1.能用向量方法解決點(diǎn)到直線(xiàn)、點(diǎn)到平面、相互平行的直線(xiàn)、相互平行的平面的距離問(wèn)題；2.能描述解決這一類(lèi)問(wèn)題的程序，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用；3.能利用投影向量得到點(diǎn)到直線(xiàn)、點(diǎn)到平面的距離公式，結(jié)合一些具體的距離問(wèn)題的解決；4.歸納用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).
環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
如圖，在蔬菜大棚基地有一條筆直的公路,某人要在點(diǎn)A處，修建一個(gè)蔬菜存儲(chǔ)庫(kù)。如何在公路上選擇一個(gè)點(diǎn),修一條公路到達(dá)A點(diǎn),要想使這個(gè)路線(xiàn)長(zhǎng)度理論上最短,應(yīng)該如何設(shè)計(jì)？
問(wèn)題1:立體幾何中有哪些距離問(wèn)題？
我們知道，立體幾何中的距離問(wèn)題包括點(diǎn)到直線(xiàn)、點(diǎn)到平面、兩條平行直線(xiàn)以及兩個(gè)平行平面的距離問(wèn)題等
環(huán)節(jié)二：觀察分析，感知概念
如何用空間向量解決這些距離問(wèn)題呢？
下面我們先研究用向量方法求直線(xiàn)外一點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離．
問(wèn)題2:己知一條直線(xiàn)l和直線(xiàn)l外一點(diǎn)P,求點(diǎn)Р到直線(xiàn)l的距離.
追問(wèn)1：?jiǎn)栴}中有哪些幾何要素？如何用向量來(lái)表示這些幾何要素？
環(huán)節(jié)三：抽象概括，形成概念
追問(wèn)⒉:作出點(diǎn)Р到直線(xiàn)l的距離PQ,向量 與點(diǎn)Р到直線(xiàn)l的距離PQ之間有什么關(guān)系?
思考類(lèi)比點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的求法，如何求兩條平行直線(xiàn)之間的距離？
追問(wèn)3:你能借助圖形,用向量方法求出點(diǎn)Р到直線(xiàn)l的距離嗎?
環(huán)節(jié)四：辨析理解，深化概念
問(wèn)題4:類(lèi)似于點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,如何求平面α外一點(diǎn)Р到平面α的距離?
環(huán)節(jié)五：課堂練習(xí)，鞏固運(yùn)用
分析：根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示相關(guān)的點(diǎn)、直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量，再利用有關(guān)公式，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算得出相應(yīng)的距離．
與用平面向量解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”類(lèi)似，我們可以得出用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”：（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線(xiàn)、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾角等問(wèn)題；（3）把向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論．
環(huán)節(jié)六:歸納總結(jié)，反思提升
問(wèn)題7:回顧這節(jié)課的學(xué)習(xí),我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容? 用的是什么方法?
2.用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”
環(huán)節(jié)七：目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置
與距離類(lèi)似，角度是立體幾何中另一個(gè)重要的度量．下面我們用向量方法研究直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面所成的角以及平面與平面的夾角，先看下列問(wèn)題．例7 如圖1.4-19，在棱長(zhǎng)為1的正四面體(四個(gè)面都是正三角形) ABCD中， M， N分別為BC， AD的中點(diǎn)，求直線(xiàn)AM和CN夾角的余弦值．

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.4 空間向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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