新高考在試題形式、試卷結(jié)構(gòu)、難度調(diào)控等方面深化改革,數(shù)列解答題的難度增加,作為壓軸題出現(xiàn)的概率變大,數(shù)列求和是數(shù)列中的兩大基本題型題型之一,也是高考中的熱點(diǎn),本專(zhuān)題總結(jié)數(shù)列求和的基本方法,供大家參考.
（一）等差數(shù)列求和
若一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列或可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列,求和時(shí)可以利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式．
【例1】（2024屆河北省滄州市滄縣中學(xué)高三下學(xué)期模擬）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【解析】（1）由,得①,
當(dāng)時(shí),,解得（負(fù)值舍去）.
當(dāng)時(shí),②,
①②,得,
化為,
因?yàn)?,解得,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為3、公差為2的等差數(shù)列,
所以,即.
（2）由（1）知,所以,
從而,
則,,…,,
以上n個(gè)式子相加,得.
（二）等比數(shù)列求和
若一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列或可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,求和時(shí)可以利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式．
【例2】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.
(1)求
(2)若,求的前2n項(xiàng)的和.
【解析】(1) 數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列,且,
所以,
當(dāng)時(shí),
所以.
(2)因?yàn)闉槠鏀?shù)時(shí),n為偶數(shù)時(shí),
所以的奇數(shù)項(xiàng)為0,偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,
所以的前2n項(xiàng)的和為.
（三）倒序相加求和
把數(shù)列分別正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)再相加,即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣,一般來(lái)說(shuō),若數(shù)列滿(mǎn)足,求數(shù)列的前n項(xiàng)和,可用倒序相加法.
【例3】已知函數(shù),數(shù)列滿(mǎn)足,則數(shù)列的前2025項(xiàng)的和
【解析】因?yàn)?所以,
有.
記數(shù)列的前項(xiàng)和,又,所以


.所以.
（四）裂項(xiàng)求和
把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和,正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．(1)用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變換,如：eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n)), ,裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng)．(2)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng),后面也剩兩項(xiàng)．
【例4】（2024屆天津市南開(kāi)區(qū)高三下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)二）已知是等差數(shù)列,公差,,且是與的等比中項(xiàng).
(1)求的通項(xiàng)公式
(2)數(shù)列滿(mǎn)足,且.
（?。┣蟮那皀項(xiàng)和.
（ⅱ）是否存在正整數(shù)m,n（）,使得,,成等差數(shù)列,若存在,求出m,n的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列,且,所以．
又是與的等比中項(xiàng),所以,即．
化簡(jiǎn)得,解得或（舍）,
所以．
（2）（i）由,得,所以（）,又,
當(dāng)時(shí),
,
又也適合上式,所以,
則,
所以．
（ⅱ）假設(shè)存在正整數(shù)m,n,使得,,成等差數(shù)列,
則,即,整理得,
顯然是25的正約數(shù),又,則或,
當(dāng),即時(shí),與矛盾；
當(dāng),即時(shí),,符合題意,
所以存在正整數(shù)使得,,成等差數(shù)列,此時(shí),．
拓展：裂項(xiàng)求和常見(jiàn)變形
1.
=.
2.
=.
3.
=.
4.
=.
5.
=
=
=.
6.
=
7.
=-+-+ +-
=1-.
8.
=
9.
=
10.
=
=
11.
=
=
12．
=
=
13.
=
=
14. ++++
=+++
=
15.若是各項(xiàng)均不為零,且公差的等差數(shù)列,則
==
（五）錯(cuò)位相減法求和
主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和,即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣．錯(cuò)位相減法求和時(shí)的注意點(diǎn):
(1)要善于識(shí)別題目類(lèi)型,特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；
(2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式；
(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．
【例5】（2024屆浙江省紹興市柯橋區(qū)三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,設(shè)．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）,即,
即,則,即,
即,又,
故數(shù)列是以為首項(xiàng)、以為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）易得,即,則,
則,
有,
則
,
故.
（六）為等差（比）數(shù)列,可并項(xiàng)求的前n項(xiàng)和
若,為等差數(shù)列或等比數(shù)列,求的前n項(xiàng)和可以采用,即把相鄰兩項(xiàng)的和看作一項(xiàng),構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列求和
【例6】若數(shù)列滿(mǎn)足.
