一、知識梳理
1．隨機抽樣
(1)簡單隨機抽樣
①定義：一般地，設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，且每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等，就稱這樣的抽樣方法為簡單隨機抽樣．
②常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法．
(2)分層抽樣
①定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．
②適用范圍：適用于總體由差異比較明顯的幾個部分組成時．
2．統(tǒng)計圖表
(1)頻率分布直方圖的畫法步驟
①求極差(即一組數(shù)據中最大值與最小值的差)；
②決定組距與組數(shù)；
③將數(shù)據分組；
④列頻率分布表；
⑤畫頻率分布直方圖．
(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線
①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖；
②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分組數(shù)增加，組距減小，相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線．
3．樣本的數(shù)字特征
(1)眾數(shù)：一組數(shù)據中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據，叫做這組數(shù)據的眾數(shù)．
(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(或最中間兩個數(shù)據的平均數(shù))叫做這組數(shù)據的中位數(shù)．
(3)平均數(shù)：把eq \f(a1＋a2＋…＋an,n)稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù)．
(4)標準差與方差：設一組數(shù)據x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq \(x,\s\up6(－))，則這組數(shù)據的標準差和方差分別是
s＝ eq \r(\f(1,n)[(x1－\(x,\s\up6(－)))2＋(x2－\(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－\(x,\s\up6(－)))2])，
s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq \(x,\s\up6(－)))2]．
常用結論
1．不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率是相同的．
2．會用三個關系
頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關系
(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)．
(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．
(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．
3．巧用四個有關的結論
(1)若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq \(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為meq \(x,\s\up6(－))＋a；
(2)數(shù)據x1，x2，…，xn與數(shù)據x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a 的方差相等，即數(shù)據經過平移后方差不變；
(3)若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2；
(4)s2＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)－eq \(x,\s\up6(－))2，即各數(shù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．
二、教材衍化
1．某校為了解學生學習的情況，采用分層抽樣的方法從高一2 400人、高二2 000人、高三n人中，抽取90人進行問卷調查．已知高一被抽取的人數(shù)為36，那么高三被抽取的人數(shù)為________．
解析：由分層抽樣可得eq \f(2 400,2 400＋2 000＋n)×90＝36，則n＝1 600，所以高三被抽取的人數(shù)為eq \f(1 600,2 400＋2 000＋1 600)×90＝24.
答案：24
2．已知一組數(shù)據6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據的方差是________．
答案：eq \f(5,3)
3．某儀器廠從新生產的一批零件中隨機抽取40個檢測，如圖是根據抽樣檢測后零件的質量(單位：克)繪制的頻率分布直方圖，樣本數(shù)據分8組，分別為[80，82)，[82，84)，[84，86)，[86，88)，[88，90)，[90，92)，[92，94)，[94，96]，則樣本的中位數(shù)在第________組．
解析：由題圖可得，前四組的頻率為(0.037 5＋0.062 5＋0.075＋0.1)×2＝0.55，則其頻數(shù)為40×0.55＝22，且第四組的頻數(shù)為40×0.1×2＝8，故中位數(shù)落在第4組．
答案：4
一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣．( )
(2)在抽簽法中，先抽的人抽中的可能性大．( )
(3)一組數(shù)據的方差越大，說明這組數(shù)據的波動越大．( )
(4)在頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據落在該區(qū)間內的頻率越大．( )
(5)頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據頻率分布的兩種形式，前者準確，后者直觀．( )
(6)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數(shù)的估計值．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√
二、易錯糾偏
eq \a\vs4\al(常見誤區(qū))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)隨機數(shù)表法的規(guī)則不熟出錯；
(2)頻率分布直方圖識圖不清；
1．假設要考察某公司生產的狂犬疫苗的劑量是否達標，現(xiàn)用隨機數(shù)法從500支疫苗中抽取50支進行檢驗，利用隨機數(shù)表抽取樣本時，先將500支疫苗按000，001，…，499進行編號，若從隨機數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀，則抽取的第3支疫苗的編號為________．(下面摘取了隨機數(shù)表的第7行至第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75
12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38
15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
解析：由題意得，從隨機數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀，符合條件的前三個編號依次是331，455，068，故抽取的第3支疫苗的編號是068.
