考試要求 1.了解導數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導數(shù).2.通過函數(shù)圖象，理解導數(shù)的幾何意義.3.能夠用導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)(形如f(ax＋b))的導數(shù)．
知識梳理
1．導數(shù)的概念
(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)記作 或 .
f′(x0)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝ .
(2)函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)(簡稱導數(shù))
f′(x)＝y(tǒng)′＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(f?x＋Δx?－f?x?,Δx).
2．導數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的 ，相應(yīng)的切線方程為 ．
3．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
4.導數(shù)的運算法則
若f′(x)，g′(x)存在，則有
[f(x)±g(x)]′＝ ；
[f(x)g(x)]′＝ ；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq \f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,[g?x?]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝ ．
5．復合函數(shù)的定義及其導數(shù)
復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yx′＝ ，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積．
常用結(jié)論
1．區(qū)分在點處的切線與過點處的切線
(1)在點處的切線，該點一定是切點，切線有且僅有一條．
(2)過點處的切線，該點不一定是切點，切線至少有一條．
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,f?x?)))′＝eq \f(－f′?x?,[f?x?]2)(f(x)≠0)．
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率．( )
(2)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線．( )
(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.( )
(4)(cs 2x) ′＝－2sin 2x.( )
教材改編題
1．若函數(shù)f(x)＝3x＋sin 2x，則( )
A．f′(x)＝3xln 3＋2cs 2x
B．f′(x)＝3x＋2cs 2x
C．f′(x)＝eq \f(3x,ln 3)＋cs 2x
D．f′(x)＝eq \f(3x,ln 3)－2cs 2x
2．函數(shù)f(x)＝ex＋eq \f(1,x)在x＝1處的切線方程為 ．
3．已知函數(shù)f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，則a＝ .
題型一 導數(shù)的運算
例1 (1)(多選)下列求導正確的是( )
A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2
B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2sin x,x2)))′＝eq \f(2xcs x＋4sin x,x3)
D．(2x＋cs x)′＝2xln 2－sin x
(2)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，則f′(2)等于( )
A．1 B．－9 C．－6 D．4
聽課記錄：______________________________________________________________
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思維升華 (1)求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導．
(2)抽象函數(shù)求導，恰當賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解．
(3)復合函數(shù)求導，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導，必要時要進行換元．
跟蹤訓練1 (1)(多選)下列求導運算正確的是( )
A．若f(x)＝sin(2x＋3)，則f′(x)＝2cs(2x＋3)
B．若f(x)＝e－2x＋1，則f′(x)＝e－2x＋1
C．若f(x)＝eq \f(x,ex)，則f′(x)＝eq \f(1－x,ex)
D．若f(x)＝xln x，則f′(x)＝ln x＋1
(2)函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，若f(x)＝x2＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))sin x，則f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝ .
題型二 導數(shù)的幾何意義
命題點1 求切線方程
例2 (1)(2023·大同模擬)已知函數(shù)f(x)＝2e2ln x＋x2，則曲線y＝f(x)在點(e，f(e))處的切線方程為( )
A．4ex－y＋e2＝0 B．4ex－y－e2＝0
C．4ex＋y＋e2＝0 D．4ex＋y－e2＝0
(2)(2022·新高考全國Ⅱ)曲線y＝ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為__________，____________.
命題點2 求參數(shù)的值(范圍)
例3 (1)(2022·重慶模擬)已知a為非零實數(shù)，直線y＝x＋1與曲線y＝aln(x＋1)相切，則a＝________.
(2)(2022·新高考全國Ⅰ)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是 ．
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思維升華 (1)處理與切線有關(guān)的問題，關(guān)鍵是根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程：①切點處的導數(shù)是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上．
(2)注意區(qū)分“在點P處的切線”與“過點P的切線”．
跟蹤訓練2 (1)曲線f(x)＝eq \f(x2＋x－2,ex)在(0，f(0))處的切線方程為( )
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2
C．y＝－3x－2 D．y＝－3x＋2
(2)(2023·瀘州模擬)已知曲線y＝eq \f(acs x,x)在點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，－\f(a,π)))處的切線方程為y＝eq \f(2,π2)x＋b，則a的值是( )
A.eq \f(4,π) B．－2 C．－eq \f(4,π) D．2
題型三 兩曲線的公切線
例4 (1)若直線l：y＝kx＋b(k>1)為曲線f(x)＝ex－1與曲線g(x)＝eln x的公切線，則l的縱截距b等于( )
A．0 B．1 C．e D．－e
(2)(2023·晉中模擬)若兩曲線y＝ln x－1與y＝ax2存在公切線，則正實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(0,2e] B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)e－3，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)e－3)) D．[2e，＋∞)
聽課記錄：______________________________________________________________
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思維升華 公切線問題，應(yīng)根據(jù)兩個函數(shù)在切點處的斜率相等，且切點既在切線上又在曲線上，列出有關(guān)切點橫坐標的方程組，通過解方程組求解．或者分別求出兩函數(shù)的切線，利用兩切線重合列方程組求解．
跟蹤訓練3 (1)已知定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，設(shè)兩曲線y＝f(x)與y＝h(x)在公共點處的切線相同，則m等于( )
A．－3 B．1 C．3 D．5
(2)已知f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，則f(x)與g(x)的公切線有( )
A．0條 B．1條 C．2條 D．3條基本初等函數(shù)
導函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù))
f′(x)＝______
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)
f′(x)＝______
f(x)＝sin x
f′(x)＝______
f(x)＝cs x
f′(x)＝______
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝______
f(x)＝ex
f′(x)＝______
f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝______
f(x)＝ln x
f′(x)＝_____

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