1．勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移


(1)位移公式：x＝eq \(□,\s\up4(01))vt。


(2)位移在v-t圖像中的表示：對(duì)于做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移在數(shù)值上等于v-t圖線與對(duì)應(yīng)的時(shí)間軸所圍成的矩形eq \(□,\s\up4(02))面積。如圖1所示陰影圖形的面積就等于物體在t1時(shí)間內(nèi)的位移。





2．勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移


(1)位移公式：x＝eq \(□,\s\up4(01))v0t＋eq \f(1,2)at2。


(2)位移在v-t圖像中的表示：對(duì)于做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移大小等于v-t圖線與時(shí)間軸所圍成的eq \(□,\s\up4(02))梯形面積。如圖2所示，陰影圖形的面積等于物體在t1時(shí)間內(nèi)的位移。





(3)兩種特殊情形


①當(dāng)v0＝0時(shí)，x＝eq \(□,\s\up4(03))eq \f(1,2)at2，即由靜止開(kāi)始的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，位移x與t2成正比。


②當(dāng)a＝0時(shí)，x＝eq \(□,\s\up4(04))v0t，即勻速直線運(yùn)動(dòng)。


3．速度與位移的關(guān)系


(1)公式：eq \(□,\s\up4(01))v2－veq \\al(2,0)＝2ax。


(2)式中v0和v分別是eq \(□,\s\up4(02))初速度和eq \(□,\s\up4(03))末速度，x是這段時(shí)間內(nèi)的eq \(□,\s\up4(04))位移。


(3)當(dāng)初速度v0＝0時(shí)，有eq \(□,\s\up4(05))v2＝2ax；當(dāng)末速度v＝0時(shí)，有eq \(□,\s\up4(06))veq \\al(2,0)＝－2ax。





典型考點(diǎn)一 位移與時(shí)間關(guān)系式的應(yīng)用


1．一個(gè)物體從靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，第1秒內(nèi)的位移為2 m，則下列說(shuō)法正確的是( )


A．物體運(yùn)動(dòng)的加速度為2 m/s2


B．物體第2秒內(nèi)的位移為4 m


C．物體在第3秒內(nèi)的平均速度為8 m/s


D．物體從靜止開(kāi)始通過(guò)32 m的位移需要4 s的時(shí)間


答案 D


解析 物體從靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)x1＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,1)得，物體運(yùn)動(dòng)的加速度a＝eq \f(2x1,t\\al(2,1))＝eq \f(2×2,1) m/s2＝4 m/s2，故A錯(cuò)誤；物體在第2 s內(nèi)的位移x2＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,2)－eq \f(1,2)ateq \\al(2,1)＝eq \f(1,2)×4×(4－1) m＝6 m，故B錯(cuò)誤；物體在第3 s內(nèi)的位移x3＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,3)－eq \f(1,2)ateq \\al(2,2)＝eq \f(1,2)×4×(9－4) m＝10 m，則第3 s內(nèi)的平均速度為10 m/s，故C錯(cuò)誤；物體從靜止開(kāi)始通過(guò)32 m所用的時(shí)間t＝eq \r(\f(2x,a))＝eq \r(\f(2×32,4)) s＝4 s，故D正確。


典型考點(diǎn)二 速度與位移關(guān)系式的應(yīng)用


2．獵豹是目前世界上陸地奔跑速度最快的動(dòng)物，速度可達(dá)每小時(shí)110多公里，但它不能長(zhǎng)時(shí)間高速奔跑，否則會(huì)因身體過(guò)熱而危及生命。獵豹在一次追擊獵物時(shí)可認(rèn)為由靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為7.5 m/s2，經(jīng)過(guò)4 s速度達(dá)到最大，然后勻速運(yùn)動(dòng)保持了4 s仍沒(méi)追上獵物，為保護(hù)自己它放棄了這次行動(dòng)，然后以大小為3 m/s2的加速度做勻減速運(yùn)動(dòng)直到停下，設(shè)獵豹此次追捕始終沿直線運(yùn)動(dòng)。求：


