專題42 數(shù)列求和  【知識點(diǎn)總結(jié)】求數(shù)列前項(xiàng)和的常見方法如下：（1）公式法：對于等差、等比數(shù)列，直接利用前項(xiàng)和公式.（2）錯位相減法：數(shù)列的通項(xiàng)公式為或的形式，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列.（3）分組求和法：數(shù)列的通項(xiàng)公式為的形式，其中和滿足不同的求和公式.常見于為等差數(shù)列，為等比數(shù)列或者與分別是數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，并滿足不同的規(guī)律.（4）裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列恒等變形為連續(xù)兩項(xiàng)或相隔若干項(xiàng)之差的形式，進(jìn)行消項(xiàng).（5）倒序相加：應(yīng)用于等差數(shù)列或轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的數(shù)列求和.【典型例題】例1．（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中?？茧A段練習(xí)）已知，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式的方法，可求得______．【答案】2022【解析】由，令，則，兩式相加得：，∴．故答案為：2022例2．（2023·四川涼山·二模）已知對于任意函數(shù)在點(diǎn)處切線斜率為，正項(xiàng)等比數(shù)列的公比，且，又與的等比中項(xiàng)為2．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】（1）由題意，∴；由題可得，所以或（舍）所以，；（2）由題可知，所以，，所以，，即.例3．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】（1）由等比數(shù)列求解，進(jìn)而根據(jù)錯位相減法即可求和.【詳解】（1）由得：由知：∴，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列（2）方法一由（1）得：，∴∴  ①  ②②-①得：∴．方法二由（1）得：，∴∴  ①  ②①-②得：∴．例4．（2023春·安徽·高二安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）由，得，所以，累乘得，又，所以時，，當(dāng)時，，符合上式，所以.（2）由（1），得，所以.例5．（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】（1）由，則，故，所以.（2）由（1）知：，.例6．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，則，，，又，可得，所以.（2）由（1）可得，故，以它為通項(xiàng)的數(shù)列是以-1為首項(xiàng)、公比為-3的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的前2n項(xiàng)和為：.即: 數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.例7．（2023春·上海楊浦·高一上海市楊浦高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列滿足：.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和的表達(dá)式.【解析】（1）由題意可知，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，，即前項(xiàng)和.例8．（2023春·河北承德·高三興隆縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為2，且成等比數(shù)列，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，若數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）由題知即解得，所以.（2）.例9．（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式及.【解析】（1）依題意，，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以，所以.例10．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，且，，成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）∵，∴.又∵，∴，即，∴數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.又∵，，成等差數(shù)列，∴，即，解得.∴；（2）由（1）可知，∴∴.例11．（2023·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）因?yàn)樵跀?shù)列中，，，所以，，所以，等式兩邊同加上得，因?yàn)椋?/span>所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，．（2）因?yàn)?/span>，即所以，為單調(diào)遞減數(shù)列，因?yàn)?/span>，，所以，時，，時，，記的前項(xiàng)和為，則，所以，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，①，②所以，①②得：，即，綜上，  【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·內(nèi)蒙古通遼·?？级＃┤魯?shù)列的首項(xiàng)為且滿足數(shù)列的前4項(xiàng)和=（   ）A．33 B．45 C．48 D．78【答案】D【解析】由，得，故是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，故，則，所以數(shù)列的前4項(xiàng)和為.故選：D.2．（2023春·廣東深圳·高二?？茧A段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，也滿足，∴ 數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，     故選：C3．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級中學(xué)?？计谀┰跀?shù)列中，已知且，則其前項(xiàng)和的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意得．故選：B．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則下列結(jié)論不正確的是（    ）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前和為【答案】C【解析】對于A，設(shè)等差數(shù)列 的公差為 , 前 項(xiàng)和為 , 由 , 可得 , 解得 2 , 則 , 故選項(xiàng)A正確;由得， , 11,，故選項(xiàng)B正確；=n=,故選項(xiàng)C錯誤；由 可得 , 即數(shù)列 的前 項(xiàng) 和 為 .故選項(xiàng)D正確.故選：C.二、填空題5．（2023春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）對于正整數(shù)，將其各位數(shù)字之和記為，如，，則______.【答案】【解析】方法一：由定義易知，，由此可知，，進(jìn)而有，，進(jìn)而有，，而，故.方法二：考慮每一位上的數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)，千位數(shù)字僅有1和2，之和為：，百位數(shù)字之和為：，十位數(shù)字之和為；，個位數(shù)字之和為：，綜上可知，.故答案為：.6．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）數(shù)列的前10項(xiàng)和為__________.【答案】【解析】，故.故答案為：.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正整數(shù)n滿足：則n＝______【答案】6【解析】依題意，，解得.故答案為：6.8．（2023秋·江蘇常州·高二常州市第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前16項(xiàng)的和為______.【答案】【解析】，①，②兩式相加，又因?yàn)?/span>，故，所以，所以的前16項(xiàng)的和為故答案為：三、解答題9．（2023春·安徽·高二安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）由知數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.又，所以，即解得或（舍去），所以.（2）因?yàn)?/span>，所以①，②，①②得：，所以，.10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)校考模擬預(yù)測）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，的前項(xiàng)和為，求的值域.【解析】（1）因?yàn)?/span>，所以，即  當(dāng)時，，則，整理得（）， 則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故，也滿足  所以.（2）由（1）得所以；顯然又因?yàn)?/span>，單調(diào)遞增（），所以，所以的值域是.11．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．【解析】（1）∵為等比數(shù)列，則，且，可得，設(shè)數(shù)列的公比為，則．∵，則，可得，∴．（2）由（1）知，則，，∴，①，②得，∴．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求的前20項(xiàng)和.【解析】由題意知數(shù)列滿足，可得；所以所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；同理由知數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．從而由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得數(shù)列的前20項(xiàng)和為：13．