（1）求數(shù)列的前100項(xiàng)的和；
（2）若,求數(shù)列的前31項(xiàng)的和.
【解析】（1）數(shù)列的前100項(xiàng)的和為
=.
（2）若,數(shù)列的前31項(xiàng)的和為
=.
(七)周期型數(shù)列求和
周期數(shù)列求和一般采用并項(xiàng)求和,即把一個(gè)周期內(nèi)的所有項(xiàng)求和,構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列求和,求形如數(shù)列的和,一般根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期,對(duì)n進(jìn)行分類(lèi),然后再采用并項(xiàng)求和
【例7】（2024屆福建省福州第一中學(xué)高三下學(xué)期5月模擬）已知數(shù)列中,,．
(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前2024項(xiàng)和．
【解析】（1）依題意,
,
則化為,
而,則,因此,
所以數(shù)列為常數(shù)列.
（2）由（1）知,,由,即是以6為周期的周期數(shù)列,令,
所以數(shù)列的前2024項(xiàng)和
.
(八)型數(shù)列求
若,為等差數(shù)列或等比數(shù)列,求的前n項(xiàng)和可以采用分組求和,分別求出的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和再相加.
【例8】（2024屆廣東省名校教研聯(lián)盟高三下學(xué)期5月模擬）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,,,,成等比數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若,,求數(shù)列的前100項(xiàng)和．
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,
根據(jù)題意得即
解得或．
又因,所以．
所以的通項(xiàng)公式為．
（2）由（1）得．
即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以4為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,
奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng),16為公比的等比數(shù)列．
數(shù)列的前100項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)有50項(xiàng),奇數(shù)項(xiàng)有50項(xiàng),
數(shù)列的前100項(xiàng)和．
,
．
所以．
(九)為等差數(shù)列,求前n項(xiàng)
若有正有負(fù),求的前項(xiàng)和,通常通過(guò)去絕對(duì)值,把變號(hào)與不變號(hào)的分為兩部分分別求和再相加,求和時(shí)注意對(duì)n進(jìn)行討論.
【例9】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,與的等差中項(xiàng)為,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,
由題意可知,,,
所以,解得：,,
所以；
（2）由（1）可知,,,當(dāng)時(shí),,
所以當(dāng)時(shí),
,
當(dāng)時(shí),
,
,
,
所以.
(十)等差（比）數(shù)列,插項(xiàng)后求和
求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是確定原數(shù)列有多少項(xiàng),新數(shù)列有多少項(xiàng).
【例9】已知數(shù)列是等差數(shù)列,其前和為,,,數(shù)列滿(mǎn)足
(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式；
(2)若對(duì)數(shù)列,,在與之間插入個(gè)2（）,組成一個(gè)新數(shù)列,求數(shù)列的前83項(xiàng)的和.
【解析】（1）設(shè)公差為,故,解得,
故,
故,①
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,②
式子①-②得,,
即,
當(dāng)時(shí),也滿(mǎn)足上式,故；
（2）因?yàn)?所以在中,從項(xiàng)開(kāi)始,到項(xiàng)為止,
共有項(xiàng)數(shù)為,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
故數(shù)列前項(xiàng)是項(xiàng)之后還有項(xiàng)為2,
.
【例1】（2024屆陜西省安康市高新中學(xué)高三模擬）已知數(shù)列滿(mǎn)足.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè),求的前n項(xiàng)和.
【解析】（1）證明：令,又,則有
,
又,所以
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列
（2）由（1）知,,
又,所以,
所以,
所以
【例2】（2024屆湖南省岳陽(yáng)市高三下學(xué)期5月岳汨聯(lián)考）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足（）,數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列,．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列和中的項(xiàng)由小到大組成新的數(shù)列,記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求．
【解析】（1）,①,（）,②,
得：,
∵為等差數(shù)列,∴,,
,即,
∴,
因?yàn)閿?shù)列是公比為3的等比數(shù)列,,
即,解得：,
所以；
（2）由（1）可知,,,
且數(shù)列和中的項(xiàng)由小到大組成新的數(shù)列,
其中,,此時(shí),
所以數(shù)列中數(shù)列有項(xiàng),數(shù)列有項(xiàng),
,
．
【例3】（2024屆福建省泉州五中高三下學(xué)期適應(yīng)性監(jiān)測(cè)二）已知數(shù)列和的各項(xiàng)均為正,且,是公比3的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足．
(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【解析】（1）由題設(shè),當(dāng)時(shí)或（舍）,
由,知,
兩式相減得,
（舍）或,即,
∴數(shù)列是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,．
又．
（2）
則
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),．
所以.
