山東師大附中2021級(jí)2021-2022學(xué)年第一學(xué)期學(xué)分認(rèn)定考試數(shù)學(xué)試題★?？荚図樌?/span>注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考試號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書(shū)寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效．5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（    ） A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】結(jié)合圖象可知陰影部分表示的集合為，根據(jù)交集和補(bǔ)集的運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】由，，得，由圖象可知陰影部分表示的集合為，所以.故選：B2. “且”是“”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件與必要條件的定義判斷結(jié)果.【詳解】且能夠推出，反之不能推出且，所以“且”是“”的充分不必要條件.故選:.3. 函數(shù)（且）恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)求解即可.【詳解】解：因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)（且）過(guò)定點(diǎn)，所以令得 所以函數(shù)（且）恒過(guò)定點(diǎn)故選：D4. 已知，則的最小值是（    ）A. 1 B. 4 C. 7 D. 【答案】C【解析】【分析】由目標(biāo)式可得，結(jié)合已知條件，應(yīng)用基本不等式即可求目標(biāo)式最小值，注意等號(hào)成立的條件.【詳解】∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C5. 已知是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先求在上的解析式，再分段可求的解集.【詳解】設(shè)，則，故，而，又，故，又等價(jià)于或或，故或，故選：B.6. 已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】函數(shù)的圖象，如圖所示：  由圖象知：函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以轉(zhuǎn)化為，解得 ，故選；B7. 已知a>b>c，若恒成立，則m的最大值為（    ）A. 3 B. 4 C. 8 D. 9【答案】D【解析】【分析】由，知，，，由，得，結(jié)合基本不等式求出的最小值，得到m的最大值．【詳解】由，知，，，由，得，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值9，，的最大值為9．故選：．8. 高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，如：，，已知，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/span>    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得的值域，然后再根據(jù)新定義求的值域．【詳解】，顯然，，所以的值域是，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以所求值域是．故選：C．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9. 對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，則下列命題正確的是（    ）A. 若ac2>bc2，則a>b B. 若a>b，c>d，則a+c>b+dC. 若a>b，c>d，則ac>bd D. 若a>b，則【答案】AB【解析】【分析】可由性質(zhì)定理判斷A、B對(duì)，可代入特例判斷選項(xiàng)C、D錯(cuò).【詳解】解：若ac2>bc2，兩邊同乘以則a>b，A對(duì)，由不等式同向可加性，若a>b，c>d，則a+c>b+d，B對(duì)，當(dāng)令a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣2，則ac=bd，C錯(cuò)，令a=﹣1，b=﹣2，則，D錯(cuò).故選：AB.10. 下列函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BCD【解析】【分析】A中x無(wú)法確定正負(fù)，不能求出最值；B是二次函數(shù)，配方求解最值；C看成關(guān)于的二次函數(shù)，配方求最值；D變換構(gòu)造，用基本不等式求最小值﹒【詳解】A中的正負(fù)無(wú)法確定，其函數(shù)值可以為負(fù)數(shù)；B中，最小值為2；C中，當(dāng)時(shí)，其最小值為2；D中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)﹒故選：BCD﹒11. 已知函數(shù)，．記，則下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（    ）A. 當(dāng)時(shí)，B. 函數(shù)的最小值為C. 函數(shù)在上單調(diào)遞減D. 若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則或【答案】ABD【解析】【分析】得到函數(shù)，作出其圖象逐項(xiàng)判斷.【詳解】由題意得：，其圖象如圖所示：  由圖象知：當(dāng)時(shí)，，故A正確；函數(shù)的最小值為，故正確；函數(shù)在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則或，故正確；故選：ABD12. 若，則下列關(guān)系正確的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】AD【解析】【分析】先由變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性，得到x，y的大小關(guān)系，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】由得，令，則，因?yàn)?/span>在R上都是增函數(shù)，所以在R上是增，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)， ，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng) 時(shí)，不成立，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>在R上遞減，且，所以，即，故正確；故選：AD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 函數(shù)=的定義域?yàn)?/span>____________【答案】【解析】【分析】利用被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)、分式分母不為零列不等式組，解不等式組求得函數(shù)的定義域.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得且.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題.14. 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值為______．【答案】0【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，由圖象得到函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)條件求解.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：，由圖象知：的減區(qū)間是，增區(qū)間是，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以實(shí)數(shù)的最小值為0，故答案為：015. 某種細(xì)菌在培養(yǎng)過(guò)程中，每15分鐘分裂1次(由1個(gè)分裂成2個(gè))，這種細(xì)菌由1個(gè)分裂成4096個(gè)需經(jīng)過(guò)_____小時(shí).【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題意，求得經(jīng)過(guò)次分裂后細(xì)菌個(gè)數(shù)關(guān)于的函數(shù)解析式，再代值計(jì)算即可.【詳解】設(shè)1個(gè)細(xì)菌分裂x次后有y個(gè)細(xì)菌，則y=2x.