【期中真題】湖南省長沙市四校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?湖南省長沙市四校2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期中聯(lián)考
高二數(shù)學(xué)
第I卷
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的知識點(diǎn)即可得到答案.
【詳解】空間中，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)與豎坐標(biāo)相反，
所以點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選：A
2. 若圓與圓相外切，則實(shí)數(shù) （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由兩圓外切圓心距等于半徑之和求解即可
【詳解】的圓心，半徑為2，
的圓心，半徑為1，
因?yàn)閮蓤A外切，
所以，
即，解得，
故選：C
3. 已知圓：，為圓心，為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)的軌跡方程為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用圓的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，
所以有，
由，得，該圓的半徑為，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動時，
所以有，于是有，
所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，所以，
所以點(diǎn)的軌跡方程為，
故選：D
4. 已知空間向量，，則在上的投影向量坐標(biāo)是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量概念求解即可.
【詳解】因?yàn)榭臻g向量，，
所以
則在上的投影向量坐標(biāo)是：
故選：B
5. 已知橢圓：，左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的最大值為5，則的值是
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可知橢圓是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由過橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長最短，可知當(dāng)AB垂直于x軸時|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．
【詳解】由0＜b＜2可知，焦點(diǎn)在x軸上，
∵過F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，
則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8
∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．
當(dāng)AB垂直x軸時|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此時|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，
解得b，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，考查橢圓的通徑公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．
6. 如圖，在平行六面體中，與的交點(diǎn)為，若，則（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知，根據(jù)題意，將利用線性運(yùn)算表示成的關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法即可求解出.
【詳解】由已知，在平行六面體中，與的交點(diǎn)為，
所以

所以.
故選：C.
7. 已知正方體棱長為2，P為空間中一點(diǎn).下列論述正確的是（）

A. 若，則異面直線BP與所成角的余弦值為
B. 若，三棱錐的體積不是定值
C. 若，有且僅有一個點(diǎn)P，使得平面
D. 若，則異面直線BP和所成角取值范圍是
【答案】D
【解析】
【分析】A：為中點(diǎn)，連接，若分別是中點(diǎn)，連接，找到異面直線BP與所成角為或其補(bǔ)角，求其余弦值；B：在（含端點(diǎn)）上移動，△面積恒定，到面的距離恒定，即可判斷；C：若分別是中點(diǎn)，在（含端點(diǎn)）上移動，證明面，易知要使面，則必在面內(nèi)，即可判斷；D構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，應(yīng)用向量夾角的坐標(biāo)表示求，進(jìn)而判斷夾角的范圍.
【詳解】A：由，即為中點(diǎn)，連接，若分別是中點(diǎn)，

連接，則，
又且，即為平行四邊形，所以，
所以異面直線BP與所成角，即為或其補(bǔ)角，
而，，，故，錯誤；
B：由知：在（含端點(diǎn)）上移動，如下圖示，

△面積恒定，到面的距離恒定，故的體積是定值，錯誤；
C：若分別是中點(diǎn)，由知：在（含端點(diǎn)）上移動，

由面，面，則面面，
由，面面，面，
所以面，面，則，同理可證：，
由，、面，故面，
而面面，要使面，則必在面內(nèi)，
顯然面，故錯誤；
D：由知：在（含端點(diǎn)）上移動，
如下圖建系，，，則，
設(shè)，則，
所以，令，

當(dāng)，即時，，此時直線和所成角是；
當(dāng)，即時，則，
當(dāng)，即時，取最大值為，直線和所成角的最小值為，正確.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)向量的線性關(guān)系判斷的位置，結(jié)合異面直線夾角的定義、錐體體積公式、線面垂直的判定及向量夾角的坐標(biāo)求法，證明或求解線面垂直、體積、異面直線夾角范圍等.
8. 已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)為，離心率為.過且垂直于的直線與交于兩點(diǎn)，，則的周長是（）
A. 19 B. 14 C. D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】由離心率為，得到a，b，c之間的關(guān)系，做出簡圖，分析可得直線的方程為：，且直線垂直平分，所以的周長等于的周長，等于，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求出c，a的值.
【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，，

