天津市耀華中學(xué)2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)情調(diào)研高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試卷本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共100分.考試用時(shí)100分鐘.祝同學(xué)們考試順利!第I卷（選擇題共48分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把正確答案填涂在答題卡上.1. 已知直線與直線和平行且距離相等，則直線的方程為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，然后利用兩平行線間的距離公式列方程求解即可.【詳解】設(shè)直線的方程為，由兩條平行線間的距離公式可得：，解得：，所以直線的方程為，故選：.2. 已知直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)（    ）A. 或 B. 或C.  D. 【答案】B【解析】【分析】直線與互相垂直，若斜率不存在，則或，顯然當(dāng)時(shí)兩直線垂直；若兩直線斜率存在時(shí)，則斜率積為求出.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)兩直線垂直，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)兩直線不垂直，當(dāng)時(shí)，兩條直線分別化為：，，直線與互相垂直， 解得：或（舍去），綜上可知：或.故選:B3. 過(guò)點(diǎn)的直線與圓：交于，兩點(diǎn)，當(dāng)弦取最大值時(shí)，直線的方程為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】要使過(guò)點(diǎn)的直線被圓所截得的弦取最大值時(shí)，則直線過(guò)圓心，然后根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程寫(xiě)出答案即可【詳解】圓：化為 所以圓心坐標(biāo) 要使過(guò)點(diǎn)的直線被圓所截得的弦取最大值時(shí)，則直線過(guò)圓心由直線方程的兩點(diǎn)式得： ，即 故選：A4. 如圖，在四面體OABC中，，且，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用空間向量基本定理求解出，從而求出.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又，所以．故選：D5. 已知圓的半徑為1，若此圓同時(shí)與 軸和直線 相切，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)圓的方程為，依題意利用圓心到直線的距離等于半徑得到方程組，解得即可；【詳解】解：設(shè)圓的方程為，圓心為，半徑，依題意，解得或或或，所以圓的方程為或或或；故選：A6. 如圖，在正方體中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，直線與所成角的余弦值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出向量，坐標(biāo)，利用數(shù)量積計(jì)算向量夾角的余弦值，其絕對(duì)值即直線與所成角的余弦值.【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，以D為原點(diǎn)，DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，所以，，設(shè)直線與所成角為，則故選：B.7. 已知，過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，且，則直線的方程是（    ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交，弦長(zhǎng)，有斜率存在與斜率不存在兩種情況，故分類討論即可.【詳解】由題意可知圓心，半徑，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)將代入圓的方程可得，解得，所以弦長(zhǎng)，符合條件，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程：即，圓心到直線的距離 由弦長(zhǎng)公式可得解得：,所以直線方程為：，即：，綜上可知直線的方程為：或.故選：C8. 曲線與的關(guān)系是（    ）A. 有相等的焦距，相同的焦點(diǎn) B. 有不等的焦距，相同的焦點(diǎn)C. 有不等的焦距，不同的焦點(diǎn) D. 有相等的焦距，不同的焦點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)及焦距的定義即可求解.【詳解】由題意可知，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，所以，焦距為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，所以，焦距為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以兩橢圓有相等的焦距，不同的焦點(diǎn).故選：D.9. 已知圓，直線，圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則圓半徑的取值范圍為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】求出圓心到直線的距離，再由條件列出不等式求解即可.【詳解】圓心到直線的距離，又圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，所以，解得.故選：B10. 已知，，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線反射后，再射到直線上，最后經(jīng)直線反射后又回到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程是（    ）A.  B. 6 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)和它關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則的長(zhǎng)就是所求路程．【詳解】由題意直線方程為，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，解得，即，又關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，．故選：C11. 已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別為上底面和側(cè)面的中心，則點(diǎn)到平面的距離為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，按照距離的向量求法求解即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知，設(shè)平面的法向量，則，令，解得，故點(diǎn)到平面的距離為.故選：A.12. 已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)為，離心率為.過(guò)且垂直于的直線與交于兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是（    ）A. 19 B. 14 C.  D. 13【答案】D【解析】【分析】由離心率為，得到a，b，c之間的關(guān)系，做出簡(jiǎn)圖，分析可得直線的方程為：，且直線垂直平分，所以的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，等于，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求出c，a的值.