【期中真題】安徽省合肥一六八中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

安徽省合肥一六八中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中考試（數(shù)學(xué)）（考試總分：150 分）一、單選題（本題共計8小題，總分40分）1. 過點且傾斜角比直線的傾斜角小的直線方程是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由題意求出直線的傾斜角，再根據(jù)此直線過點，可得它的方程.【詳解】直線的斜率為，傾斜角為，故比它的傾斜角小的直線的傾斜角為，再根據(jù)此直線過點，故要求的直線的方程為.故選：A.【點睛】本題考查直線方程的求解，涉及直線的傾斜角的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2. 光線從點射到軸上，經(jīng)反射以后經(jīng)過點，則光線從到經(jīng)過的路程為（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】點關(guān)于軸的對稱點為,求出即得解.【詳解】點關(guān)于軸的對稱點為，則光線從到經(jīng)過的路程為的長度，即.故選：C 3. 已知正三棱柱的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于A. B. C. D. 【答案】C【解析】【詳解】過作，連接，由于，故平面，所以所求直線與平面所成的角為，設(shè)棱長為，則，故，.點睛：本題主要考查空間立體幾何直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面所成的角，考查線面垂直的證明方法和常見幾何體的結(jié)構(gòu)特征.由于題目所給幾何體為直三棱柱，故側(cè)棱和底面垂直，這是一個重要的隱含條件，通過作交線的垂線，即可得到高，由此作出二面角的平面角.4. 直線與曲線有且僅有一個公共點，則b的取值范圍是（）A. B. 或C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到曲線表示半圓，再結(jié)合圖象即可得到直線與曲線有且僅有一個公共點時b的取值范圍.【詳解】將方程變形為．當(dāng)直線與曲線相切時，滿足，即，解得．由圖可知，當(dāng)或時，直線與曲線有且僅有一個公共點．故選：B.5. 設(shè)，則兩圓與的位置關(guān)系不可能是（）A. 相切 B. 相交 C. 內(nèi)切和內(nèi)含 D. 外切和外離【答案】D【解析】【分析】求出兩圓的圓心和半徑，計算圓心距與半徑比較即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為4；圓的圓心為，半徑為．兩圓心之間的距離為，又因為，所以兩圓不可能外切和外離．故選：D．6. 已知線段AB兩端點的坐標(biāo)分別為和，若直線與線段AB有交點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判斷出直線所過定點，結(jié)合圖象求得的取值范圍【詳解】直線恒過的定點，.當(dāng)時，直線方程為，與線段有交點，符合題意.當(dāng)時，直線的斜率為，則，解得或，綜上，.故選：C7. 已知橢圓上有一點為左右焦點，，則（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)橢圓的定義和余弦定理求出，再代入三角形的面積公式求解.【詳解】由條件可知，，則，設(shè)，，，中，根據(jù)余弦定理可知，解得：，.故選：C【點睛】思路點睛：涉及圓錐曲線焦點三角形問題時，經(jīng)常考查定義轉(zhuǎn)化和，以及余弦定理的綜合應(yīng)用.8. 已知橢圓的右焦點為，短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點，若，點到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】如圖所示，設(shè)為橢圓的左焦點，連接，，則四邊形是平行四邊形，可得．取，由點到直線的距離不小于，可得，解得．再利用離心率計算公式即可得出．【詳解】解：如圖所示，設(shè)為橢圓的左焦點，連接，，則四邊形是平行四邊形，，．取，點到直線的距離不小于，，解得．．橢圓的離心率的取值范圍是．故選：．【點睛】橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關(guān)的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的關(guān)系．二、多選題（本題共計4小題，總分20分）9. （多選）若兩條直線，互相垂直，則的值是（）A. 3 B. -1C. 1 D. 0【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的判定可得求解，即可得的值.【詳解】由題意，，解得或.故選：AB．10. 將一個橢圓繞其對稱中心旋轉(zhuǎn)，若所得橢圓的兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，則稱該橢圓為“對偶橢圓”下列橢圓的方程中，是“對偶橢圓”的方程的是（）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)對偶橢圓的定義求出，再根據(jù)關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】由題意，根據(jù)對偶橢圓定義，在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，，則，，，，，是對偶橢圓；B，，，不滿足，不是對偶橢圓；C，，，滿足，是對偶橢圓；D，，，不滿足，不是對偶橢圓．