2022-2023學年天津市耀華中學高二上學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．已知直線與直線和平行且距離相等，則直線的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】設直線的方程為，然后利用兩平行線間的距離公式列方程求解即可.【詳解】設直線的方程為，由兩條平行線間的距離公式可得：，解得：，所以直線的方程為，故選：.2．已知直線與互相垂直，則實數(shù)（    ）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】直線與互相垂直，若斜率不存在，則或，顯然當時兩直線垂直；若兩直線斜率存在時，則斜率積為求出.【詳解】當時，，，此時兩直線垂直，當時，，，此時兩直線不垂直，當時，兩條直線分別化為：，，直線與互相垂直， 解得：或（舍去），綜上可知：或.故選:B3．過點的直線與圓：交于，兩點，當弦取最大值時，直線的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】要使過點的直線被圓所截得的弦取最大值時，則直線過圓心，然后根據(jù)直線的兩點式方程寫出答案即可【詳解】圓：化為 所以圓心坐標 要使過點的直線被圓所截得的弦取最大值時，則直線過圓心由直線方程的兩點式得： ，即 故選：A4．如圖，在四面體OABC中，，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量基本定理求解出，從而求出.【詳解】因為，所以，又，所以．故選：D5．已知圓的半徑為1，若此圓同時與 軸和直線 相切，則圓的標準方程可能是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】設圓的方程為，依題意利用圓心到直線的距離等于半徑得到方程組，解得即可；【詳解】解：設圓的方程為，圓心為，半徑，依題意，解得或或或，所以圓的方程為或或或；故選：A6．如圖，在正方體中，點分別是的中點，直線與所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設正方體棱長為2，以D為原點建立空間直角坐標系，寫出向量，的坐標，利用數(shù)量積計算向量夾角的余弦值，其絕對值即直線與所成角的余弦值.【詳解】設正方體棱長為2，以D為原點，DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.則，，，，所以，，設直線與所成角為，則.故選：B.7．已知，過點的直線交圓于兩點，且，則直線的方程是（    ）A．B．C．或D．或【答案】C【分析】過點的直線與圓相交，弦長，有斜率存在與斜率不存在兩種情況，故分類討論即可.【詳解】由題意可知圓心，半徑，當直線斜率不存在時，此時將代入圓的方程可得，解得，所以弦長，符合條件，當直線斜率存在時，設直線方程為：即，圓心到直線的距離 由弦長公式可得解得：,所以直線方程為：，即：，綜上可知直線的方程為：或.故選：C8．曲線與的關(guān)系是（    ）A．有相等的焦距，相同的焦點 B．有不等的焦距，相同的焦點C．有不等的焦距，不同的焦點 D．有相等的焦距，不同的焦點【答案】D【分析】根據(jù)橢圓標準方程的特點及焦距的定義即可求解.【詳解】由題意可知，橢圓的焦點在軸上，且，所以，焦距為，焦點坐標為，橢圓的焦點在軸上，且，所以，焦距為，焦點坐標為，所以兩橢圓有相等的焦距，不同的焦點.故選：D.9．已知圓，直線，圓上有且只有兩個點到直線的距離為1，則圓半徑的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圓心到直線的距離，再由條件列出不等式求解即可.【詳解】圓心到直線的距離，又圓上有且只有兩個點到直線的距離為1，所以，解得.故選：B10．已知，，從點射出的光線經(jīng)直線反射后，再射到直線上，最后經(jīng)直線反射后又回到點，則光線所經(jīng)過的路程是（    ）A． B．6 C． D．【答案】C【分析】求出關(guān)于直線的對稱點和它關(guān)于軸的對稱點，則的長就是所求路程．【詳解】由題意直線方程為，設關(guān)于直線的對稱點，則，解得，即，又關(guān)于軸的對稱點為，．故選：C11．已知正方體的棱長為2，，分別為上底面和側(cè)面的中心，則點到平面的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，按照距離的向量求法求解即可.【詳解】如圖，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，易知，設平面的法向量，則，令，解得，故點到平面的距離為.故選：A.12．已知橢圓的上頂點為，左右焦點為，離心率為.過且垂直于的直線與交于兩點，，則的周長是（    ）A．19 B．14 C． D．13【答案】D【分析】由離心率為，得到a，b，c之間的關(guān)系，做出簡圖，分析可得直線的方程為：，且直線垂直平分，所以的周長等于的周長，等于，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求出c，a的值.【詳解】因為橢圓的離心率為，所以，，如圖，，所以為正三角形，又因為直線過且垂直于，所以，直線的方程為：，設點D坐標，點E坐標，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，則，，所以，得，.由圖，直線垂直平分，所以的周長等于的周長，等于.