1. 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
(2)函數(shù) f ( x )的導(dǎo)函數(shù)：當(dāng) x 變化時(shí)， y ＝ f '( x )就是 x 的函數(shù)，我們稱它為 y ＝ f ( x )的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)). y ＝ f ( x )的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y'，即 f '( x )＝y(tǒng)'＝② ?.
函數(shù) y ＝ f ( x )的導(dǎo)數(shù) f '( x )反映了函數(shù) f ( x )的變化趨勢(shì)，其大?。?f '( x )｜反映了變化 的快慢，在某一范圍內(nèi)｜ f '( x )｜越大，函數(shù)在相應(yīng)范圍內(nèi)變化得越快，函數(shù)的圖象 越“陡峭”(向上或向下).
f '( x )與 f '( x 0)，[ f ( x 0)]'的區(qū)別與聯(lián)系： f '( x )是一個(gè)函數(shù)， f '( x 0)是函數(shù) f '( x )在 x ＝ x 0時(shí)的函數(shù)值(常數(shù))，不一定為0，[ f ( x 0)]'是函數(shù)值 f ( x 0)的導(dǎo)數(shù)，且[ f ( x 0)]'＝0.
(3)導(dǎo)數(shù)的幾何意義： f '( x 0)的幾何意義就是曲線 y ＝ f ( x )在點(diǎn) P ( x 0， f ( x 0))處的切線的斜率 k ，即 k ＝③ ，相應(yīng)的切線方程為④ ? ?.
函數(shù) y ＝ f ( x )在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、曲線 y ＝ f ( x )在該點(diǎn)處切線的斜率和傾斜角，這三 者之間是可以相互轉(zhuǎn)化的.
y － f ( x 0)＝ f '( x 0)( x － x0)　
2. 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(1)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
f '( x )±g'( x )　
f '( x ) g ( x )＋ f ( x )g'( x )　
復(fù)合函數(shù) y ＝ f ( g ( x ))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù) y ＝ f ( u )， u ＝ g ( x )的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y' x ＝ ? ，即 y 對(duì) x 的導(dǎo)數(shù)等于 y 對(duì) u 的導(dǎo)數(shù)與 u 對(duì) x 的導(dǎo)數(shù)的乘積.
注意　(1)要分清每一步的求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量的求導(dǎo)，不能混淆.
(2)對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)，要分清哪個(gè)字母是變量，哪個(gè)字母是參數(shù)，參數(shù)是常量， 其導(dǎo)數(shù)為零.
y' u ·u' x 　
1. 下列說法正確的是(　C　)
[解析]　對(duì)于A， f '( x 0)是函數(shù) y ＝ f ( x )在 x ＝ x 0處的瞬時(shí)變化率；對(duì)于B， f '( x )是一 個(gè)函數(shù)，而 f '( x 0)( x 0為常數(shù))是函數(shù) f '( x )在 x ＝ x 0時(shí)的函數(shù)值；對(duì)于C，例如曲線 y ＝ cs x 在點(diǎn)(0，1)處的切線與曲線 y ＝ cs x 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；對(duì)于D，奇函數(shù)的導(dǎo) 數(shù)是偶函數(shù).故C正確.
2. [教材改編]下列式子不正確的是(　C　)
[解析]　由導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則可知A，B，D正確.(2 sin 2 x )'＝4 cs 2 x ≠2 cs 2 x ，故C不正確.
3. [全國(guó)卷Ⅰ]函數(shù) f ( x )＝ x 4－2 x 3的圖象在點(diǎn)(1， f (1))處的切線方程為(　B　)
[解析]　∵ f ( x )＝ x 4－2 x 3，∴ f '( x )＝4 x 3－6 x 2，∴ f '(1)＝－2，又 f (1)＝1－2＝－1，∴所求的切線方程為 y ＋1＝－2( x －1)，即 y ＝－2 x ＋1.故選B.
