一、抽樣方法
1. 簡單隨機抽樣
(1)定義：設(shè)一個總體含有N個個體，從中 抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會 ，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．
(2)最常用的簡單隨機抽樣的方法： 和 ．
2. 分層抽樣
(1)定義：在抽樣時，將總體分成 的層，然后按照 從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．
(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由 組成時，往往選用分層抽樣．
3. 兩種抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系：
二、總體分布特征數(shù)的估計
1. 總體分布
(1)頻率分布表：當(dāng)總體很大或不便于獲得時，可以用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布，我們把反映總體頻率分布的表格稱為 ．
(2)頻率分布直方圖：利用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律，這樣的直方圖稱為頻率分布直方圖．
(3)頻率分布折線圖：如果將頻率分布直方圖中，各相鄰的矩形的上底邊的中點順次連結(jié)起來，就得到一條折線，我們稱這條折線為本組數(shù)據(jù)的頻率分布折線圖．頻率分布折線圖的優(yōu)點是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢．
4. 總體特征數(shù)的估計
(1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積應(yīng)該相等，由此可以估計中位數(shù)的值．
(2)眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高的矩形的中點的橫坐標(biāo)．
(3)平均數(shù)及其估計：平均數(shù)是直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和．
平均數(shù)x＝ ．
(4)方差與標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)差s＝ 、方差s2＝ ．
5、頻率分布直方圖中的常見結(jié)論
(1)眾數(shù)的估計值為最高矩形的中點對應(yīng)的橫坐標(biāo)．
(2)平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和．
(3)中位數(shù)的估計值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的．
平均數(shù)、方差的公式推廣
(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq \x\t(x)，則mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq \x\t(x)＋a.
(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，則數(shù)據(jù)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.
1、（2023?上海）如圖為年上海市貨物進出口總額的條形統(tǒng)計圖，則下列對于進出口貿(mào)易額描述錯誤的是
A．從2018年開始，2021年的進出口總額增長率最大
B．從2018年開始，進出口總額逐年增大
C．從2018年開始，進口總額逐年增大
D．從2018年開始，2020年的進出口總額增長率最小
2、（2023?上海）現(xiàn)有某地一年四個季度的（億元），第一季度為232（億元），第四季度為241（億元），四個季度的逐季度增長，且中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該地一年的為 ．
3、（2023?上海）某校抽取100名學(xué)生測身高，其中身高最大值為，最小值為，根據(jù)身高數(shù)據(jù)繪制頻率組距分布直方圖，組距為5，且第一組下限為153.5，則組數(shù)為 ．
4、（2022?天津）為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：的分組區(qū)間為，，，，，，，，，，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，，第五組，右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為
A．8B．12C．16D．18
5、（2021?天津）從某網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計其評分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得400個評分?jǐn)?shù)據(jù)分為8組：，，，，，，，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評分在區(qū)間，內(nèi)的影視作品數(shù)量是
A．20B．40C．64D．80
6、（多選題）（2023?新高考Ⅰ）有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其中是最小值，是最大值，則
A．，，，的平均數(shù)等于，，，的平均數(shù)
B．，，，的中位數(shù)等于，，，的中位數(shù)
C．，，，的標(biāo)準(zhǔn)差不小于，，，的標(biāo)準(zhǔn)差
