【期中真題】廣東省深圳中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

深圳中學(xué)2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期中考試試題高二數(shù)學(xué)考試時長：120分鐘，卷面總分：150分一、單項選擇題（每小題只有一個答案符合題意，共8小題，每小題5分，共40分）1. 在直角坐標(biāo)系中，在軸上截距為且傾斜角為的直線方程為．A. B. C. D. 【答案】A【解析】【詳解】由題意可得，直線的斜率，再根據(jù)直線的截距得到直線過點（0，-1）根據(jù)直線方程的斜截式可知所求的直線方程為，即，故選：．2. 圓的圓心橫坐標(biāo)為，則等于（）．A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可求出圓心坐標(biāo)，由圓心橫坐標(biāo)為，可求值.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，∴，解得．故選：．【點睛】本題考查利用圓的方程求圓心坐標(biāo)，屬基礎(chǔ)題.3. 在遞增的等差數(shù)列中，已知與是方程的兩個根，則（）A. 19 B. 20 C. 21 D. 22【答案】B【解析】【分析】根據(jù)方程根與遞增的等差數(shù)列，可得，于是可求得公差，則由等差數(shù)列的通項性質(zhì)可得的值.【詳解】解：與是方程的兩個根，方程為則或，由于遞增的等差數(shù)列中，所以，則公差所以.故選：B.4. 等差數(shù)列的前項和為，若，，則=A. B. C. D. 【答案】B【解析】【詳解】設(shè)公差為，由可得∴，則故選B5. 已知點，，若點在線段AB上，則的取值范圍（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)，分別求出，，根據(jù)表示直線的斜率即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，因為點在線段上，所以的取值范圍是，故選：A.6. 已知數(shù)列滿足：，若，，則（）A. 84 B. 63 C. 42 D. 21【答案】C【解析】【分析】利用題意得到是等比數(shù)列，故設(shè)其公比為，可得到，可得到，即可求得答案【詳解】∵，∴數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，∵，，即，解得或（舍去），∴，故選：C.7. 直線與直線交于點，則點到直線的最大距離為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】聯(lián)立方程求出交點坐標(biāo)，求出直線的恒過定點，再將點到直線距離的最大值轉(zhuǎn)化為兩點間距離即可.【詳解】由題可列：，解得，所以點的坐標(biāo)為，因直線，即恒過定點，所以點到直線的最大距離為，故選：B8. 某種細(xì)胞開始時有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個按照此規(guī)律，12小時后細(xì)胞存活個數(shù)（）A. 2048 B. 2049 C. 4096 D. 4097【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，由1小時、2小時、3小時后的結(jié)果總結(jié)出規(guī)律，再計算作答.【詳解】依題意，1小時后的細(xì)胞個數(shù)為，2小時后的細(xì)胞個數(shù)為，3小時后的細(xì)胞個數(shù)為，…，則小時后的細(xì)胞個數(shù)為，所以12小時后細(xì)胞存活個數(shù)是.故選：D二、多項選擇題（共4小題，全對得5分，錯選得0分，漏選得2分，共20分）9. 已知，圓，，則（）A. 兩圓可能外離 B. 兩圓可能相交C 兩圓可能內(nèi)切 D. 兩圓可能內(nèi)含【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)圓心距與半徑之和，半徑之差之間的關(guān)系，結(jié)合已知條件，即可分析判斷.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑；則，，當(dāng)時，，兩圓外離；當(dāng)時，，兩圓相交；當(dāng)時，，兩圓內(nèi)切；當(dāng)時，，兩圓外切；綜上所述，兩圓可以外離，可以內(nèi)切，可以相交，不能內(nèi)含.故選：ABC.10. 已知公差大于0的等差數(shù)列的前n項和為，若，下列說法正確的是（）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)求出，用公差d表示首項，再判斷各項作答.【詳解】令等差數(shù)列的公差為，有，其前n項和為，由得：，解得，有，A不正確，B正確；，，即，C正確；，，D不正確.故選：BC11. 已知數(shù)列的前n項和為，則下列說法正確的是（）A. 若，則是等差數(shù)列B. 若是等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的前n項和有最大值C. 若等差數(shù)列的前10項和為170，前10項中，偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為9∶8，則公差為2D. 若是等差數(shù)列，則三點、、共線【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列及等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，逐項分析判斷.【詳解】A項，時，，時，時，，所以，不是等差數(shù)列；B項，由已知可得，，又所以，，.所以，有最大值；C項，由已知可得，偶數(shù)項和為90，奇數(shù)項和為80，兩者作差為，所以；D項，設(shè)三點分別為A，B，C，，則，，.則，，，所以三點共線.故選：BCD.12. 設(shè)圓，過點的直線與C交于兩點，則下列結(jié)論正確的為（）A. P可能為中點 B. 的最小值為3C. 若，則的方程為 D. 的面積最大值為【答案】AD【解析】【分析】判斷點P在圓的內(nèi)部，當(dāng)直線時，P為中點，且此時最小，利用弦長公式可求得，可分別判斷ABC，利用基本不等式可判斷D.【詳解】圓，圓心，半徑對于A，，即點P在圓內(nèi)部，當(dāng)直線時，P為中點，故A正確；對于B，當(dāng)直線時，最小，，，則直線的方程為，圓心到直線的距離，，故B錯誤；對于C，當(dāng)直線斜率不存在時，即，此時，符合；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由，得，則圓心到直線的距離，解得，即，所以滿足題意的直線為或，故C錯誤；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的面積最大值為，故D正確.故選：AD三、填空題（共4小題，每空5分，共20分）13. 已知數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列的通項公式______．【答案】【解析】【分析】當(dāng)時求得；當(dāng)時，利用可知數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項公式可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，，，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，.故答案為：.14. 過點且與兩定點、等距離的直線方程為_________.【答案】，【解析】【分析】①過點且與過兩定點、的直線平行時滿足條件，求出斜率，利用點斜式可寫出直線方程；