如圖，，所以為正三角形，又因?yàn)橹本€過且垂直于，所以，直線的方程為：，
設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)，點(diǎn)E坐標(biāo)，
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，
則，，
所以，
得，.
由圖，直線垂直平分，所以的周長等于的周長，等于.
故選：D.
二?多選題?4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 若方程表示的曲線為，則下列說法正確的有（）
A. 若，則曲線為橢圓 B. 若曲線為雙曲線，則或
C. 曲線不可能是圓 D. 若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)的取值，結(jié)合圓與圓錐曲線方程的特征逐一判斷即可.
【詳解】對于A, 當(dāng)時，此時曲線為圓，故A錯，
對于B,若曲線為雙曲線，則，即或，故B對，
對于C, 若曲線為圓，則即，故曲線可能是圓，故C錯，
對于D, 曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,則，解得，故D對.
故選：BD.
10. 在三維空間中，定義向量的外積：叫做向量與的外積，它是一個向量，滿足下列兩個條件：
①，，且，和構(gòu)成右手系（即三個向量的方向依次與右手的拇指、食指、中指的指向一致，如圖所示）；
②的模，(表示向量，的夾角)．
在正方體中，有以下四個結(jié)論，正確的有（　　　）

A. B. 與共線
C. D. 與正方體表面積的數(shù)值相等
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)所給定義及正方體的性質(zhì)一一計(jì)算可得.
【詳解】解：對于A，設(shè)正方體的棱長為，在正方體中，
則，
因?yàn)?，且，所以?br /> 所以，
所以，所以A正確；
對于B，，，，平面，平面，
因?yàn)槠矫?，所以，同理可證，
再由右手系知，與同向，所以B正確；
對于C，由，和構(gòu)成右手系知，與方向相反，
又由模的定義知，，
所以，則，所以C錯誤；
對于D，正方體棱長為，，
正方體表面積為，所以D對．
故選：ABD．

11. 已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓C上，點(diǎn)Q在圓E：上，且圓E上的所有點(diǎn)均在橢圓C外，若的最小值為，且橢圓C的長軸長恰與圓E的直徑長相等，則下列說法正確的是（）
A. 橢圓C的焦距為1 B. 橢圓C的短軸長為
C. 的最小值為 D. 過點(diǎn)F的圓E的切線斜率為
【答案】BD
【解析】
【分析】求出的值，利用橢圓的定義結(jié)合三點(diǎn)共線可求得的值，進(jìn)一步求出的值，可判斷選項(xiàng)AB；利用橢圓的定義結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；設(shè)出切線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出切線的方程，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A，因?yàn)闄E圓的長軸長與圓的直徑長相等，所以，即，
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知，
所以，
所以，解得或，
因?yàn)?，所以，即橢圓的焦距為，故A錯誤；
對于B，由，所以橢圓的短軸長為，故B正確；
對于C，，故C錯誤；
對于D，若過點(diǎn)的直線的斜率不存在，則直線方程為，圓心到直線的距離為，不合乎題意；
設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，即，則，解得，故D正確.
故選：BD.

12. 如圖，四邊形是邊長為的正方形，半圓面平面，點(diǎn)為半圓弧上一動點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），下列說法正確的是（）

A. 三棱錐的四個面都是直角三角形
B. 三棱錐的體積最大值為
C. 異面直線與的距離是定值
D. 當(dāng)直線與平面所成角最大時，平面截四棱錐外接球的截面面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A，使用空間中直線、平面垂直有關(guān)定理證明；
對于B，三棱錐底面積固定，當(dāng)高最大時，體積最大，可通過計(jì)算進(jìn)行判斷；
對于C，找到與和均垂直的即可判斷；
對于D，首先利用空間向量解決與平面所成角最大時點(diǎn)的位置，再用△的外接圓解決平面的截面圓面積的計(jì)算即可.
【詳解】對于A，∵四邊形為正方形，∴△為直角三角形；
∵為直徑，為半圓弧上一動點(diǎn)，∴，△為直角三角形；
∵平面平面，平面平面，平面，
，
∴平面，∵平面，∴，△為直角三角形；
∵平面，平面，∴，
又∵，，平面，平面，
∴平面，∵平面，∴，△為直角三角形；
因此，三棱錐的四個面都是直角三角形，故A正確；

