．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AE：BE＝3：4，BD與CE交于O，下列結(jié)論：①＝；②＝；③＝；④＝．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：∵AE：BE＝3：4，
∴，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴，＝，
則①，②錯(cuò)誤；
∵DE∥BC，
∴△EOD∽△COB，
∴＝，
則③正確；
∵△EOD∽△COB，
∴，
∴，
∴，
則④正確；
故選：B．
5．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在DC，BC上，BF＝CE＝4，連接AE、DF，AE與DF相交于點(diǎn)G，連接AF，取AF的中點(diǎn)H，連接HG，則HG的長(zhǎng)為（）
A．B．C．5D．2
【答案】B
【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ADE＝∠C＝90°，AD＝DC＝BC，
∵BF＝CE，
∴CF＝DE，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠CDF+∠DEA＝90°，
∴∠AGF＝∠DGE＝90°，
∵點(diǎn)H為AF的中點(diǎn)，
∴GH＝AF，
∵AB＝6，BF＝4，
∴AF＝，
∴GH＝，
故選：B．
填空題
6．如圖，菱形ABCD中，AB＝AC，點(diǎn)E、F分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且AE＝BF，連接CE、AF交于點(diǎn)H，連接DH交AC于點(diǎn)O，∠CHD＝60°．則下列結(jié)論：①△ABF≌△CAE，②∠AHC＝120°，③AH+CH＝DH，④AD2＝OD?DH中，正確的是．
【答案】①②③④
【解答】解：①∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
即△ABC是等邊三角形，
同理：△ADC是等邊三角形
∴∠B＝∠EAC＝60°，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
故①正確；
②由①得∠BAF＝∠ACE，
∵∠AEH＝∠B+∠BCE，
∴∠AHC＝∠BAF+∠AEH＝∠BAF+∠B+∠BCE＝∠B+∠ACE+∠BCE＝∠B+∠ACB＝60°+60°＝120°；
故②正確；
③在HD上截取HK＝AH，連接AK，
∵∠AHC+∠ADC＝120°+60°＝180°，
∴點(diǎn)A，H，C，D四點(diǎn)共圓，
∴∠AHD＝∠ACD＝60°，∠ACH＝∠ADH，
∴△AHK是等邊三角形，
∴AK＝AH，∠AKH＝60°，
∴∠AKD＝∠AHC＝120°，
在△AKD和△AHC中，
，
∴△AKD≌△AHC（AAS），
∴CH＝DK，
∴DH＝HK+DK＝AH+CH；
故③正確；
④∵∠OAD＝∠AHD＝60°，∠ODA＝∠ADH，
∴△OAD∽△AHD，
∴AD：DH＝OD：AD，
∴AD2＝OD?DH．
故④正確．
故答案為：①②③④．
7．如圖，在矩形ABCD中，線段EF在AB邊上，以EF為邊在矩形ABCD內(nèi)部作正方形EFGH，連結(jié)AH，CG．若AB＝10，AD＝6，EF＝4，則AH+CG的最小值為．
【答案】6
【解答】解：方法一：如圖，延長(zhǎng)DA至A′，使A′A＝EH＝EF＝4，連接A′E，EG，
∵HE⊥AB，AA′⊥AB，
∴AA′∥EH，
∵A′A＝EH，
∴四邊形AA′EH是平行四邊形，
∴A′E＝AH，
則AH+CG的最小值即為A′E+CG的最小值，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴EF＝FG＝4，
∴EG＝4，
∵A′D＝AD+AA′＝6+4＝10，
在Rt△A′DC中，DC＝AB＝10，
∴A′C＝＝10，
∴A′E+CG＝A′C﹣EG＝6．
則AH+CG的最小值為6．
方法二：如圖，過(guò)點(diǎn)G作GA′∥AH交AF于點(diǎn)A′，
∴四邊形AHGA′是平行四邊形，
∴AA′＝HG＝4，A′G＝AH，
∴A′B＝AB﹣AA′＝6，
∵BC＝6，
∴A′C＝6，
∴AH+CG＝A′G+CG≥A′C，
則AH+CG的最小值為6．
故答案為：6．
8．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，若AC＝20，BD＝10，則EF的最小值為．
【答案】2
【解答】解：連接OP，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BO＝BD＝5，
∴AB＝＝5，
∵PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，
∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四邊形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
∵當(dāng)OP取最小值時(shí)，EF的值最小，
∴當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP最小，
∴S△ABO＝OA?OB＝AB?OP，
∴OP＝＝2，
∴EF的最小值為2，
故答案為：2．
9．如圖，點(diǎn)A在雙曲線y＝上，點(diǎn)B在雙曲線y＝上，AB∥x軸，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，連接OB，與AD相交于點(diǎn)C，若AB＝2OD，則k的值為．
【答案】18
【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，延長(zhǎng)線段BA，交y軸于F，