4. [2024河北省邢臺(tái)市月考]在一次10米跳臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員跳水過程中的重 心相對(duì)于水面的高度 h (單位：m)與起跳后的時(shí)間 t (單位：s)存在函數(shù)關(guān)系： h ( t )＝ －4 t 2＋4 t ＋11.該運(yùn)動(dòng)員在 t ＝1 s時(shí)的瞬時(shí)速度(單位：m/s)為(　A　)
[解析]　由 h ( t )＝－4 t 2＋4 t ＋11可得h'( t )＝－8 t ＋4，故h'(1)＝－4，即該運(yùn)動(dòng)員在 t ＝1 s時(shí)的瞬時(shí)速度為－4 m/ s .故選A.
命題點(diǎn)1　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算例1 (1)[2024河南省商丘市部分學(xué)校質(zhì)檢]下列求導(dǎo)正確的是(　D　)
(1)求導(dǎo)之前，先把函數(shù)簡(jiǎn)化成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法 則求導(dǎo).
(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，要正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行 換元.
注意　 (1)牢記導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；(2)若函數(shù)解析式中含有待定系數(shù) (如 f '( x 0)， a ， b 等)，則求導(dǎo)時(shí)把待定系數(shù)看成常數(shù)，再根據(jù)題意求解即可.
訓(xùn)練1 (1)[多選/2023湖北省黃岡市黃州中學(xué)質(zhì)檢]下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(　BD　)
(2)已知函數(shù) f ( x )的導(dǎo)函數(shù)為 f '( x )，且滿足 f ( x )＝3 xf '(1)＋2ln x ，則 f '(2)＝(　B　)
命題點(diǎn)2　導(dǎo)數(shù)的幾何意義
(2)[2022新高考卷Ⅱ]曲線 y ＝ln｜ x ｜過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為 ， ?.
(1)已知切點(diǎn) A ( x 0， f ( x 0))，則切線方程為 y － f ( x 0)＝ f '( x 0)( x － x 0).
注意　 曲線 y ＝ f ( x )“在點(diǎn) P ( x 0， y 0)處的切線”與“過點(diǎn) P ( x 0， y 0)的切線”的 區(qū)別：前者 P ( x 0， y 0)為切點(diǎn)，而后者 P ( x 0， y 0)不一定為切點(diǎn).
角度2　求參數(shù)的值或取值范圍例3 (1)[全國(guó)卷Ⅲ]已知曲線 y ＝ a e x ＋ x ln x 在點(diǎn)(1， a e)處的切線方程為 y ＝2 x ＋ b ，則(　D　)
(2)[2022新高考卷Ⅰ]若曲線 y ＝( x ＋ a )e x 有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則 a 的取值范圍 是 ?.
(－∞，－4)∪(0，＋∞)　
方法技巧利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的方法利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率、切點(diǎn)在切線上、切點(diǎn)在曲線上列方程(組)求解.
訓(xùn)練2 (1)[2024廣州市中山大學(xué)附中月考]過點(diǎn)(3，0)作曲線 f ( x )＝ x e x 的兩條切線， 切點(diǎn)分別為( x 1， f ( x 1))，( x 2， f ( x 2))，則 x 1＋ x 2＝(　D　)
(2)[2024江蘇省常州市調(diào)考]已知直線2 ax －2 y － a ＝0與曲線 y ＝ln(2 x －1)相切，則 實(shí)數(shù) a ＝(　A　)
(2)[全國(guó)卷Ⅱ]若直線 y ＝ kx ＋ b 是曲線 y ＝ln x ＋2的切線，也是曲線 y ＝ln( x ＋1)的 切線，則 b ＝ ?.
曲線的公切線問題的求解方法
(1)求出兩曲線各自的切線方程，利用兩曲線的切線重合列方程組求解.
訓(xùn)練3 (1)已知函數(shù) f ( x )＝ ax 2與 g ( x )＝ln x 的圖象在公共點(diǎn)處有共同的切線，則實(shí)數(shù) a 的值為 ?.
1. [命題點(diǎn)1]已知 f ( x )＝( x －1)( x －2)( x －3)( x －4)( x －5)( x －6)，則 f '(3)＝ ?.
[解析]　易得 f '( x )＝( x －3)'[( x －1)( x －2)( x －4)( x －5)( x －6)]＋( x －3)[( x －1)( x －2)( x －4)( x －5)( x －6)]'，則 f '(3)＝2×1×(－1)×(－2)×(－3)＝－12.