D．，，，的極差不大于，，，的極差
7、（多選題）（2021?新高考Ⅱ）下列統(tǒng)計量中，能度量樣本，，，的離散程度的有
A．樣本，，，的標(biāo)準(zhǔn)差B．樣本，，，的中位數(shù)
C．樣本，，，的極差D．樣本，，，的平均數(shù)
8、（多選題）（2021?新高考Ⅰ）有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，其中，2，，，為非零常數(shù)，則
A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同
B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同
D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同．
1、某公司有員工500人，其中不到35歲的有125人，35～49歲的有280人，50歲以上的有95人，為了調(diào)查員工的身體健康狀況，從中抽取100名員工，則應(yīng)在這三個年齡段分別抽取人數(shù)為( )

A. 33，34，33 B. 25，56，19
C. 20，40，30 D. 30，50，20
2、一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25，則該組樣本的頻數(shù)為( )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
3、已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示．為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層隨機抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進行調(diào)查，則樣本量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為( )
A．200,20 B．100,20
C．200,10 D.100,10
4、給定一組數(shù)據(jù)5,5,4,3,3,3,2,2,2,1，則這組數(shù)據(jù)( )
A．眾數(shù)為2 B．平均數(shù)為2.5
C．方差為1.6 D．標(biāo)準(zhǔn)差為4
考向一 抽樣方法
例1 要考察某種品牌的850顆種子的發(fā)芽率，從中抽取50顆種子進行實驗，利用隨機數(shù)表法抽取種子，先將850顆種子按001，002，…，850進行編號，如果從隨機數(shù)表第3行第6列的數(shù)開始向右讀，請依次寫出最先檢驗的4顆種子的編號： ．
注：下面抽取了隨機數(shù)表第1行至第5行．
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62
33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32
27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53
13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15
57 12 10 14 21 88 26 49 81 76
55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90
06 18 44 32 53 23 83 01 30 30
變式1、下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機抽樣的個數(shù)為( )
①從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本；
②盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進行質(zhì)量檢驗．在抽樣操作時，從中任意拿出一個零件進行質(zhì)量檢驗后再把它放回盒子里；
③從20件玩具中一次性抽取3件進行質(zhì)量檢驗；
④某班有56名同學(xué)，指定個子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
變式2、.下列抽樣方法是簡單隨機抽樣的是( )
A.質(zhì)檢員從50個零件中一次性抽取5個做質(zhì)量檢驗
B.“隔空不隔愛，停課不停學(xué)”，網(wǎng)課上，李老師對全班45名學(xué)生中點名表揚了3名發(fā)言積極的
C.老師要求學(xué)生從實數(shù)集中逐個抽取10個分析奇偶性
D.某運動員從8條跑道中隨機抽取一條跑道試跑
方法總結(jié)：簡單隨機抽樣的兩種方法
(1)抽簽法，抽簽法的步驟是：
①將總體中的N個個體編號；
②將這N個號碼寫在形狀、大小相同的號簽上；
③將號簽放在同一箱中，并攪拌均勻；
④從箱中每次抽取1個號簽，連續(xù)抽取k次；
⑤將總體中與抽到的號簽的編號一致的k個個體取出．
(2)隨機數(shù)表法，隨機數(shù)表法的步驟是：
①將總體的個體編號(每個號碼的位數(shù)一致)；
②在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)作為開始；
③從選定的數(shù)開始按一定的方向讀下去，若得到的號碼在編號中，則取出；若得到的號碼不在編號中或前面已經(jīng)取出，則跳過，如此繼續(xù)下去，直到取滿為止；
④根據(jù)選定的號碼抽取樣本．
考向二 總體分布的估計以及均值與方差
例2、（2022·廣東羅湖·高三期末）為了分析某次考試的情況，隨機抽取了若干學(xué)生，將其考試成績分組為：，，，，，，，，，并繪制成如下圖所示的頻率分布直方圖，據(jù)此可估計該次考試成績的中位數(shù)，則整數(shù)k的值為（ ）
