【期中真題】安徽省十校聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1. 在空間直角坐標系下，點關(guān)于軸對稱的點的坐標為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中點關(guān)于y軸的對稱坐標的特點，可得答案【詳解】設(shè)點為關(guān)于y軸的對稱點則的中點在y軸上，且坐標為所以，則所以點關(guān)于y軸的對稱點的坐標為.故選：B.2. 若橢圓的一個焦點為，則的值為（）A. 5 B. 3 C. 4 D. 2【答案】B【解析】【分析】由題意判斷橢圓焦點在軸上，則，解方程即可確定的值.【詳解】有題意知：焦點在軸上，則，從而，解得：.故選：B.3. 將直線繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到新直線的斜率是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先將直線化為斜截式，寫出直線的斜率和傾斜角，再求得新直線的傾斜角和斜率.【詳解】將化為，則該直線的斜率為、傾斜角為，所以旋轉(zhuǎn)后新直線的傾斜角為，則新直線的斜率為.故選：A.4. 已知實數(shù)滿足方程，則的最大值為（）A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D【解析】【分析】將方程化為，由圓幾何性質(zhì)可得答案.【詳解】將方程變形為，則圓心坐標為，半徑，則圓上的點的橫坐標的范圍為：則x的最大值是故選：D.5. 已知直線，若圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，則的值為（）A. B. C. D. 5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可知圓的圓心坐標為，又圓上存在兩點P，Q關(guān)于直線對稱，所以直線經(jīng)過圓心，將圓心坐標代入直線方程，即可求出結(jié)果.【詳解】∵圓：，∴圓的圓心坐標為，又圓：上存在兩點P，Q關(guān)于直線對稱，∴直線經(jīng)過圓心，∴，解得.故選：A.6. 已知直線與直線平行，則等于（）A. 3或 —2 B. —2 C. 3 D. 2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的條件求解，注意檢驗．【詳解】由題意，解得或，時，兩直線方程分別為，，平行，時，兩直線方程分別為，，兩直線重合，舍去．所以．故選：C．7. 在四棱錐中，，則這個四棱錐的高為（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】【分析】結(jié)合點面距離的向量公式求解即可【詳解】設(shè)平面ABCD的法向量為，則，即，∴，取，則，∴這個四棱錐的高.故選：D.8. 過圓上一點作圓的兩條切線，切點分別為，若，則（）A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)易知OAPB是正方形且，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系畫示意圖，即可求參數(shù)r.【詳解】由題意知：，∵，∴四邊形OAPB是正方形，且，∴.故選：D.9. 已知直線，若，則的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)的斜率分別為，當(dāng)時，根據(jù)，可知，求得的斜率為，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，再結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系即可求出傾斜角的范圍；當(dāng)時，易知的傾斜角為0；由此即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)的斜率分別為當(dāng)時，，∵，∴，∴，∵，∴.設(shè)直線的傾斜角為，，則，∴；當(dāng)時，直線的斜率不存在，傾斜角為，∵，∴的傾斜角為0.綜上，.故選：D.10. 在正方體中，棱的中點分別為，則直線與所成角的正弦值為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以D為坐標原點，DA，DC，、分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】設(shè)正方體的棱長為2，以D為坐標原點，DA，DC，、分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則，，，，則，，設(shè)直線EF與的所成角為，則，∴.故選：B11. 已知圓，直線與圓沒有公共點，斜率為的直線與直線垂直，則的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線與圓沒有公共點可求得，根據(jù)垂直可得，即可求出范圍.【詳解】由題意得，，即，∵直線與圓沒有公共點，∴，解得，∴.∵直線與直線垂直，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，又或時，，∴的取值范圍是.故選：B.12. 已知橢圓的離心率為，過右焦點且傾斜角為的直線與橢圓相交得到的弦長為，且橢圓上存在4個點構(gòu)成矩形，則矩形面積的最大值為（）A. 4 B. C. 8 D. 16【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，得到，，設(shè)直線：，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)與橢圓相交得到的弦長為求得橢圓方程；設(shè)，其中，得到，，，然后得到矩形MNPQ的面積求解.【詳解】由題意得，，故，，，則直線：，聯(lián)立，解得，，故所形成的弦長為，解得，即橢圓：.由對稱性設(shè)，其中，則，，，則，，故矩形MNPQ的面積，∴，故矩形MNPQ面積的最大值為4，故選：A.二?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分?將答案填寫在題中的橫線上）13. 設(shè)空間向量，且，則___________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)，由求解.【詳解】因為向量，且，所以，即，解得.故答案為：114. 設(shè)圓，圓，則圓有公切線___________條.【答案】2【解析】分析】將圓轉(zhuǎn)化成標準式，結(jié)合圓心距判斷兩圓位置關(guān)系，進而求解.