2. [命題點(diǎn)2角度2/2021新高考卷Ⅰ]若過點(diǎn)( a ， b )可以作曲線 y ＝e x 的兩條切線，則 (　D　)
則函數(shù) f ( x )＝e x (1－ x ＋ a )的大致圖象如圖1所示.因?yàn)?f ( x )的圖象與直線 y ＝ b 有兩 個(gè)交點(diǎn)，所以0＜ b ＜e a .故選D.
解法二(用圖估算法)　作出曲線 y ＝e x ，如圖2所示，過點(diǎn)( a ， b )可以作曲線 y ＝e x 的兩條切線，則點(diǎn)( a ， b )在曲線 y ＝e x 的下方且在 x 軸的上方，得0＜ b ＜e a .故選D.
3. [命題點(diǎn)2角度2]若點(diǎn) P (1， a )不在 f ( x )＝ x 3－ ax 的圖象上，且過點(diǎn) P 僅能作一條 直線與 f ( x )的圖象相切，則 a 的取值范圍為 ?.
5. [命題點(diǎn)3/2023河南省部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考]已知函數(shù) f ( x )＝ln x 的圖象在點(diǎn) P (1， f (1))處的切線也是函數(shù) g ( x )＝ a e x 的圖象的一條切線，則 a ＝ ?.
1. [全國(guó)卷Ⅱ]曲線 y ＝2 sin x ＋ cs x 在點(diǎn)(π，－1)處的切線方程為(　C　)
2. [2024福建泉州模擬]若直線 x ＋ y ＋ a ＝0與曲線 y ＝ x －2ln x 相切，則實(shí)數(shù) a 的值 為(　C　)
3. [易錯(cuò)題]已知函數(shù) f ( x )＝ f '(1) x 2＋2 x ＋2 f (1)，則 f '(2)的值為(　D　)
[解析]　因?yàn)?f '( x )＝2 f '(1) x ＋2，所以 f '(1)＝2 f '(1)＋2，解得 f '(1)＝－2，所以 f '( x ) ＝－4 x ＋2，所以 f '(2)＝－6，故選D.
4. [全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)函數(shù) f ( x )＝ x 3＋( a －1) x 2＋ ax .若 f ( x )為奇函數(shù)，則曲線 y ＝ f ( x )在點(diǎn) (0，0)處的切線方程為(　D　)
[解析]　解法一　因?yàn)楹瘮?shù) f ( x )＝ x 3＋( a －1) x 2＋ ax 為奇函數(shù)，所以 f (－ x )＝－ f ( x )，所以(－ x )3＋( a －1)(－ x )2＋ a (－ x )＝－[ x 3＋( a －1) x 2＋ ax ]，所以2( a －1) x 2＝0，因?yàn)?x ∈R，所以 a ＝1，所以 f ( x )＝ x 3＋ x ，所以f'( x )＝3 x 2＋1，所以f'(0)＝1，所以曲線 y ＝ f ( x )在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為 y ＝ x .故選D.
解法二　因?yàn)楹瘮?shù) f ( x )＝ x 3＋( a －1) x 2＋ ax 為奇函數(shù)，所以 f (－1)＋ f (1)＝0，所以 －1＋ a －1－ a ＋(1＋ a －1＋ a )＝0，解得 a ＝1，所以 f ( x )＝ x 3＋ x ，f'( x )＝3 x 2＋ 1，所以f'(0)＝1，所以曲線 y ＝ f ( x )在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為 y ＝ x .故選D.
解法三　易知 f ( x )＝ x 3＋( a －1) x 2＋ ax ＝ x [ x 2＋( a －1) x ＋ a ]，因?yàn)?f ( x )為奇函 數(shù)，所以函數(shù) g ( x )＝ x 2＋( a －1) x ＋ a 為偶函數(shù)，所以 a －1＝0，解得 a ＝1，所以 f ( x )＝ x 3＋ x ，所以f'( x )＝3 x 2＋1，所以f'(0)＝1，所以曲線 y ＝ f ( x )在點(diǎn)(0，0)處的 切線方程為 y ＝ x .故選D.
