2021-2022學(xué)年安徽省合肥市六校聯(lián)盟高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，且，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的特點(diǎn)，得到，從而解方程可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>X的分布列服從兩點(diǎn)分布，所以， 由，所以，所以，故選：D2．某機(jī)場(chǎng)某時(shí)降雨的概率為，在降雨的情況下飛機(jī)準(zhǔn)點(diǎn)的概率為，則某時(shí)降雨且飛機(jī)準(zhǔn)點(diǎn)的概率為（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件概率計(jì)算公式求解概率即可得出答案.【詳解】記事件A=“飛機(jī)準(zhǔn)點(diǎn)”，記事件B=“機(jī)場(chǎng)降雨”根據(jù)題意，，在降雨的情況下飛機(jī)準(zhǔn)點(diǎn)的概率為： 根據(jù)條件概率計(jì)算公式，所以某時(shí)降雨且飛機(jī)準(zhǔn)點(diǎn)的概率為，選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確故選：D.3．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖，則對(duì)于函數(shù)的描述正確的是A．在上為減函數(shù)B．在處取得最大值C．在上為減函數(shù)D．在處取得最小值【答案】C【詳解】分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根據(jù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及極值的定義可進(jìn)行判定即可．詳解：根據(jù)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象可知：f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)0＜x2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)2＜x＜4時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)x＞4時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．可知C正確，A錯(cuò)誤；由極值的定義可知，f（x）在x=0處函數(shù)f（x）取到極大值，x=2處函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，但極大值不一定為最大值，極小值不一定是最小值；可知B、D錯(cuò)誤．故選C．點(diǎn)睛：由導(dǎo)函數(shù)圖象推斷原函數(shù)的性質(zhì)，由f′（x）＞0得增區(qū)間，由f′（x）＜0得減區(qū)間，由f′（x）=0得到的不一定是極值點(diǎn)，需判斷在此點(diǎn)左右f′（x）的符號(hào)是否發(fā)生改變.4．盒中有10只螺絲釘，其中有2只是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4只，那么恰好有2只是壞的的概率為（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用超幾何分布概率公式計(jì)算概率．【詳解】解： 設(shè)表示取出的螺絲釘恰有只是壞的，則．∴．故選：C．5．曲線在處的切線方程為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算出為切線斜率，再求得，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程，并整理．【詳解】，，，故切線方程為，即.故選：A.6．深受廣大球迷喜愛(ài)的某支足球隊(duì)在對(duì)球員的使用上總是進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，乙球員能夠勝任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門(mén)員四個(gè)位置，且出場(chǎng)率分別為0.2，0.5，0.2，0.1，當(dāng)乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門(mén)員時(shí)，球隊(duì)輸球的概率依次為0.4，0.2，0.6，0.2．當(dāng)乙球員參加比賽時(shí)，該球隊(duì)某場(chǎng)比賽不輸球的概率為（       ）A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7【答案】C【分析】利用全概率公式可求球隊(duì)某場(chǎng)比賽不輸球的概率.【詳解】設(shè)表示“乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒”，表示“乙球員擔(dān)當(dāng)中鋒”，表示“乙球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi)”，表示“乙球員擔(dān)當(dāng)守門(mén)員”，B表示“當(dāng)乙球員參加比賽時(shí)，球隊(duì)輸球”．則，所以當(dāng)乙球員參加比賽時(shí)，該球隊(duì)某場(chǎng)比賽不輸球的概率為．故選：C．7．若則（       ）A．80 B．120 C．180 D．240【答案】D【分析】兩邊求導(dǎo)得到，令，即可求解.【詳解】由，兩邊求導(dǎo)可得：，令，可得.故選：D.8．某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3【答案】B【詳解】分析：判斷出為二項(xiàng)分布，利用公式進(jìn)行計(jì)算即可．或，,可知故答案選B.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)分布相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．9．已知展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為，則正實(shí)數(shù)的值為（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可確定展開(kāi)式的通項(xiàng)，由此可確定含的項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)的的取值，進(jìn)而確定系數(shù).【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：.展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為：，解得：或.