A．99B．100C．101D．102
變式1、（2022·山東濟南·高三期末）酒后駕駛是嚴(yán)重危害交通安全的行為，某交通管理部門對轄區(qū)內(nèi)四個地區(qū)（甲、乙、丙、丁）的酒駕治理情況進行檢查督導(dǎo)，若“連續(xù)8天，每天查獲的酒駕人數(shù)不超過10”，則認為“該地區(qū)酒駕治理達標(biāo)”，根據(jù)連續(xù)8天檢查所得數(shù)據(jù)的數(shù)字特征推斷，酒駕治理一定達標(biāo)的地區(qū)是（ ）
A．甲地，均值為4，中位數(shù)為5B．乙地：眾數(shù)為3，中位數(shù)為2
C．丙地：均值為7，方差為2D．丁地：極差為，分位數(shù)為8
變式2、（2022·江蘇無錫·高三期末）某年的足球聯(lián)賽上，甲隊每場比賽平均失球數(shù)是個，全年比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為；乙隊每場比賽平均失球數(shù)是個，全年比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，下列說法正確的是（ ）
A．甲乙兩隊相比，乙隊很少失球
B．甲隊比乙隊技術(shù)水平更穩(wěn)定
C．平均來說，甲隊比乙隊防守技術(shù)好
D．乙隊有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好
變式3、（2022·江蘇蘇州·高三期末）（多選題）甲同學(xué)投擲骰子次，并請乙同學(xué)將向上的點數(shù)記錄下來，計算出平均數(shù)和方差．由于記錄遺失，乙同學(xué)只記得這五個點數(shù)的平均數(shù)為，方差在區(qū)間內(nèi)，則這五個點數(shù)（ ）
A．眾數(shù)可能為B．中位數(shù)可能為
C．一定不會出現(xiàn)D．出現(xiàn)的次數(shù)不會超過兩次
方法總結(jié)： 本題主要考查頻率分布直方圖，是一道基礎(chǔ)題目．圖表題作為一道應(yīng)用題，主要考查考生的視圖、用圖能力，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力．頻率分布直方圖的兩個要點：
(1)各個小矩形的面積之和等于1，各個小矩形的面積為各組的頻率，小矩形的高為eq \f(頻率,組距).
(2)eq \f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，eq \f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．
考向三 統(tǒng)計圖表
例3、已知某市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層隨機抽樣的方法抽取30%的戶主進行調(diào)查，則樣本量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為( )
A.240，18 B.200，20
C.240，20 D.200，18
變式1、（2022·山東青島·高三期末）如圖是民航部門統(tǒng)計的年春運期間十二個城市售出的往返機票的平均價格以及相比去年同期變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖表，根據(jù)圖表，下面敘述不正確的是（ ）
A．深圳的變化幅度最小，北京的平均價格最高
B．深圳和廈門的春運期間往返機票價格同去年相比有所下降
C．平均價格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、廈門
D．平均價格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州
變式2、．（2022·河北保定·高三期末）為了增強大學(xué)生的環(huán)保意識，加強對“碳中和”概念的宣傳，某公益組織分別在兩所大學(xué)隨機選取10名學(xué)生進行環(huán)保問題測試（滿分100分），這20名學(xué)生得分的折線圖如圖所示，關(guān)于這兩所學(xué)校被選取的學(xué)生的得分，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均分大于校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均分
B．校學(xué)生分?jǐn)?shù)的眾數(shù)大于校學(xué)生分?jǐn)?shù)的眾數(shù)
C．校學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)等于校學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)
D．校學(xué)生分?jǐn)?shù)的方差大于校學(xué)生分?jǐn)?shù)的方
變式3、（2022·山東臨沂·高三期末）某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)史知識的積累情況，隨機抽取150名同學(xué)參加數(shù)學(xué)史知識測試，測試題共5道，每答對一題得20分，答錯得0分．得分不少于60分記為及格，不少于80分記為優(yōu)秀，測試成績百分比分布圖如圖所示，則（ ）
A．該次數(shù)學(xué)史知識測試及格率超過90%
B．該次數(shù)學(xué)史知識測試得滿分的同學(xué)有15名
C．該次測試成績的中位數(shù)大于測試成績的平均數(shù)
D．若該校共有1500名學(xué)生，則數(shù)學(xué)史知識測試成績能得優(yōu)秀的同學(xué)大約有720名
方法總結(jié)：統(tǒng)計圖表的主要應(yīng)用
扇形圖：直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；
