安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期中考查高一數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：90分鐘    滿分：100分一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 設(shè)集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合然后利用交集運(yùn)算即可求解【詳解】由可得，解得，故，因?yàn)?/span>所以，所以，故選：D2. 已知是上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)，則，求出，再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.詳解】解：設(shè)，則，所以，又是上的偶函數(shù)，所以，所以.故選：C3. 已知函數(shù)，若對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由可判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸即可列式求解【詳解】函數(shù)對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，都有，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸為：，所以,解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：A4. 函數(shù)的圖象是如圖所示折線段ABC，其中點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為，，，以下說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（    ） ①；②的定義域?yàn)?/span>；③為偶函數(shù)；④若在上單調(diào)遞增，則m取值范圍為.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖象以及題意即可求得的解析式可判斷①；根據(jù)函數(shù)圖象特點(diǎn)以及定義域即可判斷②；根據(jù)函數(shù)圖象特點(diǎn)以及與之間的關(guān)系即可判斷③；根據(jù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可判斷④【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?/span>，，的坐標(biāo)分別為，，，所以，所以，故①正確；對(duì)于②，因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>，所以的定義域?yàn)?/span>，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，因?yàn)?/span>的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱，所以為偶函數(shù)，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，則，則m的取值范圍為，故④正確；故選：C5. 已知函數(shù)，若，則（    ）A. 17 B. 12 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由可得是奇函數(shù)，故利用奇函數(shù)性質(zhì)即可【詳解】因?yàn)?/span>即，所以，故選：A6. 若函數(shù)的值域?yàn)?/span>，則的定義域?yàn)椋?/span>    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先利用換元思想轉(zhuǎn)化為的值域問(wèn)題，再利用二次函數(shù)的圖象、指數(shù)不等式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)，則，且，由題意，得的值域?yàn)?/span>，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，顯然，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，顯然，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，顯然，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，則由二次函數(shù)的性質(zhì)，得：當(dāng)或，，當(dāng)時(shí)，，即選項(xiàng)D正確.故選：D.7. 設(shè) ，則最小值為（    ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】【分析】由已知可得出，利用基本不等式可求得該代數(shù)式的最小值.【詳解】因?yàn)?/span>，則，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值為6.故選：C.8. 設(shè)函數(shù)若存在最小值，則的取值范圍為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】若時(shí)，，；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故沒(méi)有最小值；若時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)有最小值，需或，解得.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用分類討論法，結(jié)合最值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得4分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9. 如圖，三個(gè)圓形區(qū)域分別表示集合、、，則（    ）A. Ⅰ部分表示 B. Ⅱ部分表示C. Ⅲ部分表示 D. Ⅳ部分表示【答案】ABD【解析】【分析】觀察韋恩圖，可判斷AB選項(xiàng)；在Ⅲ部分、Ⅳ部分各取一個(gè)元素，分析所取元素與集合、、的關(guān)系可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由圖可知，Ⅰ部分表示，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由圖可知，Ⅱ部分表示，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，在Ⅲ部分所表示的集合中任取一個(gè)元素，則且，故Ⅲ部分表示，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，在Ⅳ部分表示的集合中任取一個(gè)元素，則且，所以，Ⅳ部分表示，D對(duì).故選：ABD.10. 關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)描述，正確的是（    ）A. 的定義域?yàn)?/span> B. 的值域?yàn)?/span>C. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D. 