一、勻變速直線運(yùn)動的位移
1．物體做勻速直線運(yùn)動，其v－t圖像與t軸圍成的矩形面積有什么意義？
答案 做勻速直線運(yùn)動的物體在時間t內(nèi)的位移大小對應(yīng)著v－t圖線與t軸圍成的矩形面積，即v－t圖像與t軸圍成的矩形面積表示物體的位移大小。
2．如圖是某物體以初速度v0做勻變速直線運(yùn)動的v－t圖像。
(1)如圖甲所示，把物體的運(yùn)動分成5段，每一段時間內(nèi)，看成勻速直線運(yùn)動，試著在圖中畫出這5小段的位移之和。
(2)如圖乙所示，如果把過程分割為更多的小段，和甲圖相比，哪種情形更接近整個過程的位移？
(3)依次類推，如果把過程分割成無數(shù)個小段，能否用梯形的面積代表物體在這段時間的位移？
(4)梯形面積為多少？試結(jié)合v＝v0＋at推導(dǎo)出位移x與時間t的關(guān)系。
答案 (1)位移為圖中矩形面積之和，如圖所示。
(2)圖乙更接近整個過程中的位移。
(3)可以。
(4)S＝eq \f(v＋v0,2)t＝eq \f(v0＋at＋v0,2)t＝v0t＋eq \f(1,2)at2，則x＝v0t＋eq \f(1,2)at2。
1．勻變速直線運(yùn)動位移與時間的關(guān)系式：x＝v0t＋eq \f(1,2)at2
當(dāng)v0＝0時，x＝eq \f(1,2)at2(由靜止開始的勻加速直線運(yùn)動)，此時x∝t2。
2．適用范圍：僅適用于勻變速直線運(yùn)動。
3．公式的矢量性：公式中x、v0、a都是矢量，應(yīng)用時必須選取正方向。一般選v0的方向?yàn)檎较颉．?dāng)物體做勻加速直線運(yùn)動時，a取正值。當(dāng)物體做勻減速直線運(yùn)動時，a取負(fù)值，計算結(jié)果中，位移x的正、負(fù)表示其方向。
4．各物理量的單位都要使用國際單位制單位。
說明：推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動的位移大小等于圖像下方的面積時用到了微元法。
任意形狀的v－t圖像與時間軸所圍成的面積都等于物體的位移大小。
例1 以36 km/h的速度行駛的列車開始下坡，在下坡路上的加速度等于0.2 m/s2，經(jīng)過30 s到達(dá)坡底，求坡路的長度和列車到達(dá)坡底時的速度大小。
答案 390 m 16 m/s
解析 設(shè)坡路的長度為x，列車到達(dá)坡底時的速度大小為v，初速度v0＝36 km/h＝10 m/s，
加速度a＝0.2 m/s2，時間t＝30 s，
根據(jù)x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，
得x＝10 m/s×30 s＋eq \f(1,2)×0.2 m/s2×(30 s)2＝390 m。
根據(jù)v＝v0＋at，
得v＝10 m/s＋0.2 m/s2×30 s＝16 m/s。
例2 一物體做勻減速直線運(yùn)動，初速度大小為v0＝5 m/s，加速度大小為0.5 m/s2，求：
(1)物體在前3 s內(nèi)的位移大?。?br>(2)物體在第3 s內(nèi)的位移大小。
答案 (1)12.75 m (2)3.75 m
解析 (1)取初速度方向?yàn)檎较?br>v0＝5 m/s，a＝－0.5 m/s2
前3 s內(nèi)物體的位移x3＝v0t3＋eq \f(1,2)at32＝5×3 m＋eq \f(1,2)×(－0.5)×32 m＝12.75 m。
(2)同理，前2 s內(nèi)物體的位移
x2＝v0t2＋eq \f(1,2)at22＝5×2 m＋eq \f(1,2)×(－0.5)×22 m＝9 m
因此第3 s內(nèi)物體的位移
x＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m。
應(yīng)用位移與時間的關(guān)系式解題的步驟：
(1)規(guī)定正方向(一般以初速度的方向?yàn)檎较?。
(2)根據(jù)規(guī)定的正方向確定已知量的正、負(fù)，并用帶有正、負(fù)號的數(shù)值表示。
(3)根據(jù)位移與時間的關(guān)系式或其變形公式列式、求解。
(4)根據(jù)計算結(jié)果說明所求量的大小和方向。
二、速度與位移的關(guān)系