∵AB∥x軸，
∴AF⊥y軸，
∴四邊形AFOD是矩形，四邊形OEBF是矩形，
∴AF＝OD，BF＝OE，
∴AB＝DE，
∵點(diǎn)A在雙曲線y＝上，
∴S矩形AFOD＝6，
同理S矩形OEBF＝k，
∵AB＝2OD，
∴DE＝2OD，
∴S矩形OEBF＝3S矩形AFOD＝18，
∴k＝18，
故答案是：18．
10．如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)C，D在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，AC∥BD∥y軸，已知點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為2，4，△OAC與△ABD的面積之和為3，則k的值為．
【答案】5
【解答】解：∵點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為2，4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，），
∵AC∥BD∥y軸，
∴點(diǎn)C，D的橫坐標(biāo)分別為2，4，
∵點(diǎn)C，D在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，），
∴AC＝﹣，BD＝，
∴S△OAC＝（﹣）×2＝，S△ABD＝?×（4﹣2）＝，
∵△OAC與△ABD的面積之和為3，
∴+＝3，
解得：k＝5．
故答案為：5．
11．如圖，在正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．在下列結(jié)論中：
①DE＝EF；
②△DAE≌△DCG；
③AC⊥CG；
④CE＝CF．
其中正確的結(jié)論序號(hào)是．
【答案】①②③
【解答】解：過(guò)E作EM⊥BC于M點(diǎn)，過(guò)E作EN⊥CD于N點(diǎn)，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四邊形EMCN為正方形，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，故①正確；
∴矩形DEFG為正方形；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正確；
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠ACG＝90°，
∴AC⊥CG，故③正確；
當(dāng)DE⊥AC時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，
∴CE不一定等于CF，故④錯(cuò)誤，
綜上所述：①②③．
故答案為：①②③．
12．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AD于點(diǎn)E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H．給出下列結(jié)論：①CF＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DF＝DH；④DH2＝PH?PB．其中正確的是．
【答案】①②④
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，△PBC是等邊三角形，
∴BC＝CD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，BC＝PC＝PB，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝90°﹣60°＝30°，∠DCP＝∠BCD﹣∠PCB＝90°﹣60°＝30°，PC＝CD，
∴BE＝2AE，
∵EF∥BC，
∴△EFP∽△BCP，
∴△EFP是等邊三角形，
∴BE＝CF，
∴CF＝2AE．
∴①符合題意；
∴∵∠PDC＝∠DPC＝75°，
∴∠FDP＝∠FDC﹣∠PDF＝90°﹣75°＝15°，
∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠ADB＝45°，
∴∠PBH＝∠PBC﹣∠DBC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠FDP＝∠PBH，
∵AD∥BC，
∴∠DFP＝∠PCB＝60°，
∴∠DFP＝∠BPH＝60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴②符合題意；
∵∠ADB＝45°，∠FDP＝15°，
∴∠PDH＝45°﹣15°＝30°，
∴∠DHP＝180°﹣∠DPH﹣∠PDH＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∵∠DFP＝60°，
∴DF≠DH，
∴③不符合題意；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠CPD，
∴△PDH∽△PCD，
∴，
∵PC＝PB，
∴，
∴PD2＝PH?PB，
∵∠PDC＝∠DPC＝75°，
∴DH＝PD，
∴DH2＝PH?PB．
∴④符合題意；
故答案為：①②④．
13．如圖，點(diǎn)F，G分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，E為AB中點(diǎn)，連結(jié)ED，正方形FGQP的邊PQ恰好在DE上，記正方形ABCD面積為S1，正方形FPQG面積為S2，則S1：S2的值為．
【答案】
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠A＝∠ADG＝∠C＝90°，
∵四邊形FGQP是正方形，