【例4】（2024屆重慶市第八中學(xué)校高三下學(xué)期5月月考）已知數(shù)列滿(mǎn)足,．
(1)求,,,并求證：；
(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．
【解析】（1）,,,
證明：,
,
即,,則,
故．
（2）由（1）可得：且,
所以數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列,
故,解得：,,
故
所以
．
【例5】將n2個(gè)實(shí)數(shù)排成n行n列的數(shù)陣形式
……
(1)當(dāng)時(shí),若每一行每一列都構(gòu)成等差數(shù)列,且 ,求該數(shù)陣中所有數(shù)的和.
(2)已知,且每一行構(gòu)成以1為公差的等差數(shù)列,每一列構(gòu)成2為公差的等差數(shù)列,求這個(gè)數(shù)的和；
(3)若 且每一列均為公差為d 的等差數(shù)列,每一行均為等比數(shù)列.已知 ,設(shè) 求的值.
【解析】（1）由題意,且每一行都成等差數(shù)列則有
,
,
,
設(shè)所有數(shù)之和為,則有,
又因?yàn)槊恳涣谐傻炔顢?shù)列,故有,即.
（2）設(shè)第行的和為,則有；
又因?yàn)槊恳涣袠?gòu)成以2為公差的等差數(shù)列,即有當(dāng)時(shí),,
即數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,即有
.
（3）由題意每一行均為等比數(shù)列,設(shè)第二行的公比為,則有,
又因?yàn)?故.從而可得第二行的通項(xiàng)公式,
即有,又因?yàn)槊恳涣芯鶠楣顬榈牡炔顢?shù)列,且,
可得,即,即有,從而有,
故
.
1．（2024屆浙江省精誠(chéng)聯(lián)盟高三下學(xué)期適應(yīng)性聯(lián)考）已知等比數(shù)列和等差數(shù)列,滿(mǎn)足,,,．
(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的前項(xiàng)和為．證明：．
2．（2024屆四川省百師聯(lián)盟高三沖刺卷五）已知為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和,且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若,求的前10項(xiàng)和．
3．（2024屆浙江省杭州市高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若等差數(shù)列的公差不為零且數(shù)列滿(mǎn)足：,求數(shù)列的前項(xiàng)和．
10．（2024屆天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高考熱身練）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列,是等差數(shù)列,且,
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
(3)表示不超過(guò)的最大整數(shù),表示數(shù)列的前項(xiàng)和,集合共有4個(gè)元素,求范圍;
11．（2024屆廣東省江門(mén)市新會(huì)華僑中學(xué)等校二模）已知是公差為2的等差數(shù)列,數(shù)列的前項(xiàng)和為,且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求；
(3)[x]表示不超過(guò)的最大整數(shù),當(dāng)時(shí),是定值,求正整數(shù)的最小值．
12．（2024屆陜西省西安市第一中學(xué)高三下學(xué)期模擬三）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列,且,,成等差數(shù)列,,,（）成等比數(shù)列,．
(1)求的值及的通項(xiàng)公式；
(2)令,,求證：．
13．（2024屆天津市十二區(qū)重點(diǎn)學(xué)校高三下學(xué)期聯(lián)考二）設(shè)是等差數(shù)列,其前項(xiàng)和,是等比數(shù)列,且,,.
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)若對(duì)于任意的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
14．（2024屆湖北省第九屆高三下學(xué)期4月調(diào)研）在如圖三角形數(shù)陣中,第n行有n個(gè)數(shù),表示第i行第j個(gè)數(shù),例如,表示第4行第3個(gè)數(shù).該數(shù)陣中每一行的第一個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列,從第三行起每一行的數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列其中已知,,
(1)求m及
(2)記除以3的余數(shù)為,,的前n項(xiàng)為,求
15．（2024屆湖南省永州市高三三模）已知數(shù)列為等比數(shù)列,為等差數(shù)列,且,,.