5. 曲線 f ( x )＝ x 3－ x ＋3在點(diǎn) P 處的切線平行于直線 y ＝2 x －1，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (　D　)
7. [2024福建省寧德市模擬]曲線 y ＝－ x 3＋ x 2＋8 x ＋3在某點(diǎn)處的切線的傾斜角為銳 角，且該點(diǎn)坐標(biāo)為整數(shù)，則該曲線上這樣的切點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　C　)
[解析]　由 f '( x )＞0，得 f ( x )在R上單調(diào)遞增，因?yàn)棣校緀＞2，所以 f (π)＞ f (e)＞ f (2)，故A不正確；
f '( x )表示函數(shù)圖象上各點(diǎn)處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著 x 的增大， f ( x ) 的圖象上升得越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以 f '(π)＜ f '(e)＜ f '(2)，故B 正確；
9. [2024河南省名校調(diào)考]已知冪函數(shù) f ( x )＝( m 2－6 m ＋9) xm 滿足 f '(1)＝2，則 f (2) ＝ ?.
[解析]　由冪函數(shù)的定義可得 m 2－6 m ＋9＝1，解得 m ＝2或 m ＝4，當(dāng) m ＝2時(shí)， f ( x )＝ x 2， f '( x )＝2 x ， f '(1)＝2，符合題意；當(dāng) m ＝4時(shí)， f ( x )＝ x 4， f '( x )＝4 x 3， f '(1)＝4，不符合題意.故 f ( x )＝ x 2， f (2)＝4.
10. [新高考卷Ⅰ]已知函數(shù) f ( x )＝ a e x －1－ln x ＋ln a .(1)當(dāng) a ＝e時(shí)，求曲線 y ＝ f ( x )在點(diǎn)(1， f (1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角 形的面積；
(2)若 f ( x )≥1，求 a 的取值范圍.
11. [條件創(chuàng)新]已知曲線 y ＝ln x 在 x ＝ x 0處的切線經(jīng)過點(diǎn)(－1，0)，則 x 0的大致范圍 是(參考數(shù)據(jù)：e≈2.718，e2≈7.389)(　C　)
13. [多選/2024惠州市一調(diào)]若過點(diǎn) P (1，λ)可作3條直線與函數(shù) f ( x )＝( x －1)e x 的圖象 相切，則實(shí)數(shù)λ的值可以是(　BC　)
14. 曲線 y ＝ x 2－ln x 上的點(diǎn)到直線 x － y －2＝0的最短距離是 ?.
15. [2021全國(guó)卷乙節(jié)選]已知函數(shù) f ( x )＝ x 3－ x 2＋ ax ＋1.求曲線 y ＝ f ( x )過坐標(biāo)原點(diǎn) 的切線與曲線 y ＝ f ( x )的公共點(diǎn)的坐標(biāo).
解得 x 0＝1，所以切線 l 的方程為 y ＝(1＋ a ) x .令 x 3－ x 2＋ ax ＋1＝(1＋ a ) x ，則 x 3－ x 2－ x ＋1＝0，解得 x ＝±1，所以曲線 y ＝ f ( x )過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線 y ＝ f ( x )的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，1＋ a )和 (－1，－1－ a ).
16. [2022全國(guó)卷甲]已知函數(shù) f ( x )＝ x 3－ x ， g ( x )＝ x 2＋ a ，曲線 y ＝ f ( x )在點(diǎn)( x 1， f ( x 1))處的切線也是曲線 y ＝ g ( x )的切線.
(1)若 x 1＝－1，求 a ；
[解析]　(1)當(dāng) x 1＝－1時(shí)， f (－1)＝0，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0).由 f ( x )＝ x 3－ x ，得f'( x )＝3 x 2－1，所以切線斜率 k ＝f'(－1)＝2，所以切線方程為 y ＝2( x ＋1)，即 y ＝2 x ＋2.將 y ＝2 x ＋2代入 y ＝ x 2＋ a ，得 x 2－2 x ＋ a －2＝0.由切線與曲線 y ＝ g ( x )相切，得Δ＝(－2)2－4( a －2)＝0，
(2)求 a 的取值范圍.
h ( x )，h'( x )隨 x 的變化情況如下表所示：
17. [2024江蘇聯(lián)考]已知直線 l 與曲線 y ＝e x －1和 y ＝ln( x ＋1)都相切，請(qǐng)寫出兩個(gè)符 合條件的直線 l 的方程： ， ?.

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