§6.5　數(shù)列求和考試要求　1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常用方法．知識(shí)梳理數(shù)列求和的幾種常用方法1．公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和．(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝           ＝                      .(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝.2．分組求和法與并項(xiàng)求和法(1)分組求和法若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．(2)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解．3．錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．4．裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧(1)＝－.(2)＝.(3)＝.(4)＝－.(5)＝.常用結(jié)論常用求和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝.(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.(3)12＋22＋32＋…＋n2＝.(4)13＋23＋33＋…＋n3＝2.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和Sn＝.(　 　)(2)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan時(shí)，只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得．(　 　)(3)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，則有＝. (　 　)(4)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　 　)教材改編題1．已知函數(shù)f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　)A．0  B．100  C．－100  D．10 2002．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若an＝，則S5等于(　　)A．1  B.  C.  D.3．Sn＝＋＋＋…＋等于(　　)A.   B.C.   D.  題型一　分組求和與并項(xiàng)求和例1　(2023·菏澤模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，它的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn＋an＋1＝2n＋1－1.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求S1＋S2＋S3＋…＋S2n.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究　在本例(2)中，如何求S1＋S2＋S3＋…＋Sn?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　(1)若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．(2)若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝其中數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求{cn}的前n項(xiàng)和．跟蹤訓(xùn)練1　記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn＝2an－2n＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記bn＝(－1)n·log2，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二　錯(cuò)位相減法求和例2　(2021·浙江)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝－，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.若Tn≤λbn，對(duì)任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，常采用錯(cuò)位相減法．(2)錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：①在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式．②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時(shí)必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.跟蹤訓(xùn)練2　(2023·重慶模擬)在①a1＝1，nan＋1＝(n＋1)·an，②＋＋…＋＝2n＋1－2這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并作答．問(wèn)題：在數(shù)列{an}中，已知________．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三　裂項(xiàng)相消法求和例3　(10分)(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，是公差為的等差數(shù)列．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；[切入點(diǎn)：求數(shù)列的通項(xiàng)公式](2)證明：＋＋…＋<2.[關(guān)鍵點(diǎn)：把拆成兩項(xiàng)相減]思維升華　裂項(xiàng)相消法的原則及規(guī)律(1)裂項(xiàng)原則一般是前面裂幾項(xiàng)，后面就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．(2)消項(xiàng)規(guī)律消項(xiàng)后前面剩幾項(xiàng)，后面就剩幾項(xiàng)，前面剩第幾項(xiàng)，后面就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．跟蹤訓(xùn)練3　(2022·湛江模擬)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且8a3＝a6，a2＋a5＝36.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，并證明：Tn<.________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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