考試要求 1.了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
知識梳理
1．導(dǎo)數(shù)的概念
(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)記作f′(x0)或y′|.
f′(x0)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).
(2)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)
f′(x)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(f?x＋Δx?－f?x?,Δx).
2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
若f′(x)，g′(x)存在，則有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq \f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,[g?x?]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
常用結(jié)論
1．區(qū)分在點(diǎn)處的切線與過點(diǎn)處的切線
(1)在點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)一定是切點(diǎn)，切線有且僅有一條．
(2)過點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，切線至少有一條．
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,f?x?)))′＝eq \f(－f′?x?,[f?x?]2)(f(x)≠0)．
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率．( × )
(2)與曲線只有一個公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線．( × )
(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.( × )
教材改編題
1．若f(x)＝eq \f(1,\r(x))，則f′(x)＝________.
答案 －eq \f(\r(x),2x2)
解析 f(x)＝eq \f(1,\r(x))＝，
∴f′(x)＝＝－eq \f(\r(x),2x2).
2．函數(shù)f(x)＝ex＋eq \f(1,x)在x＝1處的切線方程為 ．
答案 y＝(e－1)x＋2
解析 f′(x)＝ex－eq \f(1,x2)，
∴f′(1)＝e－1，
又f(1)＝e＋1，
∴切點(diǎn)為(1，e＋1)，切線斜率k＝f′(1)＝e－1，
即切線方程為y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋2.
3．已知函數(shù)f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，則a＝ .
答案 －eq \f(1,e)
解析 f′(x)＝1＋ln x＋2ax，
∴f′(e)＝2ae＋2＝0，∴a＝－eq \f(1,e).
題型一 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
例1 (1)(2022·濟(jì)南質(zhì)檢)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是________．(填序號)
①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,x?ln x?2)；
②(x2ex)′＝2x＋ex；
③(tan x)′＝eq \f(1,cs2x)；
④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2).
答案 ①③④
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,?ln x?2)·(ln x)′＝－eq \f(1,x?ln x?2)，
故①正確；
(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故②錯誤；
(tan x)′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,cs x)))′＝eq \f(cs2x＋sin2x,cs2x)＝eq \f(1,cs2x)，
故③正確；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2)，故④正確．
(2)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f(x)＝x2＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))sin x，則f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝ .
答案 eq \f(π2,36)＋eq \f(2π,3)
解析 f′(x)＝2x＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))cs x，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝eq \f(2π,3)＋eq \f(1,2)f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝eq \f(4π,3)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝eq \f(π2,36)＋eq \f(2π,3).
教師備選
在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，則f′(0)等于( )
A．26 B．29 C．212 D．215
答案 C
解析 因?yàn)樵诘缺葦?shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，
所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2×4＝8.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，
所以f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，
所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
思維升華 (1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)．
(2)抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)函數(shù)y＝sin 2x的導(dǎo)數(shù)y′等于( )
A．2 B．cs 2x
C．2cs 2x D．2sin 2x
答案 C
解析 y＝sin 2x＝2sin x·cs x，
y′＝2cs x·cs x＋2sin x·(－sin x)
＝2cs2x－2sin2x＝2cs 2x.
(2)若函數(shù)f(x)，g(x)滿足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，則f′(1)＋g′(1)等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＋g(1)＝0，
∵f(1)＝1，得g(1)＝－1，
原式兩邊求導(dǎo)，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，
當(dāng)x＝1時(shí)，f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，
得f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2－(－1)＝3.
題型二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
命題點(diǎn)1 求切線方程
例2 (1)(2021·全國甲卷)曲線y＝eq \f(2x－1,x＋2)在點(diǎn)(－1，－3)處的切線方程為 ．
答案 5x－y＋2＝0
解析 y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x－1,x＋2)))′＝eq \f(2?x＋2?－?2x－1?,?x＋2?2)＝eq \f(5,?x＋2?2)，所以y′|x＝－1＝eq \f(5,?－1＋2?2)＝5，所以切線方程為y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.
(2)已知函數(shù)f(x)＝xln x，若直線l過點(diǎn)(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為 ．
答案 x－y－1＝0
解析 ∵點(diǎn)(0，－1)不在曲線f(x)＝xln x上，
∴設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)．
又f′(x)＝1＋ln x，
∴直線l的方程為y＋1＝(1＋ln x0)x.
∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y0＝x0ln x0，,y0＋1＝?1＋ln x0?x0，))解得x0＝1，y0＝0.
∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.
命題點(diǎn)2 求參數(shù)的值(范圍)
例3 (1)(2022·西安模擬)直線y＝kx＋1與曲線f(x)＝aln x＋b相切于點(diǎn)P(1,2)，則2a＋b等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 A
解析 ∵直線y＝kx＋1與曲線f(x)＝aln x＋b相切于點(diǎn)P(1,2)，
將P(1,2)代入y＝kx＋1，
可得k＋1＝2，解得k＝1，
∵ f(x)＝aln x＋b，∴ f′(x)＝eq \f(a,x)，
由f′(1)＝eq \f(a,1)＝1，
解得a＝1，可得f(x)＝ln x＋b，
∵P(1,2)在曲線f(x)＝ln x＋b上，
∴f(1)＝ln 1＋b＝2，
解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.
(2)已知曲線f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2－ax＋1存在兩條斜率為3的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (－4，＋∞)
解析 f′(x)＝x2－2x－a，
依題意知x2－2x－a＝3有兩個實(shí)數(shù)解，
即a＝x2－2x－3＝(x－1)2－4有兩個實(shí)數(shù)解，
∴y＝a與y＝(x－1)2－4的圖象有兩個交點(diǎn)，
∴a>－4.
