2023年藝考生仿真演練綜合測試（二）第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則集合的子集的個數(shù)為（    ）A．8 B．7 C．4 D．3【答案】C【解析】，集合A的子集為：，，，，共4個.故選：C.2．復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，虛部為.故選：D.3．已知單位向量，的夾角為，向量，且，則的值為（    ）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】由已知得，單位向量，的夾角為，，且，所以，解得，故選：C．4．已知等差數(shù)列的前項和為，若且，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的求和公式可得，所以，，所以，，解得，因此，.故選：D.5．已知雙曲線C的中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且虛軸比實(shí)軸長.若直線與C的一條漸近線垂直，則C的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)漸近線與直線垂直可得漸近線方程為，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時漸近線為，即，因為雙曲線的虛軸比實(shí)軸長，故不符合題意，舍去，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時漸近線為，即，滿足虛軸比實(shí)軸長，所以，解得或（舍去），所以.故選：C．6．已知事件，，的概率均不為，則的充要條件是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A：因為，由，只能得到，并不能得到，故A錯誤；對于B：因為，，由，只能得到，由于不能確定，，是否相互獨(dú)立，故無法確定，故B錯誤；對于C：因為，，又，所以，故C正確；對于D：由于不能確定，，是否相互獨(dú)立，若，，相互獨(dú)立，則，，則由可得，故由無法確定，故D錯誤；故選：C7．在四棱錐中，正方形所在平面與所在平面相互垂直，為上一點(diǎn)，且為正方形的中心，四棱錐體積的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為，即點(diǎn)到平面距離的最大值為.因為四棱錐體積的最大值為，所以，得.因為，所以是三棱錐的外接球的一條直徑，故三棱錐的外接球半徑為1，其表面積為.故選:B.8．已知函數(shù)，，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由得，解得，所以，函數(shù)的定義域為，因為，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得在上單調(diào)遞減，因為，，，所以，因為，所以，因為，所以，所以，，所以，由函數(shù)單調(diào)遞減的性質(zhì)得.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會的報告中，一組組數(shù)據(jù)折射出新時代十年的非凡成就，數(shù)字的背后是無數(shù)的付出，更是開啟新征程的希望.二十大首場新聞發(fā)布會指出近十年我國居民生活水平進(jìn)一步提高，其中2017年全國居民恩格爾系數(shù)為29.39%，這是歷史上中國恩格爾系數(shù)首次跌破30%.恩格爾系數(shù)是由德國統(tǒng)計學(xué)家恩斯特·恩格爾提出的，計算公式是“恩格爾系數(shù)”.恩格爾系數(shù)是國際上通用的衡量居民生活水平高低的一項重要指標(biāo)，一般隨居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格爾系數(shù)達(dá)60%以上為貧困，50%~60%為溫飽，40%~50%為小康，30%~40%為富裕，低于30%為最富裕.如圖是近十年我國農(nóng)村與城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)折線圖，由圖可知（    ）A．城鎮(zhèn)居民2015年開始進(jìn)入“最富裕”水平B．農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)低于32%C．城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的第45百分位數(shù)高于29%D．全國居民恩格爾系數(shù)等于農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)【答案】AC【解析】對于A：從折線統(tǒng)計圖可知年開始城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)均低于，即從2015年開始進(jìn)入“最富裕”水平，故A正確；對于B：農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)只有、、這三年在之間，其余年份均大于，且、這兩年大于（等于），故農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)高于，故B錯誤；對于C：城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)從小到大排列（所對應(yīng)的年份）前位分別為、、、、，因為，所以第百分位數(shù)為第位，即年的恩格爾系數(shù)，由圖可知年的恩格爾系數(shù)高于，故C正確；對于D：由于無法確定農(nóng)村居民與城鎮(zhèn)居民的比例，顯然農(nóng)村居民占比要大于，故不能用農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)作為全國居民恩格爾系數(shù)，故D錯誤；故選：AC10．