為正實(shí)數(shù)，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式定理求解指定項(xiàng)的系數(shù)，關(guān)鍵是能夠熟練掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng).10．現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠、紫五只杯子，將它們疊成一疊，則在黃色杯子和綠色杯子相鄰的條件下，黃色杯子和紅色杯子也相鄰的概率為（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式及排列組合中相鄰問(wèn)題捆綁法策略即可求解.【詳解】解：記“黃色杯子和綠色杯子相鄰”為事件A，“黃色杯子和紅色杯子也相鄰”為事件B，則黃色杯子和綠色杯子相鄰，有種；黃色杯子和綠色杯子相鄰，且黃色杯子和紅色杯子也相鄰，有種；所以，故選：C.11．把座位編號(hào)為1，2，3，4，5，6的6張電影票分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少分一張，至多分兩張，且分得的兩張票必須是連號(hào)，那么不同分法種數(shù)為A．240 B．144 C．196 D．288【答案】B【詳解】試題分析：由題4人分6張票，則有2人各得兩張，且具有連續(xù)的編號(hào)的票，另外2人各得1張票．2張具有連續(xù)的編號(hào)的票的情況有12和34；12和45；12和46；23和45；23和56；34和56共6種情況．所以不同的分法種數(shù)是． 故選B12．定義在上的函數(shù)滿足，，則關(guān)于x的不等式的解集為（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，判斷單調(diào)性后解不等式【詳解】，即，構(gòu)造函數(shù)，則故在上為增函數(shù)，原不等式可化為，解得故選：D二、填空題13．已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X12345P0.10.20.40.1 若Y＝2X－3，則的值為_______．【答案】.【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由分布列的性質(zhì)，可得，解得，因?yàn)?/span>，可得.故答案為：.14．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布.若，則______.【答案】0.4【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可求.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為，所以，所以，所以.故答案為：0.4.15．我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作中，《周碑算經(jīng)》?《九章算術(shù)》?《孫子算經(jīng)》?《五曹算經(jīng)》?《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》?《孫丘建算經(jīng)》?《海島算經(jīng)》?《五經(jīng)算術(shù)》?《級(jí)術(shù)》和《糾古算經(jīng)》，稱為“算經(jīng)十書(shū)”，某老師將《周碑算經(jīng)》?《九章算術(shù)》?《孫子算經(jīng)》?《五經(jīng)算術(shù)》?《級(jí)術(shù)》和《糾古算經(jīng)》6本書(shū)分給4名數(shù)學(xué)愛(ài)好者，其中每人至少一本，則不同的分配方法的種數(shù)為__________．(用數(shù)字回答)【答案】【分析】根據(jù)4人所得本數(shù)為1，1，1，3或1,1,2,2兩類，先分組后分配可得.【詳解】將6本書(shū)按照1，1，1，3分為4組，共有種分法，再將4組分給4人共有種，所以將6本書(shū)按照1，1，1，3分給4人共有種；將6本書(shū)按照1,1,2,2分為4組，共有種，再將4組分給4人共有種，所以將6本書(shū)按照1,1,2,2分給4人共有種.所以，將6本書(shū)分給4名數(shù)學(xué)愛(ài)好者，其中每人至少一本的分法種數(shù)為種.故答案為：156016．若函數(shù)有極值,則函數(shù)的極值之和的取值范圍是________.【答案】【分析】先求導(dǎo)，方程在上有根求出的范圍，根據(jù)韋達(dá)定理即可化簡(jiǎn)，根據(jù)的范圍即可求出．【詳解】解：的定義域是，，存在極值，在上有根，即方程在上有根．設(shè)方程的兩根為，，，，即，，，，故函數(shù)的極值之和的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)函數(shù)極值的關(guān)系，以及韋達(dá)定理及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題三、解答題17．在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并對(duì)其求解．條件①：第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；條件②：只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；條件③：所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256．問(wèn)題：在的展開(kāi)式中，_____．（1）求的值；（2）若其展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為112，求其展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和．【答案】（1）條件選擇見(jiàn)解析，；（2）1．【分析】（1）選①，則由計(jì)算出.選②，則由第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大求得.選③，則由求得.（2）化簡(jiǎn)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，根據(jù)其常數(shù)項(xiàng)為求得，利用賦值法求得展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和.【詳解】（1）選①：因?yàn)?/span>，所以n＝8；選②：因?yàn)橹挥械?/span>5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，則n＝8；選③：因?yàn)樗许?xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，則2n＝256，則n＝8；（2）二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得r＝6，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，得a2＝4，又a＞0，所以a＝2，令x＝1可得展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為．