教師備選
1．已知曲線f(x)＝x3－x＋3在點(diǎn)P處的切線與直線x＋2y－1＝0垂直，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)
答案 C
解析 設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，
f′(x)＝3x2－1，
又直線x＋2y－1＝0的斜率為－eq \f(1,2)，
∴f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－1＝2，
∴xeq \\al(2,0)＝1，∴x0＝±1，
又切點(diǎn)P(x0，y0)在y＝f(x)上，
∴y0＝xeq \\al(3,0)－x0＋3，
∴當(dāng)x0＝1時(shí)，y0＝3；
當(dāng)x0＝－1時(shí)，y0＝3.
∴切點(diǎn)P為(1,3)或(－1,3)．
2．(2022·哈爾濱模擬)已知M是曲線y＝ln x＋eq \f(1,2)x2＋(1－a)x上的任一點(diǎn)，若曲線在M點(diǎn)處的切線的傾斜角均是不小于eq \f(π,4)的銳角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．[2，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(－∞，2] D．(－∞，4]
答案 C
解析 因?yàn)閥＝ln x＋eq \f(1,2)x2＋(1－a)x，
所以y′＝eq \f(1,x)＋x＋1－a，因?yàn)榍€在M點(diǎn)處的切線的傾斜角均是不小于eq \f(π,4)的銳角，
所以y′≥tan eq \f(π,4)＝1對于任意的x>0恒成立，
即eq \f(1,x)＋x＋1－a≥1對任意x>0恒成立，
所以x＋eq \f(1,x)≥a，又x＋eq \f(1,x)≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq \f(1,x)，
即x＝1時(shí)，等號成立，
故a≤2，所以a的取值范圍是(－∞，2]．
思維升華 (1)處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，關(guān)鍵是根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程：
①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上．
(2)注意區(qū)分“在點(diǎn)P處的切線”與“過點(diǎn)P處的切線”．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)(2022·南平模擬)若直線y＝x＋m與曲線y＝eq \f(ex,e2n)相切，則( )
A．m＋n為定值 B.eq \f(1,2)m＋n為定值
C．m＋eq \f(1,2)n為定值 D．m＋eq \f(1,3)n為定值
答案 B
解析 設(shè)直線y＝x＋m與曲線y＝eq \f(ex,e2n)切于點(diǎn)，
因?yàn)閥′＝eq \f(ex,e2n)，所以＝1，所以x0＝2n，
所以切點(diǎn)為(2n,1)，
代入直線方程得1＝2n＋m，即eq \f(1,2)m＋n＝eq \f(1,2).
(2)若函數(shù)f(x)＝ln x＋2x2－ax的圖象上存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
答案 [2，＋∞)
解析 直線2x－y＝0的斜率k＝2，
又曲線f(x)上存在與直線2x－y＝0平行的切線，
∴f′(x)＝eq \f(1,x)＋4x－a＝2在(0，＋∞)內(nèi)有解，
則a＝4x＋eq \f(1,x)－2，x>0.
又4x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(4x·\f(1,x))＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq \f(1,2)時(shí)取“＝”．
∴a≥4－2＝2.
∴a的取值范圍是[2，＋∞)．
題型三 兩曲線的公切線
例4 (1)(2022·駐馬店模擬)已知函數(shù)f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，直線l與f(x)的圖象相切于點(diǎn)A(1,0)，若直線l與g(x)的圖象也相切，則a等于( )
A．0 B．－1 C．3 D．－1或3
答案 D
解析 由f(x)＝xln x求導(dǎo)得f′(x)＝1＋ln x，
則f′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函數(shù)f(x)在點(diǎn)A(1,0)處的切線l的方程為y＝x－1，
因?yàn)橹本€l與g(x)的圖象也相切，則方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,g?x?＝x2＋ax，))有唯一解，即關(guān)于x的一元二次方程x2＋(a－1)x＋1＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
因此Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3，
所以a＝－1或a＝3.
(2)若函數(shù)f(x)＝x2－1與函數(shù)g(x)＝aln x－1的圖象存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(0，e) B．(0，e]
C．(0,2e) D．(0,2e]
答案 D
解析 f(x)＝x2－1的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2x，g(x)＝aln x－1的導(dǎo)函數(shù)為g′(x)＝eq \f(a,x).
設(shè)切線與f(x)相切的切點(diǎn)為(n，n2－1)，與g(x)相切的切點(diǎn)為(m，aln m－1)，
所以切線方程為y－(n2－1)＝2n(x－n)，
y－(aln m－1)＝eq \f(a,m)(x－m)，
即y＝2nx－n2－1，y＝eq \f(a,m)x－a＋aln m－1.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2n＝\f(a,m)，,n2＋1＝a＋1－aln m，))
所以eq \f(a2,4m2)＝a－aln m，
由于a>0，所以eq \f(a,4m2)＝1－ln m，
即eq \f(a,4)＝m2(1－ln m)有解即可．
令h(x)＝x2(1－ln x)(x>0)，
h′(x)＝x(1－2ln x)，
所以h(x)在(0，eq \r(e))上單調(diào)遞增，在(eq \r(e)，＋∞)上單調(diào)遞減，最大值為h(eq \r(e))＝eq \f(e,2)，
當(dāng)0e時(shí)，h(x)

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