(1)求,的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為,集合共有5個(gè)元素,求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若數(shù)列中,,,求證：.
16．（2024屆天津市紅橋區(qū)高三下學(xué)期二模）已知是等差數(shù)列,是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,且,,,．
(1)求數(shù)列{,的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè),
（?。┣?；
（ⅱ）求．
專(zhuān)題3 數(shù)列求和
新高考在試題形式、試卷結(jié)構(gòu)、難度調(diào)控等方面深化改革,數(shù)列解答題的難度增加,作為壓軸題出現(xiàn)的概率變大,數(shù)列求和是數(shù)列中的兩大基本題型題型之一,也是高考中的熱點(diǎn),本專(zhuān)題總結(jié)數(shù)列求和的基本方法,供大家參考.
（一）等差數(shù)列求和
若一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列或可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列,求和時(shí)可以利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式．
【例1】（2024屆河北省滄州市滄縣中學(xué)高三下學(xué)期模擬）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【解析】（1）由,得①,
當(dāng)時(shí),,解得（負(fù)值舍去）.
當(dāng)時(shí),②,
①②,得,
化為,
因?yàn)?,解得,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為3、公差為2的等差數(shù)列,
所以,即.
（2）由（1）知,所以,
從而,
則,,…,,
以上n個(gè)式子相加,得.
（二）等比數(shù)列求和
若一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列或可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,求和時(shí)可以利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式．
【例2】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.
(1)求
(2)若,求的前2n項(xiàng)的和.
【解析】(1) 數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列,且,
所以,
當(dāng)時(shí),
所以.
(2)因?yàn)闉槠鏀?shù)時(shí),n為偶數(shù)時(shí),
所以的奇數(shù)項(xiàng)為0,偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,
所以的前2n項(xiàng)的和為.
（三）倒序相加求和
把數(shù)列分別正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)再相加,即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣,一般來(lái)說(shuō),若數(shù)列滿(mǎn)足,求數(shù)列的前n項(xiàng)和,可用倒序相加法.
【例3】已知函數(shù),數(shù)列滿(mǎn)足,則數(shù)列的前2025項(xiàng)的和
【解析】因?yàn)?所以,
有.
記數(shù)列的前項(xiàng)和,又,所以


.所以.
（四）裂項(xiàng)求和
把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和,正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．(1)用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變換,如：eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n)), ,裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng)．(2)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng),后面也剩兩項(xiàng)．
【例4】（2024屆天津市南開(kāi)區(qū)高三下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)二）已知是等差數(shù)列,公差,,且是與的等比中項(xiàng).
(1)求的通項(xiàng)公式
(2)數(shù)列滿(mǎn)足,且.
（?。┣蟮那皀項(xiàng)和.
（ⅱ）是否存在正整數(shù)m,n（）,使得,,成等差數(shù)列,若存在,求出m,n的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列,且,所以．
又是與的等比中項(xiàng),所以,即．
化簡(jiǎn)得,解得或（舍）,
所以．
（2）（i）由,得,所以（）,又,
當(dāng)時(shí),
,
又也適合上式,所以,
則,
所以．
（ⅱ）假設(shè)存在正整數(shù)m,n,使得,,成等差數(shù)列,
則,即,整理得,
顯然是25的正約數(shù),又,則或,
當(dāng),即時(shí),與矛盾；
當(dāng),即時(shí),,符合題意,
所以存在正整數(shù)使得,,成等差數(shù)列,此時(shí),．
拓展：裂項(xiàng)求和常見(jiàn)變形
1.
=.
2.
=.
3.
=.
4.
=.
5.
=
=
=.
6.
=
7.
=-+-+ +-
=1-.
8.
=
9.
=
10.
=
=
11.
=
=
12．
=
=
13.
=
=
14. ++++
=+++
=
15.若是各項(xiàng)均不為零,且公差的等差數(shù)列,則
==
（五）錯(cuò)位相減法求和
主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和,即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣．錯(cuò)位相減法求和時(shí)的注意點(diǎn):
(1)要善于識(shí)別題目類(lèi)型,特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；
(2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式；
(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．
【例5】（2024屆浙江省紹興市柯橋區(qū)三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,設(shè)．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）,即,
即,則,即,
即,又,
故數(shù)列是以為首項(xiàng)、以為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）易得,即,則,
則,
有,
則
,
故.
