1．在數列中，，，記的前項和為，則（ ）
A．B．C．D．
2．衡量病毒傳播能力的一個重要指標叫做傳播指數．它指的是，在自然情況下（沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫），一個感染某種傳染病的人，會把疾病傳染給多少人的平均數．它的簡單計算公式是：確診病例增長率系列間隔，其中系列間隔是指在一個傳播鏈中兩例連續(xù)病例的間隔時間（單位：天）．根據統(tǒng)計，某種傳染病確診病例的平均增長率為25%，兩例連續(xù)病例的間隔時間的平均數為4天，根據以上數據計算，若甲得這種傳染病，則經過6輪傳播后由甲引起的得病的總人數約為（ ）
A．30B．62C．64D．126
3．已知數列、滿足，，，則數列的前項和為（ ）
A．B．C．D．
4．已知函數，給出三個條件：①；②；③.從中選出一個能使數列成等比數列的條件，在這個條件下，數列的前項和（ ）
A．B．C．D．
5．（多選題）已知等比數列公比為，前項和為，且滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．為單調遞增數列B．
C．，，成等比數列D．
6. （多選題）在遞增的等比數列中，已知公比為，是其前項和，若，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．數列是等比數列
C．D．數列是公差為2的等差數列
二、填空題
7．已知數列為遞增等比數列，是關于的方程的兩個實數根，則其前項和________.
8．已知等比數列的前項和為，若，，則數列的公比_______.
9．以為首項?以為公比的等比數列滿足，，設數列的前項和為，若恒成立，則實數的取值范圍是______.
10．對于數列，定義數列為數列的“差數列”，若，的“差數列”的通項公式為，數列的前項和為，則的最大值為________．
三、解答題
11．已知是等差數列，是各項都為正數的等比數列，，再從①；②；③這三個條件中選擇___________，___________兩個作為已知.
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和.
12．已知公比大于1的等比數列的前項和為，且，．
（1）求數列的通項公式；
（2）在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，求數列的前項和．
4.3.2等比數列的前n項和公式 (1) 提高練
一、選擇題
1．在數列中，，，記的前項和為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】∵，∴，又，∴數列是以1為首項，為比的等比數列，∴，∴.故選：D.
2．衡量病毒傳播能力的一個重要指標叫做傳播指數．它指的是，在自然情況下（沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫），一個感染某種傳染病的人，會把疾病傳染給多少人的平均數．它的簡單計算公式是：確診病例增長率系列間隔，其中系列間隔是指在一個傳播鏈中兩例連續(xù)病例的間隔時間（單位：天）．根據統(tǒng)計，某種傳染病確診病例的平均增長率為25%，兩例連續(xù)病例的間隔時間的平均數為4天，根據以上數據計算，若甲得這種傳染病，則經過6輪傳播后由甲引起的得病的總人數約為（ ）
A．30B．62C．64D．126
【答案】D
【詳解】由題意得：，所以經過6輪傳播后由甲引起的得病的總人數約為：
，故選：D
3．已知數列、滿足，，，則數列的前項和為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：因為，∴數列是等差數列，且公差是，是等比數列，且公比是，又∵，∴，，∴，
設，∴，數列是等比數列，且公比為，首項為，
由等比數列的前項和的公式得：其前項的和為.故選：C.
4．已知函數，給出三個條件：①；②；③.從中選出一個能使數列成等比數列的條件，在這個條件下，數列的前項和（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】已知函數，定義域為.
若選①，則，，不是常數，則不是等比數列；若選②，則，，不是常數，則不是等比數列；若選③，則，，是常數，
則是以為首項，以3為公比的等比數列，則.故選：D.
5．（多選題）已知等比數列公比為，前項和為，且滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．為單調遞增數列B．
C．，，成等比數列D．
【答案】BD
【詳解】由，可得，則，當首項時，可得為單調遞減數列，故錯誤；由，故正確；假設，，成等比數列，可得，
即不成立，顯然，，不成等比數列，故錯誤；
由公比為的等比數列，可得
，故正確；故選：．
6. （多選題）在遞增的等比數列中，已知公比為，是其前項和，若，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．數列是等比數列
C．D．數列是公差為2的等差數列
【答案】ABC
【詳解】為遞增的等比數列，由得
解得或∵為遞增數列，∴∴，，
故選項正確；∴，，∴，，
∴數列是等比數列，故選項正確；所以,則，故選項正確.又，∴數列是公差為的等差數列，故選項錯誤.故選：ABC.
二、填空題
7．已知數列為遞增等比數列，是關于的方程的兩個實數根，則其前項和________.
【答案】31
【詳解】由，解得或，∵數列為遞增等比數列，是關于的方程的兩個實數根，∴，∴公比．
∴其前5項和．
8．已知等比數列的前項和為，若，，則數列的公比_______.
【答案】
【詳解】由已知，
則，解得．
9．以為首項?以為公比的等比數列滿足，，設數列的前項和為，若恒成立，則實數的取值范圍是______.
【答案】
【詳解】由題意得，可得，所以，
所以，即.
10．對于數列，定義數列為數列的“差數列”，若，的“差數列”的通項公式為，數列的前項和為，則的最大值為________．
【答案】
【詳解】由題意得，則，，，．．．．．．，，將以上各式相加，得，
∴，也適合，，．
則的最大值為．
三、解答題
11．已知是等差數列，是各項都為正數的等比數列，，再從①；②；③這三個條件中選擇___________，___________兩個作為已知.
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和.
【詳解】解：選擇條件①和條件②
（1）設等差數列的公差為，∴
解得：，.∴，.
（2）設等比數列的公比為，，
∴解得，.
設數列的前項和為，∴.
選擇條件①和條件③：
（1）設等差數列的公差為，∴
解得：，.∴.
（2），設等比數列的公比為，.
∴，解得，.
設數列的前項和為，∴.
選擇條件②和條件③：
（1）設等比數列的公比為，，
∴，解得，，.
設等差數列的公差為，∴，又，故.
∴.
（2）設數列的前項和為，
由（1）可知.
12．已知公比大于1的等比數列的前項和為，且，．
（1）求數列的通項公式；
（2）在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，求數列的前項和．
【詳解】解：設的公比為，．
（1）由整理得，解得或（舍去）．
∴，∴，．
（2），∴．
∴，，
∴
．
∴．

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4.3 等比數列

版本： 人教A版 (2019)

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