正態(tài)分布
(1)定義
若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))·eeq \f(－（x－μ）2,2σ2)，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0為參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從 ，記為X～N(μ，σ2).
(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)
①曲線是單峰的，它關(guān)于直線 對稱.
②曲線在 處達(dá)到峰值eq \f(1,σ\r(2π)).
③當(dāng)|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.
(3)3σ原則
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正態(tài)分布的均值與方差
若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
1、【2022年新高考2卷】已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N2,σ2，且P(22.5)=____________．
2、（21?新高考Ⅱ）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論中不正確的是
A．越小，該物理量在一次測量中落在內(nèi)的概率越大
B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5
C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．該物理量在一次測量中結(jié)果落在與落在的概率相等
1、已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（ ）
A．0.977B．0.954C．0.5D．0.023
2、某校高三年級有1000人參加期末考試，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，且成績不低于140分的人數(shù)為100，則此次考試數(shù)學(xué)成績高于100分的人數(shù)約為( )
A．700B．800C．900D．950
3、(2022·濱州二模)設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則“μ≥1”是“P(Xm)＝0.3，則P(X>6－m)＝________．
5、設(shè)，，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．
C．對任意正數(shù)，
D．對任意正數(shù)，
考向一 利用正態(tài)分布求概率
例1、“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系，為我國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻(xiàn)；某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高(單位：cm)服從正態(tài)分布，其密度曲線函數(shù)為，則下列說法正確的是（ ）
A．該地水稻的平均株高為100cm
B．該地水稻株高的方差為10
C．隨機(jī)測量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大
D．隨機(jī)測量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(單位：cm)的概率一樣大
變式1、設(shè)，，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
變式2、（2022·江蘇如皋·高三期末）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則（ ）
A．0.43B．0.28C．0.14D．0.07
變式3、（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）已知參加2020年某省夏季高考的53萬名考生的成績近似地服從正態(tài)分布，估計這些考生成績落在的人數(shù)約為（ ）
(附：，則，)
A．36014B．72027C．108041D．168222
變式4、（1）（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則_____________．
（2）（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）設(shè)隨機(jī)變量，若，則____________．
考向二 正態(tài)分布的綜合性問題
例2、為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長期的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2).
(1) 假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；
(2) 在一天內(nèi)抽檢的零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．
①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；
②下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：
9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
經(jīng)計算，得 eq \x\t(x)＝ eq \f(1,16)＝9.97，s＝≈0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1，2，…，16.用樣本平均數(shù) eq \x\t(x)作為μ的估計值μ，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值σ，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ.(精確到0.01)
附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ

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