令2x=4096=212，則x=12，即需分裂12次，需12×15=180(分鐘)，即3小時(shí).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，屬簡(jiǎn)單題.16. 已知函數(shù)，若對(duì)任意的，均存在使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>，由對(duì)任意的，均存在使得，可得當(dāng)時(shí)，的值域包含，對(duì)稱軸為，再按對(duì)稱軸的取值，進(jìn)行分類討論，即可求解．【詳解】當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>，又對(duì)任意的，均存在使得，當(dāng)時(shí)，的值域包含，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，解得，即，當(dāng)時(shí)，且，解得，解得，綜上所述，的取值范圍為．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17. 化簡(jiǎn)求值（需要寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）．（1）若，，求的值；（2）化簡(jiǎn)并求值；（3）計(jì)算：．【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解；（2）利用根式的意義化簡(jiǎn)即可求解；（3）將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解.【小問(wèn)1詳解】因，，所以 ，所以．【小問(wèn)2詳解】．【小問(wèn)3詳解】.18. 已知函數(shù)，.（1）若，試求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）對(duì)于任意的，不等式成立，試求的取值范圍.【答案】（1）6；（2）.【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行分離，利用基本不等式求出最小值即可；（2）設(shè)，在恒成立，則，列不等式解出的取值范圍即可．【詳解】（1）依題意得∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，，即函數(shù)在區(qū)間上的最小值為6.（2）因?yàn)?/span>，所以要使得“，不等式成立”只要“在上恒成立”.不妨設(shè)，則只要在恒成立，所以，即解得所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查基本不等式求最值，考查一元二次不等式的恒成立問(wèn)題，利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方19. 已知函數(shù)是定義域?yàn)?/span>上的奇函數(shù)，且．（1）求的解析式；（2）請(qǐng)判斷并用定義證明在的單調(diào)性．【答案】（1）；    （2）在的單調(diào)遞增；證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是定義域?yàn)?/span>上的奇函數(shù)知，可以得到，再根據(jù)，可求出的值，即可得到的解析式.（2），不妨令，對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)處理為，進(jìn)行符號(hào)判斷得，即可判斷出在的單調(diào)遞增.小問(wèn)1詳解】函數(shù)是定義域?yàn)?/span>上的奇函數(shù)，∴，∴；又，∴；∴.【小問(wèn)2詳解】在的單調(diào)遞增．，不妨令，∵，∴，∴，又，所以，即，所以在的單調(diào)遞增．20. 已知關(guān)于x的不等式．（1）當(dāng)時(shí)，求該不等式的解集；（2）從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)，并求出此時(shí)該不等式的解集．①；②．【答案】（1）；    （2）具體見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）將代入不等式解得答案即可；（2）若選①，將不等式因式分解，進(jìn)而討論m和2之間的大小關(guān)系，然后解出答案；若選②，分三大類情況進(jìn)行討論，分解因式后再討論兩根之間的大小關(guān)系，最后求得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)不等式為，可化為，解得，所以不等式的解集為.【小問(wèn)2詳解】若選①，，不等式為，即（，（1）當(dāng)時(shí)，不等式解集為或，當(dāng)時(shí)，不等式解集為R，當(dāng)時(shí)，不等式解集為或，綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式解集為或，當(dāng)時(shí)，不等式解集為R，當(dāng)時(shí)，不等式解集為或.若選②．不等式為，若，，不等式解集為，若，不等式可化為，當(dāng)時(shí)，不等式解集或，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式解集為，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，當(dāng)時(shí)，不等式解集為或．21. 某醫(yī)藥研究所研發(fā)一種新藥，據(jù)監(jiān)測(cè)，如果成人按規(guī)定的劑量服用該藥，服藥后每毫升血液中的含藥量與服藥后的時(shí)間之間近似滿足如圖所示的曲線．其中是線段，曲線段是函數(shù)（，k，a是常數(shù)）的圖象，且．（1）寫(xiě)出服藥后每毫升血液中含藥量y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于時(shí)治療有效，假若某病人第一次服藥為早上6：00，為保持療效，第二次服藥最遲是當(dāng)天幾點(diǎn)鐘？（3）若按（2）中的最遲時(shí)間服用第二次藥，則第二次服藥后再過(guò)，該病人每毫升血液中含藥量為多少？（精確到）【答案】（1）    （2）上午11：00服藥    （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象求解函數(shù)解析式；（2）根據(jù)題意列出不等式，求解出答案；（3）分別求解出第每毫升血液中含第一次和第二次服藥后的剩余量，相加即為結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，把代入（，k，a是常數(shù)），得，解得，故【小問(wèn)2詳解】設(shè)第一次服藥后最遲過(guò)t小時(shí)服第二次藥，則，解得：，即第一次服藥后后服第二次藥，也即上午11：00服藥；【小問(wèn)3詳解】第二次服藥后，每毫升血液中含第一次服藥后的剩余量為：每毫升血液中含第二次服藥后剩余量為：所以此時(shí)兩次服藥剩余的量為故該病人每毫升血液中的含藥量為22. 設(shè)函數(shù)（，且）．（1）若，證明是奇函數(shù)，并判斷單調(diào)性（不需要證明）；（2）若，求使不等式恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，，且在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析，是減函數(shù)；    （2）(－3，5)；    （3）2﹒【解析】【分析】(1)f(x)定義域?yàn)?/span>R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系，以此確定奇偶性；f(x)的單調(diào)性可以通過(guò)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行判斷；(2)利用條件，得到在R上單調(diào)遞減，從而將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得，研究二次函數(shù)得到結(jié)論；(3)令，得到二次函數(shù)h(t)，分類討論研究得到，得到結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】證明：的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，∴為奇函數(shù)，∵，∴遞減，遞減，故減函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】(且)，∵，∴，又，且，∴，故在上單調(diào)遞減，不等式化為，∴，即恒成立，∴，解得；【小問(wèn)3詳解】∵，∴，即，解得或(舍去)，∴，令，由(1)可知為增函數(shù)，∵，∴，令，若，當(dāng)時(shí)，，∴；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得，無(wú)解；綜上，．

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