答案：068
2．我市某校組織學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據的分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學生人數(shù)是________．
解析：依題意得，成績低于60分的相應的頻率等于(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以該班的學生人數(shù)是15÷0.3＝50.
答案：50
考點一 隨機抽樣(基礎型)
eq \a\vs4\al(復習指導)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))1.理解隨機抽樣的必要性和重要性．
2．學會用簡單隨機抽樣的方法從總體中抽取樣本．
3．通過對實例的分析，了解分層抽樣的方法．
核心素養(yǎng)：數(shù)據分析
1．(2020·重慶中山外國語學校模擬)如餅圖，某學校共有教師120人，從中選出一個30人的樣本，其中被選出的青年女教師的人數(shù)為( )
A．12 B．6
C．4 D．3
解析：選D．青年教師的人數(shù)為120×30%＝36，
所以青年女教師為12人，故青年女教師被選出的人數(shù)為12×eq \f(30,120)＝3.故選D．
2．(2020·武漢市武昌區(qū)調研考試)已知某射擊運動員每次射擊擊中目標的概率都為80%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員4次射擊至少3次擊中目標的概率：先由計算器產生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1表示沒有擊中目標，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標；再以每4個隨機數(shù)為一組，代表4次射擊的結果．經隨機模擬產生了如下20組隨機數(shù)：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
據此估計，該射擊運動員4次射擊至少3次擊中目標的概率為________．
解析：4次射擊中有1次或2次擊中目標的有：0371，6011，7610，1417，7140，所以所求概率P＝1－eq \f(5,20)＝eq \f(15,20)＝0.75.
答案：0.75
3．一支田徑隊有男運動員56人，女運動員m人，用分層抽樣抽出一個容量為n的樣本，在這個樣本中隨機取一個當隊長的概率為eq \f(1,28)，且樣本中的男隊員比女隊員多4人，則m＝________．
解析：由題意知n＝28，設其中有男隊員x人，女隊員有y人．
則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝28，,x－y＝4，,\f(56,m)＝\f(x,y).))解得x＝16，y＝12，m＝42.
答案：42
eq \a\vs4\al()
(1)抽簽法與隨機數(shù)法的適用情況
①抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的情況，隨機數(shù)法適用于總體中個體數(shù)較多的情況．
②一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點：
一是制簽是否方便；二是號簽是否易攪勻．一般地，當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法．
(2)分層抽樣問題類型及解題思路
①求某層應抽個體數(shù)量，根據該層所占總體的比例計算．
②已知某層個體數(shù)量，求總體容量，根據分層抽樣即按比例抽樣，列比例式進行計算．
③確定是否應用分層抽樣：分層抽樣適用于總體中個體差異較大的情況．
考點二 樣本的數(shù)字特征(應用型)
eq \a\vs4\al(復習指導)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))1.通過實例理解樣本數(shù)據的標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據的標準差．
2．能根據實際問題的需求合理地選取樣本，從樣本數(shù)據中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并作出合理的解釋．
核心素養(yǎng)：數(shù)據分析、數(shù)學運算
(1)在一次歌詠比賽中，七位裁判為一選手打出的分數(shù)如下：90，89，90，95，93，94，93.去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據的平均數(shù)與方差分別為( )
A．92，2.8 B．92，2
C．93，2 D．93，2.8
(2)(2020·鹽城模擬)已知一組數(shù)據x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，則數(shù)據2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的標準差為________．
【解析】 (1)由題意得所剩數(shù)據：90，90，93，94，93.
所以平均數(shù)eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(90＋90＋93＋94＋93,5)＝92.
方差s2＝eq \f(1,5)[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2]＝2.8.
(2)由s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＝2，則數(shù)據2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差是8，標準差為2eq \r(2).