∴∠PQG＝∠DQG＝90°，∠QGF＝90°，
∴∠ADE+∠QDG＝∠QDG+∠DGQ＝90°，
∴∠ADE＝∠DGQ，
∵∠A＝∠DQG＝90°，
∴△ADE∽△QGD，
∴＝，
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，
則AD＝DC＝AB＝2a，
∵E為AB中點(diǎn)，
∴AE＝a，
∴＝＝2，
設(shè)正方形FGQP的邊長(zhǎng)為2b，
則FG＝QG＝2b，QD＝b，
∴DG＝＝＝b，
∵∠DGQ+∠FGC＝90°＝∠DGQ+∠GDQ，
∴∠GDQ＝∠FGC，
∴cs∠GDQ＝cs∠FGC＝＝，
∴＝，
∴GC＝b，
∵DC＝2a＝b+b，
∴2a＝b，
∴S1：S2＝b2×＝，
故答案為：．
14．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別在邊AB、AD、CD上，EG與BF交于點(diǎn)P，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，則DP的最小值為．
【答案】2﹣2
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥CD于點(diǎn)M，取BE的中點(diǎn)Q，連接QP、QD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠A＝∠ADC＝∠DME＝90°，AB∥CD，
∴四邊形ADME是矩形，
∴EM＝AD＝AB，
在Rt△BAF和Rt△EMG中，
，
∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），
∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，
∵AB∥CD，
∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB，
∵∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠ABF+∠BEG＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴BF⊥EG，
∵△EPB是直角三角形，Q是BE的中點(diǎn)，
∴QP＝BE，
∵AB＝6，AE＝2，
∴BE＝6﹣2＝4，
∴QB＝QE＝2，
∵QD﹣QP≤DP，
∴當(dāng)Q、D、P共線時(shí)，DP有最小值，
∵QP＝BE＝2，AQ＝AE+EQ＝2+2＝4，
∴QD＝＝＝2，
∴PD＝2﹣2，
∴PD的最小值為2﹣2．
故答案為：2﹣2．
15．如圖，矩形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，AE平分∠BAF，若AF＝5DF，F(xiàn)C＝3，則線段AE的長(zhǎng)為．
【答案】
【解答】解：如圖，延長(zhǎng)DC、AE交于點(diǎn)G，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE＝EC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠D＝90°，
∴∠BAE＝∠G，
在△ABE和GCE中，
，
∴△ABE≌△GCE（AAS），
∴AB＝CG，AE＝EG，
∵AE是∠BAF的角平分線．
∴∠BAE＝∠EAF，
∴∠G＝∠EAF，
∴AF＝FG，
∴EF⊥AG，
設(shè)DF＝x，
則FG＝AF＝5DF＝5x，
∴AB＝CD＝CG＝5x﹣3，
∴CD＝DF+CF＝x+3，
∴5x﹣3＝x+3，
解得x＝1.5，
∴AF＝5×1.5＝7.5，
∴∠D＝90°，
∴AD＝√7.52﹣1.52＝＝3，
在Rt△ADG中，
DG＝DF+FG＝1.5+AF＝1.5+7.5＝9，
∴AG＝＝3，
∴AE＝EG＝AG＝．
故答案為：．
16．如圖，點(diǎn)E在邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD邊CD上，F(xiàn)A⊥AE交CB的延長(zhǎng)線于F，連接EF，過(guò)點(diǎn)A作FE的垂線，與EF、BC分別交于點(diǎn)H、G．若BG＝3，則CE的長(zhǎng)為．
【答案】
【解答】解：如圖所示，連接EG，
由旋轉(zhuǎn)可得，△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，DE＝BF，
又∵AG⊥EF，
∴H為EF的中點(diǎn)，
∴AG垂直平分EF，
∴EG＝FG，
設(shè)CE＝x，則DE＝5﹣x＝BF，F(xiàn)G＝8﹣x，
∴EG＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，
即x2+22＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴CE的長(zhǎng)為，
故答案為：．
17．如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，連接CE，過(guò)點(diǎn)E作CE的垂線交AB于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接CF．已知AF＝，CF＝5，則EF＝．
【答案】
【解答】解：∵點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEG中，
，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF＝EG，AF＝DG＝，
∵CE⊥EF，
∴CF＝CG＝5，
∵∠G＝∠G，∠EDG＝∠CEG＝90°，
∴△EDG∽△CEG，
∴，
∴EG2＝DG?CG＝，
∴EG＝＝EF，
故答案為．