故選：D. 二、填空題13．已知實數(shù)，滿足，則的最大值為__________．【答案】【分析】由的幾何意義為圓上的點與連線的斜率，利用點線距離公式求過與圓相切直線的斜率，即可得最大值.【詳解】可看作圓上的點與連線的斜率，當直線與圓相切時斜率取最值，∴設直線方程，圓心，半徑，圓心到直線距離，∴，故最大值為.故答案為：.14．過點且截距相等的直線方程為__________.【答案】或【分析】求過點且截距相等的直線方程，分為過原點與不過原點兩種情況討論即可.【詳解】當直線經(jīng)過原點時，設直線方程 代入得，所以直線方程為：，即當直線不經(jīng)過原點時，設直線方程為代入得，所以直線方程為：，即，綜上所求直線方程為：或.故答案為：或15．在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為，以為圓心，為半徑作圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率_________．【答案】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合橢圓離心率公式進行求解即可.【詳解】由題意可知：圓的方程為，設兩切點為，由圓的性質(zhì)和題意可知：，且，因此是直角三角形，故，故答案為：16．兩圓和相交于兩點，則公共弦的長為__________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件聯(lián)立方程組，求出交點坐標，利用兩點間的距離公式即可求解.【詳解】由，解得，或，所以不妨取兩圓的交點為，所以.故答案為：.17．如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，則對角線的長為__________.【答案】【分析】由，結(jié)合數(shù)量積向量運算即可求【詳解】由題，，則，故.故答案為：18．已知是棱長為的正方體外接球的一條直徑，點在正方體表面上運動，則的最小值為__________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件及正方體的體對角線為正方體外接球的直徑，再利用平面向量的數(shù)量積的運算，結(jié)合平面向量的線性運算即可求解.【詳解】由題意可知，為棱長為的正方體外接球的一條直徑，為球心，為正方體表面上的任意一點，如圖所示則球心也就是正方體的中心，所以正方體的中心到正方體表面任意一點的距離的最小值為正方體的內(nèi)切球半徑，它等于棱長的一半為,的長為正方體的對角線長為.所以的最小值為.故答案為：. 三、解答題19．如圖：在直三棱柱中，，是棱的中點，是的延長線與的延長線的交點.(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值；(3)若點在線段上，且直線與平面所成的角的正弦值為，求線段的長.【答案】(1)證明見解析(2)(3) 【分析】(1)連接交于，連接，則是的中點，由三角形中位線得，再由線面平行的判定定理即可證明.(2)建立坐標系，求出平面與平面的法向量，利用空間向量求出夾角的余弦值.(3)先設出點位置，再利用直線與平面所成的角的正弦值為求出，即可求出的長.【詳解】（1）連接交于，連接，則是的中點，是棱的中點，，，， ，是的中點，，平面，平面，平面.（2）以為坐標原點，以為坐標軸建立空間直角坐標系 則 設平面的法向量為，平面的法向量為 ，則 即 令得 令得 由圖可知平面與平面的夾角為銳角，所以平面與平面的夾角的余弦值為.（3） 設，則 則，直線與平面所成的角的正弦值為， ，解得，  .20．設橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.(1)求橢圓的標準方程；(2)設直線與橢圓交于兩點，是坐標原點，，點剛好在橢圓上，已知點的面積為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）由離心率結(jié)合，可得關(guān)系.后代入所過點可得方程.（2）考慮直線斜率存在與不存在兩種情況，先由，求出D點坐標，后通過已知三角形面積得出答案.【詳解】（1）設橢圓C的半焦距為c,因為橢圓C的離心率為 ,所以.結(jié) 合，則，得，即.又橢圓C經(jīng)過點 ，則. 解 得.故橢圓C的標準方程為:.（2）①當直線l的斜率不存在時，不妨將其設為,其中.則兩點關(guān)于軸對稱，設為則=，又D在橢圓上，故，得取點.則故直線l的斜率不存在與題意不符.②當直線l的斜率存在時，設直線的方程.聯(lián)立方程:.消 去y ,得.由題意 .則，.因，故點D的坐標為 . 因為點D剛好在橢圓C上，所以.即.此時.   則=設點P到直線l的距離為d,則     則，解得或.當時，由，算得，故不合題意.當時，由，算得，解得或.故直線方程為:或.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題（1）考查求橢圓標準方程，關(guān)鍵為通過離心率找到關(guān)系.（2）為直線與橢圓關(guān)系綜合題，需注意考慮直線斜率存在與不存在兩種情況.其次是對于斜率存在的情況，關(guān)鍵為通過及D點在橢圓上，利用方程聯(lián)立及韋達定理找到所設直線中未知量和的關(guān)系.考查了學生的分析計算能力，屬于難題. 

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