【答案】 (1)A (2)2eq \r(2)
【遷移探究】 (變條件)本例(2)增加條件“x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)為2”，求數(shù)據2x1＋3，2x2＋3，2x3＋3，2x4＋3，2x5＋3的平均數(shù)和方差．
解：數(shù)據2x1＋3，2x2＋3，2x3＋3，2x4＋3，2x5＋3的平均數(shù)為2×2＋3＝7，方差為22×2＝8.
eq \a\vs4\al()
眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的意義及常用結論
(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述波動大?。?br>(2)方差的簡化計算公式：s2＝eq \f(1,n)[(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－neq \(x,\s\up6(－))2]，或寫成s2＝eq \f(1,n)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－eq \(x,\s\up6(－))2，即方差等于原數(shù)據平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．
1．(2020·昆明市診斷測試)高鐵、掃碼支付、共享單車、網購被稱為中國的“新四大發(fā)明”，為評估共享單車的使用情況，選了n座城市作試驗基地．這n座城市共享單車的使用量(單位：人次/天)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標中可以用來評估共享單車使用量的穩(wěn)定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均數(shù) B．x1，x2，…，xn的標準差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)
解析：選B．平均數(shù)、中位數(shù)可以反映一組數(shù)據的集中程度；方差、標準差可以反映一組數(shù)據的波動大小，同時也反映這組數(shù)據的穩(wěn)定程度．故選B．
2．(2020·甘肅、青海、寧夏聯(lián)考)從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高(單位：厘米)分布情況匯總如下：
由此表估計這100名小學生身高的中位數(shù)為(結果保留4位有效數(shù)字)( )
A．119.3 B．119.7
C．123.3 D．126.7
解析：選C．由題意知身高在(100，110]，(110，120]，(120，130]內的頻率依次為0.05，0.35，0.3，前兩組頻率和為0.4，組距為10，設中位數(shù)為x，則(x－120)×eq \f(0.3,10)＝0.1，解得x≈123.3.故選C．
3．一組數(shù)據1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若該數(shù)據的眾數(shù)是中位數(shù)的eq \f(2,3)倍，則該數(shù)據的方差為________．
解析：根據題意知，該組數(shù)據的眾數(shù)是2，則中位數(shù)是2÷eq \f(2,3)＝3，把這組數(shù)據從小到大排列為1，2，2，x，5，10，
則eq \f(2＋x,2)＝3，解得x＝4，所以這組數(shù)據的平均數(shù)為
eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,6)×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4，
方差為s2＝eq \f(1,6)×[(1－4)2＋(2－4)2×2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9.
答案：9
考點三 頻率分布直方圖(應用型)
eq \a\vs4\al(復習指導)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))1.通過實例體會分布的意義和作用，在表示樣本數(shù)據的過程中，學會列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖，體會它們各自的特點．
2．會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征；初步體會樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機性．
核心素養(yǎng)：直觀想象、數(shù)據分析
角度一 求樣本的頻率、頻數(shù)
(2020·福建五校第二次聯(lián)考)某服裝店對過去100天其實體店和網店的銷售量(單位：件)進行了統(tǒng)計，制成頻率分布直方圖如下：
(1)若將上述頻率視為概率，已知該服裝店過去100天的銷售中，實體店和網店銷售量都不低于50的概率為0.24，求過去100天的銷售中，實體店和網店至少有一邊銷售量不低于50的天數(shù)；
(2)若將上述頻率視為概率，已知該服裝店實體店每天的人工成本為500元，門市成本為1 200元，每售出一件利潤為50元，求該實體店一天獲利不低于800元的概率．
【解】 (1)由題意知，網店銷售量不低于50共有(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5×100＝66(天)，實體店銷售量不低于50共有(0.032＋0.020＋0.012×2)×5×100＝38(天)，實體店和網店銷售量都不低于50的天數(shù)為100×0.24＝24，
故實體店和網店至少有一邊銷售量不低于50的天數(shù)為66＋38－24＝80.
(2)由題意，設該實體店一天售出x件，則獲利為(50x－1 700)元，50x－1 700≥800?x≥50.
記該實體店一天獲利不低于800元為事件A，則
P(A)＝P(x≥50)＝(0.032＋0.020＋0.012＋0.012)×5＝0.38.
故該實體店一天獲利不低于800元的概率為0.38.
角度二 求樣本的數(shù)字特征
(2019·高考全國卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比．根據試驗數(shù)據分別得到如下直方圖：
記C為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”，根據直方圖得到P(C)的估計值為0.70.
(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；
(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值為代表)．
【解】 (1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故
a＝0.35.
b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.
(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為
2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.
