1．函數(shù)的概念
一般地，設(shè)A，B是非空的 ，如果對(duì)于集合A中的 一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有 定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.
2．函數(shù)的三要素
(1)函數(shù)的三要素： 、 、 ．
(2)如果兩個(gè)函數(shù)的 相同，并且 完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等．
3．函數(shù)的表示法
4．分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．
5.常見(jiàn)函數(shù)的定義域：
(1)分式函數(shù)中分母 .
(2)偶次根式函數(shù)被開(kāi)方式 .
(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)? .
(4)y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cs x，定義域均為 .
(5)y＝tan x的定義域?yàn)?
(6)函數(shù)f(x)＝xα的定義域?yàn)? .
【2018年新課標(biāo)1卷文科】已知函數(shù)，若，則________．
1、下列圖形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}為定義域，N＝{y|0≤y≤1}為值域的函數(shù)的圖象是( )
2、下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是( )
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x
B．f(x)＝eq \f(x2－4,x＋2)，g(x)＝x－2
C．f(x)＝eq \f(sin 2x,2cs x)，g(x)＝sin x
D．f(x)＝|x|，g(x)＝eq \r(x2)
3、函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．C．D．
4、 (多選)(2022·雅禮中學(xué)高三月考)下列說(shuō)法中，正確的有( )
A. 式子y＝ eq \r(x－1)＋ eq \r(－x－1)可表示自變量為x，因變量為y的函數(shù)
B. 函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點(diǎn)最多有1個(gè)
C. 若f(x)＝|x－1|－|x|，則f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝1
D. f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t是同一函數(shù)
考向一 函數(shù)的概念
例1、（1）下列各曲線表示的y與x之間的關(guān)系中，y不是x的函數(shù)的是( )
（2）(多選)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的為( )
A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B.f(x)＝x－1，g(x)＝eq \f(x2－1,x＋1)
C.f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x＜0))
D.f(x)＝eq \r(－x3)，g(x)＝xeq \r(－x)
變式1、下列各對(duì)函數(shù)中是同一函數(shù)的是( ) ．
A．f(x)＝2x－1與g(x)＝2x－x0 B．f(x)＝eq \r(（2x＋1）2)與g(x)＝|2x＋1|；
C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)與g(n)＝2n(n∈Z)； D．f(x)＝3x＋2與g(t)＝3t＋2.
變式2、已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列從P到Q的各對(duì)應(yīng)關(guān)系f不是函數(shù)的是________．(填序號(hào))
①f：x→y＝eq \f(1,2)x；②f：x→y＝eq \f(1,3)x；③f：x→y＝eq \f(2,3)x；④f：x→y＝eq \r(x).
方法總結(jié)：(1)定義是解題的重要依據(jù)，它有雙重功能：一是判定；二是性質(zhì)．要判定一個(gè)對(duì)應(yīng)是不是從定義域A到值域B的一個(gè)函數(shù)，就要看其是否滿足函數(shù)的定義，反之亦然；
(2)函數(shù)的值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定，當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同的函數(shù)才是同一函數(shù)，而定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則中有一個(gè)不同就不是同一函數(shù)．
考向二 函數(shù)的定義域
例1、 求下列函數(shù)的定義域：
(1) f(x)＝ eq \r(lg (5－x2))；
(2) f(x)＝ eq \f(1,ln (x－1)).
變式1、（1）函數(shù)f(x)＝ln(4x－x2)＋eq \f(1,x－2)的定義域?yàn)? )
A.(0，4) B.[0，2)∪(2，4]
C.(0，2)∪(2，4) D.(－∞，0)∪(4，＋∞)
（2）.函數(shù)f(x)＝eq \r(ln x) ·lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2,2－x)))的定義域是( )
A.[1，2] B.[2，＋∞)
C.[1，2) D.(1，2]
變式3、.已知函數(shù)f(x)的定義域是[－1，1]，則函數(shù)g(x)＝eq \f(f（2x－1）,ln（1－x）)的定義域是( )
A.[0，1] B.(0，1)
C.[0，1) D.(0，1]
方法總結(jié)：1.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法
求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，定義域應(yīng)使實(shí)際問(wèn)題有意義.
2.求抽象函數(shù)定義域的方法
(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域.
考向三 函數(shù)的解析式
例2、 (1) 已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函數(shù)f(x)的解析式；
(2) 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足f(x＋1)＝2f(x).若當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x(1－x)，求當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式；
(3) 已知f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，滿足3f(x)＋5f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝ eq \f(3,x)＋1，求函數(shù)f(x)的解析式．
變式1、(1)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋1))＝lg x，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；
(3)已知函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
變式2、求下列函數(shù)的解析式：
(1)已知f(1－sin x)＝cs2x，求f(x)的解析式；
(2)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函數(shù)且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)滿足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.