（六）為等差（比）數(shù)列,可并項(xiàng)求的前n項(xiàng)和
若,為等差數(shù)列或等比數(shù)列,求的前n項(xiàng)和可以采用,即把相鄰兩項(xiàng)的和看作一項(xiàng),構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列求和
【例6】若數(shù)列滿(mǎn)足.
（1）求數(shù)列的前100項(xiàng)的和；
（2）若,求數(shù)列的前31項(xiàng)的和.
【解析】（1）數(shù)列的前100項(xiàng)的和為
=.
（2）若,數(shù)列的前31項(xiàng)的和為
=.
(七)周期型數(shù)列求和
周期數(shù)列求和一般采用并項(xiàng)求和,即把一個(gè)周期內(nèi)的所有項(xiàng)求和,構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列求和,求形如數(shù)列的和,一般根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期,對(duì)n進(jìn)行分類(lèi),然后再采用并項(xiàng)求和
【例7】（2024屆福建省福州第一中學(xué)高三下學(xué)期5月模擬）已知數(shù)列中,,．
(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前2024項(xiàng)和．
【解析】（1）依題意,
,
則化為,
而,則,因此,
所以數(shù)列為常數(shù)列.
（2）由（1）知,,由,即是以6為周期的周期數(shù)列,令,
所以數(shù)列的前2024項(xiàng)和
.
(八)型數(shù)列求
若,為等差數(shù)列或等比數(shù)列,求的前n項(xiàng)和可以采用分組求和,分別求出的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和再相加.
【例8】（2024屆廣東省名校教研聯(lián)盟高三下學(xué)期5月模擬）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,,,,成等比數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若,,求數(shù)列的前100項(xiàng)和．
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,
根據(jù)題意得即
解得或．
又因,所以．
所以的通項(xiàng)公式為．
（2）由（1）得．
即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以4為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,
奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng),16為公比的等比數(shù)列．
數(shù)列的前100項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)有50項(xiàng),奇數(shù)項(xiàng)有50項(xiàng),
數(shù)列的前100項(xiàng)和．
,
．
所以．
(九)為等差數(shù)列,求前n項(xiàng)
若有正有負(fù),求的前項(xiàng)和,通常通過(guò)去絕對(duì)值,把變號(hào)與不變號(hào)的分為兩部分分別求和再相加,求和時(shí)注意對(duì)n進(jìn)行討論.
【例9】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,與的等差中項(xiàng)為,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,
由題意可知,,,
所以,解得：,,
所以；
（2）由（1）可知,,,當(dāng)時(shí),,
所以當(dāng)時(shí),
,
當(dāng)時(shí),
,
,
,
所以.
(十)等差（比）數(shù)列,插項(xiàng)后求和
求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是確定原數(shù)列有多少項(xiàng),新數(shù)列有多少項(xiàng).
【例9】已知數(shù)列是等差數(shù)列,其前和為,,,數(shù)列滿(mǎn)足
(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式；
(2)若對(duì)數(shù)列,,在與之間插入個(gè)2（）,組成一個(gè)新數(shù)列,求數(shù)列的前83項(xiàng)的和.
【解析】（1）設(shè)公差為,故,解得,
故,
故,①
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,②
式子①-②得,,
即,
當(dāng)時(shí),也滿(mǎn)足上式,故；
（2）因?yàn)?所以在中,從項(xiàng)開(kāi)始,到項(xiàng)為止,
共有項(xiàng)數(shù)為,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
故數(shù)列前項(xiàng)是項(xiàng)之后還有項(xiàng)為2,
.
【例1】（2024屆陜西省安康市高新中學(xué)高三模擬）已知數(shù)列滿(mǎn)足.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè),求的前n項(xiàng)和.