(1)獵豹奔跑的最大速度可達(dá)多少？


(2)獵豹從開(kāi)始做勻減速運(yùn)動(dòng)直到停下的位移是多少？


答案 (1)30 m/s (2)150 m


解析 (1)設(shè)獵豹奔跑的最大速度為v，對(duì)于勻加速直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程，有v＝a1t1＝7.5×4 m/s＝30 m/s。


(2)對(duì)于勻減速直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)速度與位移的關(guān)系式得x＝eq \f(0－v2,2a2)＝eq \f(－302,2×?－3?) m＝150 m。


典型考點(diǎn)三 平均速度、中間時(shí)刻速度和中間位置速度


3．一質(zhì)點(diǎn)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的v-t圖像如圖所示。已知一段時(shí)間內(nèi)的初速度為v0，末速度為v。求：





(1)這段時(shí)間內(nèi)的平均速度(用v0、v表示)；


(2)中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度；


(3)這段位移中間位置的瞬時(shí)速度。


答案 (1)eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2) (2) ＝eq \f(v0＋v,2)


(3) ＝ eq \r(\f(v\\al(2,0)＋v2,2))


解析 (1)因?yàn)関-t圖像與t軸所圍面積表示位移，


則t時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位移可表示為x＝eq \f(v0＋v,2)·t，


又平均速度與位移的關(guān)系為x＝eq \x\t(v) t，


故平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2)。


(2)由題圖可知中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度的大小等于梯形中位線的長(zhǎng)度，得＝eq \f(v0＋v,2)。


(3)根據(jù)速度與位移關(guān)系式v2－veq \\al(2,0)＝2ax，將位移x分為兩段相等的位移，





兩式聯(lián)立可得＝ eq \r(\f(v\\al(2,0)＋v2,2))。


典型考點(diǎn)四 逆向思維法解題


4．物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，初速度為10 m/s，加速度大小為1 m/s2，則物體在停止運(yùn)動(dòng)前1 s內(nèi)的平均速度為( )


A．5.5 m/s B．5 m/s


C．1 m/s D．0.5 m/s


答案 D


解析 對(duì)于末速度為0的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，采用逆向思維法后，速度公式和位移公式變?yōu)関＝at、x＝eq \f(1,2)at2，計(jì)算更為簡(jiǎn)潔。物體減速時(shí)間t0＝eq \f(v－v0,a)＝eq \f(0－10 m/s,－1 m/s2)＝10 s，該勻減速直線運(yùn)動(dòng)的逆運(yùn)動(dòng)為：初速度為零、加速度為a′＝1 m/s2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則原運(yùn)動(dòng)物體停止運(yùn)動(dòng)前1 s內(nèi)的位移與逆運(yùn)動(dòng)第1 s內(nèi)的位移相等。由此可得x＝eq \f(1,2)a′t2＝eq \f(1,2)×1×12 m＝0.5 m，故物體停止運(yùn)動(dòng)前1 s內(nèi)的平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)＝0.5 m/s，D正確。





1．一輛汽車(chē)以大小為2 m/s2的加速度做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)2 s(汽車(chē)未停下)，汽車(chē)行駛了36 m。汽車(chē)開(kāi)始減速時(shí)的速度是( )


A．9 m/s B．18 m/s


C．20 m/s D．12 m/s


答案 C


解析 由x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，將x＝36 m，a＝－2 m/s2，t＝2 s代入解得v0＝20 m/s，C正確。


2．飛機(jī)起飛的過(guò)程是由靜止開(kāi)始在平直跑道上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程。飛機(jī)在跑道上加速到某速度值時(shí)離地升空飛行。已知飛機(jī)在跑道上加速前進(jìn)的距離為1600 m，所用時(shí)間為40 s，則飛機(jī)的加速度a和離地速度v分別為( )