方法總結(jié)：函數(shù)解析式的常見(jiàn)求法
函數(shù)解析式的求法主要有以下幾種：
(1)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；
(2)配湊法：由已知條件f(g(x))＝f(x)，可將f(x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；
(3)待定系數(shù)法：已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法，比如二次函數(shù)f(x)可設(shè)為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出a，b，c即可．
(4)解方程組法：已知f(x)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))(或f(－x))等，可根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出f(x)．
考向四 分段函數(shù)
例3、（1）已知函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lg（x2＋1），x0，)))若f(a－1)＝eq \f(1,2)，則實(shí)數(shù)a＝________．
（4）、已知函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋1， x≤0，,－?x－1?2， x>0，))則不等式f(x)≥－1的解集是________．
變式1、設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是___．
方法總結(jié)：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，首先要確定自變量的范圍，再通過(guò)分類討論求解；
(2)當(dāng)給出函數(shù)值或函數(shù)值的取值范圍求自變量的值或自變量的取值范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或取值范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的值或取值范圍．
1、設(shè)函數(shù),( )
A．3 B．6 C．9 D．12
2、設(shè)函數(shù)則使得成立的的取值范圍是________.
3、(2022·泰州中學(xué)期初考試)下列關(guān)于x，y的關(guān)系中為函數(shù)的是（ ）
A.B.
C. D.
4、(2022·湖南省雅禮中學(xué)開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)eq f(x)＝\B\lc\{(\a\al((x－1)\s\up6(2)，x≤1，,lg\s\d(\f(1,2))x，x＞1，))eq f(x\s\d(0))＝－2，則eq x\s\d(0)＝ ．
5、(2022·湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高三起點(diǎn)考試)已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. D.
6、(2022·沭陽(yáng)如東中學(xué)期初考試)(多選題)設(shè)函數(shù)y＝f(x)定義域?yàn)镈，若存在x，y∈D，且x≠y，使得eq 2f(\f(x＋y,2))＝f(x)＋f(y)，則稱函數(shù)y＝f(x)是D上的“S函數(shù)”，下列函數(shù)是“S函數(shù)”的是
A．eq y＝2\s\up6(x) B．y＝x－sinx＋1 C．y＝lnx D．y＝EQ \B\lc\{(\a\al(\l(\F(1,x)，x＞0),\l(1，x≤0)))
7、已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋eq \f(1,x4)，則f(x)＝__________.解析法
圖象法
列表法
就是把變量x，y之間的關(guān)系用一個(gè)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)來(lái)表示，通過(guò)關(guān)系式可以由x的值求出y的值.
就是把x，y之間的關(guān)系繪制成圖象，圖象上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)的變量x，y的值.
就是將變量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關(guān)系.
第08講 函數(shù)的概念及其表示方法
1．函數(shù)的概念
一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.
2．函數(shù)的三要素
(1)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域．
(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等．
3．函數(shù)的表示法
4．分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．
5.常見(jiàn)函數(shù)的定義域：
(1)分式函數(shù)中分母不等于零.
(2)偶次根式函數(shù)被開(kāi)方式大于或等于0.
(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)镽.
(4)y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cs x，定義域均為R.
(5)y＝tan x的定義域?yàn)閑q \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
(6)函數(shù)f(x)＝xα的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0}.
【2018年新課標(biāo)1卷文科】已知函數(shù)，若，則________．
【答案】-7
【解析】
【詳解】
分析：首先利用題的條件，將其代入解析式，得到，從而得到，從而求得，得到答案.
詳解：根據(jù)題意有，可得，所以，故答案是.
點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)已知某個(gè)自變量對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小，來(lái)確定有關(guān)參數(shù)值的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，需要將自變量代入函數(shù)解析式，求解即可得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.
1、下列圖形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}為定義域，N＝{y|0≤y≤1}為值域的函數(shù)的圖象是( )
【答案】 C
【解析】 A中的值域不滿足，B中的定義域不滿足，D項(xiàng)不是函數(shù)的圖象，由函數(shù)的定義可知C正確.
2、下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是( )
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x
B．f(x)＝eq \f(x2－4,x＋2)，g(x)＝x－2
C．f(x)＝eq \f(sin 2x,2cs x)，g(x)＝sin x
D．f(x)＝|x|，g(x)＝eq \r(x2)
【答案】D
【解析】A，B，C的定義域不同，所以答案為D.