乙離子殘留百分比的平均值的估計值為
3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.
eq \a\vs4\al()
(1)頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法
①eq \f(頻率,組距)×組距＝頻率；
②eq \f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，eq \f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，
樣本容量×頻率＝頻數(shù)．
(2)頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算
①最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)；
②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；
③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．
1．在樣本頻率分布直方圖中，共有9個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他8個長方形的面積和的eq \f(2,5)，且樣本容量為140，則中間一組的頻數(shù)為( )
A．28 B．40
C．56 D．60
解析：選B．設中間一組的頻數(shù)為x，因為中間一個小長方形的面積等于其他8個長方形的面積和的eq \f(2,5)，所以其他8組的頻數(shù)和為eq \f(5,2)x，由x＋eq \f(5,2)x＝140，解得x＝40.
2．(2020·武昌區(qū)調研考試)對參加某次數(shù)學競賽的1 000名選手的初賽成績(滿分：100分)作統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)根據直方圖完成以下表格；
(2)求參賽選手初賽成績的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值作代表)；
(3)如果從參加初賽的選手中選取380人參加復賽，那么如何確定進入復賽選手的成績？
解：(1)填表如下：
(2)平均數(shù)為55×0.05＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.35＋95×0.1＝78，
方差s2＝(－23)2×0.05＋(－13)2×0.15＋(－3)2×0.35＋72×0.35＋172×0.1＝101.
(3)進入復賽選手的成績?yōu)?0＋eq \f(350－(380－100),350)×10＝82(分)，所以初賽成績?yōu)?2分及其以上的選手均可進入復賽．
(說明：回答82分以上，或82分及其以上均可)
[基礎題組練]
1．某班有34位同學，座位號記為01，02，…，34，用下面的隨機數(shù)表選取5組數(shù)作為參加青年志愿者活動的五位同學的座號．選取方法是從隨機數(shù)表第一行的第6列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第4個志愿者的座號是( )
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35
20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06
88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83
92 12 06
A．23 B．09
C．02 D．16
解析：選D．從隨機數(shù)表第一行的第6列數(shù)字3開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，不超過34的依次為21，32，09，16，17，故第4個志愿者的座號為16.
2．(2020·陜西漢中重點中學聯(lián)考)某機構對青年觀眾是否喜歡跨年晚會進行了調查，人數(shù)如下表所示：
現(xiàn)要在所有參與調查的人中用分層抽樣的方法抽取n人做進一步的調研，若在“不喜歡的男性青年觀眾”中抽取了6人，則n＝( )
A．12 B．16
C．20 D．24
解析：選D．由題意得eq \f(30,30＋10＋30＋50)＝eq \f(30,120)＝eq \f(6,n)，解得n＝24.故選D．
3．(2019·高考全國卷Ⅱ)演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是( )
A．中位數(shù) B．平均數(shù)
C．方差 D．極差
解析：選A．記9個原始評分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i(按從小到大的順序排列)，易知e為7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A．
4．(多選)某學生5次考試的成績(單位：分)分別為85，67，m，80，93，其中m＞0.若該學生在這5次考試中成績的中位數(shù)為80，則得分的平均數(shù)可能為( )
A．70 B．75
C．80 D．85
解析：選ABC．已知的四次成績按照由小到大的順序排列為67，80，85，93，該學生這5次考試成績的中位數(shù)為80，則m≤80，所以平均數(shù)eq \f(85＋67＋m＋80＋93,5)≤81，可知平均數(shù)可能為70，75，80，不可能為85.故選ABC．
5．(多選)從某地區(qū)年齡在25～55歲的人員中，隨機抽取100人，了解他們對今年兩會熱點問題的看法，繪制出頻率分布直方圖，如圖所示，則下列說法正確的是( )
A．抽取的100人中，年齡在40～45歲的人數(shù)大約為20
B．抽取的100人中，年齡在35～45歲的人數(shù)大約為40
C．抽取的100人中，年齡在40～50歲的人數(shù)大約為50
D．抽取的100人中，年齡在35～50歲的人數(shù)大約為60
解析：選AD．根據頻率分布直方圖的性質得(0.01＋0.05＋0.06＋a＋0.02＋0.02)×5＝1，解得a＝0.04，所以抽取的100人中，年齡在40～45歲的大約為0.04×5×100＝20，所以A正確；年齡在35～45歲的人數(shù)大約為(0.06＋0.04)×5×100＝50，所以B不正確；年齡在40～50歲的人數(shù)大約為(0.04＋0.02)×5×100＝30，所以C不正確；年齡在35～50歲的人數(shù)大約為(0.06＋0.04＋0.02)×5×100＝60，所以D正確．故選AD．
6．(2020·開封市定位考試)某工廠生產A，B，C三種不同型號的產品，產品數(shù)量之比為k∶5∶3，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個容量為120的樣本，已知A種型號產品共抽取了24件，則C種型號產品抽取的件數(shù)為________．
解析：依題意得eq \f(24,120)＝eq \f(k,k＋5＋3)，解得k＝2，所以C種型號產品抽取的件數(shù)為eq \f(3,2＋5＋3)×120＝36.