【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，，如圖，，所以為正三角形，又因?yàn)橹本€過(guò)且垂直于，所以，直線的方程為：，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)，點(diǎn)E坐標(biāo)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，則，，所以，得，.由圖，直線垂直平分，所以的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，等于.故選：D.第II卷（非選擇題共52分）二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共計(jì)24分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案填在答案紙上的定位置.13. 已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為__________．【答案】##【解析】【分析】由的幾何意義為圓上的點(diǎn)與連線的斜率，利用點(diǎn)線距離公式求過(guò)與圓相切直線的斜率，即可得最大值.【詳解】可看作圓上的點(diǎn)與連線的斜率，當(dāng)直線與圓相切時(shí)斜率取最值，∴設(shè)直線方程，圓心，半徑，圓心到直線距離，∴，故最大值為.故答案為：.14. 過(guò)點(diǎn)且截距相等的直線方程為__________.【答案】或【解析】【分析】求過(guò)點(diǎn)且截距相等的直線方程，分為過(guò)原點(diǎn)與不過(guò)原點(diǎn)兩種情況討論即可.【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程 代入得，所以直線方程為：，即當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為代入得，所以直線方程為：，即，綜上所求直線方程為：或.故答案為：或15. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為，以為圓心，為半徑作圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知：圓的方程為，設(shè)兩切點(diǎn)為，由圓的性質(zhì)和題意可知：，且，因此是直角三角形，故，故答案為：16. 兩圓和相交于兩點(diǎn)，則公共弦的長(zhǎng)為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)已知條件聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】由，解得，或，所以不妨取兩圓的交點(diǎn)為，所以.故答案為：.17. 如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是，則對(duì)角線的長(zhǎng)為__________.【答案】【解析】【分析】由，結(jié)合數(shù)量積向量運(yùn)算即可求【詳解】由題，，則，故.故答案為：18. 已知是棱長(zhǎng)為的正方體外接球的一條直徑，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件及正方體的體對(duì)角線為正方體外接球的直徑，再利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可知，為棱長(zhǎng)為的正方體外接球的一條直徑，為球心，為正方體表面上的任意一點(diǎn)，如圖所示則球心也就是正方體的中心，所以正方體的中心到正方體表面任意一點(diǎn)的距離的最小值為正方體的內(nèi)切球半徑，它等于棱長(zhǎng)的一半為,的長(zhǎng)為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為.所以的最小值為.故答案為：.三.解答題：本大題共2小題，共28分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把解題過(guò)程寫(xiě)在答案紙上.19. 如圖：在直三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成的角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）    （3）【解析】【分析】(1)連接交于，連接，則是的中點(diǎn)，由三角形中位線得，再由線面平行的判定定理即可證明.(2)建立坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，利用空間向量求出夾角的余弦值.(3)先設(shè)出點(diǎn)位置，再利用直線與平面所成的角的正弦值為求出，即可求出的長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】連接交于，連接，則是的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)，，，， ，是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面.【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系 則 設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為 ，則 即 令得 令得 由圖可知平面與平面的夾角為銳角，所以平面與平面的夾角的余弦值為.【小問(wèn)3詳解】 設(shè)，則 則，直線與平面所成的角的正弦值為， ，解得，  .20. 設(shè)橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)剛好在橢圓上，已知點(diǎn)的面積為，求直線的方程.【答案】（1）    （2）或.【解析】【分析】（1）由離心率結(jié)合，可得關(guān)系.后代入所過(guò)點(diǎn)可得方程.（2）考慮直線斜率存在與不存在兩種情況，先由，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，后通過(guò)已知三角形面積得出答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓C的半焦距為c,因?yàn)闄E圓C的離心率為 ,所以.結(jié) 合，則，得，即又橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，則. 解 得.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨將其設(shè)為,其中.則兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)為則=，又D在橢圓上，故，得取點(diǎn).則故直線l的斜率不存在與題意不符.②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程.聯(lián)立方程:.消 去y ,得.由題意 .則，因，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為 . 因?yàn)辄c(diǎn)D剛好在橢圓C上，所以.即.此時(shí).   則=設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d,則     則，解得或.當(dāng)時(shí)，由，算得，故不合題意.當(dāng)時(shí)，由，算得，解得或.故直線方程為:或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題（1）考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵為通過(guò)離心率找到關(guān)系.（2）為直線與橢圓關(guān)系綜合題，需注意考慮直線斜率存在與不存在兩種情況.其次是對(duì)于斜率存在的情況，關(guān)鍵為通過(guò)及D點(diǎn)在橢圓上，利用方程聯(lián)立及韋達(dá)定理找到所設(shè)直線中未知量和的關(guān)系.考查了學(xué)生的分析計(jì)算能力，屬于難題.
  

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