1．如圖，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，點P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動點，則PE＋PF的最小值是（ ）
A．1B．2C．2.5D．3
2．如圖，在中，且，點為的內(nèi)心，點為邊中點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
3．如圖是拋物線的部分圖像，其頂點坐標為，且與軸的一個交點在點和之間，則下列結(jié)論：①；②；③拋物線另一個交點在到之間；④當時，；⑤一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
4．已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的兩個實數(shù)根，則（α﹣2）（β﹣2）的值是（ ）
A．B．C．3D．
5．某口罩經(jīng)銷商批發(fā)了一批口罩，進貨單價為每盒50元，若按每盒60元出售，則每周可銷售80盒．現(xiàn)準備提價銷售，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：每盒每提價1元，每周銷量就會減少2盒，為保護消費者利益，物價部門規(guī)定，銷售時利潤率不能超過50%，設(shè)該口罩售價為每盒元，現(xiàn)在預算銷售這種口罩每周要獲得1200元利潤，則每盒口罩的售價應定為（ ）
A．70元B．80元C．70元或80元D．75元
6．如圖所示，以正方形的頂點為圓心的弧恰好與對角線相切，以頂點為圓心，正方形的邊長為半徑的弧，已知正方形的邊長為，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
7．拋物線y＝x2﹣9與x軸交于A、B兩點，點P在函數(shù)y＝的圖象上，若△PAB為直角三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)為( )
A．2個B．3個C．4個D．6個
8．如圖，是的直徑，是的切線，與交于點為上一點，若則等于（ ）
A．B．C．D．
9．如圖，等腰的一個銳角頂點是上的一個動點，，腰與斜邊分別交于點，分別過點作的切線交于點，且點恰好是腰上的點，連接，若的半徑為4，則的最大值為：（ ）
A．B．C．6D．8
10．如圖，矩形中，，E為上一點（不含點A），O為的中點，連接并延長，交于點F，點G為上一點，，連接，．甲、乙二位同學都對這個問題進行了研究，并得出自己的結(jié)論．
甲：存在點E，使；
乙：的面積存在最小值．
下列說法正確的是（ ）
A．甲、乙都正確B．甲、乙都不正確
C．甲正確，乙不正確D．甲不正確，乙正確
二、填空題
11．如圖，梯形ABCD中，，，將線段CB繞著點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點C落在CD延長線上的點E處．聯(lián)結(jié)AE、BE，設(shè)BE與邊AD交于點F，如果，且，那么梯形ABCD的中位線等于 ．
12．如圖，AB是半圓O的直徑，D是半圓O上一點，C是的中點，連結(jié)AC交BD于點E，連結(jié)AD，若BE＝4DE，CE＝6，則AB的長為 ．
13．如圖，，，弧BC所對的圓心角為，且弦若點P在弧BC上，點E、F分別在AB、AC上則 的最小值為 ．
14．如圖，菱形AD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點O，BD=2，分別以AB、BC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為 ．
15．在某市中考體考前，某初三學生對自己某次實心球訓練的錄像進行分析，發(fā)現(xiàn)實心球飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系為，由此可知該生此次實心球訓練的成績?yōu)? 米．
16．如圖，已知菱形中，，為鈍角，于點，為的中點，連接，.若，則過、、三點的外接圓半徑為 .
17．如圖，已知正方形的邊長為2，點是邊的中點，為正方形內(nèi)一動點，且，點是邊上另一動點，連接，，則的最小值為 ．

18．如果關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．以下關(guān)于倍根方程的說法，正確的是 ．（寫出所有正確說法的序號）
①方程是倍根方程；
②若方程是倍根方程，則；
③若點在反比例函數(shù)的圖象上，則關(guān)于的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，且相異兩點，都在拋物線上，則方程的一個根是．
19．如圖，點在以為直徑的半圓上，，，點在線段上運動，點與點關(guān)于對稱，于點，并交的延長線與點．下列結(jié)論：①；②；③線段的最小值為；④當時，與半圓相切；⑤當點從點運動到點時，線段掃過的面積是．其中正確的結(jié)論的序號為 ．
20．如圖，點D，E是ABC內(nèi)的兩點，且DEAB，連結(jié)AD，BE，CE．若AB＝9，DE＝2，BC＝10，∠ABC＝75°，則AD+BE+CE的最小值為 ．
21．如圖，在矩形中，以A為圓心，的長為半徑畫弧，交于點F，再以B為圓心，的長為半徑畫弧，交于點E．已知，，則圖中陰影部分的面積為 ．
22．如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，邊長分別為m、n（m＜n）．坐標原點O為AD的中點，A、D、E在y軸上．若二次函數(shù)y＝ax2的圖象過C、F兩點，則＝ ．
23．有一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字大，且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和等于，這個兩位數(shù)是 ．
24．如圖，已知線段，于點，且，是射線上一動點，、分別是，的中點，過點，，的圓與的另一交點（點在線段上），連結(jié)，．
（）當時，則的度數(shù)為 ．
（）在點的運動過程中，當時，取四邊形一邊的兩端點和線段上一點，若以這三點為頂點的三角形是直角三角形，當時，則的值為 ．
25．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E、F分別是BC，CD邊上的動點，且CE+CF＝4，DE和AF相交于點P，在點E，F(xiàn)運動的過程中，CP的最小值為 ．
三、解答題
26．荊州市某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進行小龍蝦養(yǎng)殖.已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，銷售單價p（元/千克）與時間第t（天）之間的函數(shù)關(guān)系為：
,日銷售量y（千克）與時間第t（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：
（1）求日銷售量與時間t的函數(shù)關(guān)系式？
（2）哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？
（3）該養(yǎng)殖戶有多少天日銷售利潤不低于2400元？
（4）在實際銷售的前40天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷售1千克小龍蝦，就捐贈m（m＜7）元給村里的特困戶.在這前40天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間的增大而增大，求m的取值范圍.