答案：36
7．甲、乙、丙、丁四人參加某運動會射擊項目的選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示：
從這四個人中選擇一人參加該運動會射擊項目比賽，最佳人選是________．
解析：由題表中數(shù)據可知，丙的平均環(huán)數(shù)最高，且方差最小，說明技術穩(wěn)定，且成績好．
答案：丙
8．對某市“四城同創(chuàng)”活動中800名志愿者的年齡抽樣調查統(tǒng)計后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組為[25，30)的數(shù)據不慎丟失，則依據此圖可得：
(1)[25，30)年齡組對應小矩形的高度為________；
(2)據此估計該市“四城同創(chuàng)”活動中志愿者年齡在[25，35)的人數(shù)為________．
解析：設[25，30)年齡組對應小矩形的高度為h，則5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.則志愿者年齡在[25，35)年齡組的頻率為5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年齡在[25，35)年齡組的人數(shù)約為0.55×800＝440.
答案：(1)0.04 (2)440
9．某校1 200名高三年級學生參加了一次數(shù)學測驗(滿分為100分)，為了分析這次數(shù)學測驗的成績，從這1 200人的數(shù)學成績中隨機抽取200人的成績繪制成如下的統(tǒng)計表，請根據表中提供的信息解決下列問題：
(1)求a、b、c的值；
(2)如果從這1 200名學生中隨機抽取一人，試估計這名學生該次數(shù)學測驗及格的概率P(注：60分及60分以上為及格)；
(3)試估計這次數(shù)學測驗的年級平均分．
解：(1)由題意可得，b＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05，a＝200×0.05＝10，c＝200×0.5＝100.
(2)根據已知，在抽出的200人的數(shù)學成績中，及格的有162人．所以P＝eq \f(162,200)＝0.81.
(3)這次數(shù)學測驗樣本的平均分為
eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(16×3＋32.1×10＋55×25＋74×100＋88×62,200)＝73，
所以這次數(shù)學測驗的年級平均分大約為73分．
10．為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員，并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結果中隨機抽取10天的數(shù)據，制圖如下：
每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務費情況如下：
甲公司規(guī)定每件4.5元；乙公司規(guī)定每天35件以內(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．
(1)根據圖中數(shù)據寫出甲公司員工A在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù)；
(2)根據圖中數(shù)據估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務費．
解：(1)甲公司員工A在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)為36，眾數(shù)為33.
(2)根據題圖中數(shù)據，可估算甲公司的每位員工該月所得勞務費為4.5×36×30＝4 860(元)，易知乙公司員工B每天所得勞務費X的可能取值為136，147，154，189，203，所以乙公司的每位員工該月所得勞務費約為eq \f(1,10)×(136×1＋147×3＋154×2＋189×3＋203×1)×30＝165.5×30＝4 965(元)．
[綜合題組練]
1．(2020·安徽五校聯(lián)盟第二次質檢)數(shù)據a1，a2，a3，…，an的方差為σ2，則數(shù)據2a1，2a2，2a3，…，2an的方差為( )
A．eq \f(σ2,2) B．σ2
C．2σ2 D．4σ2
解析：選D．設a1，a2，a3，…，an的平均數(shù)為a，則2a1，2a2，2a3，…，2an的平均數(shù)為2a，σ2＝eq \f((a1－a)2＋(a2－a)2＋(a3－a)2＋…＋(an－a)2,n).