對于B，過點(diǎn)在平面內(nèi)作于點(diǎn)，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，為三棱錐的高，
∴三棱錐的體積
∵△的面積為定值，
∴當(dāng)最大時，三棱錐的體積最大，此時點(diǎn)為半圓弧的中點(diǎn)，，
∴三棱錐體積的最大值為，故B錯誤；
對于C，由A選項(xiàng)解析可知，，
又∵四邊形為正方形，∴，
∴異面直線與的距離為線段的長，，
∴異面直線與的距離是定值，故C正確；

對于D，由B選項(xiàng)解析知，平面，為在平面內(nèi)的射影，
∴為直線與平面所成角，當(dāng)直線與平面所成角最大時，取最小值，
以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，，，則
∴在直角三角形內(nèi)，，即，
∴，，，
，

∵，∴
∴
∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最小值，直線與平面所成角最大，
此時，
∵，，三點(diǎn)均為四棱錐的頂點(diǎn)，
∴平面截四棱錐外接球的截面為△的外接圓面，
∵直角三角形外接圓半徑，
∴截面面積，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：在判斷三棱錐的四個面是否都是直角三角形時，易忽視△，需通過證明平面進(jìn)行判斷；在確定直線與平面所成角最大時點(diǎn)的位置時，容易錯誤的認(rèn)為當(dāng)點(diǎn)為半圓弧的中點(diǎn)時，直線與平面所成角最大，需使用空間向量，借助三角函數(shù)知識進(jìn)行判斷.
第II卷
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分.
13. 已知，空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個法向量為的平面的方程為．經(jīng)過點(diǎn)且方向向量為的直線方程為．用以上知識解決下面問題：已知平面的方程為，直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知定義可確定平面的法向量和直線的方向向量，由線面角的向量求法可求得結(jié)果.
【詳解】由題意知：平面的一個法向量，直線的一個方向向量，
，
即直線與平面所成角的正弦值為.
故答案為：.
14. 若，是橢圓：的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)，為橢圓上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為_________．
【答案】8
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓對稱性及矩形的性質(zhì)知四邊形為矩形，進(jìn)而有，再根據(jù)橢圓定義、勾股定理求即可.
【詳解】由已知及對稱性得：四邊形為矩形，即，
所以，
由橢圓定義與勾股定理知：，可得．
所以四邊形的面積為8.
故答案為：8
15. 已知圓，點(diǎn)，設(shè)是圓上的動點(diǎn)，令，則的最小值為________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式，整理的表達(dá)式，則可得當(dāng)取得最小值時，取得最小值，由定點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值，可得答案.
【詳解】設(shè)，，，
，
當(dāng)取得最小值時，取得最小值，
由圓，則圓心，半徑，
易知，則.
故答案為：.
16. 已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過作軸的垂線交橢圓與另一點(diǎn)（不與重合）．設(shè)的外心為，則的值為__________．
【答案】4
【解析】
【分析】設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立后由弦長公式得，再由幾何關(guān)系得點(diǎn)坐標(biāo)，得出后化簡計(jì)算
【詳解】由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線為，
代入橢圓方程得．
設(shè)，則，
∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴．
∵是線段的垂直平分線與線段的垂直平分線的交點(diǎn)，
的垂直平分線方程為，
令，得，即，∴
∴．
故答案為：4
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知△ABC的三個頂點(diǎn)分別為A（2，1），B（-2，3），C（0，-3），求：
（Ⅰ）若BC的中點(diǎn)為D，求直線AD的方程；
（Ⅱ）求△ABC的面積．
【答案】（Ⅰ）x-3y+1=0（Ⅱ）10
【解析】
【分析】（Ⅰ）求出中點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用直線方程的兩點(diǎn)式即可得解．
（Ⅱ）求出的長度，再求出直線的方程及點(diǎn)到直線的距離，問題得解．
【詳解】解：（Ⅰ）∵B（-2，3），C（0，-3），
∴D（-1，0）．
∴直線AD的方程為，
整理得：x-3y+1=0；
（Ⅱ）∵B（-2，3），C（0，-3），
∴|BC|=．
又直線BC的方程為3x+y+3=0，則A點(diǎn)到直線BC的距離為，
∴△ABC的面積為=10．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式及直線方程的兩點(diǎn)式，考查了兩點(diǎn)距離公式及點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．
18. 在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足
（1）求角C大?。?br /> （2）若，角A與角B的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)D，求面積的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理及三角恒等變換可得，進(jìn)而即得；
（2）設(shè)，利用正弦定理，三角形面積公式及三角恒等變換可得，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)即得.
【小問1詳解】
∵，
由正弦定理可得,，
整理可得：,
即，
即：,
又因?yàn)殇J角，
所以，，
所以，
即，又，
所以；
小問2詳解】
由題意可知，
設(shè)，所以，
又，，
所以，
在中，由正弦定理可得，
即，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以
即面積的取值范圍為.
19. 如圖，斜三棱柱的體積為，的面積為，，，平面平面，為線段上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)）．