3、函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由函數(shù)，知
解之得：
故選：B
4、 (多選)(2022·雅禮中學(xué)高三月考)下列說(shuō)法中，正確的有( )
A. 式子y＝ eq \r(x－1)＋ eq \r(－x－1)可表示自變量為x，因變量為y的函數(shù)
B. 函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點(diǎn)最多有1個(gè)
C. 若f(x)＝|x－1|－|x|，則f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝1
D. f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t是同一函數(shù)
【答案】 BCD
【解析】 對(duì)于A，對(duì)于函數(shù)y＝ eq \r(x－1)＋ eq \r(－x－1)，有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,－x－1≥0，))此不等式組無(wú)解，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)函數(shù)y＝f(x)在x＝1處無(wú)定義時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1無(wú)交點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)y＝f(x)在x＝1處有定義時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1只有1個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點(diǎn)最多有1個(gè)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閒(x)＝|x－1|－|x|，則 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝f(0)＝1，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t的定義域均為R，且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t是同一函數(shù)，故D正確．故選BCD.
考向一 函數(shù)的概念
例1、（1）下列各曲線表示的y與x之間的關(guān)系中，y不是x的函數(shù)的是( )
【答案】 C
【解析】 根據(jù)函數(shù)意義：對(duì)任意x值，y都有唯一值與之對(duì)應(yīng)，只有C不滿足.
（2）(多選)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的為( )
A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B.f(x)＝x－1，g(x)＝eq \f(x2－1,x＋1)
C.f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x＜0))
D.f(x)＝eq \r(－x3)，g(x)＝xeq \r(－x)
【答案】 AC
【解析】 同一函數(shù)滿足①定義域相同；②對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，只有A、C滿足.
變式1、下列各對(duì)函數(shù)中是同一函數(shù)的是( ) ．
A．f(x)＝2x－1與g(x)＝2x－x0 B．f(x)＝eq \r(（2x＋1）2)與g(x)＝|2x＋1|；
C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)與g(n)＝2n(n∈Z)； D．f(x)＝3x＋2與g(t)＝3t＋2.
【答案】 BD
【解析】 ①函數(shù)g(x)＝2x－x0＝2x－1，函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)；②f(x)＝eq \r(（2x＋1）2)＝|2x＋1|與g(x)＝|2x＋1|的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)與g(n)＝2n(n∈Z)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同，不是同一函數(shù)；④f(x)＝3x＋2與g(t)＝3t＋2的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)．
變式2、已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列從P到Q的各對(duì)應(yīng)關(guān)系f不是函數(shù)的是________．(填序號(hào))
①f：x→y＝eq \f(1,2)x；②f：x→y＝eq \f(1,3)x；③f：x→y＝eq \f(2,3)x；④f：x→y＝eq \r(x).
【答案】：③
【解析】：對(duì)于③，因?yàn)楫?dāng)x＝4時(shí)，y＝eq \f(2,3)×4＝eq \f(8,3)?Q，所以③不是函數(shù)．
方法總結(jié)：(1)定義是解題的重要依據(jù)，它有雙重功能：一是判定；二是性質(zhì)．要判定一個(gè)對(duì)應(yīng)是不是從定義域A到值域B的一個(gè)函數(shù)，就要看其是否滿足函數(shù)的定義，反之亦然；
(2)函數(shù)的值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定，當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同的函數(shù)才是同一函數(shù)，而定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則中有一個(gè)不同就不是同一函數(shù)．
考向二 函數(shù)的定義域
例1、 求下列函數(shù)的定義域：
(1) f(x)＝ eq \r(lg (5－x2))；
(2) f(x)＝ eq \f(1,ln (x－1)).
【解析】 (1) 因?yàn)閒(x)＝ eq \r(lg (5－x2))，
所以lg (5－x2)≥0且5－x2>0，
所以lg (5－x2)≥lg 1，－ eq \r(5)0，
解得x>1，且x≠2，
所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1，2)∪(2，＋∞).
變式1、（1）函數(shù)f(x)＝ln(4x－x2)＋eq \f(1,x－2)的定義域?yàn)? )
A.(0，4) B.[0，2)∪(2，4]
C.(0，2)∪(2，4) D.(－∞，0)∪(4，＋∞)
【答案】 C
【解析】 要使函數(shù)有意義，
則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x－x2＞0，,x－2≠0，))
解得0＜x＜4且x≠2.
（2）.函數(shù)f(x)＝eq \r(ln x) ·lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2,2－x)))的定義域是( )
A.[1，2] B.[2，＋∞)
C.[1，2) D.(1，2]
【答案】 C
【解析】根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式，
有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x＋2）（2－x）＞0，,x＞0，,ln x≥0，))解得1≤x＜2，
所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1，2).