【解析】（1）證明：令,又,則有
,
又,所以
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列
（2）由（1）知,,
又,所以,
所以,
所以
【例2】（2024屆湖南省岳陽(yáng)市高三下學(xué)期5月岳汨聯(lián)考）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足（）,數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列,．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列和中的項(xiàng)由小到大組成新的數(shù)列,記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求．
【解析】（1）,①,（）,②,
得：,
∵為等差數(shù)列,∴,,
,即,
∴,
因?yàn)閿?shù)列是公比為3的等比數(shù)列,,
即,解得：,
所以；
（2）由（1）可知,,,
且數(shù)列和中的項(xiàng)由小到大組成新的數(shù)列,
其中,,此時(shí),
所以數(shù)列中數(shù)列有項(xiàng),數(shù)列有項(xiàng),
,
．
【例3】（2024屆福建省泉州五中高三下學(xué)期適應(yīng)性監(jiān)測(cè)二）已知數(shù)列和的各項(xiàng)均為正,且,是公比3的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足．
(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【解析】（1）由題設(shè),當(dāng)時(shí)或（舍）,
由,知,
兩式相減得,
（舍）或,即,
∴數(shù)列是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,．
又．
（2）
則
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),．
所以.
【例4】（2024屆重慶市第八中學(xué)校高三下學(xué)期5月月考）已知數(shù)列滿(mǎn)足,．
(1)求,,,并求證：；
(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．
【解析】（1）,,,
證明：,
,
即,,則,
故．
（2）由（1）可得：且,
所以數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列,
故,解得：,,
故
所以
．
【例5】將n2個(gè)實(shí)數(shù)排成n行n列的數(shù)陣形式
……
(1)當(dāng)時(shí),若每一行每一列都構(gòu)成等差數(shù)列,且 ,求該數(shù)陣中所有數(shù)的和.
(2)已知,且每一行構(gòu)成以1為公差的等差數(shù)列,每一列構(gòu)成2為公差的等差數(shù)列,求這個(gè)數(shù)的和；
(3)若 且每一列均為公差為d 的等差數(shù)列,每一行均為等比數(shù)列.已知 ,設(shè) 求的值.
【解析】（1）由題意,且每一行都成等差數(shù)列則有
,
,
,
設(shè)所有數(shù)之和為,則有,
又因?yàn)槊恳涣谐傻炔顢?shù)列,故有,即.
（2）設(shè)第行的和為,則有；
又因?yàn)槊恳涣袠?gòu)成以2為公差的等差數(shù)列,即有當(dāng)時(shí),,
即數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,即有
.
（3）由題意每一行均為等比數(shù)列,設(shè)第二行的公比為,則有,
又因?yàn)?故.從而可得第二行的通項(xiàng)公式,
即有,又因?yàn)槊恳涣芯鶠楣顬榈牡炔顢?shù)列,且,
可得,即,即有,從而有,
故
.
1．（2024屆浙江省精誠(chéng)聯(lián)盟高三下學(xué)期適應(yīng)性聯(lián)考）已知等比數(shù)列和等差數(shù)列,滿(mǎn)足,,,．
(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的前項(xiàng)和為．證明：．
【解析】（1）等比數(shù)列滿(mǎn)足,,所以單調(diào)遞增,
設(shè)的公比為,等差數(shù)列的公差為,依題意可得,
解得或（舍去）,
所以,．
（2）由（1）可得,
所以
所以,
故,
又,,
即,
所以
．
2．（2024屆四川省百師聯(lián)盟高三沖刺卷五）已知為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和,且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若,求的前10項(xiàng)和．
【解析】（1）由題意知：,即,
當(dāng)時(shí),,
兩式相減,可得,
因?yàn)?可得．
又因?yàn)?當(dāng)時(shí),,即,
解得或（舍去）,所以（符合）,
從而,所以數(shù)列表示首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列．
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）由題意得,
所以
,
所以.
3．（2024屆浙江省杭州市高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿(mǎn)足,令,求證：．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為．
由,得,
解得：,所以．
（2）由（1）知,,
即,,,……,,
利用累乘法可得：
,也符合上式,
所以．
4．（2024屆山西省臨汾市高三第二次適應(yīng)性訓(xùn)練）已知數(shù)列滿(mǎn)足．
(1)計(jì)算,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足,求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）由題可知,,
令,,得；
令,得．
由已知,
可得,
兩式相減得．
解法一：
整理得：．又滿(mǎn)足上式．從而對(duì)均成立．
因此為常數(shù)列,即有,故．
解法二：
整理得：．又滿(mǎn)足上式．
故．
即．當(dāng)時(shí)符合上式,故．
（2）由（1）可知,所以．
因此
=.