A．2 m/s2 80 m/s B．2 m/s2 40 m/s


C．1 m/s2 40 m/s D．1 m/s2 80 m/s


答案 A


解析 根據(jù)x＝eq \f(1,2)at2，得a＝eq \f(2x,t2)＝eq \f(2×1600,402) m/s2＝2 m/s2，飛機(jī)離地速度為v＝at＝2×40 m/s＝80 m/s，故A正確。


3．小球以某一較大初速度沖上一足夠長(zhǎng)光滑斜面，加速度大小為6 m/s2，則小球在沿斜面上滑過(guò)程中最后一秒的位移是( )


A．2.0 m B．2.5 m


C．3.0 m D．3.5 m


答案 C


解析 將小球的運(yùn)動(dòng)看作反向初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，上滑過(guò)程中最后一秒即為勻加速直線運(yùn)動(dòng)的第一秒，根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系有x＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(1,2)×6×12 m＝3 m，C正確。


4．物體從斜面頂端由靜止開(kāi)始勻加速下滑，到達(dá)斜面底端時(shí)速度為4 m/s，則物體經(jīng)過(guò)斜面中點(diǎn)時(shí)的速度為( )


A．2 m/s B．2eq \r(2) m/s


C.eq \r(2) m/s D.eq \f(\r(2),2) m/s


答案 B


解析 已知v0＝0，v＝4 m/s，根據(jù)veq \f(x,2)＝ eq \r(\f(v\\al(2,0)＋v2,2))，解得物體經(jīng)過(guò)斜面中點(diǎn)時(shí)的速度為2eq \r(2) m/s，故B正確。


5.如圖所示，某高速列車(chē)在某段距離中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度由5 m/s增加到10 m/s時(shí)位移為x。則當(dāng)速度由10 m/s增加到15 m/s時(shí)，它的位移是( )


A．eq \f(5,2)x B．eq \f(5,3)x


C．2x D．3x





答案 B


解析 由v2－veq \\al(2,0)＝2ax得102－52＝2ax,152－102＝2ax′，兩式聯(lián)立可得x′＝eq \f(5,3)x，故B正確。


6.一輛汽車(chē)從靜止開(kāi)始由甲地出發(fā)，沿平直公路開(kāi)往乙地，汽車(chē)先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，接著做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，開(kāi)到乙地剛好停止，其速度—時(shí)間圖像如圖所示，那么0～t和t～3t兩段時(shí)間內(nèi)( )





A．加速度大小之比為3∶1


B．位移大小之比為1∶3


C．平均速度大小之比為2∶1


D．平均速度大小之比為1∶1


答案 D


解析 兩段的加速度大小分別為a1＝eq \f(v,t)，a2＝eq \f(v,2t)，eq \f(a1,a2)＝eq \f(2,1)，A錯(cuò)誤；兩段的位移分別為x1＝eq \f(1,2)vt，x2＝vt，eq \f(x1,x2)＝eq \f(1,2)，B錯(cuò)誤；兩段的平均速度eq \x\t(v)1＝eq \x\t(v)2＝eq \f(v,2)，C錯(cuò)誤，D正確。


7．一列火車(chē)從靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，一人站在第一節(jié)車(chē)廂前端的旁邊觀測(cè)，第一節(jié)車(chē)廂通過(guò)他歷時(shí)2 s，整列車(chē)通過(guò)他歷時(shí)6 s，則這列火車(chē)的車(chē)廂有( )


A．3節(jié) B．6節(jié)


C．9節(jié) D．12節(jié)


答案 C


解析 設(shè)一節(jié)車(chē)廂長(zhǎng)為L(zhǎng)，則L＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,1)，nL＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,2)。將t1＝2 s，t2＝6 s代入上面兩式，解得n＝9，C正確。


8．汽車(chē)以v0＝10 m/s的速度在水平路面上勻速運(yùn)動(dòng)，剎車(chē)后經(jīng)過(guò)2 s速度變?yōu)? m/s，若將剎車(chē)過(guò)程視為勻減速直線運(yùn)動(dòng)，求：