②經(jīng)過點A（1，2）且過兩定點、中點時滿足條件，求出中點，利用點斜式可寫出直線方程．【詳解】解：①過兩定點、的直線斜率為：，則過點的直線且與過兩定點、的直線平行的直線為：，即；
②兩定點、所在線段的中點為．則經(jīng)過點A（1，2）且過兩定點、中點的直線為：，即．
綜上可得：滿足條件的直線方程為：，．
故答案為：，．【點睛】本題考查了相互平行的直線斜率之間的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．15. 數(shù)列的前n項和為，若，則__________．【答案】【解析】【分析】先求數(shù)列的前n項和為，再利用裂項相消法求和即可；【詳解】因為，所以，所以，所以故答案為：16. 已知圓關(guān)于直線對稱，為圓C上一點，則的最大值為__________．【答案】20【解析】【分析】由圓關(guān)于直線對稱列方程求，由此確定圓的圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)，由直線與圓有公共點，列不等式求的范圍及最大值.【詳解】方程可化為，所以圓的圓心為，半徑為，因為圓關(guān)于直線對稱，所以，所以，令，則，所以，所以，所以的最大值為20，故答案為：20.四、解答題（共6小題，第17題10分，18-22題每題12分，共70分）17. 已知直線．（1）若直線不經(jīng)過第一象限，求k的取值范圍；（2）若直線交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，的面積為S（O為坐標(biāo)原點），求S的最小值和此時直線的方程．【答案】（1）（2）的最小值為，此時直線的方程為【解析】【分析】(1)驗證時，直線是否符合要求，當(dāng)時，將直線方程化為斜截式，結(jié)合條件列不等式求k的取值范圍；(2)先求直線在軸和軸上的截距，表示的面積，利用基本不等式求其最小值.【小問1詳解】當(dāng)時，方程可化為，不經(jīng)過第一象限；當(dāng)時，方程可化為，要使直線不經(jīng)過第一象限，則解得．綜上，k的取值范圍為．【小問2詳解】由題意可得，由取得，取得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，綜上，此時，直線方程為．18. 在中，角的對邊分別為，.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）；（2）3.【解析】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再結(jié)合余弦定理計算可得；（2）利用三角形面積公式得到，再由余弦定理求出，即可求出三角形的周長；【詳解】解：（1）將展開得，由正弦定理得，由余弦定理得因為，所以（2）根據(jù)余弦定理，因為的面積為，所以因為，所以，解得的周長為19. 已知等差數(shù)列的前項和為；數(shù)列為等比數(shù)列，滿足，，是與的等差中項.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）若，是數(shù)列的前項和，求.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差的前n項和公式以及通項公式求出首項與公差即可求出等差數(shù)列通項公式，再結(jié)合等差數(shù)列中的項與等比數(shù)列的通項公式求出首項與公差從而求出等比數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法求出數(shù)列的和.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，，是與的等差中項，則；，，即，，，；（2），所以，，兩式相減可得，，化簡得，.20. 如圖，在中，已知，，，BC邊上的中線為AM．（1）求的值；（2）求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)在中，利用余弦定理求，在，中分別利用余弦定理求，，由此列方程求，(2)在中由余弦定理求，再由同角關(guān)系求.【小問1詳解】由余弦定理，得，即，．在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，由與互補，則，解得．【小問2詳解】在中，由余弦定理，得，因為，所以，所以．21. 在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝·an(n∈N*).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn＝，若數(shù)列{bn}的前n項和是Tn，求證：Tn＜2.【答案】（1）證明見解析；；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項公式，進行求解即可；（2）由，進而利用，得到，最后利用等比數(shù)列求和公式進行求證即可【詳解】證明：（1）由題設(shè)得，又，所以數(shù)列是首項為2，公比為的等比數(shù)列，所以，（2）由（1）知，因為對任意，恒成立，所以，所以故Tn＜2成立【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的求和公式，難點在于利用不等式的放縮法得出，屬于中檔題22. 函數(shù)所經(jīng)過的定點為，圓的方程為，直線被圓所截得的弦長為．（1）求以及的值；（2）設(shè)點，探究在直線上是否存在一點（異于點），使得對于圓上任意一點到兩點的距離之比（為常數(shù)）．若存在，請求出點坐標(biāo)以及常數(shù)的值，若不存在，請說明理由．【答案】（1），；（2）存在一點，．【解析】【分析】（1）由函數(shù)過定點可求，的值，由直線與圓相交的弦長公式：求出的值；（2）假設(shè)存在，設(shè)點，圓與直線的交點為，當(dāng)分別在、時滿足的距離比可得的值，可得點坐標(biāo)，設(shè)圓上任一點，再利用兩點間距離公式，由可求得比值為．【詳解】（1）在函數(shù)中，當(dāng)時，，所以其經(jīng)過的定點為點，即，．由于直線被圓C所截得的弦長為，圓C半徑為r，圓心到直線的距離為，那么，解之有．（2）假設(shè)在直線上存在一點B（異于點P），使得對于圓C上任意一點T到P，B兩點的距離之比（為常數(shù)）．圓與直線的交點為，，設(shè)，而若點T取S或Q時，則，即，解得．此時．下面證明：對于圓C上任意一點T到P，B兩點的距離之比．設(shè)為圓上任意一點，則，即，由，，，所以在直線上存在一點，使得對于圓C上任意一點T到P，B兩點的距離之比．

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