5．（2024屆陜西省咸陽(yáng)市高考模擬檢測(cè)三）數(shù)列滿(mǎn)足,.
(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式；
(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）數(shù)列中,,,顯然,則,
數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,,
所以數(shù)列通項(xiàng)公式是.
（2）由（1）知,,
當(dāng)時(shí),,,
當(dāng)時(shí),,
所以.
6．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為2,公差為8,在中每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù),使得它們與原數(shù)列的項(xiàng)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(2)若,,,是從中抽取的若干項(xiàng)按原來(lái)的順序排列組成的一個(gè)等比數(shù)列,,,令,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列的首項(xiàng)為2,公差為8,
所以,,
又在中每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù),使得它們與原數(shù)列的項(xiàng)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列,設(shè)其公差為,
則,,
所以,
所以,即數(shù)列的通項(xiàng)公式為,.
所以數(shù)列的前項(xiàng)和.
（2）設(shè)等比數(shù)列,,,的公比為,由于,為等比數(shù)列的前兩項(xiàng),且,
則,所以.
由（1）知,所以,從而,
于是
由,
得,
所以,
所以
從而.
7．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.
(1)求；
(2)在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間依次插入,得到數(shù)列：,求的前項(xiàng)和．
【解析】（1）因?yàn)?
所以,當(dāng)時(shí),
所以
所以,
因?yàn)?所以,故.
當(dāng)時(shí),適合上式,所以,,
所以當(dāng)時(shí),,
所以
（2）（解法1）因?yàn)?
所以數(shù)列：,
設(shè),
則,
因?yàn)?所以,
所以的前項(xiàng)由個(gè)與個(gè)組成,
所以.
（解法2）設(shè),
則,
因?yàn)?所以,
根據(jù)數(shù)列的定義,知
所以,
所以.
8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿(mǎn)足（）,數(shù)列滿(mǎn)足．
(1)求,的通項(xiàng)公式．
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）解：當(dāng)時(shí),,所以,
因?yàn)?當(dāng)時(shí),可得,
兩式相減,得,
,
綜上可知,數(shù)列的前項(xiàng)和.
9．（2024屆湖南省岳陽(yáng)市高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)三）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：,且,,成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若等差數(shù)列的公差不為零且數(shù)列滿(mǎn)足：,求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為,依題意,成等比數(shù)列,所以,
解得或,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或.
（2）因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差不為零,由（1）知,則
,
所以,
即.
10．（2024屆天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高考熱身練）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列,是等差數(shù)列,且,
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
(3)表示不超過(guò)的最大整數(shù),表示數(shù)列的前項(xiàng)和,集合共有4個(gè)元素,求范圍;
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為,等差數(shù)列的公差為,
因?yàn)?
則,解得或（舍去）,
所以；.
（2）因?yàn)?,
設(shè),
,
兩式相減得
,
所以,
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,
設(shè)
,
.
（3）由題意可知：,
其中,
所以,
集合,設(shè),
則,
所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),．
計(jì)算可得,,,,,
因?yàn)榧嫌?個(gè)元素,．
11．（2024屆廣東省江門(mén)市新會(huì)華僑中學(xué)等校二模）已知是公差為2的等差數(shù)列,數(shù)列的前項(xiàng)和為,且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求；
(3)[x]表示不超過(guò)的最大整數(shù),當(dāng)時(shí),是定值,求正整數(shù)的最小值．
兩式相減得．
設(shè),
則,
兩式相減得
,
則．
所以,即．
（方法二）因?yàn)?
所以．
所以
則,
即．
（3）當(dāng)時(shí),,且,所以的定值為9．
所以當(dāng)時(shí),．
令,則,
,
所以單調(diào)遞減．
因?yàn)?所以,即正整數(shù)的最小值為
12．（2024屆陜西省西安市第一中學(xué)高三下學(xué)期模擬三）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列,且,,成等差數(shù)列,,,（）成等比數(shù)列,．
(1)求的值及的通項(xiàng)公式；
(2)令,,求證：．
．
13．（2024屆天津市十二區(qū)重點(diǎn)學(xué)校高三下學(xué)期聯(lián)考二）設(shè)是等差數(shù)列,其前項(xiàng)和,是等比數(shù)列,且,,.