27．如圖，過原點的拋物線為常數(shù)與軸交于另一點，是線段的中點，，點在拋物線上

(1)點的坐標為______；
(2)為軸正半軸上一點，且．
①求線段的長；
②線段與拋物線相交于另一點，求點的坐標；
(3)將拋物線向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到拋物線，，是拋物線上兩點，是拋物線的頂點對于每一個確定的值，求證：矩形的對角線必過一定點，并求出此時線段的長．
28．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c交x軸于點A（﹣3，0）、B（1，0），在y軸上有一點E（0，1），連接AE．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）若點D為拋物線在x軸負半軸下方的一個動點，求△ADE面積的最大值；
（3）拋物線對稱軸上是否存在點P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的坐標；若不存在，請說明理由．
29．二次函數(shù)圖象與x軸交于A、C兩點，點，與y軸交于點．

（1）__________，__________；
（2）如圖①，P是x軸上一動點，點在y軸上，連接，求的最小值．
（3）如圖②，點M在拋物線上，若，求點M的坐標．
30．如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且A點坐標為，拋物線的對稱軸為直線，連接直線BC．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點D為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，連接AD，交直線BC于點E，連接BD，如圖2所示，記△BDE的面積為，△ABE的面積為，求的最大值．
(3)若點M為對稱軸上一點，N為平面內(nèi)一點，是否存在以M，N，B，C為頂點的四邊形為矩形，若存在，直接寫出滿足條件的M點坐標；若不存在，請說明理由．
期中測試壓軸題考點訓練（21-24章）
一、單選題
1．如圖，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，點P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動點，則PE＋PF的最小值是（ ）
A．1B．2C．2.5D．3
【答案】D
【分析】利用菱形的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)得出與重合時的最小值，進而求出即可．
【詳解】解：如圖，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，延長交于點，連接，，
四邊形是菱形，，AB＝3，
，，
、是等邊三角形 ，∴，
，
，，
，，在一條直線上，
由題意可得出：當與重合，點在上，在上時，最小，
∵，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，
，，的最小值是3．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)等相關(guān)知識，根據(jù)題意得出點位置是解題關(guān)鍵．
2．如圖，在中，且，點為的內(nèi)心，點為邊中點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接、，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)，得出，得出點P在過A、B的圓弧上運動，此時圓心為點E，半徑為，連接交于點F，交于點G，連接，，，先求出，根據(jù)垂徑定理得出，，證明，得出，根據(jù)勾股定理求出，得出，求出結(jié)果即可．
【詳解】解：連接、，如圖所示：
∵，
∴，
∵點為的內(nèi)心，
∴、分別平分、，
∴，，
∴，
∴，
∴為定值，
∴點P在過A、B的圓弧上運動，此時圓心為點E，半徑為，連接交于點F，交于點G，連接，，，如圖所示：
當點P在點F時，最小，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵為的中點，
∴，，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，
即的最小值為，故A正確．故選：A．
【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線定義，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找出點P的運動軌跡，使取最小值時，點P的位置．
3．如圖是拋物線的部分圖像，其頂點坐標為，且與軸的一個交點在點和之間，則下列結(jié)論：①；②；③拋物線另一個交點在到之間；④當時，；⑤一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】C
【分析】①根據(jù)拋物線的對稱軸公式即可求解；②當時，，再利用對稱軸公式即可求解；③根據(jù)拋物線的對稱性即可求解；④根據(jù)拋物線的平移即可求解；⑤根據(jù)一元二次方程的判別式即可求解．
【詳解】解：∵拋物線的頂點坐標為，即拋物線的對稱軸為，
∴，
∴，故結(jié)論①錯誤；
②當時，，
∴，
∴，
∴，故結(jié)論②正確；
③∵拋物線的頂點坐標為，即對稱軸為，
又∵該拋物線與軸的一個交點在點和之間，
∴拋物線另一個交點在到之間，故結(jié)論③正確；
④將拋物線圖像向下平移個單位后圖像過原點，
即可得拋物線的圖像，
畫出直線，如下圖，
根據(jù)圖像可知，當時，，
即，故結(jié)論④正確；
⑤一元二次方程，
則
根據(jù)圖像可知：，
∴，
∴，
∴一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，故結(jié)論⑤正確．
綜上所述，結(jié)論正確的有②③④⑤，共計4個．
故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與系數(shù)間的關(guān)系，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，拋物線的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.
4．已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的兩個實數(shù)根，則（α﹣2）（β﹣2）的值是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【詳解】試題分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=-，x1?x2=，由α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的兩個實數(shù)根，可得α+β=，αβ=﹣，再由式子求得（α﹣2）（β﹣2）=αβ﹣2（α+β）+4=﹣﹣2×+4=．
故選：A
點睛：此題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，解題時靈活運用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2=-，x1?x2=，然后根據(jù)整式的乘法變形整體代入即可.
5．某口罩經(jīng)銷商批發(fā)了一批口罩，進貨單價為每盒50元，若按每盒60元出售，則每周可銷售80盒．現(xiàn)準備提價銷售，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：每盒每提價1元，每周銷量就會減少2盒，為保護消費者利益，物價部門規(guī)定，銷售時利潤率不能超過50%，設(shè)該口罩售價為每盒元，現(xiàn)在預算銷售這種口罩每周要獲得1200元利潤，則每盒口罩的售價應定為（ ）
A．70元B．80元C．70元或80元D．75元
【答案】A
【分析】根據(jù)每天的銷售利潤＝每箱的銷售利潤×銷售數(shù)量，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，在結(jié)合銷售利潤不能超過50%，即可確定x的值．
【詳解】解：根據(jù)題意得：（x﹣50）[80-2（x-60）]＝1200，
整理得：x2﹣150x+5600＝0．
解得：x1＝70，x2＝80．
當x＝70時，利潤率＝×100%＝40%＜50%，符合題意；
當x＝80時，利潤率＝×100%＝60%＞50%，不合題意，舍去．
所以要獲得1200元利潤，每盒口罩的售價應定為70元．
故選：A．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及列代數(shù)式，解題關(guān)鍵是根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出平均每天的銷售量，找準等量關(guān)系正確列出一元二次方程．
6．如圖所示，以正方形的頂點為圓心的弧恰好與對角線相切，以頂點為圓心，正方形的邊長為半徑的弧，已知正方形的邊長為，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】連接AC交BD于O，由正方形的性質(zhì)得出OA=OB=BD，AC⊥BD，∠BAD=90°，AB=AD=2，∠BAO=∠ABF=45°，由勾股定理求出BD，得出OA=OB=，求出△AOB的面積、扇形AOE的面積、扇形ABF的面積，即可得出圖中陰影部分的面積．
【詳解】連接AC交BD于O，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OB=BD，AC⊥BD，∠BAD=90°，AB=AD=2，∠BAO=∠ABF=45°，
∴BD==，
∴OA=OB=，
∴△AOB的面積=××=1，
∵以正方形ABCD的頂點A為圓心的弧恰好與對角線BD相切，AC⊥BD，
∴O為切點，
∵扇形AOE的面積=，扇形ABF的面積=，
∴圖中陰影部分的面積=.