18．如圖，已知反比例函數(shù)y＝的圖象上有一組點(diǎn)B1，B2，……，Bn，它們的橫坐標(biāo)依次增加1，且點(diǎn)B1橫坐標(biāo)為1．“①，②，③……”分別表示如圖所示的三角形的面積，記S1＝①﹣②，S2＝②﹣③，……，則S1+S2+……+S2017＝．
【答案】
【解答】解：如圖，由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可知，△A1OB1、△A2OB2、△A3OB3、△A4OB4……的面積都等于|k|＝1，
又∵點(diǎn)B1，B2，……，Bn，它們的橫坐標(biāo)依次增加1，且點(diǎn)B1橫坐標(biāo)為1，
∴S△①＝|k|＝×2＝1，
S△②＝|k|×＝，
S△③＝|k|×＝，
S△④＝|k|×＝，
……
∴S1＝①﹣②＝1﹣，S2＝②﹣③＝﹣，……，
∴S1+S2+……+S2017＝1﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝，
故答案為：．
19．如圖，等邊△ABC的頂點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第一象限，連接OC，若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，則線段OC長(zhǎng)的最大值是．
【答案】1+
【解答】解：取AB的中點(diǎn)D，連接OD、CD，如圖所示，
∵△AOB為直角三角形，D為AB的中點(diǎn)，
∴OD＝AB，
∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)，
∴AB＝AC＝2，CD＝AC，
∴OD＝1，
∴CD＝，
在△OCD中，OC＜OD+CD．
當(dāng)點(diǎn)O、C、D三點(diǎn)共線時(shí)，OC＝OD+CD最大，
此時(shí)OC＝1+．
故答案為：1+．
解答題
20．【閱讀材料】
若x2+y2+8x﹣6y+25＝0，求x，y的值．
解：（x2+8x+16）+（y2﹣6y+9）＝0，（x+4）2+（y﹣3）2＝0，
∴x+4＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣4，y＝3．
【解決問(wèn)題】
（1）已知m2+n2﹣12n+10m+61＝0，求（m+n）2021的值；
【拓展應(yīng)用】
（2）已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且b，c滿足b2+c2＝8b+4c﹣20，a是△ABC中最長(zhǎng)的邊，求a的取值范圍．
【解答】解：（1）∵m2+n2﹣12n+10m+61＝0，
將61拆分為25和36，可得
（m2+10m+25）+（n2﹣12n+36）＝0，
根據(jù)完全平方公式得（m+5）2+（n﹣6）2＝0，
∴m+5＝0，n﹣6＝0，
∴m＝﹣5，n＝6，
∴（m+n）2021＝（﹣5+6）2021＝1．
（2）∵b2+c2＝8b+4c﹣20，
將61拆分為25和36，可得
b2+c2﹣8b﹣4c+20＝0，
根據(jù)完全平方公式得（b2﹣8b+16）+（c2﹣4c+4）＝0，
（b﹣4）2+（c﹣2）2＝0，
∴b﹣4＝0，c﹣2＝0，
∴b＝4，c＝2．
∵a是△ABC中最長(zhǎng)的邊，
∴4≤a＜6，即a的取值范圍為4≤a＜6．
21．如圖，在△AOB中，∠OAB＝90°，AO＝AB，OB＝2．一次函數(shù)交y軸于點(diǎn)C（0，﹣1），交反比例函數(shù)于A、D兩點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△OAD的面積；
（3）問(wèn)：在直角坐標(biāo)系中，是否存在一點(diǎn)P，使以O(shè)，A，D，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)PP的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）作AF垂直于x軸，垂足為點(diǎn)F，
∵AO＝AB，AF⊥OB，
∴，
∵∠OAB＝90°，AO＝AB，
∴∠AOB＝45°，
∴AF＝OF＝1，
∴點(diǎn)A（1，1），
設(shè)一次函數(shù)解析式為y1＝k1x+b，反比例函數(shù)解析式為，
將點(diǎn)A（1，1）和C（0，﹣1）代入y1＝k1x+b，
得y1＝2，b＝﹣1，
∴一次函數(shù)的解析式為y1＝2x﹣1．
將點(diǎn)A（1，1）代入，
得k2＝1，
∴反比例函數(shù)的解析式為，
即一次函數(shù)解析式為y1＝2x﹣1，反比例函數(shù)解析式為；
（2）將兩個(gè)函數(shù)聯(lián)立得，
整理得2x2﹣x﹣1＝0，
解得，x2＝1，
∴y1＝﹣2，y2＝1，
∴點(diǎn)，
∴，
即△OAD的面積為；
（3）存在，
①以O(shè)A為對(duì)角線時(shí)，
∵O（0，0），A（1，1），D（﹣，﹣2），
∴將A點(diǎn)向右平移個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到P點(diǎn)的坐標(biāo)，
即P（，3），
②以O(shè)D為對(duì)角線時(shí)，
∵O（0，0），A（1，1），D（﹣，﹣2），
∴將D點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到P點(diǎn)的坐標(biāo)，
即P（，﹣1），
③以AD為對(duì)角線時(shí)，
∵O（0，0），A（1，1），D（﹣，﹣2），
∴將D點(diǎn)向左平移1個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位得到P點(diǎn)的坐標(biāo)，