試由x＝v0t＋eq \f(1,2)at2和v＝v0＋at，消去時間t，推導(dǎo)速度與位移的關(guān)系式。
答案 由v＝v0＋at得
t＝eq \f(v－v0,a)
代入x＝v0t＋eq \f(1,2)at2得
v2－v02＝2ax。
1．勻變速直線運(yùn)動速度與位移的關(guān)系式：v2－v02＝2ax。
2．適用范圍：僅適用于勻變速直線運(yùn)動。
3．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，應(yīng)用解題時一定要先設(shè)定正方向，一般取v0方向?yàn)檎较颉?br>(1)若是加速運(yùn)動，a取正值，若是減速運(yùn)動，a取負(fù)值。
(2)若計算結(jié)果x＞0，表明位移的方向與初速度方向相同，x＜0表明位移的方向與初速度方向相反。
(3)若計算結(jié)果v＞0，表明速度的方向與初速度方向相同，v＜0表明速度的方向與初速度方向相反。
例3 某型號航空母艦上裝有幫助飛機(jī)起飛的彈射系統(tǒng)，已知某型號的飛機(jī)在平直跑道上加速時可產(chǎn)生的最大加速度為5.0 m/s2，當(dāng)飛機(jī)的速度達(dá)到50 m/s時才能離開航空母艦起飛，設(shè)航空母艦始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。問：
(1)若某艦上不裝彈射系統(tǒng)，要求該型號飛機(jī)仍能在此艦上正常起飛，該艦身長至少為多長？
(2)若要求該飛機(jī)滑行160 m后起飛，彈射系統(tǒng)必須使飛機(jī)具有多大的初速度？
答案 (1)250 m (2)30 m/s
解析 (1)不裝彈射系統(tǒng)時，飛機(jī)從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動，由公式v2＝2ax可知該艦身長至少為x1＝eq \f(v2,2a)＝250 m。
(2)設(shè)彈射系統(tǒng)使飛機(jī)具有的初速度為v0，由速度與位移的關(guān)系式v2－v02＝2ax
可得v0＝eq \r(v2－2ax2)＝30 m/s。
如果在所研究的問題中，已知量和未知量都不涉及時間t，利用公式v2－v02＝2ax求，往往會更方便。
三、剎車中的位移問題
一汽車在水平路面上勻速行駛，速度v0＝10 m/s，突然前方出現(xiàn)緊急情況，司機(jī)以5 m/s2的加速度剎車，求汽車開始剎車后3 s內(nèi)的位移。
答案 首先根據(jù)v＝v0＋at0
求開始剎車到停止所用時間為t0＝eq \f(v－v0,a)＝eq \f(0－10,－5) s＝2 s，因t>t0
故x＝v0t0＋eq \f(1,2)at02
＝10×2 m－eq \f(1,2)×5×4 m
＝10 m。
剎車類問題的分析思路：
汽車剎車、飛機(jī)降落后在跑道上滑行等都可簡化為單方向的勻減速直線運(yùn)動，當(dāng)速度減小到零后，就停止運(yùn)動，在計算這類運(yùn)動的位移時，應(yīng)先計算出速度減小到零所用的時間t0。
(1)如果t0t，說明經(jīng)過時間t運(yùn)動還沒有停止，則應(yīng)用題目所給的時間t直接求解位移。
例4 以18 m/s的速度行駛的汽車，制動后做勻減速直線運(yùn)動，在3 s內(nèi)前進(jìn)36 m(制動3 s時汽車未停止)。求汽車的加速度及制動后5 s內(nèi)發(fā)生的位移大小。
答案 4 m/s2，與初速度方向相反 40.5 m
解析 初速度v0＝18 m/s，時間t＝3 s，
位移x＝36 m
根據(jù)x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，得a＝eq \f(2?x－v0t?,t2)＝eq \f(2×?36－18×3?,32) m/s2＝－4 m/s2，則加速度大小為4 m/s2，方向與初速度方向相反。
根據(jù)v＝v0＋at, 汽車停止運(yùn)動的時間t′＝eq \f(v－v0,a)＝eq \f(0－18,－4) s＝4.5 s
故汽車在制動后5 s內(nèi)的位移與4.5 s內(nèi)的位移相等
x′＝eq \f(1,2)|a|t′2＝40.5 m。