故選D．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、扇形面積的計算；熟練掌握切線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，求出扇形的面積是解決問題的關(guān)鍵．
7．拋物線y＝x2﹣9與x軸交于A、B兩點，點P在函數(shù)y＝的圖象上，若△PAB為直角三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)為( )
A．2個B．3個C．4個D．6個
【答案】D
【詳解】分析：先由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系求出A、B兩點的坐標,然后分類討論：①當∠PAB=90°時，則P點的橫坐標為-3，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征易得P點有1個；②當∠APB=90°，設(shè)P（x，），根據(jù)兩點間的距離公式和勾股定理可得（x+3）2+（）2+（x-3）2+（）2=36，此時P點有4個，③當∠PBA=90°時，P點的橫坐標為3，此時P點有1個．
詳解：解得，
x=±3,
∴A(-3,0)，B(3,0).
①當∠PAB=90°時，如圖1，P點的橫坐標為-3，把x=-3代入y=得y=-，所以此時P點有1個；
②當∠APB=90°，如圖2，設(shè)P（x，），PA2=（x+3）2+（）2，PB2=（x-3）2+（）2，AB2=（3+3）2=36，
∵PA2+PB2=AB2，
∴（x+3）2+（）2+（x-3）2+（）2=36，
整理得x4-9x2+4=0，所以x2=，或x2=，
所以此時P點有4個，
③當∠PBA=90°時，如圖3，P點的橫坐標為3，把x=3代入y=得y=，所以此時P點有1個；
綜上所述，滿足條件的P點有6個．
故選D．
點睛：本題考查了二次函數(shù)與坐標軸的交點，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k．
8．如圖，是的直徑，是的切線，與交于點為上一點，若則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】連接BC，證明，即可解決問題．
【詳解】
連接．
∵是的切線，
∴，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故選：．
【點睛】本題主要考查圓周角定理及其推論，以及切線的性質(zhì)．圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對的圓心角度數(shù)的一半．
9．如圖，等腰的一個銳角頂點是上的一個動點，，腰與斜邊分別交于點，分別過點作的切線交于點，且點恰好是腰上的點，連接，若的半徑為4，則的最大值為：（ ）
A．B．C．6D．8
【答案】A
【分析】先由等腰三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)及圓的半徑相等判定四邊形ODFE是正方形，再得出點C在以EF為直徑的半圓上運動，則當OC經(jīng)過半圓圓心G時，OC的值最大，用勾股定理計算出OG的長度，再加上CG的長度即可．
【詳解】解：∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠DOE=2∠A=90°，
∵分別過點D，E作⊙O的切線，
∴OD⊥DF，OE⊥EF，
∴四邊形ODFE是矩形，
∵OD=OE=4，
∴四邊形ODFE是正方形，∴EF=4，
∵點F恰好是腰BC上的點，∴∠ECF=90°
∴點C在以EF為直徑的半圓上運動，
∴設(shè)EF的中點為G，則EG=FG=CG=EF=2，且當OC經(jīng)過半圓圓心G時，OC的值最大，此時，在Rt△OEG中，OG=，
∴OC=OG+CG=.
故答案為：A.
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、正方形的判定、直角所對的弦是直徑及勾股定理等知識點，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.