即P（﹣，﹣3），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，．
22．如圖，菱形OABC的點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（12，5），雙曲線y＝的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
（1）菱形OABC的邊長(zhǎng)為；
（2）求雙曲線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為D點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作直線l垂直于y軸，點(diǎn)P是直線l上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段AQ，若點(diǎn)Q恰好在雙曲線上，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）如圖1中，連接AC交OB于J．
∵四邊形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，AJ＝JC，OJ＝BJ，
∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（12，5），
∵JC＝AJ＝12，JO＝JB＝5，
∴OC＝＝＝13，
∴菱形OABC的邊長(zhǎng)為13，
故答案為：13．
（2）∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（12，5），
∴A（﹣12，5），
把A（﹣12，5）代入y＝中，得到k＝﹣60，
∴雙曲線的解析式為y＝﹣．
（3）如圖中，過(guò)點(diǎn)A作AT⊥PD于T，過(guò)點(diǎn)Q作QR⊥AT于R．
∵∠ATP＝∠QRA＝∠PAQ＝90°，
∴∠PAT+∠APT＝90°，∠PAT+∠QAR＝90°，
∴∠APT＝∠QAR，
∵AP＝AQ，
∴△ATP≌△QRA（AAS），
∴AT＝RQ＝15，
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3，
∴當(dāng)點(diǎn)Q落在雙曲線上時(shí)，Q（3，﹣20）．
23．如圖，正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接DE．過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．
（1）求證：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰為AB的中點(diǎn)，求正方形DEFG的面積．
【解答】（1）證明：如圖，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四邊形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF（ASA），
∴ED＝EF，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴四邊形DEFG是正方形；
（2）解：∵四邊形DEFG是正方形，四邊形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝6；
（3）解：連接DF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，AB∥CD，
∵F是AB中點(diǎn)，
∴AF＝FB＝，
∴DF＝＝＝，
∴正方形DEFG的面積＝DF2＝（）2＝．
24．兩個(gè)大小不同且都含有30°角的直角三角板按如圖所示放置，將△ABC與△EDC的頂點(diǎn)C重合，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CED＝30°．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)D在BC上時(shí)，CE：AE＝2：3，求S△DCE：S四邊形AEDB；
（2）如圖2，將△EDC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定角度時(shí)，求BD：AE；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A，E，D在同一條直線上時(shí)，連接BD，若CD＝1，BC＝3，求BD．
【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)D在BC上時(shí)，
∵∠CAB＝∠CED＝30°，
∴DE∥AB，
∴△ABC∽△EDC，
∴S△DCE：S△ABC＝（CE：CA）2＝4：25，
∴S△DCE：S四邊形AEDB＝4：21；
（2）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠DCB＝∠ACE．
∵∠CAB＝∠CED＝30°，
∴，，
∴DC：CE＝BC：CA，
∴△DBC∽△EAC，
∴；
（3）由（2）可知，∵△DBC∽△EAC，
∴∠AEC＝∠BDC．
∵點(diǎn)A，E，D在同條一直線上，∠CED＝30°，
∴∠AEC＝∠BDC＝150°，
∴∠ADB＝150°﹣60°＝90°．
設(shè)BD＝x，可知，
在Rt△ABD中，，
解得，（舍）．
∴．
25．如圖，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，CE，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥AE，交直線BC于點(diǎn)F．E點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)，沿著BD方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)△BEF的面積為ycm2，E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