在定義域上是減函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】首先對(duì)原式分離常數(shù)，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】由題可知，，分母不能為，則，A正確；，，即值域?yàn)?/span>，B正確；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可以由的圖像先向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，則對(duì)稱中心平移為，C正確；在上不符合函數(shù)單調(diào)性的定義，D錯(cuò)誤.故選：ABC11. 下列敘述中正確的是（    ）A. 若a，b，，則“不等式恒成立”的充要條件是“”B. 若a，b，，則“”的充要條件是“”C. “”是“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的必要不充分條件D. “”是“”的充分不必要條件【答案】CD【解析】【分析】對(duì)于A和B，通過(guò)舉反例即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)二次方程根的分布列不等式求解即可判斷；對(duì)于D，化簡(jiǎn)即可判斷【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若a，b，，當(dāng)且時(shí)，推不出，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，設(shè)兩根為，則，解得，又“”是“”的必要不充分條件，故C正確；對(duì)于D，由可得或，又“”是“或”的充分不必要條件，故D正確．故選：CD．12. 已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（    ）A. 在區(qū)間上是增函數(shù)B. C. 若方程恰有3個(gè)實(shí)根，則D. 若函數(shù)在上有6個(gè)根，則【答案】BD【解析】【分析】作出函數(shù)的圖像，根據(jù)函數(shù)為周期為的函數(shù)，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)為周期為的函數(shù)，求得，可判定B正確；由直線 恒過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合的圖像和函數(shù) 的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，可判定C錯(cuò)誤；由，關(guān)于直線 對(duì)稱，關(guān)于直線對(duì)稱，可判定D正確.【詳解】由題意，作出函數(shù)的圖像，如圖所示， 對(duì)于A中，當(dāng)，若，即，可得，當(dāng)時(shí)，為周期為的函數(shù)，畫(huà)出 在區(qū)間的函數(shù)，可知在區(qū)間上為減函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，因?yàn)?/span>時(shí)，函數(shù)為周期為的函數(shù)，又由，所以， ，所以，所以B正確；對(duì)于C中，直線恒過(guò)定點(diǎn)，函數(shù)的圖像和函數(shù)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，設(shè)與相切于點(diǎn) ，則，解得 ，當(dāng)，根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)與 相切時(shí)，，則，即 ，綜上可得，當(dāng)函數(shù)的圖像和函數(shù)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)， ，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D中，又由函數(shù)在上有6 個(gè)零點(diǎn)，故直線與在 上由6個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)，由圖像可知關(guān)于直線對(duì)稱， 關(guān)于直線對(duì)稱，關(guān)于直線對(duì)稱，所以 ，所以D正確.故選：BD. 【點(diǎn)睛】利用函數(shù)的圖像求解方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題的策略：1、利用函數(shù)的圖像研究方程的根的個(gè)數(shù)：當(dāng)方程與基本性質(zhì)有關(guān)時(shí)，可以通過(guò)函數(shù)圖像來(lái)研究方程的根，方程的根就是函數(shù)與 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程的根據(jù)就是函數(shù) 和圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；2、利用函數(shù)研究不等式：當(dāng)不等式問(wèn)題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，常將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.三、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．13. 已知冪函數(shù)圖象不過(guò)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為______．【答案】1【解析】【分析】由冪函數(shù)的系數(shù)為，列方程求出實(shí)數(shù)的值，并檢驗(yàn)函數(shù)的圖象是否過(guò)原點(diǎn)，得出答案．【詳解】令，解得或，當(dāng)時(shí)，圖象不過(guò)原點(diǎn)，成立；當(dāng)時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)，不成立；故實(shí)數(shù)m的值為1，故選：114. 若命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值集合為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，將條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與軸沒(méi)有交點(diǎn)的問(wèn)題，利用判別式即可求解.【詳解】因?yàn)槊}“，”為假命題，所以對(duì)恒成立，也即對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)與軸沒(méi)有交點(diǎn)，所以，解得：，故答案為：.15. 已知x，y都是正數(shù)，且滿足，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】由已知條件得出，計(jì)算得出，利用基本不等式可求得的最小值，利用等號(hào)成立的條件可求得對(duì)應(yīng)的、值.【詳解】，，由于、是正數(shù)，則且，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為.故答案為: 16. 已知函數(shù)，則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】先求出的定義域，證明是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明是增函數(shù)，根據(jù)題意列出不等式即可得到答案【詳解】由可得，解得或，故的定義域?yàn)?