10．如圖，矩形中，，E為上一點（不含點A），O為的中點，連接并延長，交于點F，點G為上一點，，連接，．甲、乙二位同學都對這個問題進行了研究，并得出自己的結(jié)論．
甲：存在點E，使；
乙：的面積存在最小值．
下列說法正確的是（ ）
A．甲、乙都正確B．甲、乙都不正確
C．甲正確，乙不正確D．甲不正確，乙正確
【答案】D
【分析】先證明△EOD≌△FOB得到DE=BF，推出AE=CF，則CF=DG，假設(shè)存在點E使得EG⊥FG，可證△EDG≌△GCF得到DE=CF，從而推出AD=CD，再由，推出CD＞AD，與AD=CD矛盾，即可判斷甲；可假設(shè)設(shè)AB=CD=4，BC=AD=3，AE=DG=CF=x，則BF=DE=3-x，CG=4-x，然后根據(jù)求出△EFG的面積關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，即可求出△EFG的面積的最小值，同理假設(shè)AB=CD=4時，只要滿足BC＜AB，都能求出△EFG的面積關(guān)于線段AE的長的二次函數(shù)關(guān)系式，即可求出△EFG的面積有最小值，即可判斷乙．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴，∠ADC=∠C=90°，AB=CD，
∴∠ODE=∠OBF，∠OED=∠OFB，
∵O是BD的中點，
∴OB=OD，
∴△EOD≌△FOB（AAS），
∴DE=BF，
∴AE=CF，
又∵AE=DG，
∴CF=DG，
假設(shè)存在點E使得EG⊥FG，
∴∠EGF=90°，
∴∠EGD+∠CGF=90°，
又∵∠EGD+∠DEG=90°，
∴∠DEG=∠CGF，
又∵∠EDG=∠GCF=90°，
∴△EDG≌△GCF（AAS），
∴DE=CG，
∴AE+DE=DG+CG，即AD=CD，
∵，
∴CD＞AD，與AD=CD矛盾，
∴假設(shè)不成立，即不存在點E使得EG與GF垂直，故甲說法錯誤；
設(shè)AB=CD=4，BC=AD=3，AE=DG=CF=x，則BF=DE=3-x，CG=4-x，
∴
，
即當時，△EFG的面積有最小值，
同理假設(shè)AB=CD=4時，只要滿足BC＜AB，都能求出△EFG的面積關(guān)于線段AE的長的二次函數(shù)關(guān)系式，即可求出△EFG的面積有最小值，故乙說法正確；
故選D．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的幾何應用等等，熟知正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
11．如圖，梯形ABCD中，，，將線段CB繞著點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點C落在CD延長線上的點E處．聯(lián)結(jié)AE、BE，設(shè)BE與邊AD交于點F，如果，且，那么梯形ABCD的中位線等于 ．
【答案】7
【分析】由根據(jù)三角形的面積公式，由得，進而求得DE=2，從而求得底邊EC的長，于是可求得CD的長，進而求得梯形ABCD的中位線．
【詳解】解：過點B作BM⊥CE于點M，如下圖，
∵，，
∴∠ADC=180°-∠A=180°-90°=90°，
∵，
∴，
∵，
∴DE=2，
∵BM⊥CE，
∴∠BMD=90°，
∴四邊形ABMD是矩形，
∴DM=AB=4，
∴EM=2+4=6，
∵將線段CB繞著點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點C落在CD延長線上的點E處，
∴BE=BC，
∵BM⊥CE，
∴EC=2EM=12，
∴CD=12-2=10，
∴梯形ABCD的中位線為：，
故答案為：7．
【點睛】本題考查了梯形的中位線，平行線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，AB是半圓O的直徑，D是半圓O上一點，C是的中點，連結(jié)AC交BD于點E，連結(jié)AD，若BE＝4DE，CE＝6，則AB的長為 ．
【答案】4
【分析】如圖，連接OC交BD于K．設(shè)DE＝k．BE＝4k，則DK＝BK＝2.5k，EK＝1.5k，由AD∥CK，推出AE：EC＝DE：EK，可得AE＝4，由△ECK∽△EBC，推出EC2＝EK?EB，求出k即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接OC交BD于K．
∵，
∴OC⊥BD，
∵BE＝4DE，
∴可以假設(shè)DE＝k．BE＝4k，則DK＝BK＝2.5k，EK＝1.5k，
∵AB是直徑，
∴∠ADK＝∠DKC＝∠ACB＝90°，
∴AD∥CK，
∴AE：EC＝DE：EK，
∴AE：6＝k：1.5k，
∴AE＝4，
∵△ECK∽△EBC，
∴EC2＝EK?EB，∴36＝1.5k×4k，
∵k＞0，∴k＝，
∴BC＝＝＝2，
∴AB＝＝＝4．
故答案為：4．
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．
13．如圖，，，弧BC所對的圓心角為，且弦若點P在弧BC上，點E、F分別在AB、AC上則 的最小值為 ．
【答案】
【分析】連接AP，OP，分別以AB、AC所在直線為對稱軸，作出P關(guān)于AB的對稱點為M，P關(guān)于AC的對稱點為N，連接MN，交AB于點E，交AC于點F，連接PE、PF，所以，設(shè)，易求得：，所以，即當AP最小時，可取得最小值．
【詳解】連接AP，O，分別以AB、AC所在直線為對稱軸，作出P關(guān)于AB的對稱點為M，P關(guān)于AC的對稱點為N，連接MN，交AB于點E，交AC于點F，連接PE、PF．
，
，，
，
，
、P、N在以A為圓心，AP為半徑的圓上，
設(shè)，
易求得：，
，，
，
當AP最小時，可取得最小值
，
，即點P在OA上時，AP可取得最小值，
在中，，，
，
，，
是等邊三角形，
，作交AC的延長線于H．
在中，，，
，，
在中，，
此時，
的最小值為，
故答案為．
【點睛】本題考查圓的有關(guān)知識，涉及軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定等知識，綜合程度較高，需要學生靈活運用知識．
14．如圖，菱形AD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點O，BD=2，分別以AB、BC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為 ．
【答案】－
【分析】設(shè)BC的中點為M，CD交半圓M于點N，連接OM，MN．易證?BCD是等邊三角形，進而得∠OMN=60°，即可求出；再證四邊形OMND是菱形，連接ON，MD，求出，利用，即可求解．
【詳解】設(shè)BC的中點為M，CD交半圓M于點N，連接OM，MN．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∴兩個半圓都經(jīng)過點O，
∵BD=BC=CD=2，
∴?BCD是等邊三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠OCD=30°，
∴∠OMN=60°，
∴，
∵OD=OM=MN=CN=DN=1，
∴四邊形OMND是菱形，
連接ON，MD，則MD⊥BC，? OMN是等邊三角形，
∴MD=CM=，ON=1，
∴MD×ON=，
∴．
故答是：－
【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)和扇形的面積公式，添加輔助線，構(gòu)造等邊三角形和扇形，利用割補法求面積，是解題的關(guān)鍵．
15．在某市中考體考前，某初三學生對自己某次實心球訓練的錄像進行分析，發(fā)現(xiàn)實心球飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系為，由此可知該生此次實心球訓練的成績?yōu)? 米．
【答案】10
【分析】根據(jù)鉛球落地時，高度，把實際問題可理解為當時，求x的值即可．
【詳解】解：當時，，
解得，（舍去），．
故答案為10．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應用，解析式中自變量與函數(shù)表達的實際意義；結(jié)合題意，選取函數(shù)或自變量的特殊值，列出方程求解是解題關(guān)鍵．
16．如圖，已知菱形中，，為鈍角，于點，為的中點，連接，.若，則過、、三點的外接圓半徑為 .
