考點(diǎn)18 等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量  1. 理解等差數(shù)列、等差中項(xiàng)的概念,掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和的公式,能運(yùn)用公式解決一些簡單問題 .2. 能在具體的情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系,并能運(yùn)用有關(guān)的知識(shí)解決問題 . 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系及等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的公式與二次函數(shù)的關(guān)系 .3. 理解等比數(shù)列的概念;掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和的公式,能運(yùn)用公式解決一些簡單問題 .4. 能在具體的情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系,并能運(yùn)用有關(guān)的知識(shí)解決問題 . 了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系  等比數(shù)列是高考中的 C 級要求,它作為一種特殊的數(shù)列,也是一種基本的數(shù)列形式,是高考命題的熱點(diǎn)與難點(diǎn) . 考查形式主要有兩種:一是考查等比數(shù)列的概念,二是公式、性質(zhì)的直接應(yīng)用及等比中項(xiàng)的間接應(yīng)用 . 解題中,要緊緊抓住以下幾個(gè)方面:1. 深刻理解并應(yīng)用好它的定義 . 在理解定義時(shí),要緊扣從“第二項(xiàng)起”和“比是同一常數(shù)”這兩點(diǎn) .2. 高效、靈活地應(yīng)用好的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和公式,進(jìn)行科學(xué)的計(jì)算 . 在等比數(shù)列中有五個(gè)量 a 1 ,q , n , a n , S n ,當(dāng)知道其中三個(gè)量就可以求出其余的兩個(gè)量,即“知三求二”,要求能根據(jù)不同的問題合理選用不同的公式,恰當(dāng)應(yīng)用它們,做到運(yùn)算簡單、合理、有效,運(yùn)算量小 . 為此,就得合理地應(yīng)用好兩種基本方法“基本量法”與“對稱性”法 . 另外,對于利用等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式時(shí),要注意判斷它的公比 q 是否等于 1 ,否則就容易導(dǎo)致出錯(cuò) .3. 合理應(yīng)用好等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì),等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)主要有兩個(gè)方面 . 一是“通項(xiàng)”的性質(zhì);二是“和”的性質(zhì) .4. 處理好一類問題 . 在高考命題中,經(jīng)常借助于數(shù)列的通項(xiàng)與前 n 項(xiàng)和的關(guān)系來命題問題,這是高考數(shù)列命題的熱點(diǎn),近幾年中,江蘇省高考多次在這方面進(jìn)行命題,今后,還會(huì)在這方面進(jìn)行命題 .    等差數(shù)列與等比數(shù)列作為兩種基本的數(shù)列,是高考中數(shù)列考查的重中之重,值得關(guān)注 . 考查的形式主要有等差數(shù)列、等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用以及等差數(shù)列、等比數(shù)列與其他知識(shí)的綜合 . 在復(fù)習(xí)中,要緊抓以下幾個(gè)方面 :1. 關(guān)注兩種基本方法:研究等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本方法就是“基本量法”及活用好它們的“對稱性”;2. 領(lǐng)悟等差數(shù)列、等比數(shù)列的兩類本質(zhì):等差數(shù)列、等比數(shù)列是兩類特殊數(shù)列,又是兩類特殊的函數(shù),這種雙重身份,注定它們必然是高考中的重點(diǎn)、難點(diǎn),故而,學(xué)習(xí)中,要從“函數(shù)”及“數(shù)列”這兩個(gè)方面來認(rèn)識(shí)它們;3. 兩類數(shù)學(xué)思想:分類討論思想以及函數(shù)與方程的思想是解決數(shù)列問題所經(jīng)常使用的兩類數(shù)學(xué)思想    1、【2020年全國2卷】數(shù)列中，，，若，則（    ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得.故選：C.2、【2020年浙江卷】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（    ）A. 2a4=a2+a6 B. 2b4=b2+b6 C.  D. 【答案】D【解析】對于A，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，，A正確；對于B，由題意可知，，，∴，，，．∴，．根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，B正確；對于C，，當(dāng)時(shí)，，C正確；對于D，，，．當(dāng)時(shí)，，∴即；當(dāng)時(shí)，，∴即，所以，D不正確．故選：D3、【2019年高考全國I卷理數(shù)】記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則A．  B． C．  D．【答案】A【解析】由題知，，解得，∴，,故選A．4、【2019年高考全國III卷理數(shù)】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為15，且，則A．16  B．8 C．4  D．2【答案】C【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則，解得，，故選C．【名師點(diǎn)睛】本題利用方程思想求解數(shù)列的基本量，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵.5、【2019年高考浙江卷】設(shè)a，b∈R，數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=an2+b，，則A． 當(dāng) B． 當(dāng)C． 當(dāng) D． 當(dāng)【答案】A【解析】①當(dāng)b=0時(shí)，取a=0，則.②當(dāng)時(shí)，令，即.則該方程，即必存在，使得，則一定存在，使得對任意成立，解方程，得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，總存在，使得，故C、D兩項(xiàng)均不正確.③當(dāng)時(shí)，，則，.