知識(shí)梳理
數(shù)列求和的幾種常用方法
1．公式法
直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和．
(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d.
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1?1－qn?,1－q)，q≠1)).
2．分組求和法與并項(xiàng)求和法
(1)分組求和法
若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．
(2)并項(xiàng)求和法
一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解．
3．錯(cuò)位相減法
如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．
4．裂項(xiàng)相消法
把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．
常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧
(1)eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
(2)eq \f(1,n?n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).
(3)eq \f(1,?2n－1??2n＋1?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
(4)eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
(5)eq \f(1,n?n＋1??n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,n?n＋1?)－\f(1,?n＋1??n＋2?))).
常用結(jié)論
常用求和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(n?n＋1?,2).
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
(3)12＋22＋32＋…＋n2＝eq \f(n?n＋1??2n＋1?,6).
(4)13＋23＋33＋…＋n3＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(n?n＋1?,2)))2.
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和Sn＝eq \f(a1－an＋1,1－q).( √ )
(2)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan時(shí)，只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得．
( × )
(3)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，則有eq \f(1,anan＋1)＝eq \f(1,d)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)－\f(1,an＋1))). ( × )
(4)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.( √ )
教材改編題
1．已知函數(shù)f(n)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2?當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)?，,－n2?當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)?，))且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于( )
A．0 B．100 C．－100 D．10 200
答案 B
解析 由題意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012
＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)
＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)
＝－50×101＋50×103＝100.
2．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若an＝eq \f(1,n?n＋1?)，則S5等于( )
A．1 B.eq \f(5,6) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,30)
答案 B
解析 因?yàn)閍n＝eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，
所以S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…－eq \f(1,6)＝eq \f(5,6).
3．Sn＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＋eq \f(3,8)＋…＋eq \f(n,2n)等于( )
A.eq \f(2n－n－1,2n) B.eq \f(2n＋1－n－2,2n)
C.eq \f(2n－n＋1,2n) D.eq \f(2n＋1－n＋2,2n)
答案 B
解析 由Sn＝eq \f(1,2)＋eq \f(2,22)＋eq \f(3,23)＋…＋eq \f(n,2n)，①
得eq \f(1,2)Sn＝eq \f(1,22)＋eq \f(2,23)＋…＋eq \f(n－1,2n)＋eq \f(n,2n＋1)，②
①－②得，eq \f(1,2)Sn＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,2n)－eq \f(n,2n＋1)＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))－eq \f(n,2n＋1)，
∴Sn＝eq \f(2n＋1－n－2,2n).
題型一 分組求和與并項(xiàng)求和
例1 (2023·菏澤模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，它的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn＋an＋1＝2n＋1－1.
(1)證明：數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an－\f(2n,3)))為等比數(shù)列；
(2)求S1＋S2＋S3＋…＋S2n.
(1)證明 由2Sn＋an＋1＝2n＋1－1(n≥1)，①
得2Sn－1＋an＝2n－1(n≥2)，②
由①－②得an＋an＋1＝2n(n≥2)，
得an＋1＝－an＋2n?an＋1－eq \f(2n＋1,3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an－\f(2n,3)))(n≥2)，
又當(dāng)n＝1時(shí)，由①得a2＝1?a2－eq \f(22,3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(2,3)))，
所以對(duì)任意的n∈N*，都有an＋1－eq \f(2n＋1,3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an－\f(2n,3)))，
故eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an－\f(2n,3)))是以eq \f(1,3)為首項(xiàng)，－1為公比的等比數(shù)列．
(2)解 由(1)知an－eq \f(2n,3)＝eq \f(?－1?n－1,3)?an＝eq \f(2n＋?－1?n－1,3)，
所以an＋1＝eq \f(2n＋1＋?－1?n,3)，代入①得Sn＝eq \f(2n＋1,3)－eq \f(?－1?n,6)－eq \f(1,2)，
所以S1＋S2＋…＋S2n＝eq \f(1,3)(22＋23＋…＋22n＋1)－eq \f(1,6)[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)2n]－eq \f(2n,2)＝eq \f(1,3)×eq \f(22－22n＋2,1－2)－0－n＝eq \f(22n＋2－3n－4,3).
延伸探究 在本例(2)中，如何求S1＋S2＋S3＋…＋Sn?
解 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
S1＋S2＋S3＋…＋Sn
＝eq \f(1,3)(22＋23＋…＋2n＋1)－eq \f(1,6)[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n－1＋(－1)n]－eq \f(n,2)
＝eq \f(1,3)×eq \f(22－2n＋1·2,1－2)－eq \f(n,2)
＝eq \f(2n＋2－4,3)－eq \f(n,2)＝eq \f(2n＋3－3n－8,6).
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
S1＋S2＋S3＋…＋Sn
＝(S1＋S2＋S3＋…＋Sn＋Sn＋1)－Sn＋1
＝eq \f(2n＋4－3?n＋1?－8,6)－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2n＋2,3)－\f(?－1?n＋1,6)－\f(1,2)))
＝eq \f(2n＋3－3n－7,6).
綜上，S1＋S2＋…＋Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2n＋3－3n－8,6)，n為偶數(shù)，,\f(2n＋3－3n－7,6)，n為奇數(shù).))
思維升華 (1)若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．
(2)若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an，n為奇數(shù)，,bn，n為偶數(shù)，))其中數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求{cn}的前n項(xiàng)和．
跟蹤訓(xùn)練1 記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn＝2an－2n＋1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記bn＝(－1)n·lg2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)?an＋4?－\f(4,3)))，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，由Sn＝2an－2n＋1，可得a1＝S1＝2a1－2＋1，即有a1＝1.
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－2an－1＋2(n－1)－1，
即an＝2an－1＋2，可得an＋2＝2(an－1＋2)，顯然an－1＋2≠0.
所以數(shù)列{an＋2}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，則an＋2＝3·2n－1，即有an＝3·2n－1－2.
