考試要求 1.理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性，會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣的方法.2.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想．
1．隨機(jī)抽樣
(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．
(2)分層抽樣：一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．
2．用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布
(1)在頻率分布直方圖中，縱軸表示頻率/組距，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長(zhǎng)方形的面積表示．各小長(zhǎng)方形的面積的總和等于1.
(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線
①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖．
②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線．
(3)莖葉圖
莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù)．
3．用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征
(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．
(2)中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排列，若有奇數(shù)個(gè)數(shù)，則最中間的數(shù)是中位數(shù)；若有偶數(shù)個(gè)數(shù)，則中間兩數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)．
(3)平均數(shù)：eq \x\t(x)＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)，反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平．
(4)標(biāo)準(zhǔn)差：是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，s＝
eq \r(\f(1,n)[?x1－\x\t(x)?2＋?x2－\x\t(x)?2＋…＋?xn－\x\t(x)?2]) .
(5)方差：s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2](xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，eq \x\t(x)是樣本平均數(shù))．
微思考
1．三種抽樣方法有什么共同點(diǎn)和聯(lián)系？
提示 (1)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)均等．
(2)系統(tǒng)抽樣中在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；分層抽樣中各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣．
2．平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與方差反映了數(shù)據(jù)的哪些特征？
提示 平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差反映了數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的波動(dòng)情況，即標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；反之離散程度越小，越穩(wěn)定．
題組一 思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)不一樣，與先后有關(guān)．( × )
(2)分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)．( × )
(3)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個(gè)或幾個(gè)，那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論．( × )
(4)如果一組數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變．( √ )
題組二 教材改編
2．某公司有員工500人，其中不到35歲的有125人，35～49歲的有280人，50歲以上的有95人，為了調(diào)查員工的身體健康狀況，從中抽取100名員工，則應(yīng)在這三個(gè)年齡段分別抽取人數(shù)為( )
A．33,34,33 B．25,56,19
C．20,40,30 D．30,50,20
答案 B
解析 設(shè)在不到35歲的員工中抽取x人，則eq \f(100,500)＝eq \f(x,125)，所以x＝25，同理可得這三個(gè)年齡段抽取人數(shù)分別為25,56,19.
3．某射擊小組有20人，教練將他們某次射擊的數(shù)據(jù)繪制成如下表格，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( )
A．7,7 B．8,7.5
C．7,7.5 D．8,6
答案 C
解析 從表中數(shù)據(jù)可知7環(huán)有7人，人數(shù)最多，所以眾數(shù)是7；
中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排列，第10個(gè)與第11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，第10個(gè)數(shù)是7，第11個(gè)數(shù)是8，所以中位數(shù)是eq \f(7＋8,2)＝7.5.
4．如圖是100位居民月均用水量的頻率分布直方圖，則月均用水量在[2,2.5)范圍內(nèi)的居民有______人．
答案 25
解析 0.5×0.5×100＝25.
題組三 易錯(cuò)自糾
5．已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖，則眾數(shù)是______，平均數(shù)是________．
答案 65 67
解析 因?yàn)樽罡咝￠L(zhǎng)方形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為65，
所以眾數(shù)為65；
平均數(shù)eq \x\t(x)＝(55×0.030＋65×0.040＋75×0.015＋85×0.010＋95×0.005)×10＝67.
6．若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)eq \x\t(x)＝5，方差s2＝2，則數(shù)據(jù)3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均數(shù)和方差分別為_(kāi)_______．
答案 16,18
解析 ∵x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為5，
∴eq \f(x1＋x2＋x3＋…＋xn,n)＝5，
∴eq \f(3x1＋3x2＋3x3＋…＋3xn,n)＋1＝3×5＋1＝16，
∵x1，x2，x3，…，xn的方差為2，
∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.
題型一 抽樣方法
1．(2020·吉安模擬)總體由編號(hào)為00,01,02，…，48,49的50個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第6行的第9列和第10列數(shù)字開(kāi)始從左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第3個(gè)個(gè)體的編號(hào)為( )
附：第6行至第9行的隨機(jī)數(shù)表如下：
2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950
3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732
2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620
7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125
A．33 B．16 C．38 D．20
答案 D
解析 按隨機(jī)數(shù)法，從隨機(jī)數(shù)表第6行的第9列和第10列數(shù)字開(kāi)始從左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，超出49及重復(fù)的不選，則編號(hào)依次為33,16,20,38,49,32，…，則選出的第3個(gè)個(gè)體的編號(hào)為20，故選D.
2．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有10個(gè)個(gè)體的總體中，抽取一個(gè)容量為3的樣本，其中某一個(gè)體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別是( )
A.eq \f(1,10)，eq \f(1,10) B.eq \f(3,10)，eq \f(1,5) C.eq \f(1,5)，eq \f(3,10) D.eq \f(3,10)，eq \f(3,10)
答案 A
解析 在抽樣過(guò)程中，個(gè)體a每一次被抽中的概率是相等的，因?yàn)榭傮w容量為10，故個(gè)體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性均為eq \f(1,10).故選A.