變式3、.已知函數(shù)f(x)的定義域是[－1，1]，則函數(shù)g(x)＝eq \f(f（2x－1）,ln（1－x）)的定義域是( )
A.[0，1] B.(0，1)
C.[0，1) D.(0，1]
【答案】 B
【解析】由題意可知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－1，1]，即－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1.又由g(x)滿足1－x＞0且1－x≠1，解得x＜1且x≠0，所以函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0，1).
方法總結(jié)：1.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法
求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，定義域應(yīng)使實(shí)際問(wèn)題有意義.
2.求抽象函數(shù)定義域的方法
(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域.
考向三 函數(shù)的解析式
例2、 (1) 已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函數(shù)f(x)的解析式；
(2) 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足f(x＋1)＝2f(x).若當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x(1－x)，求當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式；
(3) 已知f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，滿足3f(x)＋5f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝ eq \f(3,x)＋1，求函數(shù)f(x)的解析式．
【解析】 (1) 因?yàn)閒(x)為二次函數(shù)，
所以設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
則f(0)＝c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx.
因?yàn)閒(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(1,2)，))
所以f(x)＝ eq \f(1,2)x2＋ eq \f(1,2)x.
(2) 當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，0≤x＋1≤1，
所以f(x)＝ eq \f(f(x＋1),2)＝ eq \f(1,2)(x＋1)(1－x－1)＝－ eq \f(x,2)(x＋1).
(3) 因?yàn)?f(x)＋5f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝ eq \f(3,x)＋1，①
所以3f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋5f(x)＝3x＋1.②
由①＋②，得8f(x)＋8f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x＋ eq \f(3,x)＋2，③
由②－ eq \f(3,8)×③，得2f(x)＝ eq \f(15,8)x－ eq \f(9,8x)＋ eq \f(1,4)，
所以f(x)＝ eq \f(15,16)x－ eq \f(9,16x)＋ eq \f(1,8).
變式1、(1)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋1))＝lg x，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；
(3)已知函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
【解析】 (1)(換元法)令eq \f(2,x)＋1＝t，得x＝eq \f(2,t－1)，
代入得f(t)＝lgeq \f(2,t－1)，又x>0，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lgeq \f(2,x－1)，
x∈(1，＋∞)．
(2)(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))
解得a＝b＝eq \f(1,2).
所以f(x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x，x∈R.
(3)(解方程組法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，
得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3).
故f(x)的解析式是f(x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3)，x∈R.
變式2、求下列函數(shù)的解析式：
(1)已知f(1－sin x)＝cs2x，求f(x)的解析式；
(2)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函數(shù)且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)滿足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.
【解析】(1)(換元法)設(shè)1－sin x＝t，t∈[0，2]，
則sin x＝1－t.
∵f(1－sin x)＝cs2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].
即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].
(2)(配湊法)∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(2)－2，
∴f(x)＝x2－2，
x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
(3)(待定系數(shù)法)∵f(x)是一次函數(shù)，
可設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]
＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,5a＋b＝17，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝7，))
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)(方程組法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①
∴將x用－x替換，
得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
方法總結(jié)：函數(shù)解析式的常見(jiàn)求法
函數(shù)解析式的求法主要有以下幾種：
(1)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；
(2)配湊法：由已知條件f(g(x))＝f(x)，可將f(x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；
(3)待定系數(shù)法：已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法，比如二次函數(shù)f(x)可設(shè)為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出a，b，c即可．
(4)解方程組法：已知f(x)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))(或f(－x))等，可根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出f(x)．
考向四 分段函數(shù)
例3、（1）已知函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lg（x2＋1），x0，)))若f(a－1)＝eq \f(1,2)，則實(shí)數(shù)a＝________．
（4）、已知函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋1， x≤0，,－?x－1?2， x>0，))則不等式f(x)≥－1的解集是________．
【答案】（1）0 2eq \r(2)－3；（2）6（3） lg23（4） [－4,2]
【解析】（1）∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，
∴f(f(－3))＝f(1)＝0，
當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝x＋eq \f(2,x)－3≥2eq \r(2)－3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq \r(2)時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)f(x)min＝2eq \r(2)－31時(shí)，f(a－1)＝2a－1－1＝eq \f(1,2)，
解得a＝lg23.
（4）當(dāng)x≤0時(shí)，不等式f(x)≥－1可以化為eq \f(1,2)x＋1≥－1，
解之得x≥－4，此時(shí)－4≤x≤0；當(dāng)x>0時(shí)，不等式f(x)≥－1可以化為－(x－1)2≥－1，
解之得0

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