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求；(2)若是與的等比中項(xiàng)，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）解法一：當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)， ，，所以．當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，則，，所以．綜上，．解法二： 因?yàn)?/span>，，所以，得，當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，所以．（2）由題意可得，，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以．14．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對任意正整數(shù)n，有2Sn＝nan，且a2＝3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)對所有正整數(shù)m，若ak＜2m＜ak＋1，則在ak和ak＋1兩項(xiàng)中插入2m，由此得到一個新數(shù)列{bn}，求{bn}的前40項(xiàng)和.【解析】（1）由，則，兩式相減得：， 整理得：，即時，，所以時， ，又時，，得，也滿足上式.故.（2）由.所以，又，所以前40項(xiàng)中有34項(xiàng)來自.故.15．（2023春·河北唐山·高三開灤第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，的前n項(xiàng)和為，證明：．【解析】（1）由設(shè)數(shù)列的公差為，則 解得，，所以是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以；（2）由，可得，所以,又，故.16．（2023春·廣東揭陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列中，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前n項(xiàng)和．【解析】（1）當(dāng)時，，解得，由當(dāng)時，，得當(dāng)時，，兩式相減得，即，又，所以，又適合上式，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以；（2），則，，兩式相減得，所以.17．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】（1）依題意，，即，因此數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）得，則，于是，兩式相減得，所以.18．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶市鳳鳴山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，向量，，．(1)令，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求證：．【解析】（1）由題意可得：，則，可得，故數(shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可得：，則，∵，故.19．（2023·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)從下面兩個條件中選擇一個作為已知條件，求數(shù)列的前項(xiàng)和.①；②.【解析】（1）由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，由題意可得，解得，所以，等比數(shù)列的公比為，所以，.（2）若選①，.所以，，①則，②①②得，因此，；若選②，，所以，.20．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足(1)設(shè)，證明：是等比數(shù)列(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：【解析】（1）由題設(shè)，，則，所以，即，而，故是首項(xiàng)與公比都為的等比數(shù)列.（2）由（1），即，當(dāng)時，，顯然滿足上式，所以，則，則，又時，所以且，故.21．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【解析】（1），，．由，得，，所以，故，所以數(shù)列是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．（2），故，所以．22．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知求數(shù)列的前20項(xiàng)和．【解析】（1）當(dāng)時，可得，當(dāng)時，，，上述兩式作差可得，因?yàn)?/span>滿足，所以的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)?/span>，所以，.所以數(shù)列的前20項(xiàng)和為.23．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，，成等比數(shù)列.(1)求；(2)求.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，，即整理得，解得，或（舍）所以故，（2）由（1）知，，所以，所以，則，.24．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列前項(xiàng)和．【解析】（1）由題意當(dāng)時，；當(dāng)時，兩式相減得，所以，當(dāng)時也成立．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)題意，得所以所以25．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.已知.(1)求；(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為.由題意，可知，解得：，.（2）由題設(shè)及（1）可知：當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，故，26．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）因?yàn)?/span>，所以時，，所以.又由數(shù)列為等比數(shù)列，所以.又因?yàn)?/span>，所以，綜上.（2）由（1）知，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以.27．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為（），滿足．(1)若數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，求的取值范圍；(2)若，在數(shù)列的第n項(xiàng)與第項(xiàng)之間插入首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列的前n項(xiàng)，形成新數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由于，所以，解得，所以，若數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則對于恒成立，所以在上恒成立，則，所以，又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，故的取值范圍為；（2）若，則，根據(jù)題意數(shù)列為：第一組為：1，；第二組為：，，；第三組為：，，，；……第組為：，，，，…，；則前組一共有項(xiàng)，當(dāng)時，項(xiàng)數(shù)為.故相當(dāng)于是前組的和再加上這五項(xiàng)，即：設(shè)，則可看成是數(shù)列的前項(xiàng)和所以.28．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，且，，成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）∵，∴.又∵，∴，即，∴數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.又∵，，成等差數(shù)列，∴，即，解得.∴；（2）由（1）可知，∴∴. 
 

相關(guān)試卷

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題42 數(shù)列求和（原卷版）：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題42 數(shù)列求和（原卷版），共10頁。

第一輪復(fù)習(xí)新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練11 數(shù)列求和方法之分組并項(xiàng)求和法+解析：

這是一份第一輪復(fù)習(xí)新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練11 數(shù)列求和方法之分組并項(xiàng)求和法+解析，文件包含專題11數(shù)列求和方法之分組并項(xiàng)求和法教師版docx、專題11數(shù)列求和方法之分組并項(xiàng)求和法原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共44頁， 歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)高考專題19 數(shù)列的求和問題（解析版）：

這是一份高中數(shù)學(xué)高考專題19 數(shù)列的求和問題（解析版），共39頁。試卷主要包含了已知公比大于的等比數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，設(shè)數(shù)列滿足，，且對任意，函數(shù)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯誤問題請聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會補(bǔ)償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請先用軟件解壓，再使用對應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時請及時更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
  • 精品推薦
  • 所屬專輯88份
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對1服務(wù)

  • 官方微信

    官方
    微信

    關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號

    打開微信就能找資料

  • 免費(fèi)福利

    免費(fèi)福利
返回
頂部