（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則，， ，則， ，故A項(xiàng)正確.（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，則，所以，以此類推，所以，故B項(xiàng)不正確.故本題正確答案為A.6、【2018年高考全國I卷理數(shù)】設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A．            B．C．            D．【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得，整理解得，所以，故選B．7、【2020年浙江卷】已知數(shù)列{an}滿足，則S3=________．【答案】【解析】因?yàn)?/span>，所以．即．故答案為：.8、【2020年江蘇卷】設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和，則d+q的值是_______．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，依題意，即，通過對比系數(shù)可知，故.故答案為：9、【2019年高考全國III卷理數(shù)】記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則___________．【答案】4【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因，所以，即，所以．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計(jì)算．滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．10、【2019年高考北京卷理數(shù)】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為___________．【答案】 0，.【解析】等差數(shù)列中,,得又,所以公差,,由等差數(shù)列的性質(zhì)得時(shí),,時(shí),大于0,所以的最小值為或,即為.【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式?求和公式?等差數(shù)列的性質(zhì),難度不大,注重重要知識(shí)?基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力的考查.11、【2019年高考江蘇卷】已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的值是___________．【答案】16【解析】由題意可得：，解得：，則.【名師點(diǎn)睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計(jì)算問題，是高考必考內(nèi)容，解題過程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想，靈活應(yīng)用通項(xiàng)公式、求和公式等，構(gòu)建方程（組），如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建的方程組.12、【2018年高考全國I卷理數(shù)】記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則___________．【答案】【解析】根據(jù)，可得，兩式相減得，即，當(dāng)時(shí)，，解得，所以數(shù)列是以?1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以，故答案是13、.【2020年全國1卷】.設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng)，，；（2）設(shè)前項(xiàng)和為，，，①，②①②得，，.    題型一   等差數(shù)列及性質(zhì) 1、（2020屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等差數(shù)列公差（　?。?/span>A．2 B． C．3 D．4【答案】C【解析】∵a1=12，S5=90，∴5×12+ d=90，解得d=3．故選C．2、（2020屆山東師范大學(xué)附中高三月考）已知數(shù)列滿足且，則（    ）A．-3 B．3 C． D．【答案】B【解析】,∴數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，，，，，故選：B. 3、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（    ）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】由已知，得，故選：C.4、（2020屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?/span>是等差數(shù)列，則，又由于為遞減數(shù)列，所以，故選C.5、（北京市西城區(qū)第四中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a3+a4+a5＝12，則a1+a2+…+a7＝（    ）A．14 B．21 C．28 D．35【答案】C【解析】數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則； 故選：6、（2020屆北京市昌平區(qū)新學(xué)道臨川學(xué)校上學(xué)期期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)之和為，前項(xiàng)和為，則它的前項(xiàng)的和為（   ）A.             B.              C.               D.【答案】C【解析】由于等差數(shù)列中也成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，所以，故選C.7、（北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019--2020學(xué)年上學(xué)期10月月考）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式得，,，故選C.8、（2020屆浙江省高中發(fā)展共同體高三上期末）已知是公差為的等差數(shù)列，前項(xiàng)和是，若，則（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】，，，，.，.故選：D.9、（2020屆江蘇省七市第二次調(diào)研考試）在等差數(shù)列（）中，若，，則的值是______.【答案】-15【解析】數(shù)列是等差數(shù)列，，又，，，故.故答案為：10、（2020屆江蘇省啟東市高三下學(xué)期期初考）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若，則____.【答案】【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，成等差數(shù)列，可得：，代入，可得：，故答案為：.11、（2020屆山東師范大學(xué)附中高三月考）設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為．