已知函數(shù)，則下列說法正確的有（    ）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱B．的圖象關(guān)于直線對稱C．在上單調(diào)遞減D．將的圖象向左平移個單位，可以得到的圖象【答案】AC【解析】由可知，解得，所以函數(shù)的對稱中心為，故A選項正確；令 解得，所以函數(shù)的對稱軸為，，故B選項錯誤；令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故C選項正確；將的圖象向左平移個單位得，故D選項錯誤；故選：AC11．已知定義在上的函數(shù)滿足：關(guān)于中心對稱，關(guān)于對稱，且.則下列選項中說法正確的有（    ）A．為奇函數(shù) B．周期為2C． D．是奇函數(shù)【答案】AD【解析】由于的定義域為，且關(guān)于中心對稱，可得是奇函數(shù)，故A項正確；因為關(guān)于直線對稱，即，所以，所以函數(shù)的周期，故B項錯誤；，故C項錯誤；，所以是奇函數(shù)，故D項正確.故選：AD.12．如圖，在正方體中，點(diǎn)P是底面（含邊界）內(nèi)一動點(diǎn)，且平面，則下列選項正確的是（    ）A． B．三棱錐的體積為定值C．平面 D．異面直線與所成角的取值范圍為【答案】ABD【解析】設(shè)正方體的邊長為2，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，，所以，所以，①設(shè)平面的一個法向量為：，則，令，因為平面，所以，即，所以有①式，所以，即，故A正確，由，則，所以可得在線段上（包含端點(diǎn)），在正方體中，由，平面，平面，所以平面，所以動點(diǎn)到平面距離為定值，而為定值，由椎體體積公式可得三菱錐的體積為定值，故B正確，若平面，則由，則無解，故C錯誤，設(shè)異面直線與所成角的為，由，，所以，因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)且時，令，則，此時，所以，即，又，所以此時，綜上所述：異面直線與所成角的為，即.故選項D正確，故選：ABD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中，的系數(shù)是__________．【答案】【解析】由題意可得的通項為，令，則的系數(shù)是，故答案為：14．已知二次函數(shù)滿足條件：（1）的圖象關(guān)于y軸對稱；（2）曲線在處的導(dǎo)數(shù)為4，則的解析式可以是__________．【答案】（答案不唯一）【解析】取，則，函數(shù)為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱；，，滿足條件.故答案為：（答案不唯一）15．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在D上，PA與l垂直，垂足為A，若，則的面積等于______.【答案】【解析】由以及可知,故為等邊三角形，所以 因此故，所以，故答案為：16．如圖，在中，，且，則面積的最大值________.【答案】【解析】由于，所以，兩邊平方得,所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.，則為銳角，所以，所以面積.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）佛山新城文化中心是佛山地標(biāo)性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最簡單的方塊體作為核心要素，與佛山世紀(jì)蓮體育中心的圓形蓮花造型形成“方”“圓”呼應(yīng).坊塔是文化中心的標(biāo)志性建筑、造型獨(dú)特、類似一個個方體錯位堆疊，總高度153.6米.坊塔塔樓由底部4個高度相同的方體組成塔基，支托上部5個方體，交錯疊合成一個外形時尚的塔身結(jié)構(gòu).底部4個方體高度均為33.6米，中間第5個方體也為33.6米高，再往上2個方體均為24米高，最上面的兩個方體均為19.2米高.(1)請根據(jù)坊塔方體的高度數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)數(shù)列知識，寫出一個等差數(shù)列的通項公式，該數(shù)列以33.6為首項，并使得24和19.2也是該數(shù)列的項；(2)佛山世紀(jì)蓮體育中心上層屋蓋外徑為310米.根據(jù)你得到的等差數(shù)列，連續(xù)取用該數(shù)列前m（）項的值作為方體的高度，在保持最小方體高度為19.2米的情況下，采用新的堆疊規(guī)則，自下而上依次為、、、……、（表示高度為的方體連續(xù)堆疊層的總高度），請問新堆疊坊塔的高度是否超過310米？并說明理由.【解析】（1）由題意可知：，注意到，取等差數(shù)列的公差，則，令，解得，即24為第5項；令，解得，即19.2為第7項；故符合題意.