3．為了調(diào)查城市PM2.5的情況，按地域把48個(gè)城市分成大型、中型、小型三組，相應(yīng)的城市數(shù)分別為24,16,8.若用分層抽樣的方法抽取12個(gè)城市，則應(yīng)抽取的中型城市數(shù)為( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)可知，抽樣比為eq \f(12,48)＝eq \f(1,4)，則應(yīng)抽取的中型城市數(shù)為16×eq \f(1,4)＝4.
思維升華 (1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是分層抽樣的基礎(chǔ)，是一種等概率的抽樣，由定義應(yīng)抓住以下特點(diǎn)：①它要求總體個(gè)數(shù)較少；②它是從總體中逐個(gè)抽取的；③它是一種不放回的抽樣.(2)分層抽樣適用于總體中個(gè)體差異較大的情況.
題型二 統(tǒng)計(jì)圖表及應(yīng)用
命題點(diǎn)1 扇形圖
例1 (2018·全國(guó)Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：
則下面結(jié)論中不正確的是( )
A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少
B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上
C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍
D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半
答案 A
解析 設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入為a，則新農(nóng)村建設(shè)后，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入為2a.新農(nóng)村建設(shè)前后，各項(xiàng)收入的對(duì)比如下表：
故選A.
命題點(diǎn)2 折線圖
例2 下面兩個(gè)圖是2020年6月25日由國(guó)家衛(wèi)健委發(fā)布的全國(guó)疫情累計(jì)趨勢(shì)圖，每圖下面橫向標(biāo)注日期，縱向標(biāo)注累計(jì)數(shù)量．現(xiàn)存確診為存量數(shù)據(jù)，計(jì)算方法為：累計(jì)確診數(shù)－累計(jì)死亡數(shù)－累計(jì)治愈數(shù)．
則下列對(duì)新冠肺炎敘述錯(cuò)誤的是( )
A．自1月20日以來(lái)一個(gè)月內(nèi)，全國(guó)累計(jì)確診病例屬于快速增長(zhǎng)時(shí)期
B．自4月份以來(lái)，全國(guó)累計(jì)確診病例增速緩慢，疫情擴(kuò)散勢(shì)頭基本控制
C．自6月16日至24日以來(lái)，全國(guó)每日現(xiàn)存確診病例平緩增加
D．自6月16日至24日以來(lái)，全國(guó)每日現(xiàn)存確診病例逐步減少
答案 D
解析 由圖1可知A，B均正確；由圖2數(shù)據(jù)計(jì)算得16日的現(xiàn)存確診病例為84 867－79 926－4 645＝296，同理可計(jì)算18,20,22,24日現(xiàn)存確診分別為346,383,441,473.
命題點(diǎn)3 莖葉圖
例3 如圖所示的莖葉圖記錄了甲，乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均數(shù)也相等，則x和y的值分別為( )
A．3,5 B．5,5 C．3,7 D．5,7
答案 A
解析 甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65，由甲，乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，得y＝5.又甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，
∴eq \f(1,5)×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝eq \f(1,5)×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3.故選A.
命題點(diǎn)4 頻率分布直方圖
例4 (2020·天津)從一批零件中抽取80個(gè)，測(cè)量其直徑(單位：mm)，將所得數(shù)據(jù)分為9組：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間[5.43,5.47]內(nèi)的個(gè)數(shù)為( )
A．10 B．18 C．20 D．36
答案 B
解析 因?yàn)橹睆铰湓趨^(qū)間[5.43,5.47]內(nèi)的頻率為0.02×(6.25＋5.00)＝0.225，
所以個(gè)數(shù)為0.225×80＝18.
思維升華 (1)通過(guò)扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚的表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．
(2)折線圖可以顯示隨時(shí)間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢(shì)．
(3)由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點(diǎn)同頻率分布直方圖類似．它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點(diǎn)是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒(méi)有任何信息損失，第二點(diǎn)是莖葉圖便于記錄和表示．其缺點(diǎn)是當(dāng)樣本容量較大時(shí)，作圖較煩瑣．
(4)準(zhǔn)確理解頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)特點(diǎn)：
①頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距的結(jié)果，不要誤以為縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率，不要和條形圖混淆．
②頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵，常利用頻率分布直方圖估計(jì)總體分布．
跟蹤訓(xùn)練 (1)由于受疫情的影響，學(xué)校停課，同學(xué)們通過(guò)三種方式在家自主學(xué)習(xí)，現(xiàn)學(xué)校想了解同學(xué)們對(duì)假期學(xué)習(xí)方式的滿意程度，收集如圖1所示的數(shù)據(jù)；教務(wù)處通過(guò)分層抽樣的方法抽取4%的同學(xué)進(jìn)行滿意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A．樣本容量為240
B．若m＝50，則本次自主學(xué)習(xí)學(xué)生的滿意度不低于四成
C．總體中對(duì)方式二滿意的學(xué)生約為300人
D．樣本中對(duì)方式一滿意的學(xué)生為24人
答案 B
解析 選項(xiàng)A，樣本容量為6 000×4%＝240，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，根據(jù)題意得自主學(xué)習(xí)的滿意率為eq \f(600＋300＋1 250,6 000)≈0.358

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