【答案】
【分析】通過延長MN交DA延長線于點E，DF⊥BC,構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等性質(zhì)證出DE=DM,,再通過AE=BM=CF,在Rt△DMF和Rt△DCF中，利用勾股定理列方程求DM長，根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解.
【詳解】如圖，延長MN交DA延長線于點E，過D作DF⊥BC交BC延長線于F,連接MD,
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=4，AD∥BC,
∴∠E=∠EMB, ∠EAN=∠NBM,
∵AN=BN,
∴△EAN≌BMN,
∴AE=BM,EN=MN,
∵,
∴DN⊥EM,
∴DE=DM,
∵AM⊥BC,DF⊥BC,AB=DC,AM=DF
∴△ABM≌△DCF,
∴BM=CF,
設(shè)BM=x,則DE=DM=4+x,
在Rt△DMF中，由勾股定理得，DF2=DM2-MF2=(4+x)2-42,
在Rt△DCF中，由勾股定理得，DF2=DC2-CF2=4 2-x2,
∴(4+x)2-42=4 2-x2,
解得，x1=,x2=（不符合題意，舍去）
∴DM=，
∴
∴過、、三點的外接圓的直徑為線段DM,
∴其外接圓的半徑長為.
故答案為：.
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等的判定與性質(zhì)，勾股定理及圓的性質(zhì)的綜合題目，根據(jù)已知條件結(jié)合圖形找到對應的知識點，通過“倍長中線”構(gòu)建“X字型”全等模型是解答此題的突破口，也是解答此題的關(guān)鍵.
17．如圖，已知正方形的邊長為2，點是邊的中點，為正方形內(nèi)一動點，且，點是邊上另一動點，連接，，則的最小值為 ．

【答案】
【分析】如圖，點G在以點O為圓心，以1為半徑的圓上，作點A關(guān)于直線的對稱點E，連接,由對稱知，，可得．當四點共線時，最短，此時最短；
過點O作，垂足為F，則，中，．的最小值為；
【詳解】解：如圖，點G在以點O為圓心，以1為半徑的圓上，作點A關(guān)于直線的對稱點E，連接,由對稱知，,
∴,
．
當四點共線時，最短，此時最短；
過點O作，垂足為F，則，
中，．
∴四點共線時，
∴的最小值為；
故答案為：；

【點睛】本題考查兩點之間線段最短，正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，圓的定義，勾股定理；通過軸對稱，作線段的等量轉(zhuǎn)移是解題的關(guān)鍵．
18．如果關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．以下關(guān)于倍根方程的說法，正確的是 ．（寫出所有正確說法的序號）
①方程是倍根方程；
②若方程是倍根方程，則；
③若點在反比例函數(shù)的圖象上，則關(guān)于的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，且相異兩點，都在拋物線上，則方程的一個根是．
【答案】①③
【詳解】分析：①通過解方程得到該方程的根，結(jié)合“倍根方程”的定義進行判斷；②通過解方程求得方程的兩個解，結(jié)合“倍根方程”的定義來求m、n的數(shù)量關(guān)系；③根據(jù)pq=2求出方程的兩個根，從而得出答案；④由方程是倍根方程，得，由相異兩點都在拋物線上，通過拋物線對稱軸求得的值．
詳解：①、解方程可得：，∵－2是－1的兩倍， ∴①正確；
②、解方程可得：，∵是倍根方程， ∴2=或，
∴m=－n或m=， ∴②錯誤；
③、∵pq=2， ∴方程的解為：， ∴③正確；
④、∵方程是倍根方程，∴設(shè)，
∵相異兩點M（1+t，s），N（4-t，s）都在拋物線上，
∴拋物線的對稱軸x=， ∴， ∴， ∴，∴④錯誤；
∴正確的答案為①和③．
19．如圖，點在以為直徑的半圓上，，，點在線段上運動，點與點關(guān)于對稱，于點，并交的延長線與點．下列結(jié)論：①；②；③線段的最小值為；④當時，與半圓相切；⑤當點從點運動到點時，線段掃過的面積是．其中正確的結(jié)論的序號為 ．
【答案】②③④
【分析】①由對稱證明出∠F＝∠CDF，得到只有當CD⊥AB時，∠F＝∠CDF＝∠CBA＝30°；
②由點E與點D關(guān)于AC對稱可得CE＝CD，再根據(jù)DF⊥DE即可證到CE＝CF；
③根據(jù)“點到直線之間，垂線段最短”可得CD⊥AB時CD最小，由于EF＝2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值；
④連接OC，易證△AOC是等邊三角形，AD＝OD，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可求出∠ACD，進而可求出∠ECO＝90°，從而得到EF與半圓相切；
⑤首先根據(jù)對稱性確定線段EF掃過的圖形，然后探究出該圖形與△ABC的關(guān)系，就可求出線段EF掃過的面積．
【詳解】①連接CD，如圖1所示．
∵點E與點D關(guān)于AC對稱，
∴CE＝CD．
∴∠E＝∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°．
∴∠E＋∠F＝90°，∠CDE＋∠CDF＝90°．
∴∠F＝∠CDF．
只有當CD⊥AB時，∠F＝∠CDF＝∠CBA＝30°，故①錯誤；
②又∵∠F＝∠CDF，
∴CD＝CF，
∴CE＝CD＝CF．故②正確；
③當CD⊥AB時，如圖2所示．
∵AB是半圓的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝4，∠CBA＝30°，
∴∠CAB＝60°，AC＝2，BC＝2，
∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，
∴CD＝BC＝，
根據(jù)“點到直線之間，垂線段最短”可得：
點D在線段AB上運動時，CD的最小值為．
∵CE＝CD＝CF，
∴EF＝2CD．
∴線段EF的最小值為2．故③正確；
④當AD＝1時，連接OC，如圖3所示，
∵OA＝OC，∠CAB＝60°，
∴△OAC是等邊三角形．
∴CA＝CO，∠ACO＝60°．
∵AO＝2，AD＝1，
∴DO＝1．
∴AD＝DO，
∴∠ACD＝∠OCD＝30°，
∵點E與點D關(guān)于AC對稱，
∴∠ECA＝∠DCA，
∴∠ECA＝30°，
∴∠ECO＝90°，
∴OC⊥EF，
∵EF經(jīng)過半徑OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF與半圓相切．故④正確；
⑤∵點D與點E關(guān)于AC對稱，
點D與點F關(guān)于BC對稱，
∴當點D從點A運動到點B時，
點E的運動路徑AM與AB關(guān)于AC對稱，
點F的運動路徑NB與AB關(guān)于BC對稱．
∴EF掃過的圖形就是圖5中陰影部分．
∴S陰影＝2S△ABC＝2×?AC?BC＝4．
故⑤錯誤．
故答案為②③④．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、軸對稱的性質(zhì)、含30°角的直角三角形、勾股定理，垂線段最短等知識，綜合性強，有一定的難度，第五個問題解題的關(guān)鍵是通過特殊點探究EF的運動軌跡．
20．如圖，點D，E是ABC內(nèi)的兩點，且DEAB，連結(jié)AD，BE，CE．若AB＝9，DE＝2，BC＝10，∠ABC＝75°，則AD+BE+CE的最小值為 ．
【答案】
【分析】過點作交于，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△，過作交延長線于，則，都是等邊三角形，可判斷四邊形是平行四邊形，由已知分別可求，，則，，所以，則，當、、、共線時，有最小值為的長，再由，，可得，，在中，，在△中，，則的最小值為．
【詳解】解：過點作交于，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△，過作交延長線于，