逆向思維法的應(yīng)用
剎車類問題末速度為零時，可以采用逆向思維法，將汽車勻減速到零的運(yùn)動看成是初速度為零的勻加速運(yùn)動，從而使問題的解答更簡便。
課時對點(diǎn)練
考點(diǎn)一 勻變速直線運(yùn)動的位移
1．(2023·宿遷市泗陽縣實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高一期末)一質(zhì)點(diǎn)在t＝0時刻開始做初速度為2 m/s、加速度為4 m/s2的勻加速直線運(yùn)動，在0～2 s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移大小為( )
A．10 m B．12 m
C．14 m D．16 m
答案 B
解析 根據(jù)勻變速直線運(yùn)動位移與時間的關(guān)系式得x＝v0t＋eq \f(1,2)at2＝2×2 m＋eq \f(1,2)×4×22 m＝12 m，故B正確。
2．(2023·日照市高一月考)一個物體由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動，第1 s末的速度達(dá)到3 m/s，則物體在第2 s內(nèi)的位移是( )
A．3 m B．4.5 m
C．9 m D．13.5 m
答案 B
解析 根據(jù)v1＝at1
得加速度為a＝eq \f(v1,t1)＝3 m/s2
則第2 s內(nèi)的位移為
x2＝eq \f(1,2)at22－eq \f(1,2)at12＝4.5 m，故選B。
3．(多選)一質(zhì)點(diǎn)做勻變速直線運(yùn)動，其位移表達(dá)式為x＝(10t＋t2) m，則( )
A．質(zhì)點(diǎn)的初速度為10 m/s
B．質(zhì)點(diǎn)的加速度大小為1 m/s2
C．質(zhì)點(diǎn)的加速度大小為2 m/s2
D．在第4 s末，質(zhì)點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn)24 m
答案 AC
解析 將x＝(10t＋t2) m與公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2對比可知，質(zhì)點(diǎn)的初速度為10 m/s，加速度大小為2 m/s2，故A、C正確，B錯誤；t＝4 s時，x4＝(10×4＋42) m＝56 m，故D錯誤。
4．一質(zhì)點(diǎn)由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動，它在第10 s內(nèi)的位移為19 m，則其加速度大小為( )
A．1.9 m/s2 B．2.0 m/s2
C．9.5 m/s2 D．3.0 m/s2
答案 B
解析 質(zhì)點(diǎn)做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，根據(jù)位移與時間關(guān)系式，有
前10 s內(nèi)的位移x1＝eq \f(1,2)at102，
前9 s內(nèi)的位移x2＝eq \f(1,2)at92，
第10 s內(nèi)的位移x＝x1－x2＝19 m，
代入數(shù)據(jù)解得a＝2.0 m/s2，故選項(xiàng)B正確。
考點(diǎn)二 速度與位移的關(guān)系
5．(2022·凱里一中高一期中)一輛摩托車在平直的公路上勻加速行駛，經(jīng)過路旁兩相鄰電線桿時的速度分別是5 m/s和15 m/s，已知相鄰電線桿之間的距離是20 m。則摩托車的加速度是( )
A．5 m/s2 B．0.5 m/s2
C．10 m/s2 D．2.5 m/s2
答案 A
解析 根據(jù)速度與位移的關(guān)系式v2－v02＝2ax得a＝eq \f(152－52,2×20) m/s2＝5 m/s2，故A正確，B、C、D錯誤。
6.如圖所示，一小車從A點(diǎn)由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動，若到達(dá)B點(diǎn)時速度為v，到達(dá)C點(diǎn)時速度為2v，則xAB∶xBC等于( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