則2a1，2a2，2a3，…，2an的方差為eq \f((2a1－2a)2＋(2a2－2a)2＋(2a3－2a)2＋…＋(2an－2a)2,n)＝4×eq \f((a1－a)2＋(a2－a)2＋(a3－a)2＋…＋(an－a)2,n)＝4σ2.故選D．
2．(多選)新聞出版業(yè)不斷推進供給側結構性改革，深入推動優(yōu)化升級和融合發(fā)展，持續(xù)提高優(yōu)質出版產品供給，實現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展．下面是2015年至2019年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收情況，則下列說法正確的是( )
A．2015年至2019年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收均逐年增加
B．2019年我國數(shù)字出版業(yè)營收超過2015年我國數(shù)字出版業(yè)營收的2倍
C．2019年我國新聞出版業(yè)營收超過2015年我國新聞出版業(yè)營收的1.5倍
D．2019年我國數(shù)字出版業(yè)營收占新聞出版業(yè)營收的比例未超過三分之一
解析：選ABD．根據圖示數(shù)據可知A正確；1 935.5×2＝3 871＜5 720.9，故B正確；16 635.3×1.5＝24 952.95＞23 595.8，故C不正確；23 595.8×eq \f(1,3)≈7 865＞5 720.9，故D正確．故選ABD．
3．甲、乙二人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績得分情況如圖：
(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；
(2)根據圖和上面算得的結果，對兩人的訓練成績作出評價．
解：(1)由題圖可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為
甲：10分，13分，12分，14分，16分；
乙：13分，14分，12分，12分，14分．
eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(10＋13＋12＋14＋16,5)＝13；
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(13＋14＋12＋12＋14,5)＝13，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,5)[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4；
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,5)[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2)由seq \\al(2,甲)＞seq \\al(2,乙)，可知乙的成績較穩(wěn)定．
從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高．
4．(2020·廣州市調研測試)某蔬果經銷商銷售某種蔬果，售價為每千克25元，成本為每千克15元．銷售宗旨是當天進貨當天銷售．如果當天賣不出去，未售出的全部降價以每千克10元處理完．根據以往的銷售情況，按[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500]進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)根據頻率分布直方圖計算該種蔬果日需求量的平均數(shù)eq \(x,\s\up6(－))(同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間中點值代表)；
(2)該經銷商某天購進了250千克該種蔬果，假設當天的需求量為x千克(0≤x≤500)，利潤為y元．求y關于x的函數(shù)關系式，并結合頻率分布直方圖估計利潤y不小于1 750元的概率．
解：(1)eq \(x,\s\up6(－))＝50×0.001 0×100＋150×0.002 0×100＋250×0.003 0×100＋350×0.002 5×100＋450×0.001 5×100＝265.
故該種蔬果日需求量的平均數(shù)為265千克．
(2)當日需求量不低于250千克時，利潤y＝(25－15)×250＝2 500(元)，
當日需求量低于250千克時，利潤y＝(25－15)x－(250－x)×5＝15x－1 250(元)，
所以y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(15x－1 250，0≤x＜250,2 500，250≤x≤500))，
由y≥1 750，得200≤x≤500，
所以P(y≥1 750)＝P(200≤x≤500)＝0.003 0×100＋0.002 5×100＋0.001 5×100＝0.7.
故估計利潤y不小于1 750元的概率為0.7.身高
(100，110]
(110，120]
(120，130]
(130，140]
(140，150]
頻數(shù)
5
35
30
20
10
成績
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
頻數(shù)
成績
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100)
頻數(shù)
50
150
350
350
100
不喜歡
喜歡
男性青年觀眾
30
10
女性青年觀眾
30
50
甲
乙
丙
丁
平均環(huán)數(shù)eq \(x,\s\up6(－))
8.3
8.8
8.8
8.7
方差s2
3.5
3.6
2.2
5.4
成績分組
頻數(shù)
頻率
平均分
[0，20)
3
0.015
16
[20，40)
a
b
32.1
[40，60)
25
0.125
55
[60，80)
c
0.5
74
[80，100]
62
0.31
88

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