，都是等邊三角形，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，，
，
，
當、、、共線時，有最小值為的長，
，，
，，
在中，，
在△中，，
的最小值為，
故答案為．
【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，通過構(gòu)造平行四邊形、旋轉(zhuǎn)三角形，確定AD+BE+CE有最小值為CF'的長是解題的關(guān)鍵．
21．如圖，在矩形中，以A為圓心，的長為半徑畫弧，交于點F，再以B為圓心，的長為半徑畫弧，交于點E．已知，，則圖中陰影部分的面積為 ．
【答案】
【分析】利用割補法將陰影部分分成三部分，即，然后分別求每部分的面積即可．
【詳解】解：由題意和題圖可知，與扇形只有一個交點，則與扇形相切，設(shè)這個切點為G，
連接，，則．
過點E作，交于點H．
∵四邊形是矩形，
∴，．
由題意可得，，
∴在中，由勾股定理，得．
∴，，
∴，
∴，
即扇形的圓心角為．
∴在和中，
∴，
∴，
∴．
∴，
即扇形的圓心角為．
∴
．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了扇形的面積公式、切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，要熟練運用扇形的面積公式和三角形的面積公式．解題的關(guān)鍵是能夠正確運用割補法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形面積的和差．
22．如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，邊長分別為m、n（m＜n）．坐標原點O為AD的中點，A、D、E在y軸上．若二次函數(shù)y＝ax2的圖象過C、F兩點，則＝ ．
【答案】
【分析】由正方形ABCD的邊長為m，坐標原點O為AD的中點，得出C（m，m）．將C點坐標代入y=ax2，求出a=，則拋物線解析式為y=x2，再將F（-n，n+m）代入y=x2，整理得出方程m2-2mn-n2=0，把m看作常數(shù)，利用求根公式得出n=（1±）m（負值舍去），那么.
【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長為m，坐標原點O為AD的中點，
∴C（m，m）．
∵拋物線y＝ax2過C點，
∴m＝am2，解得a＝，
∴拋物線解析式為y＝x2，
將F（-n，n+m）代入y＝x2，
得n+m＝×（﹣n）2，
整理得m2﹣2mn﹣n2＝0，
解得n＝（1±）m（負值舍去），
∴＝1+.
故答案為1+．
【點睛】二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到正方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一元二次方程的求根公式．正確求出拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．
23．有一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字大，且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和等于，這個兩位數(shù)是 ．
【答案】
【分析】由個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和等于20，設(shè)未知數(shù)代入求得整數(shù)解即可．
【詳解】解：設(shè)十位上的數(shù)字為，的個位上的數(shù)字為，可列方程為
，
解得，（舍去），
，
，
故答案為24．
【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用，掌握題中的等量關(guān)系列出方程是本題的解題關(guān)鍵．
24．如圖，已知線段，于點，且，是射線上一動點，、分別是，的中點，過點，，的圓與的另一交點（點在線段上），連結(jié)，．
（）當時，則的度數(shù)為 ．
（）在點的運動過程中，當時，取四邊形一邊的兩端點和線段上一點，若以這三點為頂點的三角形是直角三角形，當時，則的值為 ．
【答案】
【詳解】試題解析：(1)∵MN⊥AB，AM=BM，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠B，

如圖1，連接MD，
∵MD為△PAB的中位線，



如圖2，記MP與圓的另一個交點為R，
∵MD是Rt△MBP的中線，
∴DM=DP，
∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，
∴RC=RP，





如圖3,當時，
在中

故答案為
25．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E、F分別是BC，CD邊上的動點，且CE+CF＝4，DE和AF相交于點P，在點E，F(xiàn)運動的過程中，CP的最小值為 ．
【答案】2﹣2
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=CD=BC=4，∠ADC=∠BCD=90°，求得CE=DF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DAF=∠CDE，推出∠APD=90°，得到點P在以AD為直徑的圓上，設(shè)AD的中點為G，由圖形可知：當C、P、G在同一直線上時，CP有最小值，如圖所示：根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝4，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵CE+CF＝4，CF+DF＝4，
∴CE＝DF，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠DAF＝∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠DAP+∠FDP＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴點P在以AD為直徑的圓上，
設(shè)AD的中點為G，
由圖形可知：當C、P、G在同一直線上時，CP有最小值，如圖所示：
∵CD＝4，DG＝2，
∴CG＝＝2
∴CP＝CG﹣PG＝2﹣2，
故答案為：2﹣2．
【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓周角定理，確定出CG最小時點G的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點．
三、解答題
26．荊州市某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進行小龍蝦養(yǎng)殖.已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，銷售單價p（元/千克）與時間第t（天）之間的函數(shù)關(guān)系為：
,日銷售量y（千克）與時間第t（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：
（1）求日銷售量與時間t的函數(shù)關(guān)系式？
（2）哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？
（3）該養(yǎng)殖戶有多少天日銷售利潤不低于2400元？
（4）在實際銷售的前40天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷售1千克小龍蝦，就捐贈m（m＜7）元給村里的特困戶.在這前40天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間的增大而增大，求m的取值范圍.