【詳解】由題意得，圓：，圓：，∴，∴與相交，有2條公切線.故答案為：215. 設(shè)是橢圓的左，右焦點，點在上，為坐標原點，且，則的面積為___________.【答案】7【解析】【分析】根據(jù)題意可得，利用勾股定理和橢圓定義可求得，即可求出面積.【詳解】由題意得，，，，∴在以線段為直徑的圓上，∴，∴①，由橢圓的定義知，②，由①②，解得，.故答案為：7.16. 在如圖所示的實驗裝置中，四邊形框架為正方形，為矩形，且，且它們所在的平面互相垂直，為對角線上的一個定點，且，活動彈子在正方形對角線上移動，當(dāng)取最小值時，活動彈子與點之間的距離為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件建立以直線，，分別為軸，軸，軸的空間直角坐標系，利用空間向量即可計算作答．【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，則，又平面平面ABEF，平面平面，∴平面∵四邊形為矩形，∴，以B為坐標原點，以射線BA，BE，BC分別為x，y，z軸的非負半軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，.∵點N在BF上，且，∴，又M在線段AC上移動，則有，易得點，∴，，∴，∴當(dāng)時，取得最小值，此時點，則，∴，∴活動彈子M與點B之間的距離為.故答案為：三?解答題17. 已知點.（1）若直線與直線分別交于點，且線段的中點坐標為，求直線的斜率；（2）若直線過點，且原點到該直線的距離為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）、根據(jù)題意線段的中點坐標為，求出兩點坐標，即可求出直線的斜率;（2）、當(dāng)直線的斜率不存在時，直接寫出直線的方程；當(dāng)直線的斜率存在時，先用點斜式設(shè)出直線的方程，再用原點到直線的距離求出直線的斜率，進而求出直線的方程.【小問1詳解】設(shè)，的中點坐標為，直線的斜率為.小問2詳解】①當(dāng)直線的斜率不存在時，其直線方程為，滿足題意； ②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，原點到該直線的距離為，則直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.18. 已知定點，動點滿足，設(shè)點的軌跡為.（1）求軌跡的方程；（2）若點分別是圓和軌跡上的點，求兩點間的最大距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)動點,根據(jù)條件列出方程，化簡求解即可；（2）設(shè)，求出圓心到軌跡上點的距離，配方求最值即可得解.【小問1詳解】設(shè)動點，則，，，又，∴，化簡得，即，∴動點的軌跡E的方程為.【小問2詳解】設(shè)，圓心到軌跡E上點的距離∴當(dāng)時，，∴.19. 如圖所示，在三棱錐中，平面，，，，，.（1）求證：平面；（2）求與平面所成的角正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】以為原點建立空間直角坐標系，（1）利用向量法證明，，即可得證；（2）由（1）可得，1，為平面的一個法向量，求出與所成角的余弦值，即可得出答案.【詳解】解：如圖所示：，以為原點建立空間直角坐標系，由題意得：，0，，，0，，，1，，，2，，，0，，（1）證明：，1，，，1，，，0，，，，即，，，平面；（2）解：由（1）可得，1，為平面的一個法向量，，則，設(shè)與平面所成的角為，所以，所以與平面所成的角正弦值為.20. 設(shè)圓的圓心為，半徑為，圓過點，直線交圓與兩點，.（1）求圓的方程；（2）已知，過點的直線與圓相交于兩點，其中，若存在，使得軸為的平分線，求正數(shù)的值.【答案】（1）或（2）4【解析】【分析】（1）設(shè)圓C的方程為，根據(jù)題意，利用待定系數(shù)法，即可求出結(jié)果；（2）由（1）知，圓C的方程為，設(shè)直線PQ的方程為，聯(lián)立直線與圓的方程，化簡整理得到韋達定理，然后再根據(jù)軸平分，可得，化簡整理可得，求解方程即可得到結(jié)果.【小問1詳解】解：設(shè)圓C的方程為，由題意得，，解得，或，∴圓C的方程為或.【小問2詳解】解：由（1）知，圓C的方程為.設(shè)直線PQ的方程為，聯(lián)立，化簡得，∴，.∵軸平分，∴，則，∴，即，∴，解得，∴當(dāng)時，軸為的平分線.21. 如圖，在幾何體中，底面是邊長為2的正三角形，平面，，且是的中點.（1）求證:平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點F，連接EF，，由四邊形是平行四邊形即可求解；（2）采用建系法，以為軸，為軸，垂直底面方向為軸，求出對應(yīng)點坐標，結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.【小問1詳解】取的中點F，連接EF，，∵，∴，且，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；【小問2詳解】取AC的中點O，以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，∴，.設(shè)平面的法向量是，則，即，令，得，易知平面的一個法向量是，∴，又二面角是鈍二面角，∴二面角的余弦值為.22. 已知橢圓的離心率為，左，右焦點分別為，過的直線與交于兩點，若與軸垂直時，（1）求橢圓的標準方程；（2）若點在橢圓上，且為坐標原點），求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由離心率得出關(guān)系，由通徑得出關(guān)系，結(jié)合橢圓關(guān)系式即可求解；（2）需分類討論，分直線的斜率不存在、直線的斜率為0、直線的斜率存在且不為0三種情況，對第三種情況，可聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合弦長公式求出，利用求出直線方程，并將代入橢圓方程，代換出，化簡并結(jié)合不等式即可求解.【小問1詳解】由題意得，，即，則，把代入橢圓方程可得，∴，∴，即，∴，∴，，∴橢圓C的標準方程為；【小問2詳解】由（1）知，的坐標為，①當(dāng)直線的斜率不存在時，，，則；②當(dāng)直線的斜率為0時，，，則；③當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，則，，則，，設(shè)點，則，即，代入橢圓方程得，∴，則，∴，∴，又，∴的取值范圍是，綜上所述，的取值范圍是.

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