答案 C
解析 設(shè)小車的加速度為a，由v2－v02＝2ax得xAB＝eq \f(v2,2a)，xBC＝xAC－xAB＝eq \f(?2v?2,2a)－eq \f(v2,2a)＝eq \f(3v2,2a)，故xAB∶xBC＝1∶3，選項(xiàng)C正確。
7．(2023·溫州市高一期中)2022年6月17日，我國的第三艘航母“福建艦”正式下水?！案＝ㄅ灐迸鋫淞耸澜缱钕冗M(jìn)的電磁彈射器，能夠牽引某型號的飛機(jī)在100 m內(nèi)起飛，若該飛機(jī)從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動，起飛速度為288 km/h，則其加速度至少為重力加速度的(g取10 m/s2)( )
A．0.4倍 B．1.6倍
C．3.2倍 D．6.4倍
答案 C
解析 起飛速度v＝288 km/h＝80 m/s，當(dāng)加速的位移最長時，所需的加速度最小，根據(jù)v2＝2ax，解得a＝eq \f(802,2×100) m/s2＝32 m/s2＝3.2g，故選C。
8.(2023·南陽市第二完全學(xué)校高級中學(xué)高一期中)當(dāng)車輛在公路上出現(xiàn)故障不能移動時，為保證安全，需要在事故車輛后面一定距離放置如圖所示的警示標(biāo)志。通常情況下，司機(jī)看到警示標(biāo)志后會有大約0.3～0.6 s的反應(yīng)時間。某省道限速80 km/h(約為22 m/s)，假設(shè)某后方司機(jī)即將撞到警示標(biāo)志時才看到該標(biāo)志，為避免后方車輛與故障車相撞，警示標(biāo)志應(yīng)放在故障車尾后面的距離不小于(在此公路剎車過程最大加速度大小為8 m/s2)( )
A．13.2 m B．30.25 m
C．36.85 m D．43.45 m
答案 D
解析 為充分保證安全距離，取最大反應(yīng)時間為0.6 s，則當(dāng)車輛以最大速度行駛，從開始剎車到停止運(yùn)動行駛距離為x1＝eq \f(v02,2a)＝eq \f(222,2×8) m＝30.25 m，反應(yīng)時間中行駛距離為x2＝v0t2＝22×0.6 m＝13.2 m，得總距離為x＝x1＋x2＝43.45 m，故選D。
9．汽車以20 m/s的速度做勻速直線運(yùn)動，某時刻關(guān)閉發(fā)動機(jī)而做勻減速直線運(yùn)動，加速度大小為5 m/s2，則它關(guān)閉發(fā)動機(jī)后通過37.5 m所需時間為( )
A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s
答案 A
解析 根據(jù)x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，將v0＝20 m/s，a＝－5 m/s2，x＝37.5 m，代入得：t1＝3 s，t2＝5 s，但汽車減速到0所用的時間t0＝eq \f(0－v0,a)＝4 s，所以t2＝5 s應(yīng)舍去，故選項(xiàng)A正確。
10.(2022·佳木斯市高一開學(xué)考試)如圖所示，高山滑雪運(yùn)動員在斜坡上由靜止開始勻加速滑行距離x1，又在水平面上勻減速滑行距離x2后停下，測得x2＝2x1，運(yùn)動員經(jīng)過兩平面交接處速率不變，則運(yùn)動員在斜坡上滑行的加速度a1與在水平面上滑行的加速度a2的大小關(guān)系為( )
A．a(chǎn)1＝a2 B．a(chǎn)1＝4a2
C．2a1＝a2 D．a(chǎn)1＝2a2
答案 D
解析 設(shè)運(yùn)動員下滑到坡底的速率為v，則斜坡上有x1＝eq \f(v2,2a1)，在水平面上有x2＝eq \f(v2,2a2)，且x2＝2x1，聯(lián)立解得a1＝2a2，故選D。
11．(2022·保定市高一期中)假設(shè)某次深海探測活動中，“蛟龍?zhí)枴蓖瓿珊５卓瓶既蝿?wù)后豎直上浮，從上浮速度為v時開始勻減速并計時，經(jīng)過時間t“蛟龍?zhí)枴鄙细〉胶Ｃ?，速度恰好減為零，則“蛟龍?zhí)枴痹趖0(t0

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