【答案】（1）y=﹣2t+200（1≤x≤80，t為整數(shù)）（2）第30天的日銷售利潤最大，最大利潤為2450元（3）21（4）5≤m＜7
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求解可得；
（2）設(shè)日銷售利潤為w，分1≤t≤40和41≤t≤80兩種情況，根據(jù)“總利潤=每千克利潤×銷售量”列出函數(shù)解析式，由二次函數(shù)的性質(zhì)分別求得最值即可判斷；
（3）求出w=2400時x的值，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出答案；
（4）依據(jù)（2）中相等關(guān)系列出函數(shù)解析式，確定其對稱軸，由1≤t≤40且銷售利潤隨時間t的增大而增大，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：（1）設(shè)解析式為y=kt+b，
將（1，198）、（80，40）代入，得：
，
解得：，
∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t為整數(shù)）；
（2）設(shè)日銷售利潤為w，則w=（p﹣6）y，
①當1≤t≤40時，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450，
∴當t=30時，w最大=2450；
②當41≤t≤80時，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，
∴當t=41時，w最大=2301，
∵2450＞2301，
∴第30天的日銷售利潤最大，最大利潤為2450元．
（3）由（2）得：當1≤t≤40時，
w=﹣（t﹣30）2+2450，
令w=2400，即﹣（t﹣30）2+2450=2400，
解得：t1=20、t2=40，
由函數(shù)w=﹣（t﹣30）2+2450圖象可知，當20≤t≤40時，日銷售利潤不低于2400元，
而當41≤t≤80時，w最大=2301＜2400，
∴t的取值范圍是20≤t≤40，
∴共有21天符合條件．
（4）設(shè)日銷售利潤為w，根據(jù)題意，得：
w=（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣t2+（30+2m）t+2000﹣200m，
其函數(shù)圖象的對稱軸為t=2m+30，
∵w隨t的增大而增大，且1≤t≤40，
∴由二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)可知2m+30≥40，
解得：m≥5，
又m＜7，
∴5≤m＜7．
考點：二次函數(shù)的應用
27．如圖，過原點的拋物線為常數(shù)與軸交于另一點，是線段的中點，，點在拋物線上

(1)點的坐標為______；
(2)為軸正半軸上一點，且．
①求線段的長；
②線段與拋物線相交于另一點，求點的坐標；
(3)將拋物線向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到拋物線，，是拋物線上兩點，是拋物線的頂點對于每一個確定的值，求證：矩形的對角線必過一定點，并求出此時線段的長．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)證明見解析，
【分析】（1）根據(jù)中點公式求點坐標即可；
（2）設(shè)，根據(jù)，建立方程，求出點坐標即可求；求出直線的解析式為，將代入，求出，將點代入，求出，從而求出拋物線，
直線與拋物線的交點即為點；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可求，則，設(shè)直線的解析式為，，當時，整理得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，過點作軸交于點，過點作軸交于點，證明∽，則，即，整理得，，求出，所以直線的解析式為，對于每一個確定的值，直線必經(jīng)過定點，．
【詳解】（1）是線段的中點，，
，
，
故答案為：；
（2）設(shè)，
，
，
解得，
；
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
將代入，
，
，
，
解得，
，
將點代入，
，
解得，
拋物線，
當時，解得或，
；
（3）證明：，
，
，
設(shè)直線的解析式為，，，
當時，整理得，
，，
過點作軸交于點，過點作軸交于點，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
∽，
，即，
整理得，，
，
，即，
直線的解析式為，
對于每一個確定的值，直線必經(jīng)過定點，
．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，
28．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c交x軸于點A（﹣3，0）、B（1，0），在y軸上有一點E（0，1），連接AE．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）若點D為拋物線在x軸負半軸下方的一個動點，求△ADE面積的最大值；
（3）拋物線對稱軸上是否存在點P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）y=x2+2x-3；（2）△ADE的面積最大值為．（3）點P的坐標為（-1，）或（-1，-）或（-1，-1）或（-1，-2）或（-1，4）．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解可得；
（2）先求出直線AE的解析式為y=x+1，作DG⊥x軸，延長DG交AE于點F，設(shè)D（m，m2+2m-3），則F（m，m+1），DF=-m2-m+4，根據(jù)S△ADE=S△ADF+S△DEF可得函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解可得答案；
（3）先根據(jù)拋物線解析式得出對稱軸為直線x=-1，據(jù)此設(shè)P（-1，n），由A（-3，0），E（0，1）知AP2=4+n2，AE2=10，PE2=（n-1）2+1，再分AP=AE，AP=PE及AE=PE三種情況分別求解可得．
【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（-3，0）、B（1，0），
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)解析式為y=x2+2x-3；
（2）設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，
∵過點A（-3，0），E（0，1），
∴，
解得：，
∴直線AE解析式為y=x+1，
如圖，過點D作DG⊥x軸于點G，延長DG交AE于點F，