(1)從開(kāi)始剎車(chē)起，汽車(chē)在6 s內(nèi)發(fā)生的位移大?。?br/>

(2)汽車(chē)靜止前2 s內(nèi)通過(guò)的位移大小。


答案 (1)25 m (2)4 m


解析 (1)汽車(chē)剎車(chē)時(shí)的加速度


a＝eq \f(v－v0,t)＝eq \f(6－10,2) m/s2＝－2 m/s2，


則汽車(chē)速度減為零所需的時(shí)間


t0＝eq \f(0－v0,a)＝eq \f(0－10,－2) s＝5 s＜6 s。


則6 s內(nèi)的位移等于5 s內(nèi)的位移


x＝v0t0＋eq \f(1,2)ateq \\al(2,0)＝10×5 m－eq \f(1,2)×2×52 m＝25 m。


(2)采用逆向思維，將汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)反向看作初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則汽車(chē)在靜止前2 s內(nèi)的位移


x′＝eq \f(1,2)a′t′2＝eq \f(1,2)×2×22 m＝4 m。


9．在高速公路上，有時(shí)會(huì)發(fā)生“追尾”事故——后面的汽車(chē)撞上前面的汽車(chē)。某段平直高速公路的最高車(chē)速限制為108 km/h，設(shè)某人駕車(chē)正以最高時(shí)速沿該高速公路勻速行駛，該車(chē)剎車(chē)時(shí)產(chǎn)生的加速度大小為5 m/s2，該人的反應(yīng)時(shí)間(從意識(shí)到應(yīng)該停車(chē)到操作剎車(chē)的時(shí)間)為0.5 s。求行駛時(shí)的安全車(chē)距至少為多少？


答案 105 m


解析 汽車(chē)原來(lái)的速度v0＝108 km/h＝30 m/s，


運(yùn)動(dòng)過(guò)程如圖所示





在反應(yīng)時(shí)間t1＝0.5 s內(nèi)，汽車(chē)做勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移為


x1＝v0t1＝30×0.5 m＝15 m，


開(kāi)始剎車(chē)后，汽車(chē)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，


滑行時(shí)間為t2＝eq \f(0－30,－5) s＝6 s，


汽車(chē)剎車(chē)后滑行的位移為


x2＝v0t2＋eq \f(1,2)ateq \\al(2,2)＝30×6 m＋eq \f(1,2)×(－5)×62 m＝90 m，


所以行駛時(shí)的安全車(chē)距至少應(yīng)為x＝x1＋x2＝15 m＋90 m＝105 m。


10．某航空母艦上裝有幫助飛機(jī)起飛的彈射系統(tǒng)。已知某型戰(zhàn)斗機(jī)在跑道上加速時(shí)，產(chǎn)生的最大加速度為5 m/s2，起飛的最小速度是50 m/s，彈射系統(tǒng)能夠使戰(zhàn)斗機(jī)具有的最大速度為30 m/s，則：


(1)戰(zhàn)斗機(jī)起飛時(shí)在跑道上至少加速多長(zhǎng)時(shí)間才能起飛？


(2)航空母艦的跑道至少應(yīng)該多長(zhǎng)？


答案 (1)4 s (2)160 m


解析 (1)戰(zhàn)斗機(jī)在跑道上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)有最大彈射速度、最大加速度時(shí)，起飛所需的時(shí)間最短，故有


t＝eq \f(v－v0,a)＝eq \f(50－30,5) s＝4 s，


則戰(zhàn)斗機(jī)起飛時(shí)在跑道上的加速時(shí)間至少為4 s。


(2)根據(jù)速度位移關(guān)系式v2－veq \\al(2,0)＝2ax可得，


x＝eq \f(v2－v\\al(2,0),2a)＝eq \f(502－302,2×5) m＝160 m，


即航空母艦的跑道至少為160 m。


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3 勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系

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