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)若對(duì)于任意的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,
由,,又,,,
由,,又,,,
,,
即,．
（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,
記,則有
,
,
得：
,
,
,
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,
記,
,
．
（3）由與恒成立,
可得恒成立,
恒成立,即求的最大值,
設(shè),
,
單調(diào)遞增,
又,
,
．
14．（2024屆湖北省第九屆高三下學(xué)期4月調(diào)研）在如圖三角形數(shù)陣中,第n行有n個(gè)數(shù),表示第i行第j個(gè)數(shù),例如,表示第4行第3個(gè)數(shù).該數(shù)陣中每一行的第一個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列,從第三行起每一行的數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列其中已知,,
(1)求m及
(2)記除以3的余數(shù)為,,的前n項(xiàng)為,求
【解析】（1）由題意,可知,
,,
,,
化簡(jiǎn)整理,得,解得舍去,或,
,
,
（2）
j
等于除以3的余數(shù).
當(dāng)j為奇數(shù)時(shí)
(3)若數(shù)列中,,,求證：.
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為,數(shù)列的公差為,
則由,,所以,所以,
,即,所以,
所以；
（2）設(shè)數(shù)列,
則,
所以
,
,
令,
,
可得,
故當(dāng)時(shí),最大,
且,
所以,即的取值范圍為.
（3）由,
則當(dāng)時(shí),
,
當(dāng)時(shí),也滿(mǎn)足上式,
所以,
,
所以原不等式成立.
16．（2024屆天津市紅橋區(qū)高三下學(xué)期二模）已知是等差數(shù)列,是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,且,,,．
(1)求數(shù)列{,的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè),
（ⅰ）求；
（ⅱ）求．
【解析】（1）設(shè)的首項(xiàng)為,公差為,的公比為,
因?yàn)?,
所以,
解得或（舍）,
所以,即,
所以,
又,,即,
解得,
所以,即
（2）（?。┮?yàn)?則,
則；
（ⅱ）因?yàn)?
所以.

相關(guān)試卷

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸大題數(shù)列(新高考全國(guó)通用)專(zhuān)題05數(shù)列中的不等式問(wèn)題練習(xí)(學(xué)生版+解析)：

這是一份備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸大題數(shù)列(新高考全國(guó)通用)專(zhuān)題05數(shù)列中的不等式問(wèn)題練習(xí)(學(xué)生版+解析)，共50頁(yè)。

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸大題數(shù)列(新高考全國(guó)通用)專(zhuān)題04分段數(shù)列(學(xué)生版+解析)：

這是一份備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸大題數(shù)列(新高考全國(guó)通用)專(zhuān)題04分段數(shù)列(學(xué)生版+解析)，共49頁(yè)。

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸大題數(shù)列(新高考全國(guó)通用)專(zhuān)題02數(shù)列通項(xiàng)的求法(學(xué)生版+解析)：

這是一份備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸大題數(shù)列(新高考全國(guó)通用)專(zhuān)題02數(shù)列通項(xiàng)的求法(學(xué)生版+解析)，共56頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸大題數(shù)列(新高考全國(guó)通用)專(zhuān)題01數(shù)列中的證明問(wèn)題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸大題數(shù)列(新高考全國(guó)通用)專(zhuān)題01數(shù)列中的證明問(wèn)題練習(xí)(學(xué)生版+解析)
2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(全國(guó)通用)專(zhuān)題10數(shù)列求和(插入新數(shù)列混合求和)(典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(全國(guó)通用)專(zhuān)題10數(shù)列求和(插入新數(shù)列混合求和)(典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)
專(zhuān)題20 數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和大題綜合（學(xué)生及教師卷）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用）

專(zhuān)題20 數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和大題綜合（學(xué)生及教師卷）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用）
專(zhuān)題20 數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和大題綜合（學(xué)生卷）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用）

專(zhuān)題20 數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和大題綜合（學(xué)生卷）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專(zhuān)區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部