折線圖：描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢；
條形圖和直方圖：直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率；
1、（2022年福建省晉江二中高三模擬試卷）為貫徹落實健康第一的指導(dǎo)思想，切實加強學(xué)校體育工作，促進學(xué)生積極參加體育鍛煉，養(yǎng)成良好的鍛煉習(xí)慣，提高體質(zhì)健康水平.某市抽調(diào)三所中學(xué)進行中學(xué)生體育達標(biāo)測試，現(xiàn)簡稱為A校、B校、C校.現(xiàn)對本次測試進行調(diào)查統(tǒng)計，得到測試成績排在前200名學(xué)生層次分布的餅狀圖、A校前200名學(xué)生的分布條形圖，則下列結(jié)論不一定正確的是（ ）
A. 測試成績前200名學(xué)生中B校人數(shù)超過C校人數(shù)的1.5倍
B. 測試成績前100名學(xué)生中A校人數(shù)超過一半以上
C. 測試成績在51—100名學(xué)生中A校人數(shù)多于C校人數(shù)
D. 測試成績在101—150名學(xué)生中B校人數(shù)最多29人
2、 （2022年福建省南平市第三中學(xué)高三模擬試卷） 某地教育行政部門為了解“雙減”政策的落實情況，在某校隨機抽取了100名學(xué)生，調(diào)查他們課后完成作業(yè)的時間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如下頻率直方圖.根據(jù)此頻率直方圖，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A. 估計該校學(xué)生平均完成作業(yè)的時間超過2.7小時
B. 所抽取的學(xué)生中有25人在2小時至2.5小時之間完成作業(yè)
C. 該校學(xué)生完成作業(yè)的時間超過3.5小時的概率估計為20%
D. 估計該校有一半以上的學(xué)生完成作業(yè)的時間在2小時至3小時之間
3、（2022年廣東省高三模擬試卷）（多選題） 一組數(shù)據(jù)，，…，是公差為的等差數(shù)列，若去掉首末兩項，后，則（ ）
A. 平均數(shù)變大B. 中位數(shù)沒變C. 方差變小D. 極差沒變
4、（2022·廣東清遠·高三期末）（多選題）某學(xué)校組織了一次勞動技能大賽，共有100名學(xué)生參賽，經(jīng)過評判，這100名參賽者的得分都在內(nèi)，得分60分以下為不及格，其得分的頻率分布直方圖如圖所示（按得分分成這五組），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直方圖中
B．此次比賽得分不及格的共有40人
C．以頻率為概率，從這100名參賽者中隨機選取1人，其得分在的概率為0.5
D．這100名參賽者得分的中位數(shù)為65
5、（2022·廣東東莞·高三期末）（多選題）氣象意義上從春季進入夏季的標(biāo)志為“當(dāng)且僅當(dāng)連續(xù)天每天日平均溫度不低于”．現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)天日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)均為正整數(shù)，單位）且滿足以下條件：
甲地：個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，眾數(shù)是；
乙地：個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，平均數(shù)是；
丙地：個數(shù)據(jù)有個是，平均數(shù)是，方差是；
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列統(tǒng)計結(jié)論正確的是（ ）
A．甲地進入了夏季B．乙地進入了夏季
C．不能確定丙地進入了夏季D．恰有2地確定進入了夏季
6、（2022·湖南婁底·高三期末）（多選題）2017年3月，由國家信息中心“一帶一路”大數(shù)據(jù)中心等編寫的《“一帶一路”貿(mào)易合作大數(shù)據(jù)報告（2017）》發(fā)布，呈現(xiàn)了我國與“一帶一路”沿線國家的貿(mào)易成果現(xiàn)狀報告．貿(mào)易順差額=貿(mào)易出口額-貿(mào)易進口額．由數(shù)據(jù)分析可知，在2011年到2016年這六年中（ ）．
中國與“一帶一路”沿線國家出口額和進口額（億美元）
A．2016年中國與沿線國家貿(mào)易進口額最小
B．中國與沿線國家貿(mào)易進口額的中位數(shù)為4492億美元
C．中國與沿線國家貿(mào)易出口額逐年遞增
D．中國與沿線國家貿(mào)易順差額逐年遞增
類別
簡單隨機抽樣
分層抽樣
共同點
抽樣過程中每個個體被抽到的機會均等，不放回抽樣
各自特點
從總體中逐個抽取
將總體分n層，分層進行抽取
適用范圍
總體中個體數(shù)較少
總體由差異明顯的幾部分組成

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2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第38講 復(fù)數(shù)（學(xué)生版）+教師版

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2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第16講 存在與任意問題（學(xué)生版）+教師版

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