（1）求證：CE＝EF；
（2）求y與x之間關(guān)系的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）求△BEF面積的最大值．
【解答】（1）證明：如圖1，過(guò)E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB⊥AD，
∴MN⊥AD，MN⊥BC，
∴∠AME＝∠FNE＝90°＝∠NFE+∠FEN，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠AEM+∠FEN＝90°，
∴∠AEM＝∠NFE，
∵∠DBC＝45°，∠BNE＝90°，
∴BN＝EN＝AM，
∴△AEM≌△EFN（AAS），
∴AE＝EF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，
∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE，
∴CE＝EF；
（2）解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝10，
∴0≤x≤5，
由題意得：BE＝2x，
∴BN＝EN＝x，
由（1）知：AE＝EF＝EC，
分兩種情況：
①當(dāng)0≤x≤時(shí)，如圖1，
∵AB＝MN＝10，
∴ME＝FN＝10﹣x，
∴BF＝FN﹣BN＝10﹣x﹣x＝10﹣2x，
∴y＝＝＝﹣2x2+5x；
②當(dāng)＜x≤5時(shí)，如圖2，過(guò)E作EN⊥BC于N，
∴EN＝BN＝x，
∴FN＝CN＝10﹣x，
∴BF＝BC﹣2CN＝10﹣2（10﹣x）＝2x﹣10，
∴y＝＝＝2x2﹣5x；
綜上，y與x之間關(guān)系的函數(shù)表達(dá)式為：；
（3）解：①當(dāng)0≤x≤時(shí)，如圖1，
y＝﹣2x2+5x＝﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，
∴當(dāng)x＝時(shí)，y有最大值是；
②當(dāng)＜x≤5時(shí)，如圖2，
∴y＝2x2﹣5x＝2（x﹣）2﹣，
∵2＞0，
∴當(dāng)x＞時(shí)，y隨x的增大而增大
∴當(dāng)x＝5時(shí)，y有最大值是50；
綜上，△BEF面積的最大值是50cm2．
26．【推理】
如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連結(jié)BE，CF，延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G．
（1）求證：△BCE≌△CDG．
【運(yùn)用】
（2）如圖2，在【推理】條件下，延長(zhǎng)BF交AD于點(diǎn)H．若，CE＝9，求線段DE的長(zhǎng)．
【拓展】
（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長(zhǎng)CF，BF交直線AD于G，H兩點(diǎn)，若＝k，＝，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．
【解答】（1）證明：如圖1中，
∵△BFE是由△BCE折疊得到，
∴BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BCE＝90°，
∴∠ECF+∠CGD＝90°，
∴∠BEC＝∠CGD，
∵BC＝CD，
∴△BCE≌△CDG（AAS）．
（2）如圖2中，連接EH．
∵△BCE≌△CDG，
∴CE＝DG＝9，
由折疊可知BC＝BF，CE＝FE＝9，
∴∠BCF＝∠BFC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠BCG＝∠HGF，
∵∠BFC＝∠HFG，
∴∠HFG＝∠HGF，
∴HF＝HG，
∵＝，DG＝9，
∴HD＝4，HF＝HG＝5，
∵∠D＝∠HFE＝90°，
∴HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴52+92＝42+DE2，
∴DE＝3或﹣3（舍棄），
∴DE＝3．
（3）如圖3中，連接HE．
由題意＝，可以假設(shè)DH＝4m，HG＝5m，設(shè)＝x．
①當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，
∵HF＝HG，
∴DG＝9m，
由折疊可知BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠ECF+∠CGD＝90°，
∴∠BEC＝∠CGD，
∵∠BCE＝∠D＝90°，
∴△CDG∽△BCE，
∴＝，
∵＝＝k，
∴＝，
∴CE＝＝FE，
∴DE＝，
∵∠D＝∠HFE＝90°
∴HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴（5m）2+（）2＝（4m）2+（）2，
∴x＝或﹣（舍棄），
∴＝．
②當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，如圖4中，
同理HG＝HF，△BCE∽△CDG，
∴DG＝m，CE＝＝FE，
∴DE＝，
∵HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴（5m）2+（）2＝（4m）2+（）2，
∴x＝或﹣（舍棄），
∴＝．
綜上所述，＝或．

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