設(shè)D（m，m2+2m-3），則F（m，m+1），
∴DF=-m2-2m+3+m+1=-m2-m+4，
∴S△ADE=S△ADF+S△DEF
=×DF×AG+DF×OG
=×DF×（AG+OG）
=×3×DF
=（-m2-m+4）
=-m2-m+6
=，
∴當m=-時，△ADE的面積取得最大值為．
（3）∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴拋物線對稱軸為直線x=-1，
設(shè)P（-1，n），
∵A（-3，0），E（0，1），
∴AP2=（-1+3）2+（n-0）2=4+n2，AE2=（0+3）2+（1-0）2=10，PE2=（0+1）2+（1-n）2=（n-1）2+1，
①若AP=AE，則AP2=AE2，即4+n2=10，解得n=±，
∴點P（-1，）或（-1，-）；
②若AP=PE，則AP2=PE2，即4+n2=（n-1）2+1，解得n=-1，
∴P（-1，-1）；
③若AE=PE，則AE2=PE2，即10=（n-1）2+1，解得n=-2或n=4，
∴P（-1，-2）或（-1，4）；
綜上，點P的坐標為（-1，）或（-1，-）或（-1，-1）或（-1，-2）或（-1，4）．
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，割補法求三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)及等腰三角形的判定和分類討論思想的運用等知識點．
29．二次函數(shù)圖象與x軸交于A、C兩點，點，與y軸交于點．

（1）__________，__________；
（2）如圖①，P是x軸上一動點，點在y軸上，連接，求的最小值．
（3）如圖②，點M在拋物線上，若，求點M的坐標．
【答案】（1）1，－3；（2）的最小值為；（3）滿足條件的點的坐標為：，，，．
【分析】(1) 將、分別代入得到二元一次方程組，解方程求得a和c即可．
（2）如圖1中，作于.先說明,然后在中,有，由垂線段最短可知，當D、P、H共線時，最小，最后求得最小值即可；
（3）如圖2中，取點，作于，易知．由，過點E作BC的平行線交拋物線于M1、M2，則則，，再求出直線M1M2的解析式，然后聯(lián)立解方程組即；利用平移可求出M3、M4的坐標．
【詳解】解：（1）把，代入，
得到，，
解得，
故答案為1，－3．
（2）如圖1中，作于．
∵，，
∴，
在中，．
∵，
根據(jù)垂線段最短可知，當、、共線時最小，最小值為，
在中，
∵，，
∴，
∴的最小值為．
（3）如圖2中，取點，作于，易知
∵，
∴過點作的平行線交拋物線于，，則，，
∵直線的解析式為，
∴直線的解析式為，
由，
解得或，
∴，，
根據(jù)對稱性可知，直線關(guān)于直線的對稱的直線與拋物線的交點、也滿足條件，
直線 ，與y軸交于（0，-3），直線的解析式為，與y軸交于（0，-1），兩直線在y軸交點間距離為2，將直線 向下平移2個單位，
則直線的解析式為，
由，
解得或，
∴，，
綜上所述，滿足條件的點的坐標為：，，，．
【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查待定系數(shù)法、垂線段最短、平行線的性質(zhì)、軸對稱、平移性質(zhì)，一次函數(shù)的應用、二元一次方程組等知識，掌握垂線段最短和利用方程組確定兩個函數(shù)的交點坐標是解答本題的坐標．
30．如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且A點坐標為，拋物線的對稱軸為直線，連接直線BC．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點D為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，連接AD，交直線BC于點E，連接BD，如圖2所示，記△BDE的面積為，△ABE的面積為，求的最大值．
(3)若點M為對稱軸上一點，N為平面內(nèi)一點，是否存在以M，N，B，C為頂點的四邊形為矩形，若存在，直接寫出滿足條件的M點坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)（1，）；（1，）；（1，）；（1，）；
【分析】（1）根據(jù)A點坐標為，拋物線的對稱軸為直線，可得B（3，0），利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）由圖可知，△BDE與△ABE面積之間的關(guān)系為：同高，故面積之比等于底之比，即，作軸，交直線BC于點G，作軸，交直線BC于點H，由平行線分線段成比例可知，，結(jié)合二次函數(shù)與直線BC的解析式，即可求解；
（3）根據(jù)以M，N，B，C為頂點的四邊形為矩形，可知需要分類討論，結(jié)合點的坐標與平移、矩形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解： ∵ A（－1，0），拋物線的對稱軸，
∴B（3，0），
將 A（－1，0）， B（3，0）代入，
得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：設(shè)直線BC的解析式為：，
將 B（3，0），C（0，)代入解析式，得，
解得：，
∴直線BC的解析式為：，
作軸，交直線BC于點G，
設(shè)D點的橫坐標為，
則，，
∴ ，
作軸，交直線BC于點H，則，
∴，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴ 的最大值為．
（3）解：設(shè)M點坐標為（1，n），
①當MN為矩形BMCN的對角線時，如圖BM2CN2，BM3CN3，
∵四邊形BMCN為矩形，
∴，，，即點C平移到點M的方向與距離與點N平移到點B的方向與距離是一致的，
∵B（3，0），C（0，)，
∴N（2，），
∵，
∴，即，
解得，
∴M2（1，）， M3（1，）；
②當MN為矩形BCNM的邊時，如圖BCN1M1，
∵四邊形BCNM為矩形，
∴，，，即點C平移到點B的方向與距離與點N平移到點M的方向與距離是一致的，
∵B（3，0），C（0，)，
∴N（-2，），
∵，
∴，即，
解得，
∴M1（1，）；
③當MN為矩形BCMN的邊時，如圖BCM4N4，
∵四邊形BCMN為矩形，
∴，，，即點C平移到點B的方向與距離與點M平移到點N的方向與距離是一致的，
∵B（3，0），C（0，)，
∴N（4，），
∵，
∴，即，
解得，
∴M4（1，）；
綜上，M點坐標為：（1，）；（1，）；（1，）；（1，）．

【點睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)與三角形面積的綜合題、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、點的坐標與平移、矩形的性質(zhì)．

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