（1）求到平面的距離；
（2）求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等體積法求高即可；
（2）先證明，計(jì)算出的長，從而得到的長，再由等面積法求得長的范圍，最后代入幾何關(guān)系求線面角的正弦值的取值范圍.
【小問1詳解】

所以
即到平面的距離為.
【小問2詳解】
如下圖

取的中點(diǎn)，連接，，

又平面平面
平面
則即為直線與平面所成角，且
于是有，
平面

又
平面

，
在中由等面積法求得A到的距離為

又

.
20. 已知圓的圓心在直線：上，且與直線：相切于點(diǎn)．
（1）求圓的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．
【答案】（1），
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由題意設(shè)圓心為，再根據(jù)題意列出關(guān)于的方程，解出，則可得圓心坐標(biāo)，再求出半徑，從而可求出圓的方程；
（2）由可得圓心到直線的距離為1，然后分直線的斜率不存和存在兩種情況求解即可.
【小問1詳解】
由題意設(shè)圓心為，半徑為，
因?yàn)閳A與直線：相切于點(diǎn)，
所以，
所以，化簡得，
解得，
所以圓心為，半徑,
所以圓的方程為，
【小問2詳解】
因，所以，
所以圓心到直線的距離為1，
①當(dāng)直線的斜率不存在時，則直線的方程為，此時滿足條件，
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線為，即，
因?yàn)閳A心到直線的距離為1，
所以，解得，
所以直線的方程為，即，
綜上，直線的方程為或.
21. 如圖，，為圓柱的母線，是底面圓的直徑，，分別是，的中點(diǎn)，面．

（1）證明：平面；
（2）若，求平面與平面的夾角余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先取中點(diǎn)，連接，，易證平面平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可證明平面.
（2）首先連接，易證面，從而得到，即，再以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解即可.
【小問1詳解】
取中點(diǎn)，連接，，如圖所示：

因?yàn)榉謩e為，，的中點(diǎn)，
所以，，
又因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面?br /> 所以平面，平面，
又因?yàn)?，平面?br /> 所以平面平面，
又因?yàn)槠矫妫?br /> 所以平面.
【小問2詳解】
連接，如圖所示：

因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，
所以，，即四邊形為平行四邊形，即.
因?yàn)槊?，所以?
又因?yàn)槊妫裕?
以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令得.
則，
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
22. 已知直線與橢圓交于點(diǎn)A，B，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D.當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓E的左頂點(diǎn)時，橢圓E兩焦點(diǎn)到直線l的距離之比為.
（1）求橢圓E的離心率；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）得到經(jīng)過橢圓E的左頂點(diǎn)時，直線方程為，利用點(diǎn)到直線距離列出方程，求出3c=2a，進(jìn)而計(jì)算出離心率；
（2）根據(jù)3c=2a得到，直線l方程為，設(shè)出橢圓E的方程為，聯(lián)立后得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)求出n=1，從而計(jì)算出.
【小問1詳解】
當(dāng)直線經(jīng)過橢圓E的左頂點(diǎn)時，m=b，此時l的方程為.
∴橢圓E的左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn)到直線l的距離分別為，.
由題意可得：，即，解得：3c=2a，
∴橢圓E的離心率.
【小問2詳解】
∵3c=2a，
∴，即，
∴.
∴直線l的方程為①，
∴，.
設(shè)橢圓E的方程為②，
，.
將①代入②并化簡得，.
∴，，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴14n=14，即n=1，
∵
∴，
即.
【點(diǎn)睛】直線與橢圓結(jié)合問題，通常要設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，本題中關(guān)鍵是設(shè)橢圓方程為，在聯(lián)立時可以大大減少計(jì)算量.

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