(2)bn＝(－1)n·lg2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)?3·2n－1＋2?－\f(4,3)))
＝(－1)n·lg22n＝(－1)n·n.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
Tn＝－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n
＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(n－1)＋n]＝eq \f(n,2).
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
Tn＝－1＋2－3＋4－…＋(n－1)－n
＝eq \f(n－1,2)－n＝eq \f(－n－1,2)＝－eq \f(n＋1,2).
綜上，Tn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n,2)，n為偶數(shù)，,－\f(n＋1,2)，n為奇數(shù).))
題型二 錯(cuò)位相減法求和
例2 (2021·浙江)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝－eq \f(9,4)，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，記{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n.若Tn≤λbn，對(duì)任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
解 (1)因?yàn)?Sn＋1＝3Sn－9，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn＝3Sn－1－9，
兩式相減可得4an＋1＝3an，即eq \f(an＋1,an)＝eq \f(3,4).
當(dāng)n＝1時(shí)，4S2＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)＋a2))＝－eq \f(27,4)－9，
解得a2＝－eq \f(27,16)，
所以eq \f(a2,a1)＝eq \f(3,4).
所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為－eq \f(9,4)，
公比為eq \f(3,4)的等比數(shù)列，
所以an＝－eq \f(9,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n－1＝－eq \f(3n＋1,4n).
(2)因?yàn)?bn＋(n－4)an＝0，
所以bn＝(n－4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n.
所以Tn＝－3×eq \f(3,4)－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2－1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))3＋0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))4＋…＋(n－4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n，①
且eq \f(3,4)Tn＝－3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))3－1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))4＋0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))5＋…＋(n－5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n＋(n－4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n＋1，②
①－②得eq \f(1,4)Tn＝－3×eq \f(3,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))3＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n－(n－4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n＋1
＝－eq \f(9,4)＋eq \f(\f(9,16)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n－1)),1－\f(3,4))－(n－4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n＋1
＝－n×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n＋1，
所以Tn＝－4n×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n＋1.
因?yàn)門(mén)n≤λbn對(duì)任意n∈N*恒成立，
所以－4n×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n＋1≤λeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(?n－4?×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n))恒成立，
即－3n≤λ(n－4)恒成立，
當(dāng)n4時(shí)，λ≥eq \f(－3n,n－4)＝－3－eq \f(12,n－4)，此時(shí)λ≥－3.
所以－3≤λ≤1.
思維升華 (1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，常采用錯(cuò)位相減法．
(2)錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：
①在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式．
②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時(shí)必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.
跟蹤訓(xùn)練2 (2023·重慶模擬)在①a1＝1，nan＋1＝(n＋1)·an，②＋＋…＋＝2n＋1－2這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并作答．
問(wèn)題：在數(shù)列{an}中，已知________．
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
解 (1)選擇①，
因?yàn)閚an＋1＝(n＋1)an，所以eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(an,n).
所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是常數(shù)列．
又eq \f(a1,1)＝1，所以eq \f(an,n)＝1，故an＝n.
選擇②，
因?yàn)椋?n＋1－2，
所以當(dāng)n＝1時(shí)，＝22－2＝2，解得a1＝1，
當(dāng)n≥2時(shí)，＝2n＋1－2n＝2n，所以an＝n.
又a1＝1，所以an＝n.
(2)由(1)可知bn＝eq \f(2n－1,3n)，
則Sn＝eq \f(1,31)＋eq \f(3,32)＋…＋eq \f(2n－1,3n)，①
eq \f(1,3)Sn＝eq \f(1,32)＋eq \f(3,33)＋…＋eq \f(2n－3,3n)＋eq \f(2n－1,3n＋1).②
兩式相減得eq \f(2,3)Sn＝eq \f(1,3)＋eq \f(2,32)＋eq \f(2,33)＋…＋eq \f(2,3n)－eq \f(2n－1,3n＋1)＝eq \f(1,3)＋eq \f(\f(2,9)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3n－1))),1－\f(1,3))－eq \f(2n－1,3n＋1)＝eq \f(2,3)－eq \f(2n＋2,3n＋1).
故Sn＝1－eq \f(n＋1,3n).
題型三 裂項(xiàng)相消法求和
例3 (10分)(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,an)))是公差為eq \f(1,3)的等差數(shù)列．
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；[切入點(diǎn)：求數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,an)))的通項(xiàng)公式]
(2)證明：eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,an)0，所以an－an－1－1＝0，即an－an－1＝1(n≥2)，
在2Sn＝aeq \\al(2,n)＋an中，令n＝1，則a1＝1，
所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
故an＝n.
(2)bn＝aeq \\al(2,n)cs eq \f(2anπ,3)＝n2cs eq \f(2nπ,3)，
設(shè)ck＝b3k－2＋b3k－1＋b3k＝(3k－2)2·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(4π,3)))＋(3k－1)2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2π,3)))＋(3k)2·cs 2kπ＝－eq \f(1,2)(3k－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))(3k－1)2＋(3k)2＝9k－eq \f(5,2)，
所以T3n＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9－\f(5,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9×2－\f(5,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9×3－\f(5,2)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9n－\f(5,2)))
＝9(1＋2＋3＋…＋n)－eq \f(5,2)n
＝9×eq \f(n?1＋n?,2)－eq \f(5,2)n＝eq \f(9n2＋4n,2).

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2024年數(shù)學(xué)高考大一輪復(fù)習(xí)第六章 §6.5　數(shù)列求和(一)（附答單獨(dú)案解析）
備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（人教A版-理）第六章 §6.5 數(shù)列求和

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新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 第6章 §6.5　數(shù)列求和

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