/span>或，又，所以是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，設(shè)，所以，設(shè)任意的，且，所以，因?yàn)槿我獾?/span>，且，所以 ，所以，即，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，由可得，解得或，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共44分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17. 化簡(jiǎn)求值：（1）；（2）．【答案】（1）100    （2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)指數(shù)冪及根式的運(yùn)算性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及指數(shù)冪的運(yùn)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】原式，【小問(wèn)2詳解】原式.18. 已知集合.(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】先求出集合.（1）就和分類討論，再根據(jù)集合關(guān)系得到兩個(gè)集合中范圍的端點(diǎn)滿足的不等式，其解即為實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）就和分類討論，再根據(jù)得到兩個(gè)集合中范圍的端點(diǎn)滿足的不等式，其解即為實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，.（1）若，則，符合；若，則，因?yàn)?/span>，故；若，則，因?yàn)?/span>，故；所以時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）因?yàn)?/span>，.若，則，符合；若，則，因?yàn)?/span>，故即；若，則，因?yàn)?/span>，故即；所以時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查集合的包含關(guān)系以及一元二次不等式的解的求法，注意根據(jù)集合關(guān)系得到不同集合中的范圍的端點(diǎn)滿足的不等式時(shí)，要驗(yàn)證等號(hào)是否可取，還要注意含參數(shù)的集合是否為空集或全集.19. 已知函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求m的值；（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）；    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)可得，代入即可求解；（2）化簡(jiǎn)不等式可得，令，可轉(zhuǎn)化成恒成立，令，求的最小值即可得到答案【小問(wèn)1詳解】方法一：∵為偶函數(shù)，∴，∴，∴，∴；方法二：∵為偶函數(shù)，且定義域?yàn)?/span>，∴即，∴，經(jīng)檢驗(yàn)知：為偶函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】由可得，所以，令，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)，則，所以不等式可轉(zhuǎn)化成，則，令，設(shè)任意的，且，所以，因?yàn)槿我獾?/span>，且，所以，所以，即，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴，∴，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍20. 已知函數(shù)對(duì)任意的x，都有成立，且當(dāng)時(shí)，．（1）用定義法證明為R上的增函數(shù)；（2）解不等式，．【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng) 時(shí)，不等式的解集為.【解析】【分析】（1）用定義法證明函數(shù)單調(diào)性，先在定義域上任取，，且，結(jié)合條件構(gòu)造，利用來(lái)確定的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）由條件得到，利用函數(shù)的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為整式不等式后，分類討論后解含參數(shù)的一元二次不等式.【小問(wèn)1詳解】證明：任取，，且∵，∴，∴，∴即，∴∴為R上的增函數(shù)小問(wèn)2詳解】令，則，所以，所以原不等式化為，∵為R上的增函數(shù)∴，即，即，①若，，；②若，，或；③若，，.綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．21. 對(duì)于函數(shù)，若，則稱x為的“不動(dòng)點(diǎn)”；若，則稱x為的“穩(wěn)定點(diǎn)”．若函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B，即，．（1）求證：；（2）若，函數(shù)總存在不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；（3）若，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；    （2）    （3）【解析】【分析】（1）分和兩種情況進(jìn)行分類討論即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化成有解，利用判別式即可而得到答案；（3）由可得有實(shí)根，，又，所以，即的左邊有因式，從而有.再由題中條件，即可得出結(jié)果【小問(wèn)1詳解】若，則顯然成立，若，設(shè)，則，，即，從而，故成立；【小問(wèn)2詳解】原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，有解，∴即，則即恒成立，∴，∴，所以實(shí)數(shù)c的取值范圍為；【小問(wèn)3詳解】A中的元素是方程即的實(shí)根，由，知或,解得，B中元素是方程即的實(shí)根，由知方程含有一個(gè)因式，即方程可化為：，若，則方程①要么沒(méi)有實(shí)根，要么實(shí)根是方程②的根，若①?zèng)]有實(shí)根，當(dāng)時(shí)，方程，不成立，故此時(shí)沒(méi)有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)且；若①有實(shí)根且①的實(shí)根是②的實(shí)根，則由②有，代入①有，由此解得，再代入②得，解得，綜上，a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:新定義題型的特點(diǎn)是:通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的:遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決.
  

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