若，，則________，的最大值為________．【答案】4    42    【解析】∵數(shù)列是等差數(shù)列，∵，∴，，又，，，，,∴當(dāng)或時(shí)，有最大值42.故答案為：（1）4；（2）42.12、（2020屆山東省九校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知數(shù)列中，，其前項(xiàng)和滿足，則__________；__________.【答案】        【解析】（1）由題：，令，，得：，所以；（2）由題，，化簡得：，，是一個(gè)以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，，，故答案為：(1).     (2).  13、（2020屆山東省泰安市高三上期末）我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周碑算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣唇（guǐ）長損益相同（暑是按照日影測定時(shí)刻的儀器，暑長即為所測量影子的長度），夏至、小署、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是連續(xù)十二個(gè)節(jié)氣，其日影子長依次成等差數(shù)列，經(jīng)記錄測算，夏至、處暑、霜降三個(gè)節(jié)氣日影子長之和為16.5尺，這十二節(jié)氣的所有日影子長之和為84尺，則夏至的日影子長為________尺.【答案】1.5【解析】設(shè)此等差數(shù)列的公差為， 由題意即解得  所以夏至的日影子長為  故答案為：題型二、等比數(shù)列及性質(zhì) 1、（2020屆浙江省寧波市余姚中學(xué)高考模擬）各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則的值為(　　)A． B．C． D．或【答案】C【解析】根據(jù)題意有，即，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，所以，而，故選C.2、（2020屆浙江省嘉興市高三5月模擬）已知數(shù)列，滿足且設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由且，得，， 所以，，，又，所以，解得，故選：C.3、（2020屆山東省濟(jì)寧市高三上期末）設(shè)等比數(shù)列的公比為q,其前n項(xiàng)和為,前n項(xiàng)積為,并滿足條件,,下列結(jié)論正確的是(    )A．S2019<S2020 B．C．T2020是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無最大值【答案】AB【解析】當(dāng)時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，，不成立；故，且，故，正確；，故正確；是數(shù)列中的最大值，錯(cuò)誤；故選：4、（2020屆浙江省嘉興市3月模擬）等比數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)，是方程的兩個(gè)實(shí)根，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則________．【答案】．【解析】因?yàn)?/span>，是方程的兩個(gè)實(shí)根，則由韋達(dá)定理得，，，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列的公比，又，所以首項(xiàng)，故所以，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以．故答案為：5、（北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期12月月考）在等比數(shù)列中，，公比為q，前n項(xiàng)和為，若數(shù)列也是等比數(shù)列，則q等于         【答案】3【解析】由題意可得q≠1由數(shù)列{Sn+2}也是等比數(shù)列可得+2，+2，+2成等比數(shù)列則（+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得 q=36、（2020屆北京市順義區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）設(shè)為公比的等比數(shù)列的前項(xiàng)和,且，，成等差數(shù)列，則__________,________.【答案】        【解析】設(shè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,又因?yàn)?/span>,,成等差數(shù)列,所以,即,又因?yàn)榈缺葦?shù)列中,則,解得或,又因?yàn)?/span>,所以.所以.故答案為：(1).     (2).  7、已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若成等比數(shù)列，則的值為______．【答案】88【解析】由題意得 所以 8、（2020屆江蘇省南通市、泰州市高三上學(xué)期第一次聯(lián)合調(diào)研）已知等差數(shù)列?an?的公差d不為0，且a1，a2，a4成等比數(shù)列，則的值為_____.【答案】1【解析】由的等差數(shù)列,因?yàn)?/span>成等比數(shù)列,則,即,可得,則,故答案為：19、（江蘇省南通市海安高級中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期階段考試）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)的和為,,,則的值為_______.【答案】4【解析】 解得,.所以.故答案為:4.10、（江蘇省如皋市2019-2020學(xué)年度高三年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（三)）等比數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，滿足，則______.【答案】31【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由,可得。∴，故答案為：31.11、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）已知數(shù)列滿足：.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）見證明；（2）【解析】（1）證明：因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>所以所以．又，所以是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以．（2）解：由（1）可得，所以 ． 

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