故選：AC11. 橢圓的左、右焦點分別為，，為坐標(biāo)原點，則以下說法正確的是（）A. 過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為8B. 橢圓上存在點，使得C. 橢圓的離心率為D. 為橢圓上一點，為圓上一點，則點，的最大距離為3【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合橢圓定義判斷A選項的正確性，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算判斷B選項的正確性，直接法求得橢圓的離心率，由此判斷C選項的正確性，結(jié)合兩點間距離公式判斷D選項的正確性.【詳解】對于選項：由橢圓定義可得：，因此的周長為，所以選項正確；對于選項：設(shè)，則，且，又，，所以，，因此，解得，，故選項正確；對于選項：因為，，所以，即，所以離心率，所以選項錯誤；對于選項：設(shè)，，則點到圓的圓心的距離為，因為，所以，所以選項正確，故選：ABD．12. 如圖所示，在棱長為2正方體中，，分別為棱，的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A. 直線與是平行直線B. 直線與所成的角為60°C. 直線與平面所成的角為45°D. 平面截正方體所得的截面面積為【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可判斷A、B、C，作出平面截正方體所得的截面即可求出面積判斷D.【詳解】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．∵，分別為棱，的中點，∴、，則，，∴和不共線，故A錯誤；∵，，∴，∴，∴直線與所成角為，故B正確．由于平面的一個法向量為，，∴，直線與平面所成的角為，故C正確；連接，易知，則平面截正方體所得的截面為等腰梯形，∵棱長為2，∴，，，∴等腰梯形的高為，∴，故D錯誤，故選：BC．三、填空題（本題共計4小題，總分20分）13. 過點的直線l與圓的圓心的距離為d，則d的取值范圍為_______．【答案】【解析】【分析】首先驗證與圓位置關(guān)系，討論直線l繞旋轉(zhuǎn)過程中d的最值情況，即可確定d的范圍.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，點在圓外，當(dāng)直線l經(jīng)過圓心時，d最小，當(dāng)直線l垂直于點A與圓心的連線時，d最大，∴d的最小值為0，最大值為，故．故答案為：14. 空間四邊形中，，則其外接球表面積為__________．【答案】【解析】【分析】由題意知均為直角三角形且斜邊都為，知外接球的球心為的中點，即可求球的半徑，進而得到其表面積.【詳解】由，，，又，∴，即，∴的中點O為外接球的球心，且球的半徑為，∴外接球表面積，
故答案為：.15. 已知是橢圓的左、右焦點，在橢圓上運動，當(dāng)的值最小時，的面積為_______．【答案】．【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義得出，進而對進行化簡，結(jié)合基本不等式得出的最小值，并求出的值，進而求出面積.【詳解】由橢圓定義可知，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”.又，所以.所以，由勾股定理可知：，所以.故答案為：.16. 已知橢圓的左?右焦點分別為，過原點的直線與C交于A，B兩點(A在第一象限)，若，且，則橢圓離心率的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件找到，轉(zhuǎn)化為，進而整理，然后把整體看做變量，找到其范圍，求出函數(shù)的值域即可.【詳解】∵直線AB過原點，所以A，B關(guān)于原點對稱，即又∵，∴四邊形為矩形∴則在中，∵，∴∵ ∴∵A在第一象限，∴∴∴令，則有，即故答案為：【點睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．四、解答題（本題共計6小題，總分70分）17. 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）兩個焦點的坐標(biāo)分別是(0，－2)，(0，2)，并且橢圓經(jīng)過點；（2）經(jīng)過點P，Q.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)題意得到半焦距，然后利用橢圓的定義求出，再根據(jù)的關(guān)系即可求解；(2)已知橢圓過兩點，設(shè)其方程為，將點代入解方程組即可求解.【小問1詳解】由題意知：橢圓的焦點在縱軸上，且.由橢圓的定義，橢圓上一點到兩焦點距離之和等于.，，所以故橢圓方程為.【小問2詳解】根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為，，又由橢圓經(jīng)過和，則有，解可得，；則要求的橢圓方程為，即其標(biāo)準(zhǔn)方程為.18. 已知圓，直線．（1）求證：直線l恒過定點；（2）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；（3）當(dāng)時，求直線l被圓C截得的弦長．【答案】（1）證明見解析；（2）點A在圓C內(nèi)，從而直線l與圓C相交（無論m為何實數(shù)）；（3）.【解析】【分析】（1）將直線方程整理為關(guān)于參數(shù)m的方程，可令求解，即可證結(jié)論.（2）由（1）所得定點，根據(jù)定點到圓心距離與半徑的關(guān)系，即可判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；（3）由圓的弦長與半徑、弦心距的關(guān)系，求直線l被圓C截得的弦長．