18．一個(gè)口袋內(nèi)有個(gè)不同的紅球，個(gè)不同的白球，（1）從中任取個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個(gè)紅球記分，取一個(gè)白球記分，從中任取個(gè)球，使總分不少于分的取法有多少種？【答案】（1）115（2）186【詳解】（1）從中任取4個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法，紅球4個(gè)，紅球3個(gè)和白球1個(gè)，紅球2個(gè)和白球2個(gè)，紅球4個(gè)，取法有種，紅球3個(gè)和白球1個(gè)，取法有種；紅球2個(gè)和白球2個(gè)，取法有種；根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有種．（2）使總分不少于7分情況有三種情況，4紅1白，3紅2白，2紅3白.第一種，4紅1白，取法有種；第二種，3紅2白，取法有種，第三種，2紅3白，取法有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，總分不少于7分的取法有19．當(dāng)時(shí)，函數(shù)（）有極值，(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的方程有3個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題目條件得到方程組，求出的值，檢驗(yàn)是否符合要求；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造，求導(dǎo)，求出其極值，列出不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)，由題意得：，解得：，經(jīng)驗(yàn)證，函數(shù)在處有極值，故解析式為：．(2)令，由得：令得，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)， 有極大值，當(dāng)時(shí)，有極小值，關(guān)于的方程有3個(gè)解，等價(jià)于函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以．故實(shí)數(shù)的取值范圍是20．某同學(xué)參加籃球投籃測(cè)試，罰球位上定位投中的概率為，三步籃投中的概率為，測(cè)試時(shí)罰球位上投籃投中得2分，三步籃投中得1分，不中得0分，每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立，該同學(xué)罰球位上定位投籃1次，三步上籃2次.（1）求“該同學(xué)罰球位定位投籃投中且三步籃投中1次”的概率；（2）求該同學(xué)的總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，3.1分.【分析】（1）設(shè)該同學(xué)“罰球位上定位投中”為事件A，“三步籃投中”為事件B，“該同學(xué)罰球位定位投籃投中且三步籃投中1次”為事件C，根據(jù)獨(dú)立事件乘法原理可求得答案；（2）X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率，得出隨機(jī)變量的分布列，從而再由數(shù)學(xué)期望公式可求得答案.【詳解】（1）設(shè)該同學(xué)“罰球位上定位投中”為事件A，“三步籃投中”為事件B，“該同學(xué)罰球位定位投籃投中且三步籃投中1次”為事件C，則，所以；（2）X的可能取值為0，1，2，3，4，所以，，，，，所以X的分布列為：X01234P 故，則該同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望是3.1分.21．設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.（Ⅰ）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)由題意可知分布列為二項(xiàng)分布，結(jié)合二項(xiàng)分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二項(xiàng)分布的期望公式求解數(shù)學(xué)期望即可；(Ⅱ)由題意結(jié)合獨(dú)立事件概率公式計(jì)算可得滿足題意的概率值.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7:30之前到校的概率均為，故，從面.所以，隨機(jī)變量的分布列為：0123 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.(Ⅱ)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為，則.且.由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨(dú)立，從而由(Ⅰ)知：.【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力.22．已知的圖象在處的切線與直線平行．（1）求函數(shù)的極值；（2）若，，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）極大值為，無(wú)極小值；（2），．【分析】(1)可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a的值,然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)的極值;(2)所給不等式含有兩個(gè)變量,通過(guò)變形使兩個(gè)變量分別在不等式兩側(cè),然后構(gòu)造新函數(shù)g(x),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性即可求解m的范圍.【詳解】（1）的導(dǎo)數(shù)為，可得的圖象在，（1）處的切線斜率為，由切線與直線平行，可得，即，，，由，可得，由，可得，則在遞增，在遞減，可得在處取得極大值為，無(wú)極小值；（2）可設(shè)，若，，，可得，即有，設(shè)在為增函數(shù)，即有對(duì)恒成立，可得在恒成立，由的導(dǎo)數(shù)為得：當(dāng)，可得，在遞減，在，遞增，即有在處取得極小值，且為最小值，可得，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解參數(shù)的值和范圍,屬于中等難度題型,第一問(wèn)解題中關(guān)鍵是導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用;第二問(wèn)中關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化,然后構(gòu)造新函數(shù),再利用新函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)m的范圍. 

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