（2）可以，理由如下：由（1）可知：，設(shè)數(shù)列的前項和為，∵，故新堆疊坊塔的高度可以超過310米.18．（12分）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)設(shè)的中點(diǎn)為，若，且，求的的面積．【解析】（1）由已知得，，由正弦定理可得，，因為，所以,代入上式，整理得，又因為，，所以，即,又因為，所以，所以，解得；（2）在中，由余弦定理得，．而，，所以，①在中，由余弦定理得，，②由①②兩式消去a，得，所以，又，解得，．所以的面積．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，點(diǎn)M在棱PD上（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)N為BC中點(diǎn)．(1)若，求證：直線平面PAB；(2)求二面角的余弦值．【解析】（1）取PA的點(diǎn)Q，滿足，連接MQ，QB，因為，所以且，又因為，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，即，且，所以且，則四邊形MQBN為平行四邊形，則，平面PAB，平面PAB，所以直線平面PAB．（2）如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，以AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，又N為BC的中點(diǎn)，則，所以，，，，設(shè)平面CPD的法向量為，則，令，則，設(shè)平面CPN的法向量為，則，令，則，所以，由題意可得：二面角的平面為鈍角，故其余弦值為．20．（12分）“體育強(qiáng)則國家強(qiáng)，國運(yùn)興則體育興”，多參加體育運(yùn)動能有效增強(qiáng)中學(xué)生的身體素質(zhì).籃球和排球是我校學(xué)生最為喜愛的兩項運(yùn)動，為調(diào)查喜愛運(yùn)動項目與性別之間的關(guān)系，某調(diào)研組在校內(nèi)隨機(jī)采訪男生、女生各50人，每人必須從籃球和排球中選擇最喜愛的一項，其中喜愛排球的歸為甲組，喜愛籃球的歸為乙組，調(diào)查發(fā)現(xiàn)甲組成員48人，其中男生18人.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，填空下述列聯(lián)表： 甲組乙組合計男生   女生   合計   (2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生喜歡排球還是籃球與“性別”有關(guān)?(3)現(xiàn)從調(diào)查的女生中按分層抽樣的方法選出5人組成一個小組，抽取的5人中再隨機(jī)抽取3人發(fā)放禮品，求這3人中在甲組中的人數(shù)的概率分布列及其數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中為樣本容量.參考數(shù)據(jù)：0.500.050.010.4553.8416.635【解析】（1）列聯(lián)表 甲組乙組合計男生183250女生302050合計4852100（2）零假設(shè)為：學(xué)生選排球還是籃球與性別無關(guān)由列聯(lián)表可得；有95%的把握認(rèn)為學(xué)生喜歡排球還是籃球與“性別”有關(guān).（3）按分層抽樣，甲組中女生3人，乙組中女生2人，，∴概率分布列為123數(shù)學(xué)期望.21．（12分）已知動圓經(jīng)過定點(diǎn)，且與圓：內(nèi)切.(1)求動圓圓心的軌跡的方程；(2)設(shè)軌跡與軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為軌跡上異于的動點(diǎn)，設(shè)交直線于點(diǎn)，連結(jié)交軌跡于點(diǎn).直線?的斜率分別為?.（i）求證：為定值；（ii）證明直線經(jīng)過軸上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）設(shè)動圓的半徑為，由題意得圓的圓心為，半徑；所以，，則.所以動點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓.因此軌跡方程為.（2）（i）設(shè)，，.由題可知，，如下圖所示：則，，而，于是，所以，又，則，因此為定值.（ii）設(shè)直線的方程為，，.由，得，所以.由（i）可知，，即，化簡得，解得或（舍去），所以直線的方程為，因此直線經(jīng)過定點(diǎn).22．（12分）已知函數(shù)．(1)若存在使得成立，求a的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，且，求證：．【解析】（1）由于，故轉(zhuǎn)化為．設(shè)，則.設(shè)，則.由于，解，解得.解可得，，所以在上單調(diào)遞增；解可得，，所以在上單調(diào)遞減.故在處有極小值，也是最小值.所以故在上總成立，所以為單調(diào)增函數(shù).又存在使得成立，只需即可，所以，即a的取值范圍是．（2）由已知可得，定義域為，且.由已知有兩個極值點(diǎn)，所以方程有兩個相異根，則，且，，，所以，.所以，，所以.令，則，設(shè).則，所以在為減函數(shù)，所以.即． 
 

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