【詳解】（1）證明：直線l的方程可化為，又，∴，解得，∴直線l恒過定點．（2）圓心，，∴點A在圓C內(nèi)，從而直線l與圓C相交（無論m為何實數(shù)）．（3）當(dāng)時，直線l的方程為，圓心到直線l的距離．∴此時直線l被圓C截得的弦長為．19. 已知橢圓的離心率為，其中左焦點．（1）求橢圓的方程．（2）若直線與橢圓交于不同的兩點，，且線段的中點在圓上，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)根據(jù)條件列出關(guān)于，求解方程組，即可得到橢圓方程；(2)聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)中點坐標(biāo)公式以及韋達定理求得中點的橫縱坐標(biāo)關(guān)于的表達式,代入圓方程解得的值,注意要檢驗滿足判別式大于0的條件.【詳解】（1）由題意，得,解得，∴橢圓的方程為；（2）設(shè)點、的坐標(biāo)分別為，，線段的中點為，由消得，，（*），，∵點在圓上，，，滿足（*），.【點睛】本題考查弦中點問題以及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,考查基本分析轉(zhuǎn)化求解能力,屬中檔題.關(guān)鍵是要熟練利用韋達定理和中點坐標(biāo)公式,并注意檢驗是否滿足判別式大于0的條件.20. 如圖，在四棱錐中，，且，,和分別是棱和的中點.（1）求證：；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）1【解析】【分析】（1）由題可知四邊形為矩形，先得平面，由于，再得平面即可解決；（2）空間向量解決點到平面距離即可.小問1詳解】證明:因為為中點，，所以，又，所以四邊形為平行四邊形.因為，為中點，所以，所以四邊形為矩形，所以,由，得，又平面，所以平面.因為，所以平面，又平面，所以，因為所以又平面，所以平面，又因為平面，所以.【小問2詳解】由（1）知平面,以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，平面內(nèi)過點且與垂直的線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.，，又，點到軸的距離為1.，同時知，又，所以設(shè)平面的一個法向量為，由得令，則，又，設(shè)點到平面的距離為，則所以點到平面的距離為1.21. 已知平面直角坐標(biāo)系上一動點到點的距離是點P到點的距離的2倍.（1）求點P的軌跡方程：（2）若點P與點Q關(guān)于點對稱，求P、Q兩點間距離的最大值；（3）若過點A的直線l與點P的軌跡C相交于E、F兩點，，則是否存在直線l，使取得最大值，若存在，求出此時l的方程，若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）14 （3）存在，或【解析】【分析】（1）根據(jù)條件列方程求解即可；（2）根據(jù)對稱性求出Q點的軌跡方程，再根據(jù)幾何圖形即可求解；（3）作圖，根據(jù)幾何圖形將面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求得最大值.【小問1詳解】由已知，化簡得，即，所以點P的軌跡方程為；【小問2詳解】設(shè)，∵點P與點Q關(guān)于點（—1，4）對稱，∴點P坐標(biāo)為，∵點P在圓上運動，∴，即點Q的軌跡方程為，是圓心在，半徑為2的圓，∴ ；【小問3詳解】設(shè)直線l的斜率為k，傾斜角為，由于對稱性，不妨設(shè)E，F在x軸上方，如圖：當(dāng)l與圓C相切時，，，設(shè)M點到直線l的距離為d，則，有，，，考察，由二次函數(shù)的性質(zhì)知：當(dāng) 時，取得最大值4，即的最大值為2，，，∴直線l的方程為，考慮到對稱性，另一條直線的方程為：；綜上，P的軌跡方程為；PQ的最大值為14，存在最大值，其直線方程為或.22. 已知橢圓的兩個焦點分別為，，過點且與軸垂直的直線交橢圓于，兩點，的面積為，橢圓的離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知為坐標(biāo)原點，直線與軸交于點，與橢圓交于，兩個不同的點，若存在實數(shù)，使得，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，，根據(jù)題意，可求得的值，代入面積公式，結(jié)合離心率，可求得，根據(jù)a，b，c的關(guān)系，即可求得的值，即可得答案.（2）分析的當(dāng)m=0時，滿足題意，當(dāng)，根據(jù)題意，結(jié)合三點共線定理，可得，即可得，設(shè)，將直線與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達定理，可得關(guān)系，結(jié)合，可得表達式，計算化簡，可得，根據(jù)判別式，計算即可得答案.【小問1詳解】設(shè)橢圓的焦距為2c，，代入橢圓方程可得，解得，所以，所以，解得，又，所以，又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】當(dāng)m=0時，則，由橢圓的對稱性得,所以，所以當(dāng)m=0時，存在實數(shù)，使得；當(dāng)時，由，得，因為A、B、P三點共線，所以，解得，所以，設(shè)，由，得，由題意得，則，且，由，可得，所以，解得，又，整理得，顯然不滿足上式，所以，因為，所以，即，解得或，綜上，的取值范圍為

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